tema 4 modelos de computacion

Tema 4: NP-ompletitud

Serafn Moral

Universidad de Granada

Abril, 2014

Serafn Moral Tema 4: NP-ompletitud

Contenido

Problemas de deisin y su odiain

Redu

in

Completitud

El problema de la onsistenia en lgia proposiional

El teorema de Cook

Variantes de SAT

Problemas de onjuntos

Problemas de grafos

Problemas numrios

Otros problemas

Caraterizain de problemas en NP

Tnias de redu

in de problemas


Problemas de Deisin

Un problema de deisin, , onsta de los siguientes elementos:

D: Conjunto de ejemplos del problema (asos posibles o

datos).

Y: Conjunto de ejemplos en los que la respuesta es positiva

(ondiin que es veriada por algunos de los elementos de

D).

Y D


Ejemplo: Isomorsmo de subgrafos

D: Datos

Dos grafos G

1

= (V1

,E1

) y G2

= (V2

,E2

)

Y: Condiin

Contiene G

1

un subgrafo isomorfo a G

2

?

Es deir, existe un subonjunto V

V1

y un subonjunto de

aristas E

E1

tal que E

V V y existe una apliainbiyetiva f : V

2

V de tal manera que se veria

(u,v) E2

(f (u), f (v)) E


Codiain de Problemas

Un sistema de odiain para un problema es una apliain

C : D A

donde A es un alfabeto. Es deir, ada ejemplo del problema se

transforma en una palabra en un determinado alfabeto.

Un problema se identia on el lenguaje:

L() = {C (X ) : X Y}.Es deir los asos on respuesta armativa.

Las palabras que no son una odiain orreta de un

ejemplo del problema se onsidera que no forman parte del

lenguaje.


Problemas y Lenguajes

Palabras de A

Corretas

SI

Lenguaje

Las deniiones sobre lenguajes se pueden transformar en

deniiones sobre los problemas asoiados.

La identiain de las odiaiones orretas (palabras que

orresponden realmente a un ejemplo del problema) se onsidera

que no es importante desde el punto de vista omputaional (en

todos los ejemplos se puede realizar en tiempo lineal).


Problemas y su Codiain

La omplejidad de un problema puede depender del sistema de

odiain que se emplee para los datos de entrada. Esta

dependenia se puede minimizar si se siguen una serie de normas

bsias:

Los enteros se odian en binario (u otro sistema similar) on

un '-' delante si son negativos.

Para nombrar los elementos de una lista de tamao n usamos:

[1], [2], [3], . . . , [n] donde [n] es el nmero n esrito en binario(o en otro sistema similar). Cada nombre usa del orden de

O(log(n)).

Para odiar una lista de m elementos: (x1

, . . . ,xm

) usamos laseuenia < X

1

, . . . ,Xm

>, donde ada Xi

es la representain

de x

i

.


Ejemplos

Un nmero raional p/q se representa omo una lista de dosenteros (p,q).

Un onjunto omo una lista de sus elementos

Una funin f de un onjunto nito U = {u1

, . . . ,um

} en un

onjunto nito V se representa omo una lista de pares

((u1

, f (u1

)), . . . ,(um

, f (um

))).


Distintas Codiaiones de un Grafo

Para representar un grafo podemos usar

distintos proedimientos:

a) Listas los vrties y las aristas

b) Dar una lista de veinos para ada

vrtie

) Dar una matriz de adyaenia del

grafo

1 2

3 4

Mt. Representain lg. Cota Inf. Cota Superior

a) v[1v[2v[3v[4(v[1v[2)(v[2v[3) 36 4v +10a 4v+10a+(v +2a) log10

v

b) (v[2)(v[1v[3)(v[2)() 24 2v +8a 2v+8a+2a log10

v

) 0100/1010/0010/0000 19 v

2+v 1 v2+v 1


Redu

in entre Problemas

Queremos denir una relain, Redu

in, entre lenguajes de

forma que el lenguaje L

1

se reduza a L

2

si L

2

es ms difil

que L

1

. En el siguiente sentido: si obtuvisemos un algoritmo

para L

2

, lo podemos transfomar eientemente en un

algoritmo para L

1

de omplejidad similar.

Dada una lase C , un lenguaje ompleto para diha lase es un

lenguaje L que pertenee a la lase y tal que todo otro

lenguaje de la lase se redue a l.

Est laro que puede haber distintas deniiones de redu

in,

pero hay una que es vlida en la gran mayora de las

situaiones: transformaiones espaio logartmias.


Redu

in

L

1

es reduible a L

2

L

1

L2

si y solo si existe una mquina de Turing determinista que en

espaio logartmio alula una funin R : A B de tal maneraque

x L1

R(x) L2

Problema L

1

reduible a L

2

: Algoritmo L

2

Algoritmo L1

Algoritmo

L

2

SI/NO


Redu

in

L

1

es reduible a L

2

L

1

L2



x L1

R(x) L2

Problema L

1

reduible a L

2

: Algoritmo L

2

Algoritmo L1

R

x A AlgoritmoL

2

R(x) B SI/NO


Redu

in

L

1

es reduible a L

2

L

1

L2



x L1

R(x) L2

Problema L

1

reduible a L

2

: Algoritmo L

2

Algoritmo L1

R

x A AlgoritmoL

2

R(x) B SI/NOR

x A AlgoritmoL

2

R(x) B

Algoritmo

L

1


Redu

in entre Problemas

Si tenemos un problema de deisin , bajo un sistema de

odiain este problema se transforma en un lenguaje L: el

onjunto de odiaiones que tienen una respuesta positiva.

La redu

in entre problemas equivaldr a la redu

in entre los

lenguajes asoiados. Sin embargo, nosotros asi siempre haremos

una redu

in entre los problemas diretamente. Nos

preouparemos solo de los ejemplos vlidos y supondremos que se

transforman en ejemplos vlidos.


Signiado de la Redu

in

La redu

in de 1

a 2

, india que si obtuvisemos una solu-

in senilla para 2

, entones omponindola on la redu

in,

podramos obtener una soluin para 1

.

Eso signia que si obtuvisemos una soluin senilla para 2

la

tendramos para 1

, pero lo ontrario no tiene por qu veriarse.

En denitiva, 2

es al menos tan difil omo 1

: se resiste ms a

que se enuentre una soluin senilla

.


Pasos en la Redu

in de Problemas

Si tenemos dos problemas 1

y 2

para demostrar que 1

2

hay que:

1

Dar un algoritmo que transforme ada ejemplo, X

1

, de 1

en

un ejemplo, X

2

, del problema 2

.

2

Comprobar que diho algoritmo es logartmio en espaio.

3

Comprobar que si X

1

tiene soluin positiva, entones X

2

tambin la tiene.

4

Comprobar que si X

2

tiene soluin positiva, entones X

1

tambin la tiene.


El Problema del Viajante de Comerio (VC)

Datos:

Un onjunto nito de iudades C = {1

, . . . ,m

}Una funin de distania d : C C NUna ota B N

Pregunta: Existe un iruito que visite todas las iudades una

sola vez y de oste no superior a B?

Es deir, determinar si existe un orden de las iudades

(pi(1), . . . ,pi(n)) tal que(m1i=1

d(pi(i),pi(i+1))

)+d(pi(m),pi(1)) B


El Problema del Ciruito Hamiltoniano (CH)

Datos: Un grafo no dirigido G = (V ,E ).Pregunta: Existe un iruito hamiltoniano?



Datos: Un grafo no dirigido G = (V ,E ).Pregunta: Existe un iruito hamiltoniano?

Un iruito hamiltoniano es un amino que parte de un nodo para

llegar a l mismo, visitando todos los nodos del grafo una y solo

una vez.


Redu

in de CH a VC

Redu

in del Ciruito Hamiltoniano al problema del

Viajante de Comerio: CH VC

Supongamos una ejemplo del Ciruito Hamiltoniano G = (V ,E )

on |V |=m.Construimos el siguiente ejemplo del Viajante de Comerio:

Ciudades C = V

Distania:

d(vi

,vj

) =

{1 si (v

i

,vj

) E2 si (v

i

,vj

) 6 E

Cota: B =m


Comprobaiones

Se puede omprobar que la soluin del problema del viajante de

omerio es siempre mayor o igual a m y que es m si y solo si desde

ada iudad a la siguiente existe un aro en el grafo original.

La transformain se puede alular en espaio logartmio.

Si existe un iruito hamiltoniano existe un orden de viaje de

valor menor o igual a m (el orrespondiente al iruito

hamiltoniano).

Si existe un orden de viaje de valor menor o igual a m,

entones diho iruito es hamiltoniano en el grafo original.


Composiin de Redu

iones

Si L

1

L2

y L

2

L3

, entones L

1

L3

.

La demostrain se basa en la omposiin de las redu

iones de L

1

a L

2

( mediante R

1

alulada por M

1

) y de L

2

a L

3

(mediante R

2

alulada por M

2

).

La omposiin no puede ser poner a trabajar M

2

sobre la salida de

M

1

: R

1

(x).Entones podemos usar un espaio intermedio polinomial para

almaenar M

1

(x).La forma de funionar es que ada vez que M

2

neesita una asilla

se la pide a M

1

que la alula en ese momento, usando un ontador

binario para determinar la asilla exata.

L

1

y L

2

se dien equivalentes si y solo si L

1

L2

y L

2

L1

.


Composiin en Espaio

M

1

M

2

NO

x

R

1

(x) R2

(R1

(x))


Composiin en Espaio

M

1

M

2

NO

x

R

1

(x) R2

(R1

(x))

M

1

M

2

x

a

1 1 0 1

entrada-salida

Smbolo, N

o

Casilla

R

2

(R1

(x))


Lenguajes NP-ompletos

Lenguaje NP-ompleto

Un lenguaje es NP-Completo si y solo si es un lenguaje de NP y

ualquier otro lenguaje de NP se redue a l.

Son dos ondiiones la primera es fil de omprobar, la segunda

no.

Los lenguajes NP-ompletos son los ms difiles o tpios dentro de

la lase NP.

Dada la deniin, 'a priori' no tendra porqu existir ningn

lenguaje NP-ompleto.

Esta deniin se extiende a otras lases:

Lenguaje P-ompleto

Un lenguaje es P-Completo si y solo si es un lenguaje de P y

ualquier otro lenguaje de P se redue a l.


Equivalenia

Dos lenguajes L

1

y L

2

son equivalentes si y solo si

L

1

L2

y L

2

L1

Esta es una relain de equivalenia que divide el onjunto de los

lenguajes en lases de equivalenia.

En partiular esta relain sobre NP queda de la siguiente forma:

NP

t

P

L

NP-ompletos

P-ompletos

2 problemas triviales

(Siempre SI - Siempre NO)


Consistenia en Lgia Proposiional (SAT)

Datos: Un onjunto U = {p1

, . . . ,pm

} de smbolos proposiionalesy una ole

in C de lusulas sobre estos smbolos.

PREGUNTA: Son onsistentes las lusulas?

EJEMPLO:

U = {p1

,p2

}, C = {p1

p2

,p1

p2

}La respuestas es SI, ya que todas las lusulas se satisfaen

haiendo p

1

y p

2

verdaderas. En notain matemtia

t(p1

) = t(p2

) = V .


Ejemplo

U = {p1

,p2

}, C = {p1

p2

,p1

p2

,p1

}En este aso, la respuesta es NO.

Para satisfaer la terera lusula, t(p1

) = F (p1

es falsa). En

estas ondiiones, para satisfaer la segunda, tenemos que

tener t(p2

) = F . Y ahora on p1

y p

2

falsas, es imposible

satisfaer la primera.


El Teorema de Cook

Teorema de Cook

El problema de la onsistenia en lgia proposiional (SAT) es

NP-ompleto

Demostrain:

Lo primero es demostrar que es un problema de NP. Esto es senillo

on el siguiente algoritmo no-determinista:

Para ada smbolo en U sele

ionar un valor de verdad (V

F ).

Para ada lusula omprobar si se satisfae.

Si todas se satisfaen responder SI, en aso ontrario NO.


Teorema de Cook: Redu

in

Ahora hay que demostrar que si un lenguaje, L, est en NP,

entones diho lenguaje se redue a SAT.

Supongamos L en NP, la redu

in onsiste en transformar un

ejemplo de pertenenia al lenguaje:

Dada una palabra x A, pertenee x a L?

en un ejemplo de SAT tal que la palabra pertenee al lenguaje si y

solo si el ejemplo es onsistente.

Esta transformain tiene que haerse en espaio logartmio.


Redu

in

Como L est en NP, entones existe una Mquina de Turing no

determinista M = (Q,A,,q0

,{qa

,qr

}) que deide L en tiempopolinmio p(n) n. Vamos a suponer que tiene una sola inta.Vamos a onstruir una transformain que depende de esta

mquina:

f

M

: A SAT

tal que x L fM

(x) es onsistente.


Teorema de Cook: Notain

Vamos a suponer que la mquina aepta exatamente en

p(n) pasos.Este valor se puede alular en espaio que depende del

logaritmo de n.

Sea Q = {q0

, . . . ,qr

}, r = |Q|1, q1

= qa

, q2

= qr

.

Si A= {s1

, . . . ,sv

} hagamos s0

= B yA

= {s0

,s1

, . . . ,sv

}= {B}A.Sea l el nmero mximo de opiones de M (supondremos que

siempre hay l opiones).

Como la mquina da p(n) pasos, el nmero mximo de asillasvisitadas es p(n)+1.


Teorema de Cook: Variables Proposiionales

Hay tres tipos de variables:

Q[i ,k ], 0 i p(n), 0 k rEn el momento i , la mquina M est en el estado q

k

.

H[i , j ], 0 i p(n), 0 j p(n)En el momento i , la abeza est en la asilla j .

S [i , j ,k ], 0 i p(n), 0 j p(n), 0 k vEn el momento i , la asila j ontiene el smbolo s

k

O(i ,k), 0 i p(n), 1 k lEn el momento i , la mquina elige la opin k .

El nmero de variables es polinmio y se pueden alular en

espaio logartmio.


Grupo 1: Estado de la Mquina

Q[i ,0]Q[i ,1] Q[i , r ], 0 i p(n)

En ada momento, la mquina est en un estado

Q[i , j ]Q[i , j ], 0 i p(n), 0 j < j r

En ada momento, la mquina no puede estar a la vez en dos

estados distintos


Grupo 2: Cabeza de Letura

H[i ,0]H[i ,1] H[i ,p(n)], 0 i p(n)

En ada momento, la abeza de letura est situada en alguna

asilla

H[i , j ]H[i , j ], 0 i p(n), 0 j < j p(n)

En ada momento, la abeza de letura no puede estar en dos

asillas distintas


Grupo 3: Casillas

S [i , j ,0]S [i , j ,1] S [i , j ,v ], 0 i p(n), 0 j p(n)

En ada momento i , en la asilla j hay algn smbolo del alfabeto.

S [i , j ,k ]S [i , j ,k ],

0 i p(n), 0 j p(n), 0 k < k v

En ada momento i , y en ada asilla j no puede haber dos

smbolos distintos.


Grupo 4: Congurain Iniial

Q[0,0], en el momento iniial (0), la mquina est en elestado 0.

H[0,0], , en el momento iniial (0), la abeza est en la

asilla 0.

Si la palabra de entrada es: x = sk

1

. . . sk

n

entones se

introduen las lusulas:

S [0,0,k1

],S [0,1,k2

], . . . ,S [0,n1,kn

]

Iniialmente, los smbolos de la palabra x estn en las n

primeras asillas de la inta

Estas son las nias lusulas que dependen de la entrada.

S [0,n,0],S [0,n+1,0], . . . ,S [0,p(n),0]Iniialmente, el resto de las asillas de entrada ontienen el

sbolo B = s0

.


Grupo 5: Condiin de aeptain

Q[p(n),1]: En el ltimo paso, p(n), la mquina se enuentra en unestado de aeptain.


Grupo 6: No-Determinismo

O(i ,1) O(i , l), 0 i p(n)1.En ada momento la mquina toma una opin.

O(i , j)O(i , j ), 0 i p(n)1, 1 j , j l , j 6= j .La mquina no puede tomar dos opiones a la vez en un momento

dado.


Grupo 7: Funionamiento de la Mquina

Si (qk

,sd

) = {(qk

1

,sd

1

,m1

), . . . ,(qk

l

,sd

l

,ml

)}, entones aadimostodas las lusulas:

H[i , j ]Q[i ,k ]S [i , j ,d ]O(i ,e)Q[i+1,ke

]

H[i , j ]Q[i ,k ]S [i , j ,d ]O(i ,e)S [i+1, j ,de

]

H[i , j ]Q[i ,k ]S [i , j ,d ]O(i ,e)H[i+1, j+me

]

donde

0 i p(n)1, 0 j p(n),

0 k r , 0 d v , 1 e l


Grupo 8: Continuidad de ontenidos

H[i , j ]S [i , j ,d ]S [i+1, j ,d ]

donde

0 i p(n)1, 0 j , j p(n),(j 6= j )

0 d v


Equivalenia de los Problemas

Est laro que por la forma de onstruir la mquina.

Las lsulas reproduen exatamente el funionamiento de la

mquina para la palabra de entrada e inluyen una lusula que

india que la palabra es aeptada.

Entones la palabra es aeptada si y solo si todas es posible

satisfaer todas las lusulas.


Complejidad de la Redu

in

La redu

in que hemos realizado tiene una omplejidad espaio

logartmia en funin de la longitud de x : |x |= n.

Primero, n se representa on t = log(n) bits.El lulo de p(n) requiere realizar varias operaiones, multipliaiones ysumas. El nmero de operaiones es jo, por lo que el espaio neesario

ser del orden de t = log(n).p(n) se representar tambin on un nmero de ifras que ser del ordende t = log(n).Finalmente, toda la transformain maneja ndies que varan entre 0 y

p(n) o entre dos valores onstantes. En el segundo aso, el espaio novara en funin de la longitud de x , y en el primer aso se neesita un

espaio de orden t = log(n) (el espaio neesario para el ndie msgrande) para almaenarlos.

Finalmente, la omplejidad de toda la transformain es de orden

O(log(n)).


Estrategia para NP-Completitud

Supongamos que queremos demostrar que L es NP-ompleto.

Tenemos que haer:

Demostrar que L est en NP.

Determinar un problema NP-ompleto ya onoido L

, y

demostrar que

L

L

Como la redu

in es transitiva, esta ltima ondiin garantiza

que ualquier otro problema de NP se redue a L.


3-SAT

El problema es una restri

in de SAT, en la que se supone

que todas las lusulas son de longitud 3: tienen exatamente

3 literales.

Suponemos que podemos repetir literales dentro de una

lusula.

Es NP ya que es un aso partiular de SAT y ste ya estaba en

NP: el mismo algoritmo vale.

Para demostrar que es ompleto para la lase NP, no

realizamos una demostrain similar a la del teorema de Cook.

Simplemente, reduimos SAT a 3-SAT.

Para ello, dado un ejemplo de SAT tenemos que onstruir un

ejemplo de 3-SAT que tenga la misma respuesta: las lusulas son

onsistentes o inonsistentes en ambos asos a la vez.


SAT 3-SAT

Supongamos un ejemplo de SAT, on smbolos U y un onjunto de

lusulas C .

Construimos un ejemplo de 3-SAT, que tiene omo smbolos los de

U y algunos adiionales y uyas lusulas, C

, se obtienen de C de

la siguiente forma:

Para toda lsula en C de longitud 1 2, se repiten algunos de

sus literales para que tenga longitud 3, y se aade a C

.

Las lusulas de C de longitud 3 se aaden tal ual a C

.


SAT 3-SAT (Cont.)

Para ada lsula en C de longitud mayor o igual que 4:

T

1

T2

Tk

, k 4, se aaden los siguientes k3smbolos proposiionales

H

4

,H5

, . . . ,Hk

y las siguientes lusulas a C

:

T

k

Tk1Hk , Hk Hk Tk , Hk Hk Tk1

H

j+1Tj1Hj , Hj Hj Hj+1, Hj Hj Tj1,(j = 4, . . . ,k1)

T

1

T2

H4


Equivalenia

La demostrain de que esta transformain es una verdadera

redu

in, se basa en omprobar que para ada lusula

T

1

T2

Tk

, sta es equivalente a las lsulas (aadiendo

H

k

):

T

1

T2

Tk2Hk , Tk Tk1Hk

H

k

Tk

, Hk

Tk1

Esta regla se aplia a la lsula iniial, y despus de forma iterativa

a todas las lsulas resultantes de longitud mayor que 3.


Ejemplo

pr s t q


Ejemplo

pr s t q

pr s h5

t qh5

h

5

h5

t h5

h5

q


Ejemplo

pr s t q

pr s h5

pr h4

s h5

h4

h

4

h4

s h4

h4

h5

t qh5

h

5

h5

t h5

h5

q


2-SAT es en NL y, por tanto, en P

Consideremos un problema 2-SAT, entones onstruimos el grafo:

Nodos: Variables y sus negaiones (todos los posibles literales)

Aros: (,) es un aro si y solo si () est en elproblema.


Ejemplo

C = {x1

x2

,x1

x3

,x1

x2

,x2

x3

}

Grafo:

x

1

x1

x

3

x3

x

2

x2

Teorema

El onjunto de lusulas C es onsistente si y solo si no existe un

par de nodos x ,x , tal que existe un amino de x a x y otro

amino de x a x .


Ejemplo

C = {x1

x2

,x1

x3

,x1

x2

,x2

x3

}

Grafo:

x

1

x3

x1

x2

x3

x2

x

1

x1

x

3

x3

x

2

x2

Teorema

El onjunto de lusulas C es onsistente si y solo si no existe un

par de nodos x ,x , tal que existe un amino de x a x y otro

amino de x a x .


Clusulas Horn

Son aquellas en las que, a lo ms, existe un literal positivo.

Idea del algoritmo polinmio: (V el onjunto de variables

proposiionales).

Se onsideran los onjuntos C

1

(todos los literales son

negativos) y C

2

(existe un literal positivo).

Sea H un onjunto de variables proposiionales que

iniialmente es igual a las variables que apareen en las

lusulas de longitud 1 de C

2

. La idea es que este onjunto

ontenga las variables tienen que ser neesariamente verdad.


Algoritmo (Cont.)

Mientras H ambie, examinar las lusulas de C

2

, si alguna es

de la forma z1

z2

zi

y on todas las variablesz

1

, . . . ,zi

en el onjunto H y la variable y no en H, entones

aadir y a H. ( Como z1

z2

zi

y es equivalente a(z

1

z2

zi

) y , si todos los anteedentes sonverdaderos, entones el onseuente tambin lo tiene que ser).

Una vez alulado H se haen verdad las variables de este

onjunto y falsas las de V H.La onsistenia es equivalente a que para ada lusula en C

1

exista un literal on su variable en V H.


MAX2SAT

Datos:

Un onjunto de lusulas on dos literales y un valor K 0.Pregunta:

Pueden satisfaerse, al menos, K lusulas?

Es una generalizain de 2-SAT y es NP-ompleto.

Que es NP es inmediato. Para demostrar que es ompleto en esta

lase, vamos a reduir 3-SAT.


Redu

in: 3-SAT MAX2SAT

Para ello ada lusula de longitud 3, x y z se transforma en lassiguientes 10 lusulas (w es una nueva variable aadida),

x , y , z , w , x y , y z , z x ,x w , y w , z w

Se sele

iona K = 7m, donde m es el nmero de lusulas.Tnia: Constru

in de Gadgets

Esto se puede omprobar, viendo que para ada lusula, si x y z es verdaderoentones se puede elegir el valor de verdad de w de manera que se satisfagan 7

lusulas (pero no ms). Si x y z es falso, entones nuna podemos llegar asatisfaer 7 o ms de estas 10 lusulas, elijamos omo elijamos el valor de verdad de

w.


Frontera entre P y NP

Muhos problemas, uando se plantean on suiente generalidad

son NP-ompletos. Hay restri

iones que no llegan a onvertirlos en

problemas polinomiales, pero siempre, si se restringe el nmero de

asos a resolver lo suiente se llega un problema polinomial.


Restri

in de 3-SAT

3-SAT es NP-ompleto si haemos que ada literal nuna apareza ms

de dos vees y ada variable ms de tres vees, pero pueden existir

lusulas de longitud menor que 3.

Hemos de probar que ualquier ejemplo de 3-SAT se puede transformar

en un ejemplo equivalente que umpla esta restri

in. Esto se hae on

el siguiente proedimiento:

Si una variable x no umple las ondiiones de la restri

in,

apareiendo k vees en las lusulas, se substituye x por k

nuevas variables, x

1

, . . . ,xk

, una por ada apariin.

Se aaden las lusulas: x1

x2

,x2

x3

, . . . ,xk

x1

Estas son equivalentes a: x

1

x2

,x2

x3

, . . . ,xk

x1

on lo que todas las versiones x

i

tienen que tener el mismo

valor de verdad.


Problema NAESAT

Dado un onjunto de lausulas de longitud 3, determinar si existe

una asignain de valores de verdad tal que para ada lausula,

alguno, pero no todos los literales sean iertos.

Es laramente NP ya que si se se pueden asignar de forma no

determinista valores de verdad a las variables y despus omprobar

en tiempo polinmio si se verian las ondiiones espeiadas:

en ada lusula hay un literal ierto y otro falso.


Redu

in de 3-SAT a NAESAT

Se aade una nueva variable z .

Para ada lausula on menos de 3 literales, aadimos z .

Si los tres literales son distintos pq r aadimos una variable s(signiado: pq s) y las lusulas:

s r z , pqs, p s z , q s zSi NAESAT tiene soluin, entones ambiando el valor de verdad de todas las

variables, sigue teniendo soluin. Elegimos la soluin en la que z es falso. Esta es

una soluin del problema original.

Reiproamente, si se satisfae SAT, podemos satisfaer todas las lausulas nuevas de

auerdo on NAESAT on el mismo valor de verdad para las variables que existan y

haiendo z falso y s verdadero si p q son verdaderos.


Isomorsmo de Grafos

Problema del Isomorsmo de Grafos

Dados dos grafos no dirigidos G

1

= (V1

,E1

) y G2

= (V2

,E2

),determinar si existe un isomorsmo entre G

1

y G

2

, esto es una

apliain biyetiva f : V1

V2

, tal que

(u,v) E1

(f (u), f (v)) E2

.

Este es un ejemplo de problema que no se ha demostrado que sea

NP-ompleto y tampoo se onoe ningn algoritmo polinmio

para resolverlo. Se supone que ni est en P ni es NP-Completo. De

heho se ha denido una lase GI de todos los problemas que se

pueden reduir al problema del isoformismo de grafos, de la que

evidentemente el problema del isoformismo de grafos es

GI-ompleto.


Aoplamiento de Tripletas (ACTRI)

Datos:

Tres onjuntos disjuntos W ,X ,Y del mismo tamao q

Un subonjunto M W X Y de ompatibilidadesPregunta:

Contiene M un subonjunto M

M on q elementos, tal que para ada(w

1

,x1

,y1

),(w2

,x2

,y2

) M , si (w1

,x1

,y1

) 6= (w2

,x2

,y2

), entonesw

1

6= w2

, x1

6= x2

, y1

6= y2

?.

b b b

b b b

b b b

b b b

W X Y


ACTRI es NP-ompleto

Es NP, ya que un algoritmo no determinista que elige un

subonjunto de M y omprueba que si hay en ada elemento del

subonjunto uno y slo uno de los elementos de ada onjunto

tiene tiempo polinmio.


Redu

in de 3-SAT a ACTRI

Para demostrar que es ompleto para NP, para a reduir 3-SAT a ACTRI.

Vamos a suponer un ejemplo de 3-SAT on los siguientes datos:

U = {u1

,u2

, . . . ,un

}, C = {1

,2

, . . . ,m

}Vamos a onstruir un ejemplo de ACTRI on la misma soluin.

Construiremos los onjuntos W ,X ,Y y el subonjunto de tripletasM W X Y .Para ada variable u

i

vamos a introduir en W los elementos

u

i

[j ],ui

[j ], j = 1, . . . ,m, en X los elementos ai

[j ], j = 1, . . . ,m y en Y loselementos b

i

[j ], j = 1, . . . ,m.En M se introduen las tripletas: T

t

i

= {(ui

[j ],ai

[j ],bi

[j ]) : 1 j m} yT

f

i

= {(ui

[j ],ai

[j +1],bi

[j ]) : 1 j

ACTRI es NP-Completo

Gra de tripletas:

b b

b

u

i

[1] bi

[1]

a

i

[2]

bb

b

u

i

[4]

b

i

[4]

a

i

[1]

bb

b

u

i

[3]bi

[3]

a

i

[4]

bb

b

u

i

[2]

b

i

[2]

a

i

[3]

b

u

i

[1]

b

u

i

[4]

b

u

i

[3]

b

u

i

[2]

Los valores a

i

, b

i

no

apareen en otras

tripletas. El efe-

to es que en M

debern de estas

todos los elementos

u

i

[1],ui

[2],ui

[3],ui

[4]o todos los elementos

u

i

[1],ui

[2],ui

[3],ui

[4].


Tripletas para las lusulas

Por ada lusula

j

C :Aadir un elemento s

1

[j ] a X

Aadir un elemento s

2

[j ] a Y

Aadir a M las tripletas

{(ui

[j ],s1

[j ],s2

[j ]) : ui

est en

j

}{(u

i

[j ],s1

[j ],s2

[j ]) : ui

est en

j

}La idea es que en ada aoplamiento M

debe de ontener alguna

de estas tripletas.

Si, de las tripletas anteriores, quedaban libres (no elegidos) los

elementos u

i

[1],ui

[2],ui

[3],ui

[4] orresponde al aso en el que ui

es

ierto. Si quedaban libres u

i

[1],ui

[2],ui

[3],ui

[4], orresponde al aso

en el que u

i

es falso.

En onseuenia, estas tripletas garantizan que todas las lsulas se

satisfaen.


Elementos adiionales

Se aden los siguientes elementos:

g

1

[k], 1 k m(n1) al onjunto Xg

2

[k], 1 k m(n1) al onjunto YAl onjunto M las tripletas:

(ui

[j ],g1

[k],g2

[k]),(ui

[j ],g1

[k],g2

[k]),

1 k m(n1),1 i n,1 j mLa idea es la siguiente:

Nos han quedado libres en W despus de elegir entre las primeras tripletas: m.n

elementos. Despus de la segundas tripletas, omo hemos elegido uno por

lusula, nos quedan m.nm=m(n1). Ahora aadimos este nmero deelementos a X y a Y y le permitimos que sean ompatibles on todos los de X ,

para tener libertad para elegir los elementos sobrantes en tripletas omo

queramos.

El nmero de tripletas de M es: 2mn+3m+2m2n(n1)


Ejemplo

U = {u1

,u2

,u3

,u4

}, C = {u1

u3

u4

,u1

u2

u4

}

W = {u1

[1],u1

[2],u1

[1],u1

[2],u2

[1],u2

[2],u2

[1],u2

[2],u

3

[1],u3

[2],u3

[1],u3

[2],u4

[1],u4

[2],u4

[1],u4

[2]}X = {a

1

[1],a1

[2],a2

[1],a2

[2],a3

[1],a3

[2],a4

[1],a4

[2],s1

[1],s1

[2],g

1

[1],g1

[2],g1

[3],g1

[4],g1

[5],g1

[6]}Y = {b

1

[1],b1

[2],b2

[1],b2

[2],b3

[1],b3

[2],b4

[1],b4

[2],s2

[1],s2

[2],g

2

[1],g2

[2],g2

[3],g2

[4],g2

[5],g2

[6]}


Ejemplo

U = {u1

,u2

,u3

,u4

}, C = {u1

u3

u4

,u1

u2

u4

}M ={(u

1

[1],a1

[1],b1

[1]),(u1

[2],a1

[2],b1

[2]),(u1

[1],a1

[2],b1

[1]),(u1

[2],a1

[1],b1

[2]),(u

2

[1],a2

[1],b2

[1]),(u2

[2],a2

[2],b2

[2]),(u2

[1],a2

[2],b2

[1]),(u2

[2],a2

[1],b2

[2]),(u

3

[1],a3

[1],b3

[1]),(u3

[2],a3

[2],b3

[2]),(u3

[1],a3

[2],b3

[1]),(u3

[2],a3

[1],b3

[2]),(u

4

[1],a4

[1],b4

[1]),(u4

[2],a4

[2],b4

[2]),(u4

[1],a4

[2],b4

[1]),(u4

[2],a4

[1],b4

[2]),(u

1

[1],s1

[1],s2

[1]),(u3

[1],s1

[1],s2

[1]),(u4

[1],s1

[1],s2

[1]),(u

1

[2],s1

[2],s2

[2]),(u2

[2],s1

[2],s2

[2]),(u4

[2],s1

[2],s2

[2]),(u

i

[j ],g1

[k],g2

[k]),(ui

[j ],g1

[k],g2

[k])(i = 1, . . . ,4, j = 1,2,k = 1, . . . ,6)}


Cubr. por onj. de tamao tres (3-SET)

Datos: Un onjunto nito X on |X |= 3q y un subonjunto Cde subonjuntos de X de tres elementos.

Pregunta: Existe C

C tal que X =AC A y los elementos

de C

son disjuntos dos a dos (A,B C y A 6= B , entones

AB = /0)?

Es un problema de NP.

Para demostrar que es ompleto para NP, existe una trasformain

muy senilla: ACTRI 3-SET.

Supongamos un ejemplo de ACTRI dado por W ,Y ,Z y elsubonjunto de tripletas M, onstruimos el ejemplo de 3-SET

donde X =W Y Z y

C = {{w ,y ,z} : (w ,y ,z) M}

.


Problemas de Grafos

Clique: Dado un grafo G = (V ,E ), un lique es un subonjuntomaximal totalmente onetado. Es deir, un subonjunto V

t

Vtal que v

1

,v2

Vt

, (v1

,v2

) E , y que no est estritamenteinluido en otro onjunto que umpla esta propiedad.

El problema del Clique Mximo (Clique): Dado un grafo

G = (V ,E ) y un nmero natural J |V |, determinar si existe un

lique de tamao mayor o igual que J.

Este problema es equivalente a la existenia de un onjunto

totalmente onetado de tamao mayor o igual que J.


Ejemplo

En el siguiente grafo, tenemos un lique de tamao 4 (en rojo):


Cubrimiento por Vrties (CV)

Dado un grafo G = (V ,E ) y un subonjunto V

V , se die queV

es un ubrimiento por vrties de G , si y solo si toda arista del

grafo tiene un extremo en V

:

(u,v) E , (u V

v V

)

Problema: Dado un grafo G = (V ,E ) y un nmero naturalK |V |, determinar si existe un ubrimiento por vrties detamao menor o igual que K .


Ejemplo

En el siguiente grafo, tenemos un ubrimiento por vrties de

tamao 3 (en rojo):


Conjunto Independiente (CI)

Dado un grafo G = (V ,E ) y un subonjunto Vi

V , se die queV

i

es un onjunto independiente de G , si y solo si no hay ninguna

arista que una vrties de V

i

:

u,v Vi

, (u,v) 6 E

Problema: Dado un grafo G = (V ,E ) y un nmero naturalJ |V |, determinar si existe un onjunto independiente de tamaomayor o igual que J.


Ejemplo

En el siguiente grafo, tenemos un onjunto independiente de

tamao 4 (en rojo):


Lema

Si G = (V ,E ) es un grafo y V V , entones las siguientes

ondiiones son equivalentes:

a) V

es un ubrimiento por vrties de G

b) V V es un onjunto independiente de G

) V V es un subgrafo totalmente onetado del grafo

omplementario G = (V ,E ).


Ejemplo

Totalmente Conetado

Cubrimiento por Vrties

Conjunto Independiente


Equivalenia de Problemas

Los tres problemas (Clique, Cubrimiento por Vrties y Conjunto

Independiente) son equivalente y si uno es NP-ompleto los otros

tambin lo son.

Si n es es nmero de nodos de G , entones:

G tiene un ubrimiento por vrties de tamao menor o igual que

K

G tiene un onjunto independiente de tamao mayor o igual que

nK

G tiene un lique de tamao mayor o igual que nK


Cubr. por Vrties (CV) es NP-ompleto

Est laro que es NP: se elige de forma no determinista un

subonjunto de vrties y se omprueba en tiempo polinomial si es

un ubrimiento.


Redu

in de 3-SAT a CV

Para demostrar que es ompleto reduiremos 3-SAT: 3-SAT CV.

Sea una ejemplo de 3-SAT on variables U y lusulas C .

Se rea un ejemplo de CV, dado por un grafo G = (V ,E ).


Elementos del grafo

Para ada variables u

i

U se aaden dos vrties ui

,ui

y un

aro que los una.

Para ada lusula

j

C , se aaden tres vrtiesa

1

[j ],a2

[j ],a3

[j ] y tres aristas que los unan (se forma untringulo).

Para ada lsula

j

C si en el literal nmero k de esta

lsula aparee la variable u

i

, se aade una arista de u

k

[j ] alvrtie u

i

si la variable aparee positiva y al vrtie u

i

si la

variable aparee negada.

Se pone un lmite K = n+2m.


Ejemplo

Ejemplo de 3-SAT:

U = {u1

,u2

,u3

,u4

}, C = {u1

u3

u4

,u1

u2

u4

}.


Ejemplo

Ejemplo de 3-SAT:

U = {u1

,u2

,u3

,u4

}, C = {u1

u3

u4

,u1

u2

u4

}.

u

1

u

1

u

2

u

2

u

3

u

3

u

4

u

4


Ejemplo

Ejemplo de 3-SAT:

U = {u1

,u2

,u3

,u4

}, C = {u1

u3

u4

,u1

u2

u4

}.

u

1

u

1

u

2

u

2

u

3

u

3

u

4

u

4

a

1

[1]

a

1

[2]

a

1

[3] a2

[1]

a

2

[2]

a

2

[3]


Equivalenia CV 3-SATEjemplo de 3-SAT:

U = {u1

,u2

,u3

,u4

}, C = {u1

u3

u4

,u1

u2

u4

}.

u

1

u

1

u

2

u

2

u

3

u

3

u

4

u

4

a

1

[1]

a

1

[2]

a

1

[3] a2

[1]

a

2

[2]

a

2

[3]

u

1

falso

u

2

verdadero

u

3

falso

u

4

verdadero

Cubrimiento:

Vrties rojos


CV implia 3-SAT

Si existe un ubrimiento V

, entones

Debe de haber, al menos, un vrtie de ada pareja, u

i

,ui

Para ada lusula C

j

deben de existir, al menos, dos vrtie

de ada onjunto: {a1

[j ],a2

[j ],a3

[j ]}.Como el ubrimiento tiene, a lo ms, n+2m vrties, entoneshabr exatamente un vrtie por ada pareja u

i

,ui

y dos por ada

onjunto {a1

[j ],a2

[j ],a3

[j ]}.


CV implia 3-SAT

Las lsulas se pueden satisfaer haiendo para ada variable u

i

:

u

i

ierto si u

i

V

u

i

falso si u

i

6 V

Cada lusula C

j

tiene tres vrties, y ada vrtie est onetado

on un vrtie de variable.

De estos tres aros, hay dos que tienen extremos en los dos vrties

de {a1

[j ],a2

[j ],a3

[j ]} que estn en V

El otro aro, tendr que tener su extremo del ubrimiento en los

vrties orrespondientes a las variables: u

i

o u

i

. El valor de verdad

asignado a diha variable hae que esa lusula se satisfaga.


SAT implia CV

Sea una asignain de valores de verdad que haga onsistentes las

lusulas, entones un ubrimiento por vrties del tamao deseado

se onsigue de la siguiente forma:

V

= {ui

: ui

es verdadero}{ui

: ui

es falso}(j

({a1

[j ],a2

[j ],a3

[j ]}{ai

[j ]}))donde a

i

[j ] orresponde al literal que hae verdadera la lusula Cj

.



El problema del Ciruito Hamiltoniano es NP-ompleto.

Es inmediato que es NP. El algoritmo no-determinista polinomio

solo tiene que elegir n nodos (nmero de nodos en el grafo) y

despus omprobar que hay un aro desde ada nodo al siguiente y

del ltimo hasta el primero.

Para demostrar que es ompleto, vamos a reduir CV a este

problema. Sea G = (V ,E ) y K |V | un problema de ubrimientopor vrties.

Vamos a onstruir un grafo G

= (V ,E ) de tal forma que laexistenia de un iruito hamiltoniano para G

sea equivalente a la

existenia de un reubrimiento de tamao K para G .


Redu

in: grafos base

Para ada e = (u,v) E se aade el siguiente grafo a G (on 12vrties).

(u,e,1) (v ,e,1)

(u,e,2) (v ,e,2)

(u,e,3) (v ,e,3)

(u,e,4) (v ,e,4)

(u,e,5) (v ,e,5)

(u,e,6) (v ,e,6)


Redu

in: grafos base

Para ada e = (u,v) E se aade el siguiente grafo a G (on 12vrties).

(u,e,1) (v ,e,1)

(u,e,2) (v ,e,2)

(u,e,3) (v ,e,3)

(u,e,4) (v ,e,4)

(u,e,5) (v ,e,5)

(u,e,6) (v ,e,6)

Solo estos nodos

de los extremos se

onetan on el resto

del grafo


Redu

in: reorridos

(u,e,1)

(u,e,6)

(u,e,1) (v ,e,1)

(u,e,6) (v ,e,6)

(v ,e,1)

(v ,e,6)


Redu

in: onetando grafos bsios

Para ada v V sea

e

v

[1], . . . ,ev

[rv

]

una ordenain arbitraria de los ar-

os que ontienen v .

Para 1 i < rv

unimos el sub-

grafo asoiado a e

v

[i ] y el subgrafoe

v

[i+1] mediante un aro que va de(v ,e

v

[i ],6) a (v ,ev

[i +1],1).

e

v

[i ]

(v ,ev

[i ],6)(v ,e

v

[i+1],1)

e

v

[i +1]


Redu

in: Nodos Adiionales

Finalmente se aaden K vrties, a

1

,a2

, . . . ,aK

, que se unen on los

subgrafos de la siguiente forma:

Para ada v V sea ev

[1], . . . ,ev

[rv

], la lista de las aristas quelo ontienen en el orden que se onsideraron anteriormente

Se aade una arista de ada uno de los a

i

a (v ,ev

[1],1)(vrtie extremo de la primera arista orrespondiente a v)

Se aade una arista de ada uno de los a

i

a (v ,ev

[rv

],6)(vrtie extremo de la ltima arista orrespondiente a v)


Redu

in: Nodos Adiionales

(v ,ev

[1],1)

(v ,ev

[rv

],6)

a

i


Ejemplo

u

v w

e

1

e

2

e

3

K = 2


Ejemplo

u

v w

e

1

e

2

e

3

K = 2

e

1

u

v

e

2

v w

e

3

u

w


Ejemplo

u

v w

e

1

e

2

e

3

K = 2

e

1

u

v

e

2

v w

e

3

u

w

Nodo u: aristas e

1

,e3

Nodo v : aristas e

1

,e2

Nodo w : aristas e

2

,e3


Ejemplo

u

v w

e

1

e

2

e

3

K = 2

e

1

u

v

e

2

v w

e

3

u

w

Nodo u: aristas e

1

,e3

Nodo v : aristas e

1

,e2

Nodo w : aristas e

2

,e3

a

1

a

2


Equivalenia de Soluiones

u

v w

e

1

e

2

e

3

K = 2

e

1

u

v

e

2

v w

e

3

u

w

Nodo u: aristas e

1

,e3

Nodo v : aristas e

1

,e2

Nodo w : aristas e

2

,e3

a

1

a

2


Equivalenia de Soluiones: CV CH

Sean K vrties que forman un ubrimiento por vrties:

{v1

, . . . ,vK

}. Un iruito hamiltoniano se puede onstruir de lasiguiente forma omenzando en a

1

:

Si estamos en a

i

, desde l reorremos todos los grafos

asoiados a las aristas de v

i

: para ada arista si tiene slo a v

i

en el ubrimiento por vrties, se reorre el subgrafo de esa

arista de forma ompleta; si la arista ontiene los dos extremos

en el ubrimiento, se reorre slo la mitad de los vrties del

subgrafo orrespondientes a v

i

. Desde el ltimo subgrafo

volvemos a a

i+1, repitiendo el proeso, exepto para aK que

volvemos a a

1

y termina el iruito.


Equivalenia de Soluiones: CH CV

Si tenemos un iruito hamiltoniano, tendr la forma

a

1

a

2

a

3

a

K

Desde ada a

i

al siguiente a

i+1 (y tambin desde aK a a1)

reorremos los subgrafos. En ada uno de esos reorridos entramos

y salimos en los subgrafos por un mismo vrtie. Sea este vrtie v

i

(v

K

si es el reorrido de a

K

a a

1

).

El onjunto {v1

, . . . ,vK

} es un ubrimiento por vrties, ya que

ada arista tiene un subgrafo en el que, al menos, el iruito

hamiltoniano entra una vez. El vrtie por el que se entra (que ha

de oinidir on el de salida) ha de estar en el ubrimiento por

vrties.


El Problema de la Partiin

Datos: Un onjunto A y un tamao para ada uno de sus

elementos:

s : A NPregunta: Determinar si existe un A

A tal que se verique:

aA

s(a) = aAA

s(a)

Este es laramente un problema de NP: se eligen de forma no

determinista los elementos de A

y en tiempo polinmio se

determina si los tamaos totales de los onjuntos A

y AA son

iguales.

Para demostrar que es ompleto para NP, vamos a reduir el

ubrimiento por tripletas (ACTRI) a este problema.


Redu

in, ACTRI PARTICION

Sea W ,X ,Y on |W |= |X |= |Y |= q y un subonjuntoM X Y Z un ejemplo del problema ACTRI, vamos a onstruiruna partiin equivalente.

Consideremos:

W = {w1

, . . . ,wq

}, X = {x1

, . . . ,xq

}Y = {y

1

, . . . ,yq

}M = {m

1

,m2

, . . . ,mk

}

El onjunto de la partiin, A, va a ontener k+2 elementos.Hay k elementos {a

1

, . . . ,ak

} que orresponden a las k tripletas deM.


Redu

in ACTRI PARTICION

Para ada tripleta m

i

= (wf (i),xg(i),yh(i)), se onsidera el elemento

a

i

on un peso:

s(ai

) = 2p(3qf (i))+2p(2qg(i))+2p(qh(i))

donde p = [log2

(k)]+1.En binario podemos ver el nmero en grupos de p posiiones. Cada grupo

orresponde a un elemento de W ,X o Y :

. . . . . . . . .

w

1

w

2

. . .w

q

x

1

x

2

. . .x

q

y

1

y

2

. . .y

q

Cada tripleta m

i

= (wf (i),xg(i),yh(i)) se orresponde on un nmero on

un 1 a la dereha de las zonas de w

f (i),xg(i),yh(i) y 0 en el resto.


Redu

in ACTRI PARTICION

Para ada tripleta m

i

= (wf (i),xg(i),yh(i)), se onsidera el elemento

a

i

on un peso:

s(ai

) = 2p(3qf (i))+2p(2qg(i))+2p(qh(i))

donde p = [log2

(k)]+1.En binario podemos ver el nmero en grupos de p posiiones. Cada grupo

orresponde a un elemento de W ,X o Y :

. . . . . . . . .

w

1

w

2

. . .w

q

x

1

x

2

. . .x

q

y

1

y

2

. . .y

q

1 1 1

Cada tripleta m

i

= (wf (i),xg(i),yh(i)) se orresponde on un nmero on

un 1 a la dereha de las zonas de w

f (i),xg(i),yh(i) y 0 en el resto.

Ejemplo: Tripleta: (w2

,x1

,yq

)


Redu

in ACTRI PARTICION

Si p = [log2

(k)] + 1, entones sumando k o menos unos nunaobtenemos un nmero on un 1 ms all de la posiin p+1

Sumando k o menos nmeros de los asoiados a las tripletas, nuna

pasa un 1 de la zona de un elemento a la zona de otro.

Sea B = 3q1j=0 2

p.j. Este nmero tiene un 1 a la dereha de ada

una de las zonas:

. . . . . . . . .

w

1

w

2

. . .w

q

x

1

x

2

. . .x

q

y

1

y

2

. . .y

q

11 1 1 1 1 1 1 1


Redu

in ACTRI PARTICION

Como una onsenuenia, para ada A

{a1

, . . . ,ak

}, tenemosque

aA

s(a) = B

si y solo si M

= {mi

: ai

A} es un reubrimiento por tripletas.

Aadimos dos nuevos elementos a A: b

1

y b

2

on pesos:

s(b1

) =(

ki=1 s(ai )

)s(b

2

) = 2B

Cada uno de estos pesos neesita, a lo ms, (3pq) bits. Se pueden

alular zona a zona de forma onseutiva.


Conjunto A

El onjunto A es igual a {a1

, . . . ,ak

,b1

,b2

}.

La suma de los pesos de sus elementos es

xA

s(x) =k

i=1

s(ai

)+ s(b1

)+ s(b2

) =

k

i=1

s(ai

)+k

i=1

s(ai

)+2B = 2k

i=1

s(ai

)+2B

Este onjunto se parte en dos mitades uando ada una pesa:

k

i=1

s(ai

)+B


Equivalenia de soluiones

Si la soluin es positiva al problema de la partiin, entones es

positiva a ACTRI

Supongamos A

A, tal que

aA

s(a) = aAA

s(a)

Entones ada una de estas sumas es ki=1 s(ai)+B . Uno de los

onjuntos (supongamos que es A

) debe de ontener b

1

y no b

2

.

La suma de los pesos de los elementos de A

distintos de b

1

tiene

que ser B .

Por tanto, las tripletas asoiadas a estos elementos son un

ubrimiento por tripletas del onjunto original.


Equivalenia de soluiones

Si la soluin es positiva a ACTRI, entones es positiva al problema

de la partiin

Si M

M un ubrimiento por tripletas.Entones, el onjunto A

= {b1

}{ai

: mi

M } representa unarespuesta positiva al problema de la partiin, ya que, al ser M

una

partiin, la suma de los pesos de estos elementos es

m

i

M s(ai) = B y, por tanto, la suma de los pesos de A es

(k

i=1

s(ai

)+B)

que es la mitad del total.


Problemas en NP

Sea una relain R AAR se die deidible polinomial si y solo si existe una mquina de

Turing determinstia M que deide en tiempo polinomial el

lenguaje:

{(x ,y) : R(x ,y)}

Se die que R est equilibrada polinomialmente si y solo si existe

un k 1 tal que si R(x ,y) entones |y | |xk |.

Teorema: Si L A, entones L NP si y solo si existe unarelain deidible polinomial y equilibrada polinomialmente tal que

L= {x : y A,R(x ,y)}.


Tnias de Redu

in

Del libro de Garey-Johnson:

Restri

in. Demostrando que un problema NP-ompleto es un

subproblema del que estamos onsiderando.

Reemplazamiento Loal. Haiendo una transformain de un

problema NP-ompleto elemento a elemento.

Reemplazamiento Loal on Refuerzo. Haiendo una

transformain de un problema NP-ompleto elemento a

elemento, pero aadiendo algunos elementos adiionales para

forzar la equivalenia de los problemas.

Diseo de Componentes. Distintos elementos del problema original

se transforman en distintos tipos de estrutura que se onetan on

otros elementos.


Tnia de la Restri

in

Si un problema 1

es NP y un subproblema suyo, 2

, es

NP-ompleto, entones 1

es NP-ompleto.

Esta es la tnia que se emple para demostrar que el problema

del iruito hamiltoniano en grafos dirigidos es NP-ompleto (el

problema del iruito hamiltoniano en grafos no-dirigidos es un aso

partiular suyo).


Ejemplo: Problema de la Mohila

Tenemos un onjunto nito de objetos U. Cada objeto, u, tiene un

tamao, s(u) N, y un valor v(u) N. Tenemos, adems, dosnmeros naturales: B (el tamao mximo) y K (el valor mnimo).

La pregunta es si existe un subonjunto de objetos U

U, tal que

uU

s(u) B , uA

v(u) K

El problema de la partiin es un aso partiular de este problema,

en el que s(u) = v(u),u y B = K = (1/2)uU s(u).


Asignain en un Multiproesador

Datos: Un onjunto A de tareas, ada tarea, a A, tiene unalongitud l(a) N. Tenemos, adems, un nmero de proesadores my un tiempo lmite, D N.Pregunta: Existe una partiin de A: {A

1

, . . . ,Am

} en msubonjuntos disjuntos, de manera que

max{ aA

i

l(a) : 1 i m} D

Si nos restringimos al aso m= 2 y D = 1/2aA l(a) obtenemos el

problema de la partiin.


Reemplazamiento Loal

Cada elemento de un problema NP-ompleto se transforma enuna estrutura del problema que estamos onsiderando .Ejemplo: Redu

in de SAT a 3-SAT


Partiin en Tringulos (PARTRI)

Se parte de un grafo G = (V ,E ) on un nmero de vrties|V |= 3q.La pregunta es si existe un partiin de V en q onjuntos disjuntos

de tamao 3: V

1

, . . . ,Vq

, de tal manera que si

V

i

= {Vi [1],Vi [2],Vi [3]}, entones los aros

(Vi [1],Vi [2]),(Vi [2],Vi [3]),(Vi [1],Vi [3]) E (los subonjuntos de

vrties son tringulos).

Este es un problema de NP, y se puede demostrar que es ompleto

reduiento 3-SET (ubrimiento por onjuntos de tamao 3).


Redu

in: 3-SET PARTRI

Sea X on |X |= 3q y C una familia de subonjuntos de treselementos de X .

Construimos el grafo G = (V ,E ) on un nmero de vrties|V |= 3q de la siguinete forma: todos los elementos de X sernvrties del grafo.

Para ada onjunto

i

={x

i

,yi

,zi

} C , aadimos9 nuevos vrties a V y el

siguiente subgrafo:

a

i

[3] ai

[9]

a

i

[6]

a

i

[1] ai

[2]

x

i

a

i

[4] ai

[5]

y

i

a

i

[7] ai

[8]

z

i



La equivalenia de las soluiones en ambos problemas se obtiene de

las dos formas que existen de elegir los tringulos en ada uno de

los subgrafos de G :

a

i

[3] ai

[9]

a

i

[6]

a

i

[1] ai

[2]

x

i

a

i

[4] ai

[5]

y

i

a

i

[7] ai

[8]

z

i






a

i

[3] ai

[9]

a

i

[6]

a

i

[1] ai

[2]

x

i

a

i

[4] ai

[5]

y

i

a

i

[7] ai

[8]

z

i

a

i

[3] ai

[9]

a

i

[6]

a

i

[1] ai

[2]

x

i

a

i

[4] ai

[5]

y

i

a

i

[7] ai

[8

z

i






a

i

[3] ai

[9]

a

i

[6]

a

i

[1] ai

[2]

x

i

a

i

[4] ai

[5]

y

i

a

i

[7] ai

[8]

z

i

a

i

[3] ai

[9]

a

i

[6]

a

i

[1] ai

[2]

x

i

a

i

[4] ai

[5]

y

i

a

i

[7] ai

[8

z

i

La primera orresponde al aso en que {xi

,yi

,zi

} est en el

ubrimiento C

, la segunda al aso en el que no est.


Reemplazamiento Loal on Refuerzo

Corresponde al aso en el que, adems de los elementos en que se

transforman los elementos de , se aaden algunos elementosadiionales para forzar la equivalenia de las soluiones.

Ejemplo: La redu

in del ubrimiento por tripletas al problema

de la partiin: ACTRI PARTICION.


Conjunto Mnimo de Tests (CMT)

Datos: Un onjunto nito A (posibles diagnstios), una familia

C de subonjuntos de A (posibles tests) y un entero J N querepresenta el nmero admisible de tests.

Pregunta: Existe una subfamilia de test C

C on |C | J ytal que para ada par de elementos distintos a

i

,aj

A, existe untest C que ontiene uno y slo uno de los elementos del par(un elemento, por ejemplo, a

i

est en y el otro fuera)?


Redu

in: ACTRI a CMT

Vamos a reduir ACTRI a este problema. Supongamos un ejemplo

de ACTRI on M W X Y y |W |= |X |= |Y |= q.Vamos a rear un ejemplo de este problema equivalente a l.

Haemos A=W X Y {w0

,x0

,y0

}C = {{w ,x ,y} : (w ,x ,y) M}{W {w

0

},X {x0

}}J = q+2


Diseo de Componentes

Distintas omponentes del problema a reduir se transforman endistintas estruturas de que se onetan de alguna forma paraforzar la equivalenia.

Ejemplos:

Cubrimiento por vrties

El iruito Hamiltoniano

La demostrain del teorema de Cook


Problemas

1

Camino ms largo Dado un grafo G = (V ,E ) y un enteropositivo K |V |, Contiene G un amino simple (que no pasedos vees por el mismo sitio) on K o ms aros?

2

Empaquetado de Conjuntos Dada una ole

in C de

onjuntos nitos y un entero K |C |, Existen K onjuntosdisjuntos en C?

3

Partiin en subgrafos hamiltonianos Dado un grafo

G = (V ,E ), y un entero positivo K |V |, Puedenpartiionarse los vrties de G en k K onjuntos disjuntosV

1

,V2

, . . . ,Vk

de tal forma que para todo 1 i k , Vi

ontiene un iruito hamiltoniano.


Problemas

4. Subgrafo omn maximal Dados los grafos

G

1

= (V1

,E1

),G2

= (V2

,E2

), y un entero positivo K , Existensubonjuntos E

1

E1

y E

2

E2

tales que |E 1

|= |E 2

| K ytal que los dos subgrafos G

1

= (V1

,E 1

) y G 2

= (V2

,E 2

) sonisomorfos?

5. Suma de uadrados mnima Dado un onjunto nito A y un

tamao s(a)> 0 para todo a A y dos enteros positivos K yJ Pueden partiionarse los elementos de A en K onjuntos

disjuntos, A

1

, . . . ,Ak

, de tal forma que Ki=1

(aA

i

s(a))2 J?


Problemas

8. Conjunto dominante Dado un grafo G = (V ,E ) y un enteropositivo K |V |, Existe un subonjunto V V tal que|V | K y tal que todo vrtie v V V est onetado onal menos un vrtie de V

?

15. Colorear grafos(3) Dado un grafo G = (V ,E ), Existe unafunin f : V {1,2,3}, tal que f (u) 6= f (v) para todos losaros {u,v} E?


Reduibilidad Turing

Reduibilidad Turing

Un problema se redue Turing a lo que se representa omo

T

si y solo si se puede resolver en tiempo polinmio mediante unalgoritmo que puede llamar a una funin que resuelve ontando

ada llamada omo un paso de lulo.

La reduibilidad Turing es un onepto ms dbil que el que hemos

visto de reduibilidad espaio logartmia: Si se redue a ,entones se puede onstruir una reduibilidad Turing.


Problemas NP-Difiles

Un problema es NP-difil si y solo si existe un problemaNP-ompleto que se puede reduir (Turing) a :

T

Teorema

Si un problema NP-difil se resuelve en tiempo polinmio entones

P = NP .

En este tema vamos a onsiderar problemas NP-difiles que tienen

una diultad similar a los NP-ompletos (existe redu

in Turing

entre ambos):

Clase Co-NP: Complementarios de los problemas de NP

Clase FNP: Problemas que busan una soluin, uando saber

si existe es NP.


La Clase Co-NP

CoNP = {L : L NP}

Ejemplo

Dado un onjunto de frmulas en lgia proposiional determinarsi son vlidas (se satisfaen para todas las asignaiones de valores de

verdad).

Ejemplo

Dado un grafo determinar si NO tiene un iruito hamiltoniano.

Estos problemas no estn en NP, lo que tienen es una Mquina

polinmia no determinista en la que la respuesta es armativa al

problema si TODAS las opiones responden SI.

Tampoo se reduen a los problemas NP on una transformain

espaio logartmia, ya que estas transformaiones exigen que las

respuestas a ambos problemas sean las mismas, pero si existen

redu

iones Turing entre los problemas de NP y los de CoNP.


Problemas CoNP Completos

Deniin

Un problema es CoNP Completo si y solo si est en la lase CoNP

y ualquier otro problema de CoNP se redue a l.

Teorema

L es NP Completo L es CoNP CompletoTeorema

Si un problema CoNP ompleto est en NP, entones CoNP = NP .

Teorema

Si P = NP , entones CoNP = NP


Estrutura de Clases

NP Co-NP

P

NP-Completos CoNP-Completos


Relaiones

Relain: Una relain sobre A

es un subonjunto R AA.

Si (x ,y) R , entones esribiremos R(x ,y).Si (x ,y) 6 R , entones esribiremos R(x ,y).Ejemplo

Conjunto de las lusulas y asignaiones de valores de verdad, tales que

las asignaiones de verdad haen que se satisfagan todas las lusulas.

Deniin

Una relain R sobre A

se die equilibrada polinmiamente si existe un

polinomio p tal que si R(x ,y) entones |y | p(|x |).

Deniin

Una relain R sobre A

se die deidible polinmiamente si existe un

algoritmo polinmio que deide para toda pareja (x ,y) si R(x ,y).


Problemas en CoNP

Teorema: Caraterizain de NP

Un lenguaje L A est en NP si y solo si existe una relain Rdeidible en tiempo polinmio y equilibrada polinmiamente tal

que

L= {x A : y A,R(x ,y)}

Teorema: Caraterizain de CoNP

Un lenguaje L A est en CoNP si y solo si existe una relainR deidible en tiempo polinmio y equilibrada polinmiamente tal

que

L= {x A : y A,R(x ,y)}


Primalidad

Este es una problema en CoNP

Es muy fil haer un algoritmo NP para el problema

omplementario: determinar si un nmero N es ompuesto.

Se determina un nmero en binario de longitud menor o igual

que la de N, se efeta la divisin de N por diho nmero. Si

la divisin es exata se die que es ompuesto. En aso

ontrario se die que no es ompuesto.

La primalidad tiene un algoritmo O(N), pero este algoritmo

es slo pseudo-polinmio (polinmio si se limita el mximo

de los nmeros).


Primalidad est en NP

Teorema

Un nmero p > 1 es primo si y solo si existe un nmero 1 < r < p

tal que r

p1 = 1 mod p y, adems, rp1q 6= 1 mod p, para todos los

divisores primos q de p1.Teorema: Teorema de Pratt

Primos est en NP.

Demostrain

Si p es primo, esto se puede ertiar on la existenia de un nmero r tal

que r

p1 = 1 mod p y que adems veriase rp1q 6= 1 mod p, para todos

los divisores primos q de p1.La omprobain de que r

p1 = 1 mod p se puede haer en tiempo poli-nomial en funin de la longitud de p, que es de orden l = log(p): Para

alular 3 r

p1, se alulan r

2, r4, . . . , r2l

. Esto tiene un orden de O(l3).r por s solo no es un ertiado: 20

211 = 1 mod 21 y 21 no es primo


Demostrain

Demostrain

El ertiado tiene que adjuntar todos los divisores primos de p1. Es deir onstar, en prinipio de r y una lista de divisores de

p1 : (q1

, . . . ,qk

). El omprobar que la lista es ompleta se hae pordivisiones suesivas de p1 entre estos nmeros y omprobando quede uno al nal.

Nos queda una uestin, mo sabemos que los nmeros (q1

, . . . ,qk

)son primos? Pues dando ertiados para ellos. Exepto para 2 que

no neesita ertiado.

El ertiado sera una estrutura reursiva: un ertiado del

nmero p sera r y una lista de divisores ompleta de p 1:(q

1

, . . . ,qk

), y ertiados de primalidad para ada uno de ellos.


Demostrain

Ejemplo

Cert(67) = ((67: 2 (2, 3, 11)), (3: 2 (2)), (11: 8 (2,5)), (5: 3 (2)))

La longitud del ertiado es de orden log

2(p).La longitud de un nmero y su lista es de orden log(p).El nmero de listas es de orden log(p).


Problemas de Funiones

Sea A un alfabeto y R una relain en A

A, el problema defunin asoiado a esta relain onsiste en dado un ejemplo

x A, alular{y tal que R(x ,y) si {z : R(x ,z)} 6= /0 si {z : R(x ,z)} = /0

Ejemplo

Dado un onjunto de lusulas alular una asignain de valores de

verdad, si existe, que satisfaga todas las lusulas.

Ejemplo

Dado un grafo alular un iruito hamiltoniano (si este existe)


La lase FNP

Caraterizain de NP

Un lenguaje L A est en NP si y solo si existe una relain Rdeidible en tiempo polinomial y equilibrada polinomialemente tal

que

L= {x A : y A,R(x ,y)}

Caraterizain de FNP

Un problema de funin est en FNP si y solo si est asoiado a

una relain R deidible en tiempo polinmio y equilibrada

polinmiamente.


La lase FP

FP

FP: La lase de problemas de funiones de FNP tales que existe

una mquina de Turing determinista que las alula en tiempo

polinmio.

FNPT

FNPT: La lase de los problema de FNP totales.

Si para todo x existe un y tal que R(x ,y)

Ejemplo

Dado un nmero p enontrar una desomposiin en nmeros primos

p = pk11

.pk22

. . . . .pkmm

on un ertiado de primalidad para ada nmero primo.

Seguro que existe, pero no es fil enontrarlo.


Redu

iones en FNP

Redu

iones en FNP

Un problema de funiones se redue a un problema si y solo si,existen funiones R y S alulables en espaio logartmio, tal que

para toda adena x y z ourre lo siguiente: Si x es un ejemplo de entones R(x) es un ejemplo de . Adems si z es una soluin

orreta de R(x) entones S(z) es una soluin orreta de x.

Problemas FNP-ompletos

Con esto podemos denir el onepto de ompletitud. Un problema

es FNP-ompleto si y so si est en FNP y ualquier otro problema

de esta lase se puede reduir a este problema.

Ejemplo

Un problema FNP-ompleto: FSAT

Dado un onjunto de lusulas, enontrar, si existe, una asignain

de valores de verdad para la que todas las lusulas sean verdaderas.


Teorema

Teorema

NP = P si y solo si FNP = FP

Demostrain

La demostrain es muy senilla: si FNP = FP entones es inmediato queNP = P .Para la impliain inversa, supongamos que NP = P , entones la onsis-tenia se puede sesolver en tiempo polinmio.

Ahora, vamos a enontrar una asignain (si existe) en tiempo polinmio.

Supongamos que tenemos un onjunto de lusulas C . Elegimos una vari-

able x

n

, y onsideramos C

1

que es C suponiendo x

n

verdadero (todas las

lusulas on x

n

se eliminan y en aquellas en las que apareza xn

se

elimina este literal) y C

2

que es C suponiendo x

n

falso.


Demostrain

Demostrain

Si C

1

y C

2

son inonsistentes, C tambin lo es y no existe la

asignain de valores de verdad.

Si C

1

es onsistente, entones si existe la asignain. Haemos x

n

verdadero y alulamos el valor de verdad de las otras variables,

repitiendo de forma reursiva estos pasos sobre C

1

.

Si C

2

es onsistente, entones si existe la asignain. Haemos x

n

falso y alulamos el valor de verdad de las otras variables,

repitiendo de forma reursiva estos pasos sobre C

2

.


El Viajante de Comerio

Si podisemos resolver el problema del viajante en versin de

deisin en tiempo polinmio, podramos resolver el problema de

enontrar el iruito ptimo en tiempo polinmio.

Primero se obtendra una ota superior R para el oste del

iruito ptimo: el valor de distania ms grande, multipliado

por el nmero de iudades.

Despus realizando una bsqueda binaria en el intervalo [0,R ]mediante suesivas llamadas al problema de deisin se alula

el valor del iruito ptimo: K .


El Viajante de Comerio (Cont.)

A ontinuain para ada par de iudades se hae lo siguiente:

si el oste de ir de una a otra es , se llama al problema de deisin on

presupuesto K e inrementando el oste de a +1.

Si la respuesta es positiva, no es neesario usar este aro en el

ptimo. Entones se deja el oste a +1 y se ontina.

Si la respuesta es negativa, este aro s se usa. Dejamos el oste al

mismo valor que estaba antes y ontinuamos.

Al nal obtenemos todos los aros de un iruito ptimo.

Si en el primer aso se volviera al oste original, en vez de dejarlo en

+1, puede que no se obtenga el ptimo, ya que si hay dos iruitosptimos ninguno de los aros de ambos iruitos son neesarios.


Problemas de Funiones Totales

Son los de la lase FNPT

Un problema est en esta lase si para todo x existe un y tal que

R(x ,y).Es deir, el problema de deisin no es difil: siempre tiene una

respuesta positiva.

Eso no quiere deir que el problema sea fil, ya que enontrar la

soluin no tiene por qu ser inmediato.

Muhos de ellos no se onoe que estn en FP.


La Red Feliz

Datos: Un grafo (V ,E ) y un peso w (que puede ser positivo onegativo para ada aro).

1

2

2 -1

-2

1

Un estado es una apliain s : V {1,1} (-1 , 1 ).El nodo i es feliz si

s(i). (i ,j)E

s(j).w(i , j) 0

Soluin: Un estado s en el que todos los nodos sean felies.


La Red Feliz

El problema est en FNP y es total.

Consideremos

(s) = (i ,j)E

s(i)s(j)w(i , j)

Si tenemos un nodo infeliz, i , en s, entones

s(i). (i ,j)E

s(j).w(i , j) = < 0

Sea el estado s

igual que s, exepto que s

(i) =s(i).Entones (s ) = (s)+2.Como el valor de no puede reer indenidamente, este proesotiene que terminar on una red feliz.

Este algoritmo es pseudo polinmio, pero no polinmio.


Ejemplo

1

2

2 -1

-2

1

=1


Ejemplo

1

2

2 -1

-2

1

=1Cambiamos un nodo infeliz:

1

2

2 -1

-2

1

= 7La red ya es feliz.


Estrutura de Clases de Funiones

FNP

FP

TFNP


El Proyeto Mega-Math

Es un proyeto de Los Alamos National Laboratory. Se puede

onsultar en la dire

in:

http://www.3.lanl.gov/mega-math/

Objetivo: Introduir oneptos de matemtias importantes y no

habituales a esolares.

Base: Historias que motivan y que forman parte de la investigain

atual y en las que los alumnos puedan apliar su reatividad.


Historias

Colorear mapas

Hotel innito

Juegos sobre grafos

Juegos de lgia y razonamiento

Juegos on nudos

Algoritmos en grafos

Reonoimiento de patrones


EL Problema de Loalizain

Tenemos un mapa de una iudad representado por un grafo en el

que las alles son lneas y los puntos son rues.

Problema: Queremos oloar un nmero mnimo de heladeras en

las esquinas, de tal manera que desde ada esquina, haya que

atravesar, a lo ms, una alle para llegar a una heladera.


Loalizain: Ejemplo

Trabajar busando soluiones: olorear las esquinas on heladras

on un olor y las ubiertas on otro.

Indiar que el nmero mnimo es 6


Loalizain: Ejemplo

Trabajar busando soluiones: olorear las esquinas on heladras

on un olor y las ubiertas on otro.

Indiar que el nmero mnimo es 6

Mostrar la soluin mnima


Disusin

Mostrar omo se pueden onstruir problemas difiles a partir

de una soluin.

Hablar de funiones difiles de invertir.

Puede haber otras soluiones disti

tema 4 modelos de computacion

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