t04.2013.modelos de computacion-color

7/23/2019 t04.2013.Modelos de Computacion-color

http://slidepdf.com/reader/full/t042013modelos-de-computacion-color 1/69

introduccióna los modelos

de computación

LENGUAJESLENGUAJESFORMALESFORMALES

Y YAUTAUTÓÓMATASMATAS

4. introducción a los modelos de computación

CONTENIDO

Funciones: propiedades, comparación deltamaño de conjuntos, cantidad de

funciones [H2.3], funciones de cifrados,

funciones hash [H2.3], funcionesrecursivas [H3.2]. Lógica como modelo de

computación [G1.5]. Lenguajes Formales:

características, descripciones,operaciones, usos [G8.4]. Conjuntos

contables [H2.4]. Diagonalización [H2.4].

Límites de la computabilidad [H2.4.3].

11




de computación



bibliografía

GERSTING, JUDITH L. “Mathematical

Structures for Computer Science: A

Modern Approach to Discrete

Mathematics”. W H Freeman & Co,

2006.

HEIN, JAMES. Discrete Structures,

Logic and Computability. Jones andBartlett Publishers. 1995 - 2001

22




de computación



propiedades de funciones (repaso)

Sea f: A→B una función. Diremos que f

es inyectiva si y sólo si

∀x,y∈ A x≠y → f(x) ≠ f(y).

Es decir, a elementos distintos del

conjunto de partida le correspondenelementos distintos del codominio,

o lo que

es lo mismo∀x,y∈ A f(x) = f(y) → x=y

33




de computación




Sea f: A→B una función. Diremos que f

es sobreyectiva si y sólo si

∀y∈B ∃x ∈ A : f(x) = y.

Es decir, la imagen de f es igual al

codominio de la función.

44




de computación




Una función es biyectiva si es inyectiva

y sobreyectiva a la vez.

Si f es biyectiva, entonces su inversa f -1

es también una función y además

biyectiva.

55




de computación




Ejemplos:

La función f : R→

Z definida comof ( x ) = ┌ x +1 ┐

es sobreyectiva porque para cualquier

y ∈ Z existe un número en R , y – 1 tal

que f (y – 1) = y .

Pero f no es inyectiva porque, porejemplo, f (2.5) = f (2.6).

66




de computación




Ejemplos:La función f : Z → Z definida como

f ( x ) = x +1

es sobreyectiva porque para cualquier

y ∈ Z existe un número en Z , y – 1 talque f (y – 1) = y .

Además f es inyectiva porque, ∀x,y∈ A

x≠y → f(x) ≠ f(y).Concluimos que f es biyectiva.

La inversa de f, f -1: Z → Z se define

como f -1 (y) = y-1.

77




de computación




Ejercicios

Cuáles de las siguientes funciones soninyectivas, sobreyectivas o biyectivas

(si es biyectiva encontrar la inversa):

1. f :N 3 →N 3 definida como f ( x )=2 x mod 3.2. Sea Σ={a,b}

f:Σ* →

N definida como f(w)=|w|.f:Σ* → Z definida como f(w)=|w|.

f:Σ* → Σ* definida como f(w)=aw

88




de computación



la función modulo e inversas

Lema:Sea n > 1 y sea f : N n→ N n definida

como sigue, donde a y b son enteros:

f ( x ) = (ax + b) mod n.

Entonces f es una biyección si y sólo siel mcd(a,n)=1. Cuando esto ocurre, lafunción inversa f -1 se define como

f -1

(x)=(kx+c) mod ndonde c es un entero tal que f(c)=0 y k

es un entero tal que 1 = ak + nm para

algún entero m.

99




de computación



principio del palomar

Si m palomas vuelan a

un palomar que

contiene n celdasdonde m> n entonces

una celda tendrá dos

o más palomas

Si A y B son conjuntos finitos con |A| > |B|,

entonces toda función de A a B mapeaal menos dos elementos de A a un únicoelemento de B. Esto es lo mismo quedecir que no se puede definir una

función inyectiva de A a B.

1010




de computación



principio del palomar

Ejemplos:

1.

El juego de la silla, cuando juegan mpersonas y quedan m-1 sillas.

2. En un grupo de 8 personas dos

deben haber nacido el mismo día dela semana.

3. En un conjunto de n+1 enteros

existen (al menos) dos que tendrán el

mismo resto al ser divididos por n.

1111




de computación



funciones de cifrado

Función de cifrado para traducir letras de

un alfabeto, donde cada letra se

codifica con un número del 0 al 26:

f(x)=(x+5) mod 27

La función f “corre” la letra 5 posiciones.Ejemplo:

Codificamos la palabra hola como mtpf

1212




de computación




Preguntas:

¿Es f una biyección?

¿Cómo decodificamos el mensaje?

f −1( x ) = ( x – 5) mod 27.

Sabemos f(26)=4

f −1(4) = (4 – 5) mod 27 =(–1) mod 27 =26

1313




de computación



criptoanálisis y funciones de cifrado

Criptoanálisis (del griego

kryptós, "escondido" y

analýein, "desatar") es elestudio de los métodos

para obtener el sentido de

una información cifrada,sin acceso a la información

secreta requerida para

obtener este sentidonormalmente.

Fialka (M-125)fuente: wikipedia

1414




de computación




La función f(x)=(x+5) mod 27 es un ejemplo

de función de cifrado aditiva.

Las funciones de cifrado aditivas sonmonoalfabética: un carácter del alfabeto es

siempre reemplazado por un mismo carácter

del alfabeto.Dado mtpf podemos deducir fácilmente quecodifica la palabra hola.

Otra funciones de cifrado monoalfabéticas sonlas funciones de cifrado multiplicativas.

Ejemplo: g(x) = 3x mod 27

¿Es g una biyección?

1515




de computación




Otro ejemplo de funciones de cifrado

monoalfabéticas son las funciones de

cifrado afines

Utilizan un par de claves: (M,A)

Ejemplo:clave (4,5)

f(x) =(4x + 5) mod 27.

Pregunta:

¿Cómo desciframos los mensajes?

1616




de computación



funciones de cifrado y puntos fijos

Lema

Sea n > 1 y sea f : N n → N

ndefinida

como sigue donde a y b son enteros

f ( x ) = (ax + b) mod n.

Entonces f no tiene puntos fijos si y sólosi mcd(a – 1, n) no divide a b.

1717




de computación



funciones de cifrado y puntos fijos

Ejemplo

La función de cifrado

f(x)=(4x + 5) mod 27

no tiene puntos fijos porque:

mcd(4-1,27)=mcd(3,27)=3, y 3 no dividea 5

Por otra parte, la función de cifradof(x)=(4x + 6) mod 27

tiene puntos fijos. ¿Cuáles son?

1818




de computación



funciones hash

Una función hash es una función

que mapea un conjunto S declaves a un conjunto finito de

índices 0, 1, . . . , n – 1 de una

tabla.

Una tabla cuya información seencuentra utilizando una función

de hash se denomina tabla hash.

1919




de computación



funciones hash

Ejemplo:

Mapear las abreviaturas de los meses

del año utilizando la función de hash f:

S → {0,1,…,11} de la siguiente

manera.f(XYZ) = (ord(X)+ord(Y)+ord(Z)) mod 12

donde ord(X) el código ASCII de X.

2020




de computación



funciones hash

Colisiones:

¿Cómo asignar un nuevo valor?

Sondeo Lineal:Buscar hasta encontrar un espacio libre:

(k + 1) mod n, (k + 2) mod n, …, (k + n) mod n.

2121




de computación



funciones hash

Preguntas:

¿Es posible encontrar una función inyectiva de

tal manera que no existan colisiones?

¿Si incrementamos el tamaño de la tabla,

sería más simple encontrar una función

inyectiva?

¿Si el tamaño de la tabla es incrementado,

podemos dispersar los elementos de tal

manera que las colisiones puedan serresueltas en menor tiempo?

2222




de computación



funciones hash

Sondeo lineal utilizando huecos (gaps)Buscar hasta encontrar un espacio libre:

(k + g ) mod n,(k + 2g ) mod n,...,(k + ng ) mod n.

Ejemplos:

Para n = 12 y g = 4k = 7:

11, 3, 7, 11, 3, 7, 11, 3, 7, 11, 3, 7.

Para n = 12 y g = 5

k=7

0, 5, 10, 3, 8, 1, 6, 11, 4, 9, 2, 7.

Si queremosencontrar unabiyecciónnecesitamosmcd(g,n)=1(1≤g<n)

2323




de computación



funciones hash

Aplicaciones de las funciones hash:

Acceso rápido a archivos.

Identificar archivos (por ejemplo, usado

en sistemas P2P).

Corroborar que un archivo no hayacambiado (test de integridad).

2424




de computación



funciones recursivas sobre naturales(tema a verse en clase práctica)

Sea suc la función sucesor

suc es tal que suc(x) = x+1.

Definición recursiva de suma

Podemos definir la función sumarecursivamente como sigue:

suma(m,0) = m

suma (m, n+1) = suc (suma (m, n))

2525




de computación




Definición recursiva de producto:

prod(n,0) = 0

prod(m, n+1) = suma (m,prod(m, n))

Definición recursiva de exponenciación:

exp(m,0) = 1

exp(m, n+1) = prod(m,exp(m, n))

Nota: usaremos +,* y ↑ para denotar suma,producto y exponenciación,

respectivamente.

2626




de computación




Suma de números impares

f (n)=1 + 3 + ··· + (2n + 1)

=(1 + 3 + ··· + (2n − 1)) + (2n + 1)

=(1 + 3 + ··· + 2(n − 1) + 1) + (2n +1)

= f (n − 1) + 2n + 1.

Definición recursiva de f

f (0) = 1,f (n + 1) = f (n) + 2n + 3.

2727




de computación




Definición recursiva de fibonacci

fib(0) = 0,

fib(1) = 1,

fib(n+2 ) = fib(n+1) + fib(n)2828




de computación



funciones recursivas sobre cadenas(tema a verse en clase práctica)

Al trabajar con cadenas, asumiremos

que nuestro alfabeto está compuesto

sólo por los símbolos a y b.

Sea complemento una función definida

sobre cadenas tal que transforma lasa’s en b’s y viceversa.

Definición recursiva de complemento

comp(λ) = λcomp(a.w) = b.comp(w)

comp(b.w) = a.comp(w)

2929




de computación



funciones recursivas sobre listas(tema a verse en clase práctica)

Notación

L = [] representa la lista vacía

L = x :: T representa la lista L con

cabeza (primer elemento) x y cola T.

Definición recursiva de longitud longitud ([] ) = 0

longitud (a::T) = 1 + longitud (T) .

3030




de computación



funciones recursivas sobre listas(tema a verse en clase práctica)

pares([a, b, c], [1, 2, 3]) = [(a, 1), (b, 2),

(c, 3)]

Definición recursiva de pares

pares ([ ] ,[ ] ) =[ ] ,pares (a :: T, b :: T’) = (a, b) :: pares(T,T’) .

3131




de computación



lenguajes formales: definiciones básicas

Un alfabeto (o vocabulario) Σ es unconjunto finito no vacío de símbolos.

Una cadena sobre Σ es una secuenciafinita de símbolos de Σ.

Σ* es el conjunto de todas las cadenas

sobre Σ.Un lenguajes sobre Σ es un

subconjunto de Σ*.Una gramática para un lenguaje puede

ser descripta definiendo su procesogenerativo.

3232




de computación



gramáticas para lenguajes formales

Una gramática estructura de frase(tipo 0) es una 4-tupla

G= (V N , V T , S , P ), donde V N = conjunto de símbolos no terminales.

V T = conjunto de símbolos terminales.

S = símbolo inicial de la gramática.

P = conjunto finito de producciones de laforma α → β donde α es una cadena

sobre V N UV T con al menos un símbolo deV N y β es una cadena sobre V N UV T.

(usamos α → λ cuando β es la cadena

nula)

3333




de computación



derivaciones

Sea G=(V N ,V T , S , P ) y sean w 1 y w 2cadenas sobre V N U V T .

Decimos que w 1 deriva directamente

w 2, y lo notamos w 1 ⇒ w 2 si

α → β es una producción en P, w 1 contiene una instancia de α ,

w 2 es obtenida a partir de w 1reemplazando esa instancia de α con

β .

3434




de computación



derivaciones

Si w 1,w 2,...,w n son cadenas sobre V N UV T

y w 1 ⇒ w 2, w 2 ⇒ w 3,... w n−1⇒ w n,

entonces w 1 genera (deriva) w n,

Se escribe w 1 ⇒ w n

(por convención, w 1⇒

w 1)

+

*3535




de computación



lenguaje formal

Dada una gramática G, el lenguaje L

generado por G , denotado L(G), es el

conjunto L = {w ∈ V T * | S ⇒ w }.

En otras palabras, L es el conjunto de

todas las cadenas de terminalesgeneradas a partir de S.

Observación: Una vez que una cadena

w de terminales ha sido obtenida,ninguna producción puede ser aplicada

a w, y w no puede generar otras

palabras.

+

3636




de computación



ejemplo de derivación

Sea L = {0 n1n ⏐ n ≥ 1}.

Una gramática para L es G=(V N ,V T , S,

P ) donde V N = {S}, V T = {0, 1}, y P consiste de las siguientesproducciones:

1. S → 0S12. S → 01

Podemos generar 0313 como sigue:

S ⇒ 0S1⇒ 00S11⇒ 000111

3737




de computación




Sea L = {anbnc n ⏐ n ≥ 1}.

Una gramática para L es G=(V N ,V T , S,

P ) donde V N = {S, B, C }, V T = {a, b, c },y P consiste de las siguientesproducciones:

1. S → aSBC 2. S → aBC 3. CB → BC

4. aB → ab5. bB → bb6. bC → bc

7. cC → cc

3838




de computación




Podemos generar la cadena a2b2c 2

como sigue

S ⇒ aSBC

⇒ aaBCBC

⇒ aaBBCC ⇒ aabBCC

⇒aabbCC ⇒ aabbcC

⇒ aabbcc

3939




de computación



clases de gramáticas

Estructura de frase (tipo 0): sinrestricciones.

Sensible al contexto (tipo 1): paracada producción α → β (excepto S→ λ),|α | ≤ | β |.

Libre de contexto (tipo 2): para cadaproducción α → β (excepto S→λ),α ∈V N .

Regular (tipo 3) para cada producciónα → β (excepto S→λ), α ∈ V N y β es dela forma t o tW, donde t ∈ V T y W ∈ V N .

4040




de computación




Ejercicios

Determinar qué lenguaje genera cada

una de las siguientes gramáticas

G=(V N ,V T , S , P ) . Determinar su tipo.

1)V N = {S},

V T = ∅

P: S→ λ

4141




de computación




2)

V N = {S}

V T = ∅

P = ∅

3)

V N = {S}

V T = {a}P : S → a | aS

4242




de computación




4)

V N = {S,A},

V T = {a}

P : S → λ | aA

A → aS

5)

V N = {S},V T = {a,b}

P : S → λ | SS | aSb | bSa

4343




de computación




6)

V N = {S},

V T = {a,b}

P : S → aS

aS → bbb7)

V N = {S},

V T = {a,b}P : S → aS

aS → b

4444




de computación



gramáticas y lenguajes

Un lenguaje se dice de tipo N si puede ser

generado por una gramática de tipo N

tipo 3

tipo 2

tipo1

tipo 0

Jerarquía de Chomsky

Noam Chomsky(1928-)

4545




de computación



dispositivos computacionales

El dispositivo computacional más general se

llama máquina de Turing (se verá en

Teoría de Computabilidad) y se correspondecon los lenguajes de tipo 0.

Los lenguajes reconocidos por máquinas de

Turing son los lenguajes de tipo 0.El dispositivo computacional más básico se

llama autómata finito y se corresponde con

los lenguajes de tipo 3.

4646




de computación



dispositivos computacionales

Existen dispositivos computacionales

con capacidad intermedia entre

aquellos reconocidos por autómatasfinitos y máquinas de Turing (se verán

en Teoría de Computabilidad):

Autómatas a Pila para lenguajes de

tipo 2

Máquinas de Turing acotadaslinealmente para lenguajes de tipo 1.

4747

i b l j




de computación



operaciones sobre lenguajes

Los lenguajes son conjuntos (finitos o

infinitos) de cadenas y por tal motivo

podemos operar sobre ellos:Operaciones:

unión intersección

complemento

concatenación

estrella de Kleene

4848

i




de computación



operaciones

Sean L1 y L2 dos lenguajes sobre un

alfabeto Σ :

L1 ∪ L2 = {w | w ∈ L1 ó w ∈ L2}

L1 ∩ L2 = {w | w ∈ L1 y w ∈ L2}

L1’ = {w | w ∈ Σ* y w ∉ L1}L1 ° L2 = {w1w2 | w1∈ L1 y w2∈ L2}

L1* = {w1w

2… w

n| w

i∈ L1, n

≥0}

4949

i




de computación



operaciones

Ejercicios

Sea Σ = {a,b} y los siguientes lenguajes

definidos sobre Σ

Sea L1 = {anbn | n > 0} y sea L2 = {bn | n > 0}

Identificar:

L1 ∪ L2

L1 ∩ L2

L1’ y L2’

L1 ° L2

L1* y L2*

5050

gramáticas regulares




de computación




Las gramáticas regulares sirven para

generar:

Cualquier lenguaje finito (aunquepuede volverse una tarea tediosa).

Lenguajes infinitos que presentanciertas regularidades que pueden ser

expresada de manera sencilla

utilizando las llamadas expresionesregulares (como veremos más

adelante)

5151





de computación




Ejemplos de lenguajes que pueden ser

generados por gramáticas regulares:

L=∅. El lenguaje vacío.

L=Σ*. para cualquier Σ. El lenguaje

universal. L={w| w ∈ {a,b}* donde w tiene m a’s

seguidas de n b’s para m,n >0}.

L={w| w ∈ {0,1}* donde w tieneexactamente tres 0’s y tres 1’s}.

5252

gramáticas libres de contexto




de computación




Las gramáticas libres de contexto tienen

ciertas características destacadas:

Son sencillas, reemplazan un símbolopor vez.

Pueden ser utilizadas para describir lasintaxis de los lenguajes de

programación.

La derivación de una gramática librede contexto puede ser vista como un

árbol de derivación.

5353





de computación




Ejemplo de lenguajes que pueden sergenerados por gramáticas libres de

contexto: Todos los que pueden ser generados

por gramáticas regulares

L ={anbn| n > 0} L={w|w∈{(,)}* donde los paréntesis

están balanceados}

L={w| w ∈{a,b}* y w=wr }.Observación: Si w = w1w2…wn,wi ∈{a,b}, entonces wr = wnwn-1…w1

5454

conjuntos contables




de computación



(se verá al final del curso)

Sean A y B conjuntos. Si existe una

biyección entre A y B denotaremos

este hecho escribiendo|A| = |B|.

En este caso diremos que A y B tienen elmismo tamaño o la misma cardinalidad

o que son equipotentes.

5555

conjuntos contables




de computación




Cardinalidad de un conjunto finito

¿Cuál es la cardinalidad del conjunto A

definido como sigue?

A = {( x + 1)3 | 1 ≤ ( x + 1)3 ≤ 3000, x ∈ N}

Existe una biyección f :{0, 1, . . . , 13} → A

donde f ( x ) = ( x + 1)3.

Por lo tanto

| A| = |{0, 1, . . ., 13}|= 14.

5656

conjuntos contables( á l fi l d l )




de computación




Cardinalidad de un conjunto infinito

Sea Impar el conjunto de números

naturales impares.

Sea f la función f : N → Impar definida

como f ( x ) = 2 x + 1. Dado que f es unabiyección, podemos concluir que el

conjunto Impar y N tienen el mismo

tamaño. Es decir, |Impar| = |N|.

5757





de computación




Un conjunto se dice contable si es finitoo si existe una biyección entre el

mismo y N. En el último caso se diceque el conjunto es infinitamentecontable.

En términos de tamaño decimos que unconjunto S es contable si

|S| = |{0, 1, . . . , n – 1}|

para algún número natural n o |S| = |N|.Si un conjunto no es contable, decimos

que es incontable.

5858





de computación




Propiedades de conjuntos contables

a. Todo subconjunto de N es contable.

b. S es contable si y sólo si |S| ≤ |N|.

c. Cualquier subconjunto de un conjunto

contable es contable.d. Cualquier imagen de un conjunto

contable es contable.

5959

conjuntos contables(se erá al final del c rso)




de computación




Teorema (Hein página 117-118)

N N es un conjunto contable.

Prueba:Se describe una biyección como sigue

(0, 0), ↔ 0,(0, 1), (1, 0), ↔ 1, 2

(0, 2), (1, 1), (2, 0),↔

3, 4, 5,

(0, n), · · · ↔ (n2 + n) / 2, · · ·M

M

M

M

clave: f(x,y) =

(( x + y )2 + 3 x + y)/ 2

6060

conjuntos contables(se verá al final del curso)




de computación




Teorema (Hein, página 118)Si S0, S1, …, Sn, … es una secuencia de

conjuntos contables. Entonces la uniónS0 ∪ S1 ∪ … ∪ Sn ∪ …

es un conjunto contable.

Ejemplos de conjuntos contables:

Los números racionales El conjunto Σ* de cadenas sobre un

alfabeto finito Σ.

clave: asociar cada tupla (m, n) en N × N con unelemento x mn en la unión de los conjuntos dados.

6161

diagonalización(se verá al final del curso)




de computación




Sea A un alfabeto con dos o más símbolos y seaS0, S1, …, Sn, … un listado contable desecuencias de la forma Sn =(an0, an1, …, ann, …),

donde ani∈ A. Las secuencias son listadas comolas filas de la siguiente matriz infinita

entonces existe una secuencia S=(a0, a1, …, an,

…) sobre A que no está en la lista original.

6262

diagonalización(se verá al final del curso)




de computación




Podemos construir S a partir de la lista de

elementos diagonales (a00, a11, …, ann, …)

cambiando cada elemento de tal manera que

an≠ ann para cada n. Entonces S difiere de cada

S0 en el elemento n-ésimo.

Por ejemplo, tomando dos elementos x,y ∈ Adefinimos

⎩⎨⎧

≠

==

ysi y

ysi x

nn

nn

na

aa

6363

conjuntos incontables(se verá al final del curso)




de computación




Ejercicio

Sea (0, 1) = { x ∈ R | 0 < x < 1} y sea R +

el conjunto de reales positivos.Mostrar que la función f : (0, 1) → R +

definida como

es una biyección.

x 1

x f(x)

−=

6464





de computación




Lema (Hein, página 120)Los números reales son incontables

Prueba

Es suficiente probar que U = (0,1) es incontable. Asumamos por el absurdo que U es contable.

Entonces podemos listar todos los números entre 0y 1 como una secuencia contable r 0,r 1,r 2,… r n, …

Cada número real entre 0 y 1 puede serrepresentado como un infinito decimal. Entoncespara cada n existe una representaciónr n = 0.d n0 d n1. . . d nn. . . , donde cada d ni es un dígitodecimal. Dado que r n puede representarse por la

secuencia (0.d n0 d n1. . . d nn. . . ), entonces, pordiagonalización podemos concluir que existe undecimal infinito que no está en la lista (ver Hein).

Concluimos que U es incontable y por lo tanto R esincontable.

6565





de computación




Lema (Hein, página 121)El conjunto F de funciones de N en N es

incontable

Prueba Asumamos por el absurdo que F es contable.

Entonces podemos listar todas las funciones

de N en N como f 0 ,f 1,f 2 ,… f n, …Cada función f n puede ser representada porla secuencia de sus valores (f n(0)f n(1). . .f n(n). . . ), entonces, por diagonalización,

podemos concluir que existe una funciónque no está en la lista (ver construcción enHein).

Concluimos que F es incontable.

6666

límites de la computabilidad(se verá al final del curso)




de computación




Teorema (Hein, página 122)El conjunto de programas que pueden ser

escritos utilizando un lenguajes deprogramación es infinitamente contable.

Prueba:Cada programa es una cadena finita de

símbolos sobre un alfabeto finito fijo. Sea P nel conjunto de todos los programas que soncadenas de longitud n sobre A. El conjunto

de todos los programas es la unión de losconjuntos P 0, P 1, … , P n, … Dado que cadaP n es finito y por lo tanto contable, podemosconcluir que la unión es contable.

6767





de computación




Existe “sólo” un número contable de

programas de computadora. Por lo

tanto existen límites sobre lo quepuede ser computado.

Ejemplos

Dado que existe un número incontable

de funciones de N → N no todas son

computables. Existen programa paracalcular sólo un conjunto contable de

estas funciones.

6868





de computación



( )

Ejemplos (cont.)

No es posible computar cualquier real hastaun número arbitrario de cifras decimales. Larazón es que existe un número contable deprogramas y un número incontable dereales.

Si extraemos los reales computables de R,el conjunto restante sigue siendo incontable.¿Por qué?

Los números racionales pueden sercomputados.

Algunos números irracionales pueden sercomputados (ejemplo:

π).

6969

t04.2013.modelos de computacion-color

Documents