tema 3 - 1. repaso de potencias · pedro ramos. matem aticas i. grado de educaci on primaria....

Pedro Ramos. Matematicas I. Grado de Educacion Primaria. Universidad de Alcala. Curso 2015-2016

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Tema 3 - 1. Repaso de potencias

∗ Potencias de exponente natural:

1. an · am = an+m 2. (an)m = an·m 3. an/am = an−m

∗ Las propiedades anteriores se generalizan a exponentesenteros. Por ello,

1. a0 = 1 2. a−n =1

an

∗ Y a exponentes racionales.

Por ello, a1/n = n√a. Y, en general, ap/q = q

√ap.

∗ La potencia de un producto (y un cociente) son sencillas:

1. (a · b)n = an · bn 2. (a/b)n = an/bn


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Ejercicios

1. Si 23 · 8 = 2m, ¿cuanto vale m?

2. Si 315 ÷ 9 = 3r, ¿cuanto vale r?

3. Si y−3 = 27, ¿cuanto vale y?

4. Si 9r =√

243, ¿cuanto vale r?

5. Si 27s = 19 , ¿cuanto vale s?

6. Si x−1/3 = 2, ¿cuanto vale x?

7. Simplifica22 + 25

24 − 23.

8. Calcula24 · 82

45 + 26


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2. Repaso de algebra

∗ El algebra permite razonar sobre cantidades desconocidas,estableciendo relaciones entre ellas:

Juan se ha presentado a un concurso en el que le hicieron40 preguntas. Le daban 150 euros de premio por cadarespuesta acertada, y le restaban 60 euros por cada fallo. Sino podıa dejar preguntas en blanco y se llevo 4530 euros depremio, ¿cuantas respuestas acerto?

150x− 60 · (40− x) = 4530

∗ Y permite manipular expresiones como la anterior(ecuaciones) y encontrar las soluciones.


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Ecuaciones lineales

∗ Resolver una ecuacion como

150x− 60 · (40− x) = 4530

es encontrar el valor de x para el que se cumple la igualdad.

∗ La x se encuentra (“despeja”) utilizando estas dospropiedades de las igualdades:

1. Si a los dos terminos de una igualdad se le suma unmismo numero, la igualdad sigue siendo cierta.

2. Si los dos terminos de una igualdad se multiplican porun mismo numero, la igualdad sigue siendo cierta.

∗ Ejercicio: El volumen de una esfera es 1 dm3. Calcula su

radio. (El volumen de una esfera de radio r es V =4

3πr3).


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Problemas

∗ Un padre tiene 47 anos y su hijo 11. ¿Cuantos anos tienenque pasar para que la edad del padre sea el triple que la delhijo?

∗ De un numero de dos cifras sabemos que al invertir elorden se obtiene un numero 36 unidades mayor. Encuentrael numero sabiendo que la suma de las cifras es 10.

∗ En un garaje hay 110 vehıculos, entre coches y motos. Sihay en total 360 ruedas, ¿cuantos coches hay?

∗ Un granjero lleva al mercado una cesta de huevos, con lamala fortuna de que se tropieza y se le rompen 2/5 de losque llevaba. Entonces vuelve al gallinero, recoge 21 huevosmas, y resulta que ahora tiene 1/8 mas de los que tenıa alprincipio. ¿Cuantos huevos tenıa al principio?


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Cuadrado de una suma

? (a+ b)2 = a2 + b2 + 2ab.

? (a− b)2 = (a+ (−b))2

a b

ab Area total: (a+ b)2

a2

b2ab

ab

Descompuesta encuadrilateros:

a2 + b2 + 2ab

= a2 + b2 − 2ab

? Desarrolla y simplifica (2x− 3y)2 + (x/2 + y/3)2.


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¿Para que sirve el cuadrado del binomio?

∗ 472 =

∗ 982 =

(1) Calculo mental

(2) Dibujo de parabolas

∗ Dibuja la grafica de y = x2 − 4x+ 3.


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∗ Una ecuacion de segundo grado es una expresion de laforma ax2 + bx+ c = 0, donde a, b y c son numerosconocidos.

∗ Ejemplo:encuentra las soluciones de la ecuacion x2 + 4x− 12 = 0.

∗ Agrupando cuadrados en la expresion ax2 + bx+ c = 0 seobtiene la conocida formula para las soluciones:

x =−b±

√b2 − 4ac

2a

(3) Resolucion de ecuaciones de segundo grado.


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Logica

∗ Una proposicion es una oracion declarativa que es cierta ofalsa, pero no ambas cosas a la vez.

∗ Ejemplos de proposiciones:a) Madrid es la capital de Espana.b) 2 + 2 = 7.c) Existen infinitos numeros primos.

∗ No son proposicionesa) ¿Hace frıo?b) Prestame el libro, por favor.c) Me gustarıa sacar buena nota en matematicas.


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Operaciones con proposiciones

∗ La negacion de la proposicion p se denota ¬p, p′ o p.

∗ La conjuncion de p y q, denotada p ∧ q, es la proposicionque es cierta cuando tanto p como q son ciertas (y falsa encualquier otro caso).

∗ La disyuncion de p y q, denotada p ∨ q, es la proposicionque es cierta cuando al menos una de las proposiciones p yq son ciertas (y falsa, por tanto, cuando p y q son falsas).

∗ Ejemplo: considera las proposiciones:

p ≡ “Esta tarde hare deporte”

q ≡ “Esta noche ire al cine”

¿Cuales son las proposiciones ¬p, p ∧ q, p ∨ q ?


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El condicional

∗ El condicional es la base del razonamiento (no solo delrazonamiento matematico).

∗ La expresion p→ q se lee “si p, entonces q” o “p implica q”

p→ q dice que si p es cierta, entonces q tambien es cierta(y no dice nada si p es falsa).

∗ Consideremos las proposiciones:

p ≡ “a y b son numeros pares”

q ≡ “a+ b es un numero par”

∗ Estudia si son ciertos los condicionales

a) p→ q b) q → p c) ¬p→ ¬q d) ¬q → ¬p


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El condicional

∗ El error mas frecuente en logica es confundir el condicional“p→ q” con “¬p→ ¬q” o con “q → p”.

∗ Ojo: si sabemos que p→ q es cierta,- si p es falsa, no podemos asegurar que q sea falsa.- si q es cierta, no podemos asegurar que p sea cierta.

∗ Considera las proposiciones:

p: “n es divisible por 6”

q: “n es par”

∗ Estudia si son ciertos los condicionales

a) p→ q b) q → p c) ¬p→ ¬q d) ¬q → ¬p

∗ Obs: Si p→ q es cierta, entonces ¬q → ¬p tambien escierta. (Las dos proposiciones son equivalentes).

contrarrecıproca


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Ejercicio

∗ Considera las proposiciones

p ≡ “n es un numero primo”q ≡ “r(n, 6) = 1 o r(n, 6) = 5”

(Recuerda: sabemos que p→ q es cierta).

1. Si te dicen que r(14093, 6) = 5, ¿puedes decidir si14093 es o no primo?

2. Si te dicen que r(52461, 6) = 3, ¿puedes decidir si52461 es o no primo?

3. Escribe la contrarrecıproca de la proposicion p→ q.


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Condicion necesaria y condicion suficiente

∗ Si p→ q, decimos que:

? p es suficiente para q

(que suceda p es suficiente para asegurar que sucede q)

? q es necesaria para p

(para que suceda p es necesario que suceda q)

∗ A partir de los condicionales

? (n es multiplo de 6) → (n es multiplo de 3).? (a y b son numeros pares) → (a+ b es un numero par).

construye frases del tipo necesario-suficiente.


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Juegos de logica

∗ De caballeros y escuderos: En una isla hay dos tipos dehabitantes: los caballeros, que siempre dicen la verdad, ylos escuderos, que siempre mienten. Supongamos que nosencontramos a dos habitantes. A nos dice “B es uncaballero” y B nos dice “Los dos somos de tiposopuestos”. ¿Que son A y B?

∗ El acertijo del prisionero: Un prisionero esta encerrado enuna celda con dos puertas. Una de ellas conduce a lalibertad; la otra, a otra celda sin salida. En cada puerta hayun guardian. El prisionero sabe que un guardian siempredice la verdad, y el otro siempre miente, pero no sabeidentificarlos. Le permiten hacer una sola pregunta.¿Que pregunta podrıa hacer el prisionero para conseguir lalibertad?


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Ejemplos de razonamiento logico

∗ ¿Puedes extraer alguna conclusion de las siguientesafirmaciones?

- “Si juego al futbol, estoy dolorido al dıa siguiente”- “Uso la banera de hidromasaje si estoy dolorido”- “Ayer no utilice la banera de hidromasaje”.

∗ Estudia si el siguiente razonamiento es o no correcto, yexplica por que.

Todos los estudiantes de Ingenierıa estudian Calculodiferencial. Julia estudia Calculo diferencial. Por tanto,Julia es estudiante de Ingenierıa.


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Un juego de logica

∗ http://www.philosophyexperiments.com/wason/

∗ Jugamos con una baraja de cartas que tienen un numero enuna cara y un color en la otra.

3 8∗ Averigua a que carta (o cartas) debo dar la vuelta para

comprobar si la siguiente proposicion es cierta o no:

Si una carta muestra un numero par por un lado,entonces la cara opuesta es roja


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Tipos de argumentos matematicos: demostraciones

∗ Supongamos que queremos comprobar que la proposicionp→ q es cierta.

a) Demostracion directa.

Comprobamos que si p es verdadera, entonces q esverdadera.

Ejemplo: da una demostracion directa del resultado

“Si n es impar, entonces n2 + 4 es impar”

b) Demostracion indirecta.

Utilizando el hecho de que p→ q y ¬q → ¬p sonequivalentes.

Ejemplo: da una demostracion indirecta del resultado

“Si n2 + 7 es par, entonces n es impar”


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Tipos de demostraciones

c) Demostracion por “reduccion al absurdo”.

Con el fin de demostrar que p es cierta, demostramos que¬p implica una contradiccion.

Ejemplo: demuestra (por reduccion al absurdo) que

“√

2 no es racional”

d) Demostracion por casos.

Demuestra, considerando casos, el siguiente resultado:

“Si n es par, entonces n4 termina en 0 o en 6”


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Graficas. Interpretacion.

∗ Supongamos que ponemos un cubo vacıo en el jardın, yque medimos la altura que alcanza el agua de la lluvia unatarde de tormenta. Representamos los datos y obtenemos lagrafica de la figura. ¿Que podemos decir del tiempo esatarde?

4h10’ 4h20’ 4h30’ 4h40’ 4h50’ 5h00’ 5h10’ 5h20’ 5h30’ 5h40’

altu

ram

m

No entra en el examen enel curso 2015-2016


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Graficas. Interpretacion.

5

altu

ra

10 15 20 25 30 35 40tiempo

∗ Ahora la grafica representa la altura del agua en la baneramientras Felipe se da un bano. ¿Que se puede decir decomo ha ido el bano?


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Graficas. Representacion.

∗ Veamos ahora el problema inverso. Tenemos recipientescomo los de la figura, y nos ponemos a llenarlos con ungrifo de caudal constante. Medimos la altura alcanzada porel agua en distintos momentos. ¿Que aspecto tendrıa lagrafica en cada caso?

(1) (2) (3) (4) (5) (6)


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Ejercicio

∗ Luis salio de su casa a las 8:40, andando hacia el colegio.Iba andando, a velocidad constante, hasta que a las 8:45,cuando pasaba por delante de la tienda de caramelos, sedio cuenta de que se habıa olvidado el bocadillo.Volvio corriendo a su casa, recogio el bocadillo, y a las 8:50volvıa a pasar por delante de la tienda de caramelos.Dejo de correr, y siguio andando hasta las 8:55, cuando sedio cuenta de que iba a llegar tarde, de manera que hizo unultimo esfuerzo y volvio a echar a correr, para conseguirllegar a las 9 a su colegio. Dibuja una grafica que representela distancia de Luis hasta el colegio, en funcion de la hora.


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Un problema de PISA (2000)

1. ¿Cual es la distancia aproximada desde la lınea de salida hasta elcomienzo del tramo recto mas largo que hay en la pista?

2. ¿Donde alcanzo el coche la velocidad mas baja durante la segundavuelta?


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Un problema de PISA (2000)

3. ¿Que se puede decir sobre la velocidad del coche entre el km. 2,6 y el2,8?

4. En la figura aparecen 5 circuitos. ¿Sabrıas decir en que circuitocorrio el coche de la grafica anterior?

tema 3 - 1. repaso de potencias · pedro ramos. matem aticas i. grado de educaci on primaria....

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