tema 2: Ángulos en el espacioe-ducativa.catedu.es/44700165/aula/archivos/repositorio/...tema 2:...

Tema 2: Ángulos en el espacio

Bienvenido al espacio de dimensión tres, aunque yo, sí yo, el texto que estás leyendo, me encuentro en la zona de dimensión 2. Esto hace que me puedas ver, pero que a mí me sea imposibleverte, aunque supongo que estás ahí. Al menos a mí me gustaría que estuvieras ahí para poder mostrarte nuevos conceptos que te hagan plantearte dudas sobre el mundo que te rodea y quepodamos resolverlas entre los dos. ¡Que no sabes con qué puedo sorprenderte! Observa el siguiente vídeo y ya me contarás si te han surgido nuevas dudas.

youtubehttp://www.youtube.com/v/avWlzKkGoRQ&hl=es_ES&fs=1

400x321

¿Sorprendido?, bueno pues vamos ahora a conocer mejor el entorno que nos rodea y quizás, de este estudio, podamos intuir posibles respuestas a preguntas sobre espacios de dimensionessuperiores a tres. El estudio lo vamos a hacer con los elementos básicos del espacio de tres dimensiones. No te preocupes que no vas a necesitar nuevos contenidos, sino que vas a ver cómomanejar las herramientas que has visto anteriormente para profundizar en el estudio del espacio de tres dimensiones. ¿Preparado?, pues vamos adelante...

Unidad 3: Geometría euclídea Tema 2: Ángulos en el espacio

Matemáticas II Página 1 de 18

1. Medida de ángulos

Ya conoces de temas anteriores la posición relativa que dos rectas tienen en el espacio o la posición relativa de dos planos o tresplanos, pero en muchas ocasiones, lo que realmente nos interesará es profundizar sobre la colocación de dos de estos elementosbásicos del espacio, es decir, sobre la disposición real de dos rectas en el espacio o dos planos en el espacio.

Más aún, en ocasiones necesitaremos calcular rectas o planos que estén en una determinada posición con respecto a otra recta uotro plano dado. Pues eso es lo que vamos a hacer ahora. Observa en la imagen de la derecha como el ángulo que forman dosrectas cualesquiera de las que componen la figura va cambiando a medida que se mueve esa figura.

Otro ejemplo lo encuentras en el siguiente juego en el que las paletas pueden considerarse planos paralelos y el recorrido de lapelota sigue una recta que forma un determinado ángulo con cada plano antes de impactar contra el mismo. Demuestra tu pericia enel juego y observa atentamente como resolver este tipo de problemas.

hiper.swf

350x290

pingpong.swf

600x400

El desarrollo de este juego se basa precisamente en las matemáticas que vamos a desarrollar en este tema.



Dadas dos rectas r y s' no paralelas, si son coplanarias se cortan en un punto formando dos ángulos. Si no son coplanarias, podemoshacer una proyección de una de ellas de forma que la recta r y la s' sí son coplanarias. Al ser coplanarias se cortan en un puntoformando dos ángulos. Llamamos ángulo que forman las dos rectas al menor de estos ángulos. Por tanto, el ángulo que formandos rectas puede ser a lo sumo de 90º.

¿Cómo podemos calcular el ángulo que forman las rectas r y s? Muy sencillo, ese ángulo es el que forman los vectores directoresrespectivamente. Si observamos la imagen de la derecha, el ángulo que forman las rectas r y s es el ángulo que forman sus vectoresdirectores y .

Un empresa de video-juegos está programando un nuevo juego para su recién estrenada video-consola WE. Losinformáticos de la empresa están intentando que el juego tenga el mayor realismo posible y, dado que se trata de un juegobélico, se han fijado en una de las disciplinas olímpicas para, a través de vídeos, sacar las coordenadas de los distintosmovimientos con los que poder programar con más realismo las acciones del juego. La disciplina más cercana es el tiro alplato.

En uno de los vídeos recuperados de esta disciplina se observa como el tirador, situado en el punto de coordenadas P = (17,–4, 15) dispara el cartucho en la dirección cuando el plato, lanzado desde el punto Q = (12, 13, 7) sigue ladirección . El cartucho impacta con el plato y los informáticos necesitan conocer el ángulo de las dos trayectoriasy el punto en el que el cartucho alcanza al plato.

youtube http://www.youtube.com/v/gb79KUZMJF0&hl=es_ES&fs=1

350x281

1.1. Ángulo entre rectas

Dadas las rectas:

averiguar el ángulo que forman.

Dadas las rectas

y

el ángulo que forman las dos rectas es:

gfedc 60,50º

gfedc 62,92º

gfedc 58,92º

gfedc 71,92º

Ver solución



Dadas las rectas

y

el ángulo que forman es:

gfedc 43,18º

gfedc 41,02º

gfedc 41,75º

gfedc 44,18º

Ver solución

Casa. Imagen obtenida del banco de imágenes del ITE.

Te has fijado en las rectas que forman las esquinas de las paredes de tu casa. Son rectas que podríamos decir que forman un ángulo de 0º. Es decir, son rectas que podríamos calificar deparalelas.

Plomada. Imagen obtenida del banco de imágenes delITE.

Sin embargo, si la casa está bien hecha, el albañil que realizó las paredes utilizó una plomada para que las paredes fueran totalmente verticales. Una plomada es un artilugio que tiene unaparte de madera que se sujeta con la mano, atado a una pieza de plomo. Cuando se sujeta el trozo de madera, el plomo cae verticalmente apuntando hacia el suelo y así se indica lavertical que seguirá la pared. Pero ¿hacia dónde apunta esa vertical? Efectivamente, al centro de la Tierra, por lo que todas las esquinas de tu casa apuntan al centro de la Tierra. ¿Siguespensando que las esquinas de tu casa son rectas paralelas? Si es así, por la misma regla de tres, todas las esquinas de todas las casas serían paralelas. Piensa en una casa hecha enEspaña y otra hecha en México... ¿Estas seguro que una esquina de la primera casa es paralela a una esquina de la segunda?



Dados dos planos y con vectores normales y respectivamente, cuando se cortan en el espacio forman dos ángulos

distintos. Según podemos observar en la imagen de la derecha, uno es superior a 90º y otro menor. Vamos a definir el ángulo queforman los dos planos como el menor de estos ángulos y, por tanto, es menor que 90º.

En la imagen de la derecha podemos ver que el ángulo que forman los dos planos es el mismo que el que forman sus vectoresnormales. De esta forma ya sabemos cómo calcular el ángulo que forman los dos planos.

En el caso en que los planos no se corten, sino que sean paralelos, los vectores normales forman un ángulo de 0º comoobservamos en la animación inferior sobre la que puedes interactuar. En este caso, los planos forman un ángulo de 0º.

1.2. Ángulos entre planos

Instrucciones:

Arrastre el ratón para rotar la figura.

Tecla S + movimiento vertical del mouse = zoom

Una rejilla del PlanoXY se obtiene con Shift + G (de igual manera de deshabilita)

Para ver con calidad mejorada, usar Shift +S (de igual manera de deshabilita)

ÁNGULO COMPRENDIDO ENTRE DOS PLANOS

Esta aplicación permite calcular el ángulo comprendido entre dos planos

y

a b c

a' b' c'

Resolver

Ángulo=

Borrar

Averigua el ángulo que forman los planos



El tejado de las casa en los países nórdicos suelen tener una pendiente bastante pronunciada para evitar que los mismos puedanderrumbarse por el peso de la nieve. Con esta medida se evita la acumulación de nieve en el tejado, por lo que no tiene que soportar todoel peso que supondría esta acumulación.

Un arquitecto va a proceder a la restauración de la iglesia de Solvorn, que se encuentra en la localidad de Solvorn, a orillas delLusterfjorden, Noruega. Una de las cosas que debe observar es que el ángulo que forma el tejado es el correcto. Este ángulo debe serinferior a 86º. Para hacer este estudio ha realizado varias fotografías de la iglesia que ha escaneado y tratado informáticamente. Laaplicación que está utilizando le indica que el plano de una de las alas del tejado es:

y que el plano del otro ala es

Estudia si las alas del tejado cumplen la restricción pedida.

Iglesia de Solvorn, Noruega. Imagen obtenida del banco de imágenes del ITE.

Dados los planos

y

El ángulo que forman es

gfedc 28,22º

gfedc 40,82º

gfedc 32,82º

gfedc 27,32º

Ver solución

Dados los planos

y

el ángulo que forman es

gfedc 59,77º

gfedc 62,27º

gfedc 52,52º

gfedc 59,27º

Ver solución



Hasta ahora hemos trabajado con el ángulo que forman dos rectas y el que forman dos planos pero ¿qué ocurre si tenemos unarecta y un plano? Pues que también van a formar un ángulo. En la imagen de la derecha observamos el ángulo que forma la rectacon el vector normal del plano (ángulo que forma el vector director de la recta con el vector normal del plano). Hemos llamado A aeste ángulo. Pues bien, según observamos en esa imagen, el ángulo que forma la recta con el plano es 90–A.

Así, para calcular el ángulo que forma una recta con un plano calculamos primero el ángulo que forma el vector normal del planocon el vector director de la recta (ángulo menor de 90º). El ángulo que forma la recta con el plano resulta de restarle a 90º elángulo anterior.

En la animación inferior observamos un caso extremo en el que el vector director de la recta es perpendicular al vector normal delplano. En este caso, el ángulo que forma la recta con el plano es 90º–90º=0º.

La tecnología se pone al servicio del hombre en muchas facetas de su vida. En ocasiones, hasta en lo más insospechado, podemosencontrar esa tecnología. Nos centramos ahora en una empresa que se dedica al diseño y construcción de cepillos de dientes. ¿Tehas fijado alguna vez en tu cepillo de dientes? Está compuesto de finas púas o filamentos que están insertados en una superficieplana que es la base del cepillo. De un tiempo a esta parte, la industria de este sector se ha preocupado por mejorar los productosque lanza al mercado. En su investigación han comprobado que para mejorar la limpieza de la boca y adaptarse mejor a los dientes,no todos los filamentos deben apuntar hacia el mismo sitio. Para producir las mejoras se basan en diseños que realizan previamenteen el ordenador. Ahora tienen en el mercado el cepillo Limpioto2, pero se han dado cuenta que pueden mejorar ese modelo. Parahacerlo van a utilizar una simulación por ordenador en la que la base del cepilllo es el plano de ecuación . Han observado que de este modelo, el filamento sigue la trayectoria de la recta:

Según su estudio, deben insertar más filamentos de este tipo para mejorar el modelo, por lo que necesitan conocer el ángulo entre elfilamento y la base del cepillo. Además, deben insertar un filamento en la base del cepillo que forme con éste un ángulo de 60º. Para

1.3. Ángulo entre recta y plano

Instrucciones:


Arrastre el punto P para mover la recta.

Shift + arrastre vertical = zoom

Averiguar el ángulo que forman la recta con el plano .

ÁNGULO COMPRENDIDO ENTRE RECTA Y PLANO

Esta aplicación permite calcular el ángulo comprendido entre una recta y un plano

y

u v w

Resolver

Ángulo=



ello quieren conocer algunas condiciones que debe cumplir la recta que contenga al filamento.

a b c

Borrar

En la siguiente ventana interactiva podemos observar el caso particular en el que el vector director de la recta coincide con el vector normal del plano.

Instrucciones:





Dada la recta y el plano

la recta y el plano forman un ángulo de:

gfedc 67,79º

gfedc 68,94º

gfedc 67,46º

gfedc 80,79º

Ver solución

Dada la recta y el plano

La recta y el plano forman un ángulo de:

gfedc 57,55º

gfedc 47,89º

gfedc 55,55º

gfedc 59,55º

Ver solución



2. Perpendicularidad

En esta parte del tema abordaremos un caso especial de ángulo, el de 90º. Así, estudiaremos cuándo los elementos básicos del espacio son perpendiculares, concepto que suele utilizarse yobservarse a nuestro alrededor. Basta con observar una caja de tetrabrik para darnos cuenta de que las caras que conforman la caja son perpendiculares dos a dos o las paredes que forman unahabitación corriente. En la ventana siguiente te proponemos un juego relacionado con la perpendicularidad.

perpendicularidad.swf

Has visto en el juego como es fundamental, para resolverlo, orientar bien los triángulos que aparecen para que el ángulo que forme el rebote, que en general es de 90º o de 180º, dirija la bolahasta el lugar que nos interese.



Nos vamos a ocupar ahora del caso particular en el que nos encontramos con planos perpendiculares. en este caso, el ángulo que forman los doselementos es de 90º. El coseno de 90º es 0, por lo que las operaciones se simplifican enormemente.

En la imagen anterior puedes observar que existen infinitos planos perpendiculares a otro dado y que pasen por un determinado punto. Hace falta conocerun segundo punto del plano perpendicular para determinarlo.

Bueno, vamos a despejar algunas de estas dudas. Para empezar, en la siguiente pantalla interactiva puedes ver como si dos planos son perpendiculares,sus vectores normales también lo son.

Si dos planos son perpendiculares también lo son sus vectores normales. En consecuencia, para comprobar si dos planos son perpendicualres bastacomprobar que el producto escalar de sus respectivos vectores normales es cero.

2.1. Planos perpendiculares

http://www.youtube.com/v/1b7_KUTI3EY&hl=es_ES&fs=1

280x395

Instrucciones:







¿Cuales de las siguientes parejas de planos son perpendiculares?

1.

Verdadero nmlkj Falso nmlkj

2.


3.


Dado un plano π y dos puntos P y Q que no estén en él existen dos posibilidades:

Si el vector normal al plano y el vector que une los dos puntos P y Q son dependientes, entonces hay infinitos planos perpendiculares al plano πque contienen a los dos puntos.Si el vector normal al plano y el vector que une los dos puntos P y Q son independientes, entonces hay un único plano perpendicular al plano π

que contienen a los dos puntos: está determinados por los vectores y cualquiera de los dos puntos P o Q.

Hallar la ecuación del plano perpendicular a l plano que contiene a los puntos P = (1, 0 , 1) y Q = (2, 1, 0).

Un diseñador gráfico ha ideado la máquina que observas en la imagen de la derecha.

Esta imagen va a ser utilizada en una película en 3D. Por este motivo, los programadores informáticos necesitan llevar el modelográfico a un modelo matemático con el que poder trabajar posteriormente para dotarlo de movimiento. En la pala que aparece a laderecha del diseño han observado que, debido a la regularidad de sus paredes, la pueden adaptar a dos planos perpendiculares.

El primero de los planos lo han determinado, adaptándose a la ecuación .

Del segundo plano, dado que tiene que coincidir con otra pieza, saben que debe pasar por los puntos P=(2, –5, 4) y Q=(–1, –3, 6).Puedes ayudarles a determinar el segundo de los planos.

CAD. Imagen obtenida de Flickr



La recta r que pasa por un punto P y es perpendicular a un plano π queda determinada por el vector normal al plano como vector director y el punto P. El plano π perpendicular a una recta r que pasa por un punto P queda determinado por el vector director de la recta como vector normal al plano y el punto P.

Dada una recta, ¿Cuántas rectas perpendiculares a ella y que pasen por un punto existen?

Todas las rectas que están en el plano perpendicular π a la recta dada r y que pasan por el punto dado P tiene la dirección ortogonal a la dela recta. Sin embargo, sólo hay una que corte a la recta dada.

Se trata de la recta que pasa por el punto P y el punto Q donde el plano π y la recta r se cortan.

Si el punto P está en la recta r entonces todas la rectas que pasan por el punto P y están contenidas en el plano perpendicular a la recta r sonperpendiculares a la recta r. (Es como si el punto P y el punto Q coincidiesen)

2.2. Rectas perpendiculares

Hallar las ecuaciones de:

La recta r perpendicular al plano que pasa por el punto P = (1, 0, 2).1.

El plano π perpendicular a la recta que contiene al punto P = (1, 0, –1)2.

La siguiente animación te permite explorar las disferentes posibilidades que pueden darse cuando tenemos dos rectas en el espacio. Las direcciones perpendiculares no aseguran para nada quelas restas se corten

Instrucciones:


Arrastre los puntos rojos con el ratón.

Shift + arrastre vertical = zoom

Si tenemos la recta r, recta que pasa por el punto P = (2, 3, –4) y que tiene como vector director . Calcula la recta s, que la corte perpendicularmente y que pase por el punto Q= (–2, 5, 1).



youtubehttp://www.youtube.com/v/71y35xLm3zU&hl=es_ES&fs=1

400x321

Hallar la recta que corta perpendicularmente a la recta y que pasa por el punto P (3, 1, –1).

Dada la recta r que pasa por el punto P = (1, 3, 0) y tiene como vector director el vector .Entonces la recta s, perpendicular a r y que pasa por el punto Q = (–5, 2, 1) también pasa por el punto:

nmlkj A = (3, 6, –5)

nmlkj B = (13, –2, 7)

nmlkj C = (1, 4, 2)

El Burj Khalifa es un rascacielos que se encuentra situado en el distrito Downtown Burj Khalifa de la ciudad de Dubái,en Emiratos Árabes Unidos. Es la estructura más alta construida por el hombre. La construcción comenzó el 21 deseptiembre de 2004, y su inauguración oficial fue el 4 de enero de 2010. Se localiza en la parte central de las costasde Dubái.Para verlo en Google Maps pulsa Aquí.

La fecha original de apertura del edificio iba a ser el 31 de diciembre del 2008, aunque, debido a un retraso en laconstrucción, su finalización e inauguración se vio retrasada hasta el 4 de enero de 2010.

Para realizar la animación que has visto en el vídeo anterior se ha utilizado un dibujo-maqueta que se ha trazado enun ordenador. Como base de la maqueta se ha utilizado un plano que pasa por tres puntos del espacio A = (3,0,0), B= (2,1,1) y C = (–2,4,2). Sobre dicho plano se ha levantado el edificio utilizando como eje la recta que pasa por elpunto P = (5,2,8). Calcula la ecuación de esa recta y el punto del plano que coincide con el centro del suelo deledificio.

youtube

http://www.youtube.com/v/8h0oqeyApZQ&hl=es_ES&fs=1

400x321

Hallar la ecuación de la recta, en forma paramétrica, que pasa por el punto P = (1,2,–1), es paralela al plano y es perpendicular a la recta

Cuando un rayo (recta) incide de forma perpendicular en un plano en el que rebota, este lo hace siguiendo la mismadirección pero en sentido contrario. Por ejemplo, si lanzamos un rayo de luz de forma perpendicular contra un espejo,el rayo rebota saliendo de forma perpendicular. Sin embargo, si en lugar de lanzarlo contra un plano, el rayo lolanzamos contra una superficie no plana, rebota saliendo en una dirección con un ángulo distinto. Tal es el caso delvídeo que observas a la derecha en el que los rayos que llegan del Sol y rebotan en la chapa se concentran en undeterminado punto concentrando todo el calor.



La distancia entre dos rectas paralelas r y s es la distancia entre los puntos de intersección de éstas con un plano que sea perpendicular a ambas.Este plano está determinado por el vector de dirección de ambas rectas y un punto cualquiera de una de ellas.

Dadas dos rectas r y s que se cruzan, la recta que se apoya (es decir que "toca") en las dos rectas y es perpendicular a cada una de ellas la llamamosperpendicualr común. La resolución de esta problema se basa en que el vector que une los dos puntos en los que se apoya la perpendicular comúnes ortogonal a los vectores directores de ambas rectas.

El segmento de esa recta comprendido entre ambas rectas (tanto en el caso de la paralelas como en el de las rectas que se cruzan) es el quecorresponde a la distancia mínima entre ambas rectas.

Concentracio�n 016 de rizuque con licencia Creative Commons

Determina la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a la siguiente pareja de rectas que se cruzan:

Hallar la ecuación de la distancia entre la siguiente pareja de rectas paralelas:

2.3. Algunos problemas geométricos

Vamos a incluir en este apartado algunos problemas geométricos que pueden abordarse con los métods desarrollados en este tema.

LA PERPENDICULAR COMÚN A DOS RECTAS QUE SE CRUZAN



PROYECCIONES

La proyección según una dirección de un objeto sobre otro la forman todos los puntos del segundo objeto que se obtienen al cortarlo con rectas quesiguen la dirección dada y pasan por cada uno de los objetos del primer objeto.

Un ejemplo de proyección es la formación de sombras. Los rayos del Sol (o del foco luminoso) inciden paralelamente sobre el objeto y no loatraviesan. Como consecuencia, siguiendo la dirección de esos rayos a partir del objeto hasta la superficie sobre la que se proyecta la sombra, seproduce una ausencia de iluminación que es lo que forma la sombra.

En este apartado veremos tres ejemplos de proyección y en todos ellos seguiremos la dirección perpendicular al objeto sobre el que proyectamos.

El arte dephotographer padawan *(xava du)con licencia Creative Commons

Proyección de un punto sobre un plano

Es el punto del plano pie de la perpendicular que pasa por el punto.

Proyección de un punto sobre una recta

De todas las perpendiculares a la recta que pasan por el punto sólo hay una que corta a la recta. Este punto de corte es la proyección. Se averigua hallando la intersección de la recta con el planoperpendicular a ella que pasa por el punto que proyectamos

Proyección de una recta sobre un plano

Si trazamos perpendiculares desde cada uno de los puntos de la recta hacia el plano, los pies de la misma forman una recta que está dentro del plano. Esta recta es la proyección y se obtienetrazando el plano perpendicular al otro plano que contiene a la recta proyectada (a dos de sus puntos). También podróiamos hallar la proyección de dos de los puntos de la recta (de acuerdo conel procedimiento que hemos apuntado antes) y luego hallar la recta que pasa por las dos proyecciones que sería la recta proyección.

Hallar las siguientes proyecciones:

Del punto P = (1, 1, –2) sobre el plano: 1.Del punto P = (1, 1, –2) sobre la recta: 2.

De la recta sobre el plano 3.

Responde razonadamente a las siguientes cuestiones:

1. La proyección del punto P = (1, 0, 0) sobre el plano es el punto P' = (1, 3, 3/2)


2. La proyección del punto P = (2, 0, 1) sobre la recta es el punto P' = (1, 1, 1)


3. la proyección de la recta sobre el plano es la recta de ecuación implícita;:




Si los lados de un rectángulo ABCD miden 1 cm y 4 cm, calcula el coseno del ángulo PAC, donde P es el punto medio del lado BC.

3. Para saber más

Determina la recta t que es perpendicular a la recta r, de ecuación:

y también a la recta s, siendo esta última, a su vez, la perpendicular a la recta r que pasa por el origen de coordenadas.

Determina el ángulo formado por el plano que pasa por los puntos A, B y C, y la recta que pasa por los puntos C y D, siendo:

A = (3, 0, 0) , B = (0, 0, 0) , C = (0, 2, 0) , D = (1, 1, 2)

Halla el ángulo que forma el plano que pasa por los puntos A = (0, 0, 8), B = (–5, 1, 2) y C = (0, –2, 0), con el plano que pasa por el punto M = (0, 0, 1) y es perpendicular a la recta

Sean los puntos P = (1, 1, 0) y Q = (0, 2, 1) dos vértices consecutivos de un rectángulo y otro vértice está en la recta:

Halla los vértices de un rectángulo que verifique las condiciones anteriores.

Determina la constante a para que el plano de ecuación forme un ángulo de radianes con el plano

Para reforzar el aprendizaje de los conceptos y técnicas que has estudiado en este tema te proponemos los siguientes ejercicios:

* Ejercicios de consolidación.* Solución a los ejercicios propuestos.



San Juan de los Panetes (Zaragoza)¿Cuál es su inclinación?de Wikimedia Commons



Hallar el punto de la recta más próximo al punto A = (0, –1, 1)

Septiembre 1997

Sea r la recta que pasa por los puntos A = = (–1, 0, 2) y B = (1, 2, 3).

Determinar las ecuaciones de los planos π y σ que son perpendiculares a la recta r y que pasan respectivamente por los puntos C = (4, –2, –1)y D = (2, –1, –3)

1.

Calcular la distancia que hay entre ambos planos.2.Septiembre 2004

Dadas las rectas

Comprobar que se cortan1.Hallar el ángulo que forman2.

Septiembre 2007

Considera la recta y el plano

Estudiar la posición relativa de r y π1.2. Calcular la ecuación implícita del plano π' que es perpendicular a π y contiene a r. 2.

Junio 2008

Dadas las rectas

Justificar que si son o no perpendiculares.1.Calcular la distancia del punto P = (6, 0 , 0) a la recta r2.

Junio 2010

4. Especial Selectividad

Vamos con la última parte del tema. Recuerda que lo que pretendemos aquí es mostrarte ejemplos de actividades que han aparecido en Selectividad, en particular en la Universidad de Zaragoza,pero puedes encontrar ejercicios similares aparecidos en otras universidades. Son ejercicios parecidos a los que los que van a aparecer en la tarea presencial o en la tarea del tema, por lo que tevendrá bien ver los procesos que se han empleado para resolverlos. Recuerda que vamos a utilizar las mismas operaciones y propiedades que tienes que utilizar en los ejercicios que si debeshacer.Aunque más adelante aprenderemos otros métodos, que es posible que permiían resolver estos mismo problemas de forma más eficiente, en este apartado queremos mostrar cómo es posibleacercarse a la solución de los problemas con lo aprendido hasta ahora.

No debes olvidar, por otra parte, que en los enlaces siguientes puedes ver:

* Los enunciados de las pruebas de la Universidad de Zaragoza.* Los exámenes resueltos en la página web de José Mª Sorando.



tema 2: Ángulos en el espacioe-ducativa.catedu.es/44700165/aula/archivos/repositorio/...tema 2:...

Documents