[ESCRIBIR TEXTO] APLICACIONES DE LOS SISTEMAS Y MATRICES I.-MODELO DE INSUMO-PRODUCTO DE LEONTIEF En la economa de cualquier pas se producen muchos bienes y servicios altamente relacionados entre s. Los aumentos o recortes en una industria se resienten frecuentemente en otras industrias. Un modelo para analizar estos efectos fue desarrollado por el economista estadounidense Wassily W. Leontief en 1936. Este modelo se llama anlisis de insumo y produccin (o de entradas y salidas). EJEMPLO 1: Supongamos un modelo muy simple de una economa en la cual se producen 2 artculos, es decir, una economa formada por dos industrias: la industria A y la industria B (por ejemplo, automviles y acero). Cada ao tenemos una demanda externa de la industria B de 360.000 unidades y una demanda externa de la industria A de 110.000 unidades. Aqu la demanda externa significa que proviene de fuera de la economa, es decir, la cantidad de unidades requeridas para exportacin. Adems hay una demanda interna de otras industrias del pas, en nuestro caso, la demanda que ejerce A sobre B y viceversa. Supongamos que para producir 1 unidad de B se requiere de unidad de B y 1/12 de unidad de A, es decir, con 1 unidad de B se fabrican 4 unidades de B y con 1 unidad de A se fabrican 12 unidades de B. Tambin, para producir 1 unidad de A se requiere unidad de B y 1/9 de A. Es decir, con 1 unidad de B fabrico 2 unidades de A y con una unidad de A fabrico 9 unidades de A. 1/9 de A 1 de A 1/2 de B 1

[ESCRIBIR TEXTO] La pregunta es: 1/12 de A AA 1 de B 1/4 de B Cunto deben fabricar cada una de las industrias para que no haya sobreproduccin?. Es decir, cul debe ser la produccin en cada una de las industrias para que la disponibilidad de cada una sea igual a la demanda total? Producci Demanda A Interna B Demanda Externa Industria A Industria B n x y x/9 x/2 y/12 y/4 110.000 360.000 Ecuacin bsica: Produccin de A =Demanda de A+ Demanda de B+ D. externa Produccin de B= Demanda de A+ Demanda de B+D. externa En nuestro ejemplo: 11 11 x = x + y + 1 .10 0 00 0(1- )x - y = 1 .100 00 . 912 912 11 11 y = x + y + 3 .60 0 00 0- x + (1- )y = 3 .600 EJERCICIO 1:

24 24 2

[ESCRIBIR TEXTO] Resuelva el sistema anterior (Ver solucin) DESCRIPCIN DEL MODELO GENERAL: Supongamos una economa con n industrias. Sea ei : La demanda externa ejercida sobre la industria i, aij : El nmero de unidades de la industria i que se necesitan para producir 1 unidad de la industria j, es decir, la demanda por unidad de j sobre i. xi : Produccin de i (nmero de unidades fabricadas por la industria i) Como en el ejemplo anterior: DEMANDA Produccin Ind.1 Ind.2 ................. Ind.n Externa x1 a1 1 x1 a1 2 x2 ..................... a1 n xn e1 x2 a2 1 x1 a2 2 x2 ..................... a2 n xn e2 . . . . . . . . . . . . xn an1 x1 an 2 x2 ..................... an n xn en La ecuacin bsica en este caso es: (1 a 1 ) x -

. . + 1 1 + + + x 1 ax ax a. x n e ax .a x n e 1

= = 1 1 1 22 1 1 1 11 1 22 1 . . .. n n . . .

(1 ) + 1 ............... + + + + 1 ............... . . x ax ax a. x n

e ax a x a. x n e = = 2 2 2 22 2 2 2 1 2 2 22 2 2

. . . . n n (1) . . . . . . . (1. ) +

+ + + + ax 1 ax ax n e ax 1 ax a x e = = 2 2

1 2 2 . . . . . n n n nn n n n n n nn n .

1 . a a ..a x e 11 12 1n 1 . . . a a ..a x e

. . . . . . 21 22 2n 2 2 Sea A x = e = = a ...

31 . ... a a ..a x e n1 n2 nn n n 3

[ESCRIBIR TEXTO] Definicin 1: La matriz A se llama matriz de tecnologa, x es el vector de produccin y e vector de demanda externa. La matriz A es la matriz de demanda interna que en periodos relativamente largos permanece constante, cambia al cambiar la tecnologa; sin embargo la demanda externa puede cambiar con cierta frecuencia, y por lo tanto la produccin. Se puede escribir el sistema anterior en forma matricial como: Ax + e = Ix, I = matriz identidad de orden n (I-A)x = e Forma matricial del sistema (1): Definicin 2 La matriz I-A se llama matriz de Leontief, y la denotaremos por L. Si la matriz de Leontief L es invertible, el sistema (1) tiene solucin nica para cada vector e. (porqu?) Para efectos prcticos es preferible calcular L-1, ya que de esta forma obtenemos la produccin x para cada demanda externa e. Recuerde que si L es invertible x = L-1e EJERCICIOS Ejercicio 2: 4

[ESCRIBIR TEXTO] Sean dos empresas A y B. Se sabe que para producir 120 unidades del producto A se necesitan 60 unidades del producto A y 24 unidades de B, mientras que para producir 480 unidades del producto de B se necesitan 48 unidades de A y 240 de B. Adems la demanda externa de A es 30 unidades y la de B es de 80. Halle la produccin de cada una de las empresas, si no hay sobreproduccin. (Ver solucin) Ejercicio 3: Considere una economa muy simple de dos industrias A y B representada en la siguiente tabla: PRODUCTOR A B Demanda Externa Produccin Total A 50 20 30 100 B 20 100 80 200 Determine la produccin para la economa si la demanda externa cambia a 60 unidades para la industria A y 45 unidades para la industria B (Ver solucin) SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS Solucin 1 x= 180.000 y= 600.000 5

[ESCRIBIR TEXTO] Solucin N2 48 de A AA 480 de B 240 de B 60 de A 120 de A 24 de B 1/2 de A 1 de A 1/5 de B 1/10 de A AA 1 de B 1/2 de B 6 Industria A Industria B Demanda Externa

[ESCRIBIR TEXTO] Industria A x/2 y/10 30 Industria B x/5 y/2 80 11 xy x = x + y + 30 -= 3 . 2 10 210 xy y = 1x + 1y + 8 0 -+ = 8 52 52 %Matriz de tecnologa format rat A=[1/2 1/10;1/5 1/2] A = 1/2 1/10 1/5 1/2 %Matriz de Leontief L=eye(2)-A L = 1/2 -1/10 -1/5 1/2 % Clculo de la inversa de L L=[L eye(2)] L= 1/2 -1/10 1 0 -1/5 1/2 0 1 L(1,:) = 2*L(1,:) L= 1 -1/5 2 0 -1/5 1/2 0 1 L(2,:) = L(2,:)+1/5*L(1,:) 7

[ESCRIBIR TEXTO] L= 1 -1/5 2 0 0 23/50 2/5 1 L(2,:) = 50/23*L(2,:) L= 1 -1/5 2 0 0 1 20/23 50/23 L(1,:) = L(1,:)+1/5*L(2,:) L= 1 0 50/23 10/23 0 1 20/23 50/23 % Inversa de la matriz de Leontief Linv = L(:,[3 4]) Linv = 50/23 10/23 20/23 50/23 %vector demanda externa e=[30;80] e = 30 80 % Vector produccin x=Linv*e x= 100 200 8

[ESCRIBIR TEXTO] Solucin3 Sea x = produccin de A = 100 y = produccin de B = 200 1 ax = 50 a 100 = 50 . a = 11 11 11 2 1 ax = 20 a 100 = 20 . a = 21 21 21 5 1 a12 y = 20 a12 200 = 20 . a12 = 10 1 a22 y = 100 a22 200 = 100 . a22 = 2 %Matriz de tecnologa format rat A=[1/2 1/10;1/5 1/2] A = 1/2 1/10 1/5 1/2 % Inversa de la matriz de Leontief Linv = L(:,[3 4]) Linv = 50/23 10/23 20/23 50/23 %Vector demanda externa e=[60;45] e = 60 45 % Vector produccin x=Linv*e x= 150

150