segura 2004 -- leontief gams

El Modelo de Insumo-Producto de Leontiefcomo un Modelo de Equilibrio General: Formalización & una Aplicación Básica

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Formalización & una Aplicación Básica

Instructor:Eco. Juan Carlos Segura M.Sc.

[email protected] – [email protected] http://microeconomica.googlepages.com

El Modelo de I-O de Leontief, como uno de Equilibrio General

Un Modelo de Equilibrio General Computable reúne un conjunto de ecuaciones de comportamiento y de identidades que describen la conducta económica de los agentes identificados y las restricciones tecnológicas e institucionales que enfrentan. La descripción de los agentes es derivada de soluciones a problemas explícitos de optimización restringida que, se supone, identifican el comportamiento de un agente representativo de cada componente de la economía modelo: un hogar típico de características socioeconómicas o demográficas dadas; un productor característico en un sector industrial dado; un importador/exportador típico. La economía modelo, según el esquema de insumo-producto, que se presenta en lo que sigue incorpora:

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• Productores en cada una de las n industrias,• Oferentes de cada uno de los m tipos de insumos (inputs) primarios, y• Un único consumidor del producto final.

No hay comercio con el exterior. Existe un mapeo, una relación uno a uno, entre industrias y bienes: la industria j produce únicamente el bien j y es el único productor de dicho bien.Desde el punto de vista del Modelaje de Equilibrio General moderno, el modelo de insumo-producto se construye suponiendo que los productores de la j-ésimaindustria son tomadores de precios y que escogen insumos producidos (Xij) y factores primarios (Fkj) a fin de hacer mínima su función de costes, Cj:

∑ ∑= =

+=n

1i

m

1kkjkijij FWXPC[E1.1.] j=1,…,n

sujetos a una función de producción de coeficientes fijos:

=mj

mj

ij

ij

nj

nj

1j

1jj L

F,...,

L

F,

A

X,...,

A

XminX[E1.2.] j=1,…,n

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El supuesto de competencia perfecta, pero más aún, el de rendimientos constantes a escala, permitedescribir una situación en la que los productores no obtienen beneficios puros, es decir:

j

n

1i

m

1kkjkijijj CFWXPXP =+=∑ ∑

= =

[E1.3.]j=1,…,n

La Figura a continuación ilustra los isocostos y las isocuantas para el caso de dos insumos producidos,X1j y X2j. Losproductores minimizadores de costes harán uso de la mínima cantidad posible de insumos en presencia de preciospositivos. Las funciones de demanda son independientes de los precios relativos de los insumos. Según se observa enla ilustración sólo son óptimos los vértices de las isocuantas, sin importar cual sea la pendiente de los isocostos.Resulta igualmente evidente la condición de rendimientos constantes a escala asumida en las funciones deproducción.

B

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A Xj = 2Xj

D2

Xj = Xj

D1

A B

J2j21j1 CXPXP =+

J2j21j1 2CXPXP =+

La senda de expansión de la producción es la línea recta que, partiendo del origen, une los vértices de las isocuantas. La escala de producción asociada a isocuantas sucesivas corta la senda siendo proporcional a sus distancias respecto del origen.

La derivación de una relación entre producción y precios de los insumos supone utilizar las ecuaciones [E1.1.] y [E1.2.] para eliminar las demandas por insumos del RHS de la ecuación [E1.3.] lo cual da:

∑ ∑= =

+=n

1i

m

1kjkjkjijijj XLWXAPXP[E1.4.] j=1,…,n

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al dividir por Xj se llega a una siguiente ecuación de precios. La eliminación de las Xj es consecuencia de la condición de rendimientos constantes a escala (RCE) de acuerdo con la cual, los costos unitarios son independientes de la escala de producción:

∑ ∑= =

+=n

1i

m

1kkjkijij LWAPP j=1,…,n

En esta sencilla versión del modelo de Leontief, se describe el lado de la producción de una economía

La economía modelo contiene n productores cada uno de los cuales produce un único bien que puede ser utilizado por otras industrias como input intermedio, o bien, absorbido por la demanda final.

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Los productores utilizan insumos intermedios y factores primarios en sus procesos productivos.

El supuesto tecnológico subyacente consiste en que inputs intermedios y factores se requieren en proporciones fijas. La demanda final es exógena.

Empezamos por establecer las ecuaciones de demanda por inputs intermedios:

jjiij XAX =[E1.5.] i,j=1,…,n

jkjkj XLF =[E1.6.] k=1,…,m; j=1,…,n

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X ij : Nivel de insumo intermedio i utilizado por la industria j

Fkj : Nivel de Factor k utilizado por la industria j

A ij , L kj : Coeficientes Técnicos que muestran las cantidades de insumo intermedio i y de factor primario k requeridas por unidad de producción en la industria j

Las ofertas de factores se pueden expresar como:

∑=

+=n

ijiiji YXX

∑=

=n

ijkjk FF

[E1.7.]

[E1.8.]

i=1,…,n

k=1,…,m

Donde, como es usual:

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Donde, como es usual:

iY : Demanda Final por el bien i

kiF : Oferta o Empleo total del factork

No hay demanda final por factores.

Aún cuando los precios juegan un papel mínimo en el modelo, —no tienen efecto sobrela demanda final—, es posible estableceruna ecuación de precios a la cual asociar laproducción; los precios se pueden obtener al asumir que son equivalentes a los costosunitarios de producción, dados RCE:

∑ ∑= =

+=n

1i

m

1kkjkijij LWAPP[E1.9.] k=1,…,m; j=1,…,n

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donde Pi y Wk son los precios de las mercancías finales y de los factores,respectivamente.

En resumen, el sistema de ecuaciones [E1.5]-[E1.9] consta de (n2 + nm + 2n + m)ecuaciones sobre las (n2 + nm + 3n + 2m)variables que se listan a continuación:

Variable Descripción Orden

X ij Cantidad del bien iutilizado por laindustria j

i,j=1,…,n

Fkj Cantidad de factor kutilizado en laproducción de laindustria j

k=1,…,mj=1,…,n

X Producto Sectorial j=1,…,n

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X j Producto Sectorial(Oferta Total)

j=1,…,n

Y j Demanda Final por elbien j

j=1,…,n

Pj Precio del Bien j j=1,…,n

Fk Oferta-Empleo Totaldel Factor k

k=1,…,m

Wk Precio del factor k k=1,…,m

El cierre del modelo implica escoger variables exógenas tales que permitancalcular:

• las ofertas de bienes y el empleo de factores primarios compatibles conel vectorY de la demanda final, y

• un vector de precios de bienes compatible con un vectorW dado de precios delos factores primarios.

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Al comparar el número de ecuaciones con el número de variables se observa quese requieren(n+m) variables exógenas. A la luz de lo que se quiere calcular esclaro que las variables exógenas deben ser losn componentes del vector dedemanda final (Y) y los m componentes del vector de precios de los factores (W).

El modelo no incluye aspectos teóricos sobre la determinación de la demandafinalo los precios de los factores (son exógenos). Al fijarW en forma exógena seasumen ofertas de factores perfectamente elásticas; no hay restricciones a laoferta.

La solución del modelo es sencilla. Primero se eliminan las demandas por inputs, Xij y Fkj

sustituyendo las ecuaciones [E1.5] y [E1.6] en las expresiones [E1.7] y [E1.8], es decir:

∑=

+=n

1jijiji YXAX

∑=

=n

1jjkjk XLF

[E1.10]

[E1.11]

El modelo se condensa en tres bloques de ecuaciones {[E1.9], [E1.10] y [E1.11]} con (2n+m) ecuaciones [1] sobre (3n+2m) variables[2]. Por ejemplo, en un modelo con

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(2n+m) ecuaciones [1] sobre (3n+2m) variables[2]. Por ejemplo, en un modelo con ocho industrias y cuatro factores primarios se tendrían en consideración 20 ecuaciones en 32 [3] variables. El sistema, escrito en forma matricial, toma la siguiente forma:

[1] Pj = n ecuaciones; Xi = n ecuaciones, y Fk = m ecuaciones, en total, 2n+m ecuaciones.[2] X i = n variables; Yj = n variables; Pi = n variables; Fk = m variables, y Wk = m variables, en total, 3n+2m.[3] Las doce variables adicionales son los ocho elementos del vector exógeno de demanda final (Yi) y los cuatro exógenos del vector de precios de los factores (Wk)

YAXX +=

LXF =

LW'AP'P' +=

[E1.10’]

[E1.11’]

[E1.9’]

De E1.10’ se obtienen las demandas por insumos intermedios:

YAXX =−

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YA)X(I =−

YA)(IX 1−−=[E1.12]

El ij -ésimo de la matriz inversa de Leontief,(I-A) -1 muestra la cantidad del bien irequerido en forma directa e indirecta para generar una unidad de producto del bien jcon destino a la demanda final. Los requerimientos directos son capturados por loscoeficientes técnicos de la matrizA. Al hablar de requerimientos indirectos nosreferimos a la circunstancia según la cual insumos requeridos en forma directa en laproducción del bien j pueden requerir insumos del bien i, por ejemplo.

Los niveles de empleo de factores, F, se obtienen de la sustitución de la ecuación [E1.12] en [E1.10’], o sea:

[E1.13] YA)L(IF 1−−=

El elemento kj de la matriz L(I-A) -1 muestra los uso directos e indirectos del factor k en la satisfacción de una unidad de demanda final por el bien j.

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La solución para el vector de precios es, a partir de la ecuación [E1.9’],

1A)L(IW'P' −−=[E1.14]

Esta ecuación muestra que los precios de los bienes son sumas ponderadas de los precios de los factores donde los ponderadores contabilizan los requerimientos directos e indirectos de los factores en la producción de los bienes.

Finalmente, para comprobar que el modelo conforma la identidad del ingreso nacional, se premultiplica [E1.13] por W’ y se posmultiplica [E1.14] por Y con lo cual:

YP'A)L(IW'FW' 1 =−= −[E1.15]

La parte izquierda de esta expresión es una medida de la producción nacional del lado del ingreso; la parte derecha de la identidad es el ingreso nacional medido desde el lado del gasto. El modelo se resume en tres bloques de ecuaciones que se resuelven en forma simultanea para los datos tomados para el año base (verTabla I-O en el siguiente slide):

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simultanea para los datos tomados para el año base (verTabla I-O en el siguiente slide):

YA)(IX 1−−=

YA)L(IF 1−−=

1A)(IW'P' −−=

Demanda por bienes finales

Demanda por factores

Precios de los Bienes

[E1.12]

[E1.13]

[E1.14]

[E1.16]

Una Aplicación Computable

Se ilustra la implementación numérica de un modelos sencillo de I-O a partir de una agregación a ocho sectores de la Matriz de Contabilidad Social (SAM) del Distrito Capital para 1994 que incluye 22 sectores. Los sectores resultantes de la agregación son los siguientes:

• Agropecuario+Minería,• Servicios Públicos,• Bienes de Consumo,

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• Bienes de Consumo,• Bienes de Capital,• Construcción,• Comercio,• Servicios Privados, y• Servicios del Gobierno

Con esta definición se construye la matriz Xij de demandas por inputs intermedios; las sumas verticales y horizontales dan los vectores de producción por industria Xj y de oferta de bienes Xi, respectivamente.

La matriz Fkj de demandas por factores primarias incluye tres factores de producción: Trabajo (cuenta “Remuneración a Asalariados” en la SAM), Capital (“Consumo de Capital Fijo”) y una mezcla contable de estos dos últimos, representada por la cuenta “Excedente Bruto de Explotación”.

Las sumas horizontales de los elementos de esta matriz dan la oferta/utilización de los factores Fk, las sumas verticales dan el consumo de factores por parte de la industria j, Fj.

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En equilibrio se supone que los precios de los bienes y de los factores son iguales a uno: se supone que en la SAM se registran los valores (precios por cantidades) de las transacciones en el año base.

La base de información (benchmark) se presenta en la siguiente tabla. Los datos vienen en miles de millones de pesos.

AGROMIN SERVPUB BSCONSM BSKPTAL CONSTRC COMERCE SSPRIVS SSGOVRNVentas Inter-medias

Demanda Final

Ventas Totales

AGROMIN 4,3 0,0 10,2 0,1 47,4 0,0 0,0 1,0 63,1 106,7 169,7

SERVPUB 3,8 33,4 148,2 10,8 17,4 22,3 41,9 61,1 338,9 301,6 640,5BSCONSM 20,5 6,8 1239,2 55,7 433,5 74,6 138,0 303,6 2271,8 5476,0 7747,8BSKPTAL 0,3 6,2 42,9 39,8 80,1 4,0 11,1 22,6 207,1 349,0 556,1CONSTRC 0,4 14,6 4,7 0,5 11,5 4,2 33,3 51,2 120,4 2860,2 2980,5

Santa Fe de Bogotá, D.C.

TABLA INSUMO-PRODUCTO, 1994(Flujos en Miles de Millones de Pesos)

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CONSTRC 0,4 14,6 4,7 0,5 11,5 4,2 33,3 51,2 120,4 2860,2 2980,5

COMERCE 1,5 4,3 150,1 16,7 83,0 67,1 119,7 74,0 516,2 3069,0 3585,2SSPRIVS 7,2 50,3 523,0 33,5 157,8 265,8 2270,9 383,8 3692,4 3982,2 7674,6SSGOVRN 0,3 2,7 26,6 2,1 0,5 6,8 14,1 87,5 140,5 3954,7 4095,2

Consumo Interm. 38,3 118,2 2144,9 159,2 831,3 444,7 2628,9 984,9 7350,4

FCTRAS 39,1 106,9 1160,4 106,4 442,5 1254,0 2060,0 2059,7 7228,9FCTEBE 88,3 395,7 4192,3 268,9 1562,1 1735,7 2472,7 956,8 11672,5FCTCCF 1,0 27,3 87,1 9,3 67,5 64,5 180,9 24,1 461,8

Total Factores 128,4 530,0 5439,8 384,6 2072,1 3054,2 4713 ,6 3040,6 19363,2Impuestos 3,1 -7,6 163,2 12,3 77,2 86,2 332,1 69,7 736,2

Producción 169,7 640,5 7747,8 556,1 2980,5 3585,2 7674,6 40 95,2 20099,4 20099,4 27449,7

Fuente: DAPD.SECI.Dinámica Urbana -- JCS

En esta tabla balanceada, el vector de Ventas Totales (ventas intermedias más demanda final) iguala al de Producción (consumo intermedio másfactores de producción másimpuestos).

La demanda final se ha supuesto exógena, al igual que el vector de precios de los

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La demanda final se ha supuesto exógena, al igual que el vector de precios de los factores, W.

La solución del modelo debe proporcionar, además de una réplica de la información contenida en la tabla, un vector de precios P compatible con el vector W dado.

El modelo se resume en tres bloques de ecuaciones que se resuelven en forma simultanea para los datos tomados para el año base:

YA)(IX 1−−=

YA)L(IF 1−−=

1A)(IW'P' −−=

Demanda por bienes finales

Demanda por factores

Precios de los Bienes

[E1.12]

[E1.13]

[E1.14]

[E1.16]

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Note que se trata de un sistema cuadrado; se tienen 20 variables endógenas (X, F, P) en 20 ecuaciones.

Juega un papel clave en el modelo la matriz de Leontief, (I-A)-1, que, según se ha dicho, expresa los requerimientos directos e indirectos del bien i necesarios para ofrecer una unidad del bien j con destino a la demanda final. A partir de la matriz Xij, se presentan a continuación las matrices A, y (I-A)-1:

AGROMIN SERVPUB BSCONSM BSKPTAL CONSTRC COMERCE SSPRIVS SSGOVRN

AGROMIN 4,34 0,00 10,19 0,06 47,44 0,00 0,00 1,05SERVPUB 3,84 33,36 148,18 10,76 17,44 22,31 41,89 61,09BSCONSM 20,48 6,77 1239,18 55,70 433,46 74,59 138,03 303,63

Xij = BSKPTAL 0,26 6,21 42,90 39,84 80,12 4,01 11,09 22,65CONSTRC 0,36 14,60 4,72 0,52 11,53 4,17 33,26 51,22COMERCE 1,47 4,26 150,08 16,74 82,97 67,06 119,70 73,96SSPRIVS 7,20 50,34 523,03 33,55 157,82 265,76 2270,86 383,81SSGOVRN 0,34 2,65 26,56 2,06 0,52 6,84 14,05 87,47

(8x8)



Aij = BSKPTAL 0,00 0,01 0,01 0,07 0,03 0,00 0,00 0,01CONSTRC 0,00 0,02 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01

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CONSTRC 0,00 0,02 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01COMERCE 0,01 0,01 0,02 0,03 0,03 0,02 0,02 0,02SSPRIVS 0,04 0,08 0,07 0,06 0,05 0,07 0,30 0,09SSGOVRN 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,02

(8x8)



(I-A)-1 = BSKPTAL 0,00 0,01 0,01 1,08 0,03 0,00 0,00 0,01CONSTRC 0,00 0,02 0,00 0,00 1,00 0,00 0,01 0,01COMERCE 0,01 0,01 0,03 0,04 0,03 1,02 0,02 0,02SSPRIVS 0,08 0,12 0,12 0,11 0,10 0,11 1,43 0,15SSGOVRN 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,02

(8x8)

Dado un vector de demanda final, Y la solución de la ecuación [E1.12] de oferta de bienes es:

YA)(IX 1−−= Oferta Total de Bienes[E1.12]

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AGROMIN SERVPUB BSCONSM BSKPTAL CONSTRC COMERCE SSPRIVS SSGOVRN Y XAGROMIN 1,03 0,00 0,00 0,00 0,02 0,00 0,00 0,00 106,65 169,73SERVPUB 0,03 1,06 0,03 0,03 0,01 0,01 0,01 0,02 301,64 640,52BSCONSM 0,15 0,02 1,20 0,13 0,18 0,03 0,03 0,10 5475,98 7747,82BSKPTAL 0,00 0,01 0,01 1,08 0,03 0,00 0,00 0,01 348,99 556,08CONSTRC 0,00 0,02 0,00 0,00 1,00 0,00 0,01 0,01 x 2860,17 = 2980,54COMERCE 0,01 0,01 0,03 0,04 0,03 1,02 0,02 0,02 3068,98 3585,22SSPRIVS 0,08 0,12 0,12 0,11 0,10 0,11 1,43 0,15 3982,22 7674,60SSGOVRN 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,02 3954,73 4095,23

Del lado de los niveles de empleo de factores, la matriz L de coeficientes técnicos de los factores, multiplicada por la Matriz de Leontief, es decir, L(I-A) -1 proporciona los usos directos e indirectos del factor k necesarios para satisfacer una unidad de la demanda final del bien j:


FCTRAS 0,23 0,17 0,15 0,19 0,15 0,35 0,27 0,50Lkj = FCTEBE 0,52 0,62 0,54 0,48 0,52 0,48 0,32 0,23

16/03/2012 23

Lkj = FCTEBEFCTCCF 0,01 0,04 0,01 0,02 0,02 0,02 0,02 0,01FCTTAX 0,02 -0,01 0,02 0,02 0,03 0,02 0,04 0,02


FCTRAS 0,29 0,23 0,23 0,28 0,23 0,39 0,40 0,59

L(I-A) -1 = FCTEBE 0,67 0,73 0,72 0,67 0,71 0,55 0,50 0,38

FCTCCF 0,01 0,05 0,02 0,02 0,03 0,02 0,04 0,01FCTTAX 0,03 -0,01 0,03 0,03 0,04 0,03 0,06 0,03

Esta última matriz, multiplicada por el vector de demanda final proporciona la solución para la ecuación [E1.13] de empleo de factores:

YA)L(IF 1−−= Demanda por factores[E1.13]

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AGROMIN SERVPUB BSCONSM BSKPTAL CONSTRC COMERCE SSPRIVS SSGOVRN Y FFCTRAS 0,29 0,23 0,23 0,28 0,23 0,39 0,40 0,59 106,65 7228,92FCTEBE 0,67 0,73 0,72 0,67 0,71 0,55 0,50 0,38 x 301,64 = 11672,50FCTCCF 0,01 0,05 0,02 0,02 0,03 0,02 0,04 0,01 5475,98 461,78FCTTAX 0,03 -0,01 0,03 0,03 0,04 0,03 0,06 0,03 348,99 736,17

2860,173068,983982,223954,73

Finalmente, el vector de precios P se obtiene de premultiplicar la matriz L(I-A) -1 ya calculada, por un vector de precios de los factores W:


1 1 1 1 x 0,29 0,23 0,23 0,28 0,23 0,39 0,40 0,590,67 0,73 0,72 0,67 0,71 0,55 0,50 0,38 =

0,01 0,05 0,02 0,02 0,03 0,02 0,04 0,010,03 -0,01 0,03 0,03 0,04 0,03 0,06 0,03

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0,03 -0,01 0,03 0,03 0,04 0,03 0,06 0,03

P' = 1 1 1 1 1 1 1 1

Las soluciones, —X, F, P—, son consistentes con los vectores observados del benchmark; los precios resultantes de los bienes, P, satisfacen los supuestos iniciales. La comprobación de la igualdad del ingreso nacional es rutinaria:

YP'A)L(IW'FW' 1 =−= −

Valor Agregado Valor de la Demanda Final

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F Y1 1 1 1 x 7228,92 = 1 1 1 1 1 1 1 1 x 106,65

11672,50 301,64

461,78 5475,98736,17 348,99 = 20099,37

2860,173068,98

3982,22

3954,73

W' P'

Un Ejercicio de Simulación

Suponga que nos interesa como ejercicio de planeación simular cambios en la demanda final por servicios del gobierno (SSGOVRN); suponga que interesa saber qué sucede si aumentamos/reducimos las compras del gobierno en un 10%

En el equilibrio base ó benchmark, los servicios del gobierno suman 3954.7 miles de millones de pesos.

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Un primer cambio supone un aumento de los servicios del gobierno hasta 4350.17 miles de millones

Un segundo cambio supone disminuir las compras del gobierno hasta 3559.23

Como resultados, en el primer caso, la demanda final aumenta en 1.97% (20494.8 miles de millones), en el segundo caso disminuye en la misma proporción (19703.9 miles de millones). Los resultados aparecen en la siguiente tabla:

Variables BASE +10% GOV -10% GOV +10% GOV -10% GOV

∆∆∆∆% ∆∆∆∆%Y .AGROMIN 107 107 107 - - Y .SERVPUB 302 302 302 - - Y .BSCONSM 5.476 5.476 5.476 - - Y .BSKPTAL 349 349 349 - - Y .CONSTRC 2.860 2.860 2.860 - - Y .COMERCE 3.069 3.069 3.069 - - Y .SSPRIVS 3.982 3.982 3.982 - - Y .SSGOVRN 3.955 4.350 3.559 10,0 10,0 - X .AGROMIN 170 170 169 0,1 0,1 - X .SERVPUB 641 648 633 1,2 1,2 - X .BSCONSM 7.748 7.786 7.709 0,5 0,5 - X .BSKPTAL 556 559 553 0,5 0,5 - X .CONSTRC 2.981 2.986 2.975 0,2 0,2 -

Cambios en X, F, P

dados cambios en la Demanda Final por

Tabla 3

Servicios del Gobierno (Y.SSGOVRN)

16/03/2012 28

X .CONSTRC 2.981 2.986 2.975 0,2 0,2 - X .COMERCE 3.585 3.595 3.576 0,3 0,3 - X .SSPRIVS 7.675 7.735 7.615 0,8 0,8 - X .SSGOVRN 4.095 4.500 3.691 9,9 9,9 - F .FCTRAS 7.229 7.460 6.998 3,2 3,2 - F .FCTEBE 11.672 11.821 11.524 1,3 1,3 - F .FCTCCF 462 467 457 1,1 1,1 - F .FCTTAX 736 747 726 1,4 1,4 - P.AGROMIN 1 1 1 - - P.SERVPUB 1 1 1 - - P.BSCONSM 1 1 1 - - P.BSKPTAL 1 1 1 - - P.CONSTRC 1 1 1 - - P.COMERCE 1 1 1 - - P.SSPRIVS 1 1 1 - - P.SSGOVRN 1 1 1 - - W.FCTRAS 1 1 1 - - W.FCTEBE 1 1 1 - - W.FCTCCF 1 1 1 - -

W.FCTTAX 1 1 1 - -

Cálculos: DAPD.SCEI.DU.JCS

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