UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PEREIRAFACULTAD DE INGENIERIAS

PROGRAMA DE INGENIERIA ELECTRICAANALISIS,TRANSMISION Y FILTRADO DE SENALES

Taller (1) sobre senales y sistemas

1. Clasifique las siguientes senales como senales deenergıa, senales de potencia o si es el caso, ninguna.

a) x(t) = e−atu(t), a > 0

b) x(t) = A cos(ω0t+ θ)

c) x(t) = tu(t)

d) x(t) = e−|t| cos(2t)

R// a)Energıa; b)Potencia;c)Ninguna; d)Energıa

2. Demuestre que si x(t) es una senal periodicacon periodo T0, entonces su potencia medianormalizada Px definida como:

Px = lımT→∞

1

T

T2∫

−T2

|x(t)|2 dt

Es igual a la potencia media normalizada de x(t)sobre un periodo de la senal T0:

Px =1

T0

T02∫

−T02

|x(t)|2 dt

3. Sea una senal x(t) como se muestra en la figura:

( )x t

t1

1

-1

a) Representar x(t) en terminos de escalonesunitarios.

b) Representar y bosquejar la derivada.

NOTA: Como la senal x(t) no es una funcionderivable en 1, representar su derivada sobre t ∈(−∞,∞)− 1.

R// a) (t+ 1)u(t+ 1)− 2tu(t) + (t− 1)u(t− 1)

4. Para una senal en tiempo continuo x(t) como semuestra en la figura, bosquejar cada una de lassiguientes senales.

( )x t

4

3

t

a) x(t− 2)

b) x(2t)

c) x(t/2)

d) x(−t)

5. Para una senal de tiempo discreto x[n] como semuestra en la figura, bosquejar cada una de lassiguientes senales.

[ ]x n

n-1 0 1 3-1 0 2 4 5

1

2

3 3

a) x[n− 3]

b) x[2n]

c) x[−n]

d) x[−n+ 2]

6. Usando las senales en tiempo discreto x1[n] y x2[n]tal como se muestran en la figura, representar cadauna de las siguientes senales graficamente y por unasecuencia de numeros.

21[ ]x n

n-1 0 1 3-1 0 2 4 5

1

2

3

-2 6

2 2

2[ ]x n

n0 13-1

0 2 4

2

-2-3

2 2

2

2

a) y1[n] = x1[n] + x2[n]

b) y2[n] = 2x1[n]

c) y3[n] = x1[n]x2[n]

7. Considerando el sistema de la figura.

X

Multiplier ( ) ( ) cos( )cy t x t tw=( )x t

cos( )ctw

Determine si el sistema es:

a) Sin memoria

b) Causal

c) Lineal

d) Invariante con el tiempo

e) Estable

8. Considerando el sistema de la siguiente figura.

Unitdelay

[ ]x n [ ] [ 1]y n x n= -

Determine si el sistema es:

a) Sin memoria

b) Causal

c) Lineal

d) Invariante con el tiempo

e) Estable

9. Verifique que:

a) x(t) ∗ δ(t− t0) = x(t− t0)

b) x(t) ∗ u(t) =t∫−∞

x(τ)dτ

c) x(t) ∗ h(t) = h(t) ∗ x(t)

d) [x(t) ∗ h1(t)] ∗ h2(t) = x(t) ∗ [h1(t) ∗ h2(t)]

10. Determine y bosqueje la senal de salida y[n] de unsistema LTI cuya respuesta al impulso, h[n], y lasenal de entrada x[n], estan dadas como:

a)

h[n] =

αn, 0 ≤ n ≤ 6

0, de otra forma

x[n] =

1, 0 ≤ n ≤ 4

0, de otra forma

Siendo α > 1.

b)h[n] = u[n− 1]

x[n] = 3nu[−n− 1]

11. Determine y bosqueje la senal de salida y(t) deun sistema LTI cuya respuesta al impulso, h(t), yla senal de entrada, x(t), estan definidas por lassiguientes graficas:

( )x t

( )h t

t3

1

t2

1

R// tu(t) + (2− t)u(t− 2) + (3− t)u(t− 3) + (t− 5)u(t− 5)

12. Determine si cada una de las siguientes senales esperiodica o no. Si la senal es periodica, determine superiodo fundamental T0.

a) x(t) = cos(2π3 t+ π

4

)b) x[n] = cos

(π3n)

+ sen(π4n)

c) x(t) = cos t+ sen√

2 t

d) x[n] = ej(5π/6k)n; k ∈ Re) x(t) = sent+ sen t/3 + sen t/5

R// a)T0 = 3s; b)T0 = 24s;c)No es periodica; d)T0 = 12k/5s;

e)30πs.

13. Exprese los valores de Ω1 y Ω2 para que la senal x[n]sea una senal periodica.

x[n] = cos(Ω1n) + cos(Ω2n)

314. Demuestre que si x(t+ T ) = x(t), entonces:

β∫α

x(t)dt =

β+T∫α+T

x(t)dt

Para cualquier α, β ∈ R

15. Sean las senales ortogonales x(t) y y(t) definidas enel intervalo [t1, t2], y ademas, z(t) = x(t) + y(t) en elmismo intervalo de tiempo. Demuestre que:

Ez = Ex + Ey

16. Determine la constante A para que las senales ϕ1(t)y ϕ2(t) sean ortogonales en el intervalo (−∞,∞).

ϕ1(t) = e−|t| ; ϕ1(t) = 1−Ae−2|t|

R//A = 3.

17. Sea una funcion g(t) dada como:

g(t) =

∞∑i=1

ciϕi(t)

Demostrar el teorema de Parseval para senales deenergıa:

Eg =

∞∑i=1

c2iEϕi

18. Un grupo de polinomios de Legendre Pn(x), (n =0, 1, 2, ...) forman un espacio completo de funcionesortogonales en el intervalo (−1, 1).

a) Verifique la ortogonalidad para los tresprimeros termino del espacio funcional deLegendre.

b) Represente la senal f(t) = − |t| en el intervalo(−1, 1) usando el conjunto de funcionesverificado en el numeral anterior (a).

c) Calcular el error de la representacion de lasenal.

Nota: Se puede definir los polinomios de Legendrepor medio de la formula de Rodrıguez:

Pn(t) =1

2nn!

dn

dtn(t2 − 1

)n; n = 0, 1, 2, ...

R// b)E1 = 2,E2 = 2/3,E3 = 2/5,C1 = 1/2, C2 = 0, C3 = 5/8.