Inspección Departamental de Educación Inicial Inspección Departamental de Educación Inicial y Primaria de Tacuarembóy Primaria de Tacuarembó

Jornadas de Apoyo a la Enseñanza de la MatemáticaJornadas de Apoyo a la Enseñanza de la Matemática

Cuarto Taller Numeración RacionalCuarto Taller Numeración Racional

Mtros Edgardo Andino y Griselda GuigouMtros Edgardo Andino y Griselda Guigou

TacuarembóTacuarembó

Noviembre Noviembre

20102010

ASPECTOS QUE PRETENDEMOS ABORDAR EN LA JORNADA DE HOYASPECTOS QUE PRETENDEMOS ABORDAR EN LA JORNADA DE HOY

Revisión algunos aspectos del trabajo con fracciones; análisis didáctico de Revisión algunos aspectos del trabajo con fracciones; análisis didáctico de problemas.problemas.

Números decimales: cuestiones básicas.Números decimales: cuestiones básicas.

Operaciones con números decimales:Operaciones con números decimales: *SUMA Y RESTA*SUMA Y RESTA *COCIENTE DECIMAL DE DOS NÚMEROS *COCIENTE DECIMAL DE DOS NÚMEROS NATURALES.NATURALES. *¿DIVIDIR POR 10, 100, 1000 O MULTI-*¿DIVIDIR POR 10, 100, 1000 O MULTI- PLICAR POR 0,1; 0,01; 0,001?PLICAR POR 0,1; 0,01; 0,001?

GEOMETRÍAGEOMETRÍA

Una propuesta didáctica para su abordaje: DESDE LAS CONSTRUCCIONES A Una propuesta didáctica para su abordaje: DESDE LAS CONSTRUCCIONES A LAS DEMOSTRACIONES.LAS DEMOSTRACIONES.

… … continuamos con la revisión del trabajo con fracciones continuamos con la revisión del trabajo con fracciones

a) De un ramo de 12 flores, ¼ son rosas. a) De un ramo de 12 flores, ¼ son rosas. ¿cuántas flores son rosas?¿cuántas flores son rosas?

b) Juan le regala la mitad de sus 68 figuritas a b) Juan le regala la mitad de sus 68 figuritas a un compañero. ¿cuántas figuritas le regala?.un compañero. ¿cuántas figuritas le regala?.

c) En el último examen, ¾ de los 40 alumnos c) En el último examen, ¾ de los 40 alumnos obtuvo un puntaje superior a 6. ¿qué cantidad obtuvo un puntaje superior a 6. ¿qué cantidad de alumnos tuvo esas notas?.de alumnos tuvo esas notas?.

d) María pegó 27 figuritas en su álbum. Si el d) María pegó 27 figuritas en su álbum. Si el álbum completo tiene 54 figuritas, ¿qué parte álbum completo tiene 54 figuritas, ¿qué parte del álbum completó?.del álbum completó?.

VValor alor PPosicional …osicional … 1) si sólo se pudieran apretar las teclas “0”, “1”; “,”; “+” de la 1) si sólo se pudieran apretar las teclas “0”, “1”; “,”; “+” de la

calculadora:calculadora:a)¿Cómo podrían escribirse los siguientes números?. Anoten las a)¿Cómo podrían escribirse los siguientes números?. Anoten las

cuentas que harían.cuentas que harían. 0,2; 0,003; 0,005; 0,25; 0,375; 341,4060,2; 0,003; 0,005; 0,25; 0,375; 341,406b) Para anotar un número, Juan sumó 3 veces 0,001; 3 veces 0,1 y 4 b) Para anotar un número, Juan sumó 3 veces 0,001; 3 veces 0,1 y 4

veces 0,01.¿Qué número anotó?.veces 0,01.¿Qué número anotó?.c) Intenta armar 1,02 de dos maneras diferentes. ¿y 1,2?c) Intenta armar 1,02 de dos maneras diferentes. ¿y 1,2?d) ¿Qué número se arma sumando 10 veces =0,1; 10 veces 0,01 y 10 d) ¿Qué número se arma sumando 10 veces =0,1; 10 veces 0,01 y 10

veces 0,001?veces 0,001? 2)Responde:2)Responde: a) ¿Qué número se arma haciendo 5 x 0,1 + 3 x 0,01?a) ¿Qué número se arma haciendo 5 x 0,1 + 3 x 0,01? b) ¿Qué números se forman haciendo los siguientes cálculos?b) ¿Qué números se forman haciendo los siguientes cálculos? 4 x 0,1 + 3,001 + 5 x 0,0014 x 0,1 + 3,001 + 5 x 0,001 7 x 0,1 + 6 x 0,0017 x 0,1 + 6 x 0,001 2 x 0,01 + 5 x 0,0012 x 0,01 + 5 x 0,001

Continuamos resolviendo …Continuamos resolviendo …

Si en el visor de la calculadora escriben el Si en el visor de la calculadora escriben el número 3,452 ¿qué cálculo hay que hacer en la número 3,452 ¿qué cálculo hay que hacer en la máquina para que aparezca el número 3,402 sin máquina para que aparezca el número 3,402 sin borrar? ¿Y para que aparezca 3,052?borrar? ¿Y para que aparezca 3,052?

Si en el visor de la calculadora está el número Si en el visor de la calculadora está el número 2,347 ¿qué deben hacer para que aparezca el 2,347 ¿qué deben hacer para que aparezca el número 2,007 sin borrar?número 2,007 sin borrar?

… … continuamoscontinuamos

Pensando con la calculadora.Pensando con la calculadora. a) Si anotas en la calculadora 29,8; sumas 0,1 y sigues apretando la a) Si anotas en la calculadora 29,8; sumas 0,1 y sigues apretando la

tecla “=“, se suman 0,1 cada vez que vuelves a apretar “=“.tecla “=“, se suman 0,1 cada vez que vuelves a apretar “=“.

Anota qué números irán apareciendo si aprietas 5 veces la tecla “=“.Anota qué números irán apareciendo si aprietas 5 veces la tecla “=“.Después verifícalo con la calculadora.Después verifícalo con la calculadora. b) ¿y si a 29 le sumas 0,01?b) ¿y si a 29 le sumas 0,01?

c) si a 124,77 le sumas 0,01 y sigues apretando “=“. ¿qué números c) si a 124,77 le sumas 0,01 y sigues apretando “=“. ¿qué números irán apareciendo?irán apareciendo?

¿cuántas veces hay que sumar 0,01 para llegar a 125?¿cuántas veces hay que sumar 0,01 para llegar a 125?

d) Si queremos ir de 13,6 a 14 sumando 0,01, ¿cuántas veces d) Si queremos ir de 13,6 a 14 sumando 0,01, ¿cuántas veces habrá que apretar la tecla “=“?habrá que apretar la tecla “=“?

¿y si l0 hiciéramos sumando de a 0,001?¿y si l0 hiciéramos sumando de a 0,001?

OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES: OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES: SUMA Y RESTASUMA Y RESTA En la caja del supermercado ves que tu compra es de $65,75. En la caja del supermercado ves que tu compra es de $65,75.

Sin embargo la cajera te dice $66. Pagas. ¿Has pensado cuánto Sin embargo la cajera te dice $66. Pagas. ¿Has pensado cuánto dinero extra recauda el comercio en 4 ventas por ese monto?. dinero extra recauda el comercio en 4 ventas por ese monto?. ¿Con cuántas ventas por ese monto recaudaría $17?¿Con cuántas ventas por ese monto recaudaría $17?

Si en el visor de la calculadora tienes el número 0,234 ¿qué Si en el visor de la calculadora tienes el número 0,234 ¿qué operación deberías hacer para que aparezca …operación deberías hacer para que aparezca …

0,134; 0,244; 1,234; 0,235; 0,240,134; 0,244; 1,234; 0,235; 0,24

Resolver mentalmente Resolver mentalmente 10 + 0,2; 4 + 0,002; 1 – 0,5; 10 + 0,2 + 0,003; 2 – 1,1; 0,5 + 0,05 + 10 + 0,2; 4 + 0,002; 1 – 0,5; 10 + 0,2 + 0,003; 2 – 1,1; 0,5 + 0,05 +

0,005;0,005;

Suma 0,9 a cada uno de los siguientes números:Suma 0,9 a cada uno de los siguientes números: 3,1; 3,11; 4,25; 0,73; 2,993,1; 3,11; 4,25; 0,73; 2,99Resta 0,9 a cada uno de los siguientes números.Resta 0,9 a cada uno de los siguientes números.8,6; 3,4; 12,5; 8,258,6; 3,4; 12,5; 8,25

Cociente decimal de dos números decimalesCociente decimal de dos números decimales

En una ruta que tiene 18 kilómetros quieren ubicar 25 En una ruta que tiene 18 kilómetros quieren ubicar 25 carteles publicitarios a igual distancia. ¿Cada cuántos carteles publicitarios a igual distancia. ¿Cada cuántos kilómetros deben colocarse?kilómetros deben colocarse?

¿Dividir por 10; 100; 1000; o multiplicar por 0,1; 0,01; ¿Dividir por 10; 100; 1000; o multiplicar por 0,1; 0,01; 0,001?0,001?

Sabemos queSabemos que 1 : 10 = 0,11 : 10 = 0,1Y también sabemos que 1 x 0,1 = 0,1Y también sabemos que 1 x 0,1 = 0,1De manera análoga: 2 : 10 = 0,2De manera análoga: 2 : 10 = 0,2Y también sabemos que 2 x 0,1 = 0,2; Y también sabemos que 2 x 0,1 = 0,2; 3 : 10 = 0,33 : 10 = 0,3 3 x 0,1 = 0,33 x 0,1 = 0,3 52 : 10 = (50 + 2) : 10 = 50 : 10 + 2 : 10 =52 : 10 = (50 + 2) : 10 = 50 : 10 + 2 : 10 = 5 + 0,2 = 5,25 + 0,2 = 5,2 52 x 0,1 = 50 x 0,1 + 2 x 0,1 = 5 + 0,2 = 5,252 x 0,1 = 50 x 0,1 + 2 x 0,1 = 5 + 0,2 = 5,2

Iniciación al estudio de la Geometría:Iniciación al estudio de la Geometría: de las de las construcciones a las demostracionesconstrucciones a las demostraciones

““Es reconocido por diferentes autores que numerosos Es reconocido por diferentes autores que numerosos conocimientos geométricos se originan a partir de la necesidad de conocimientos geométricos se originan a partir de la necesidad de resolver diferentes problemas de índole espacial ligados a la resolver diferentes problemas de índole espacial ligados a la medida. Michel Serres (1996), plantea a la vez orígenes medida. Michel Serres (1996), plantea a la vez orígenes naturalistas y culturalistas de la geometría. Comparte por un lado la naturalistas y culturalistas de la geometría. Comparte por un lado la idea de que los primeros conocimientos geométricos se asociaron a idea de que los primeros conocimientos geométricos se asociaron a las crecidas periódicas del Nilo en Egipto, que provocaban la las crecidas periódicas del Nilo en Egipto, que provocaban la inundación de las tierras de cultivo. He allí la cuestión naturalista, inundación de las tierras de cultivo. He allí la cuestión naturalista, asociada a un tratamiento más empírico de los objetos: se asociada a un tratamiento más empírico de los objetos: se precisaba redistribuir a sus propietarios terrenos de dimensiones precisaba redistribuir a sus propietarios terrenos de dimensiones equivalentes a los perdidos. La resolución de este problema equivalentes a los perdidos. La resolución de este problema demandaba “medir lo que no se podía medir”. Se presentaba quizás demandaba “medir lo que no se podía medir”. Se presentaba quizás aquí la primera separación entre el espacio físico real ( y su aquí la primera separación entre el espacio físico real ( y su tratamiento empírico) y un espacio imaginado, o bien representado.tratamiento empírico) y un espacio imaginado, o bien representado.

12(ntes) junio 2008. Claudia Broitman – Horacio Itzcovich12(ntes) junio 2008. Claudia Broitman – Horacio Itzcovich

““Serres se interroga también acerca de cuál era la necesidad de medir Serres se interroga también acerca de cuál era la necesidad de medir para redistribuir las tierras anegadas: el pago de los impuestos que los para redistribuir las tierras anegadas: el pago de los impuestos que los propietarios de las tierras debían efectuar. Y ese pago debía ser propietarios de las tierras debían efectuar. Y ese pago debía ser proporcional a las dimensiones del terreno. Es decir, entra en juego proporcional a las dimensiones del terreno. Es decir, entra en juego una visión más culturalista: se disputa una porción del poder. De este una visión más culturalista: se disputa una porción del poder. De este modo y según Serres, la geometría “ no reproduce la tierra ni el cielo”, modo y según Serres, la geometría “ no reproduce la tierra ni el cielo”, sino que pone en comunicación la naturaleza y la cultura.sino que pone en comunicación la naturaleza y la cultura.

Otros autores (Santaló, 1961) afirman que toda la geometría – hasta Otros autores (Santaló, 1961) afirman que toda la geometría – hasta que se elaboraron los Elementos de Euclides -, no es más que “una que se elaboraron los Elementos de Euclides -, no es más que “una reunión de reglas empíricas para medir o dividir figuras”. Parecería ser reunión de reglas empíricas para medir o dividir figuras”. Parecería ser que la construcción de objetos geométricos se fue desprendiendo de que la construcción de objetos geométricos se fue desprendiendo de los objetos reales que pudieron haber sido “fuente de inspiración” y se los objetos reales que pudieron haber sido “fuente de inspiración” y se transformaron en objetos ideales: punto, línea, triángulo, cuadrado, transformaron en objetos ideales: punto, línea, triángulo, cuadrado, etc. etc.

Estos objetos teóricos responden a propiedades que los objetos reales Estos objetos teóricos responden a propiedades que los objetos reales no verifican. Hay una idea, un concepto como el de circunferencia: no verifican. Hay una idea, un concepto como el de circunferencia: línea formada por todos los puntos que equidistan de uno dado ( el línea formada por todos los puntos que equidistan de uno dado ( el centro de la circunferencia). Cualquier circunferencia trazada sobre la centro de la circunferencia). Cualquier circunferencia trazada sobre la arena, la pizarra o un papel es una representación de esa idea; en arena, la pizarra o un papel es una representación de esa idea; en otras palabras, esa circunferencia trazada es la imagen sensible, otras palabras, esa circunferencia trazada es la imagen sensible, visible, del “lugar” que ocuparía una circunferencia ideal, y nos remite visible, del “lugar” que ocuparía una circunferencia ideal, y nos remite a esa idea.”a esa idea.”

12(ntes) junio 2008 Claudia Broitman Horacio Itzcovich12(ntes) junio 2008 Claudia Broitman Horacio Itzcovich

““Asumir esta concepción acerca de la geometría implica Asumir esta concepción acerca de la geometría implica centrar la atención en el modo de dar cuenta de la centrar la atención en el modo de dar cuenta de la validez de los resultados y propiedades que se elaboran. validez de los resultados y propiedades que se elaboran. Es decir, si los objetos ya no son reales, si se alejaron Es decir, si los objetos ya no son reales, si se alejaron de las mediciones, decidir si algo es verdadero o falso de las mediciones, decidir si algo es verdadero o falso no puede apoyarse en la percepción ni en la medida. no puede apoyarse en la percepción ni en la medida. Requerirá de argumentos que se sostengan en las Requerirá de argumentos que se sostengan en las propiedades de los objetos geométricos. La validación propiedades de los objetos geométricos. La validación racional será uno de los aspectos centrales del trabajo racional será uno de los aspectos centrales del trabajo geométrico. Introducir a los alumnos en la Geometría geométrico. Introducir a los alumnos en la Geometría implicará tanto el abandono o la superación de la implicará tanto el abandono o la superación de la justificación por medio de la percepción o la medida, justificación por medio de la percepción o la medida, como la entrada en esta clase de como la entrada en esta clase de racionalidad. racionalidad. Para Para justificar la verdad de una proposición será necesario justificar la verdad de una proposición será necesario establecer una red de relaciones que permitan dar establecer una red de relaciones que permitan dar cuenta de esa verdad sólo desde las razones. La cuenta de esa verdad sólo desde las razones. La validación implicará encontrar razones validación implicará encontrar razones “por qué pasa “por qué pasa lo que pasa”,lo que pasa”, y “por qué es necesariamente así”. y “por qué es necesariamente así”.

12(ntes) junio 2008. Claudia Broitman – Horacio Itzcovich.12(ntes) junio 2008. Claudia Broitman – Horacio Itzcovich.

““Progresivamente se ha ido configurando un modo particular de Progresivamente se ha ido configurando un modo particular de hacer geometría, que podría caracterizarse, sintéticamente, de la hacer geometría, que podría caracterizarse, sintéticamente, de la siguiente manera:siguiente manera:

Los objetos de la geometría (puntos, figuras, cuerpos, etc.) no Los objetos de la geometría (puntos, figuras, cuerpos, etc.) no pertenecen a un espacio físico real, sino a un espacio teórico.pertenecen a un espacio físico real, sino a un espacio teórico.

Los dibujos trazados son representantes de esos objetos Los dibujos trazados son representantes de esos objetos teóricos.teóricos.

Muchos problemas geométricos pueden ser, en un comienzo, Muchos problemas geométricos pueden ser, en un comienzo, explorados empíricamente, analizando diferentes dibujos que explorados empíricamente, analizando diferentes dibujos que resultan sumamente útiles o recurriendo a mediciones. Estas resultan sumamente útiles o recurriendo a mediciones. Estas experiencias permiten la obtención de resultados y la experiencias permiten la obtención de resultados y la formulación de conjeturas. Será necesario transformar formulación de conjeturas. Será necesario transformar mediante argumentos dichas conjeturas en verdades mediante argumentos dichas conjeturas en verdades demostradas.demostradas.

Los enunciados, relaciones y propiedades son generales, y se Los enunciados, relaciones y propiedades son generales, y se explicitan las condiciones a partir de las cuales una colección explicitan las condiciones a partir de las cuales una colección de objetos las cumplen.de objetos las cumplen.

Para socializarlas adquieren un cierto nivel de Para socializarlas adquieren un cierto nivel de convencionalidad en su formulación”convencionalidad en su formulación”

12(ntes) junio 2008. Claudia Broitman – Horacio Itzcovich12(ntes) junio 2008. Claudia Broitman – Horacio Itzcovich

““Promover un tratamiento de los objetos geométricos en Promover un tratamiento de los objetos geométricos en la enseñanza que se aproxime lo más fielmente posible la enseñanza que se aproxime lo más fielmente posible a la actividad geométrica plantea numerosas a la actividad geométrica plantea numerosas interrogantes: ¿cómo generar condiciones que permitan interrogantes: ¿cómo generar condiciones que permitan a los alumnos involucrarse en la producción de a los alumnos involucrarse en la producción de conocimientos geométricos? ¿Cómo introducir a los conocimientos geométricos? ¿Cómo introducir a los alumnos en aquellos objetos reconocidos en el sistema alumnos en aquellos objetos reconocidos en el sistema educativo (suma de los ángulos interiores del triángulo, educativo (suma de los ángulos interiores del triángulo, propiedad de existencia de los tríángulos, etc.) propiedad de existencia de los tríángulos, etc.) simultáneamente con esa racionalidad propia del trabajo simultáneamente con esa racionalidad propia del trabajo geométrico?. ¿Cómo enseñar a los alumnos, geométrico?. ¿Cómo enseñar a los alumnos, a inferir – a inferir – a partir de los datos y de las propiedades -, a partir de los datos y de las propiedades -, relaciones que no están explicitadas y que llevarán a relaciones que no están explicitadas y que llevarán a establecer el carácter necesario de los resultados?”establecer el carácter necesario de los resultados?”

12(ntes) junio 2008. Claudia Broitman – Horacio Itzcovich.12(ntes) junio 2008. Claudia Broitman – Horacio Itzcovich.

““Una primera cuestión a considerar es la distinción entre dibujos y Una primera cuestión a considerar es la distinción entre dibujos y figuras geométricas. figuras geométricas. Los dibujos no “muestran” las propiedades Los dibujos no “muestran” las propiedades que definen a las figuras, sino que los conocimientos de los que definen a las figuras, sino que los conocimientos de los sujetos acerca de los objetos geométricos son los que sujetos acerca de los objetos geométricos son los que determinan quédeterminan qué puede “verse” en ellos.puede “verse” en ellos. La presentación La presentación ostensiva de dibujos promueve algunos errores habituales: los ostensiva de dibujos promueve algunos errores habituales: los alumnos asignan propiedades “observables en los dibujos a las alumnos asignan propiedades “observables en los dibujos a las figuras, por ejemplo la posición en la hoja, el color, proporciones figuras, por ejemplo la posición en la hoja, el color, proporciones típicas aunque innecesarias entre elementos, etc. (Berthelot y Salin típicas aunque innecesarias entre elementos, etc. (Berthelot y Salin 1994, Fregona, 1995). 1994, Fregona, 1995).

Parte del desafío consiste entonces en ofrecer oportunidades a los Parte del desafío consiste entonces en ofrecer oportunidades a los alumnos de reconocer que la figura es un conjunto de relaciones alumnos de reconocer que la figura es un conjunto de relaciones que la definen y caracterizan.”que la definen y caracterizan.”

12(ntes) junio 2008. Caludia Broitman – Horacio Itzcovich12(ntes) junio 2008. Caludia Broitman – Horacio Itzcovich