taller no. 5 procesos estoc sticos
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Procesos Estoc SticosTRANSCRIPT
Universidad Distrital Francisco José de CaldasProcesos EstocásticosTaller No. 5Profesor. Luis Alejandro Másmela Caita
Nombre. David Leonardo Garzón Vanegas
Ejercicios
Demostrar los siguientes teoremas:
1. Teorema 3.1. Una condición necesaria y su�ciente para el caso de que E sea persistente es
que∑uj diverge.
Prueba.
Si E es transitorio, entonces tenemos∑fn = f < 1. Por el Teorema de Convergencia de Abel,
implica que lımx→1 F (x) = f . En consecuencia,
lımx→1
U (x) = lımx→1
1
1− F (x)=
1
1− F (1)=
1
1− fNuevamente por el Teorema de Convergencia de Abel, tenemos que
u =∞∑i=0
un =1
1− f<∞
y por lo tanto
f = (u− 1) /u
Por otra parte, si E no es transitorio, entonces E es persistente, f =∑∞
n=0 fn = 1, y lımx→1 F (x) =
1, es decir,
lımx→1
F (x) = lımx→1
U (x)− 1
U (x)=U (1)− 1
U (1)= 1
Luego, por U(x) = 1/ [1− F (x)] lımx→1 U (x) = ∞. Por el Teorema de Convergencia de Abel,
asegura que u =∑∞
n=0 un =∞ y este∑∞
n=0 un no puede converger.
2. Teorema 3.2. Sea E un evento recurrente persistente no periódico con tiempo media de
recurrencia µ =∑nfn = F ′ (1), entonces
un → µ−1 cuando n→∞
1
Como preparación para demostrar este teorema necesitamos algunos resultados previos que reuni-
mos en los siguiente Teorema.
Teorema 1. Si E es persistente y µ es el tiempo media de recurrencia, entonces
a. lımx→1 F(1) (x) = µ (≤ ∞),
b. lımx→11−F (x)1−x = µ (≤ ∞),
c. lımx→1(1− x)U (x) = 1µ
(= 0 si µ =∞).
Tomado de: HUNTER, Je�rey. Mathematical techniques of applied probability Volume
I. Discrete Time Models: Basic Theory. Academic Press, Inc. London. 1983.
Prueba.
La principal di�cultad de probar este teorema es demostrar que lımn→∞ un que existe de hecho. Si
asumimos que un converge a un límite �nito, entonces por la parte c del Teorema 2 implica que
lımn→∞
un = lımx→1
(1− x)∞∑n=0
unxn =
1
µ
3. Teorema 3.3. Si E es persistente con periodo t, entonces
unt → tµ−1 cuando n→∞
y uk = 0 por cada k no divisible por t.
Prueba
Sea F (x) una función generadora de probabilidad aperiódico. Si no tiene sólo potencias de xt
para algún entero t > 1. Por el Teorema 3.2 a�rma que si F (x) es una función generadora de
probabilidad aperiódica y U (x) =∑∞
n=0 unxn = 1/ [1− F (x)], entonces un → 1/F (1) (1) .
Ahora, si E tiene periodo t entonces F (x) no es aperiódico pero G (x) = F(x1/t)es una función
generadora de probabilidad aperiódica. También, U(x1/t)
= 1/[1− F
(x1/t)]
= 1/ [1−G (x)].
Por lo tanto, unt es igual a los coe�cientes de xn en U(x1/t). Finalmente,
lımn→∞
unt =1
G(1) (1)=
t
F (1) (1)=t
µ
2