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Taller de Matemáticas I Semana 3 y 4

1 Universidad CNCI de México

Taller de Matemáticas I



Temario 1. La igualdad matemática

1.1. Identidades y ecuaciones 1.2. Propiedades de la igualdad 1.3. Propiedades de los números reales

2. Ecuación de primer grado con una incógnita 2.1. Solución de una ecuación lineal mediante el método formal 2.2. Solución de una ecuación lineal mediante el método de transposición de términos. 2.3. Solución de una ecuación lineal mediante el método gráfico 2.3.1. Ecuación de primer grado con dos incógnitas 2.3.2. Introducción a las funciones 2.3.3. Plano cartesiano 2.3.4. La función lineal y su relación con la ecuación lineal 2.3.5. Graficación mediante tabulación 2.3.6. Graficación a partir de la pendiente y la ordenada al origen 2.3.7. Graficación por medio de las intersecciones con los ejes 3. Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas 3.1. Clasificación de los sistemas de ecuaciones 3.2. Métodos de solución de sistemas 2×2 3.2.1. Método de suma y resta 3.2.2. Método de sustitución 3.2.3. Método de igualación 3.2.4. Método gráfico

3.2.5. Método por determinantes 4. Sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas 4.1. Métodos de solución de sistemas 3×3 4.1.1. Método gráfico 4.1.2. Método por determinantes 4.1.3. Método de sustitución 5. Ecuaciones cuadráticas

5.1. Métodos de solución de ecuaciones cuadráticas 5.1.1. Método de solución por despeje de ecuaciones cuadráticas puras 5.1.2. Método de solución por factorización de ecuaciones cuadráticas mixtas

5.1.3. Método de solución completando el trinomio cuadrado perfecto 5.1.4. Método de solución por fórmula general



6. Funciones cuadráticas

6.1. Características de una ecuación cuadrática 6.1.1. Elementos de la parábola 6.1.2. Sentido de la parábola 6.1.3. Tipos de soluciones a partir de sus coeficientes 6.2. Gráfica de una ecuación cuadrática 7. Forma estándar de una función cuadrática 7.1. Desplazamiento vertical 7.2. Desplazamiento horizontal



Semana 3 Sesión 9 Los temas a revisar el día de hoy son:

1. La igualdad matemática 1.1. Identidades y ecuaciones 1.2. Propiedades de la igualdad 1.3. Propiedades de los números reales

2. Ecuación de primer grado con una incógnita 2.1. Solución de una ecuación lineal mediante el método formal 2.2. Solución de una ecuación lineal mediante el método de transposición de términos. 2.3. Solución de una ecuación lineal mediante el método gráfico 2.3.1. Ecuación de primer grado con dos incógnitas

1. La igualdad matemática Una igualdad matemática se compone de dos expresiones unidas por el signo igual. Matemáticamente hablando, dos expresiones algebraicas serán iguales si tienen precisamente el mismo valor:

expresión 1 = expresión 2 Ejemplo 1. Clasifica las siguientes expresiones algebraicas de acuerdo a sus componentes.

Ahora bien, puedes visualizar una igualdad como una balanza en equilibrio, donde el equilibrio no se debe perder nunca; es decir, si de un lado de ésta hay determinada cantidad y se coloca o quita una parte, la misma parte deberá ser retirada o añadida del otro lado.

Añadiendo una cantidad x

a ambos lados de la balanza

27243 +=++

538 =−

( ) 22 2 2 y xy xyx ++=+

012 =− a

Como sólo tienen números, se denominanigualdades numéricas,

mientras que a estas dos se les conoce como igualdades algebraicas debido a que contienen números y literales.



Ejemplo: Dos vendedores de agua fresca, Carlos y Claudia, tienen tres jarras con agua de frutas cada uno. Carlos ha colocado en la primera jarra medio litro de agua de jamaica, en la segunda tiene un tercio de litro de agua de horchata y en la tercer jarra tiene un litro de agua de limón. Claudia ha colocado tres cuartos de litro de agua de naranja en la primera jarra, un cuarto de litro de agua de melón en la segunda, y cinco sextos de litro de agua de mango en la tercera jarra. ¿Qué harías para saber cuál de los dos vendedores tiene más agua? Carlos que colocó en tres jarras medio litro de agua de jamaica, un tercio de litro de agua de horchata y un litro de agua de limón respectivamente; o Claudia que colocó en tres jarras tres cuartos de litro de agua de naranja, un cuarto de litro de agua de melón y cinco sextos de litro de agua de mango. Lo primero que debes hacer es plantear una igualdad para cada uno de los vendedores:

Matemáticamente puedesdecir que: , y parece bastante lógico, ¿no?

Siguiendo con la balanza, supón que le sumas (añades) una cantidad cualquiera, en este casorepresentada por un vaso de agua, entonces:

Observaque no es tan difícil mantenerel balance en una igualdad matemática.

Ahora, la pregunta es, ¿será equivalente la siguiente expresión?

Analiza: 0.5 + 0.5 es igual a 1, por lo tanto, puedes decir que la expresión anterior sí es equivalente yque por lo tanto, esa igualdad puede ser tratada como cualquier otra.

Otra forma de presentarte una igualdad es la siguiente:

En esta expresión tienes una parte desconocida, la x, pero rápidamente sabes que el valor de x debeser 0.5 para que el “equilibrio” de la igualdad se conserve.

kg 0.5 kg 0.5 kg 1 +=

x 0.5 1 +=

Cantidad de aguade Carlos

Cantidad de aguaen la jarra 1


Cantidad de aguaen la jarra 3= + +

Cantidad de agua de Claudia



Cantidad de aguaen la jarra 3= + +



Después establece una incógnita para cada uno (x para Carlos, y para Claudia), y resuélvelas:

Comparando resultados, los dos vendedores tienen la misma cantidad de agua en sus jarras. 1.1. Identidades y ecuaciones Como sabes, una igualdad algebraica se compone de números y literales. En la siguiente figura puedes ver su clasificación, tomando en cuenta si la igualdad se verifica para todos o sólo algunos números reales. Se hablará de una identidad cuando la igualdad se cumpla para cualquier valor que se le dé a sus literales. Tendrás una ecuación cuando la igualdad se cumpla sólo para algunos valores que se le den a sus literales o incógnitas. Ejemplo. Verifica por qué la expresión es una identidad. Para que una expresión algebraica sea una identidad, es necesario que la igualdad se mantenga, aun cuando sus literales tomen cualquier valor. Si arbitrariamente le das los siguientes valores a las literales: a=2, m=3 y n=‐1, entonces:

131

21

++=x

6623 ++

=x

611

=x

65

41

43

++=y

656 +

=y

611

=y

651+=y

( ) 22 anamnma −=−

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I Semana

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Ejemplo

+x, entonces:+x = 3+x

Si 2+3=5,

nces 5=2+3

3=4 y 4=2 2ntonces:+3 = 2 2

1=4, entoncesmismo escribir

4+1=5que

3+1+1=5

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1.3. Propiedades de los números reales Por último, algunas propiedades de los números reales que necesitas conocer para hacer más fácil el trabajo de resolver ecuaciones se describen a continuación. Propiedad conmutativa La palabra “conmutativa” viene del verbo conmutar que significa cambiar, en este caso, se refiere a cambiar de lugar. La propiedad conmutativa dice que puedes cambiar el orden de los números en una suma o multiplicación y a pesar de esto obtener el mismo resultado. Por ejemplo:

Ambas operaciones dan como resultado 5 o 5x, no importa cuál término escribas primero o cuál colocas después. Tú puedes conmutar (cambiar) el orden de cualquier suma o multiplicación sin alterar el resultado, pero ¡¡¡OJO!!!, jamás uses esta propiedad con restas o divisiones porque no siempre obtendrás el mismo resultado. Por ejemplo, 3‐5 no es lo mismo que 5‐3, ni 3x‐5x equivale a 5x‐3x. Por otro lado, 10 entre 5 no es igual a 5 entre 10, o 10x entre 5x no equivale a 5x entre 10x. Para comprobarlo efectúa las operaciones y verás que el resultado es distinto. Propiedad asociativa La palabra “asociativa” viene del verbo asociar que significa juntar o agrupar, por eso también la llaman la propiedad de agrupamiento.

Propiedad Representaciónalgebraica

Significado en lenguaje coloquial Ejemplo

Propiedadde la suma

Si a=b, entonces a+c=b+c

Puedes sumar el mismo número a los dos miembros de una igualdad y ésta no se altera.

Si 5+1=4+2, entonces:5+1+3 = 4+2+3

9=9

Propiedad de la resta

Si a=b, entonces a-c=b-c

Puedes restar el mismo númeroa los dos miembros de una igualdad y ésta no se altera.

Si 5+1=4+2, entonces:5+1-2 = 4+2-2

4=4

Propiedad de la multiplicación

Si a=b, entoncesac=bc

Puedes multiplicar el mismo número a los dos miembrosde una igualdad y ésta no se altera.

Si 5+1=4+2, entonces:(5+1)3 = (4+2)3

(6)3=(6)318=18

Propiedad de la división

Si a=b, entonces Puedes dividir los miembros de una igualdad entre el mismo número y ésta no se altera.

Si 5+1=4+2, entonces:

523532 =+→=+

xxxxxx 523532 =+→=+



Esta propiedad dice que si estás sumando tres o más números o multiplicando tres o más números, puedes agrupar o juntar los números en diferentes formas y a pesar de ello obtener el mismo resultado. Por ejemplo: Si te fijas bien verás que no importa de qué manera se asocien los términos, el resultado siempre será el mismo. Lo mismo pasa con la multiplicación: Observa que el resultado siempre es el mismo, no importa como agrupes los términos. Tú puedes asociar (agrupar) en cualquier forma la suma o multiplicación sin alterar el resultado, pero ¡¡¡OJO!!!, jamás uses esta propiedad con restas o divisiones porque no siempre obtendrás el mismo resultado. Observa que (3‐5)‐6 no es lo mismo que 3‐(5‐6); o bien, (3÷5)÷6 no es lo mismo que 3÷(5÷6). Propiedad distributiva La palabra “distributiva” viene del verbo distribuir que significa repartir. Esta propiedad dice que si estás multiplicando un término por la suma de dos o más términos, puedes multiplicar el primer término por cada uno de los otros y luego sumar para obtener el resultado; es decir, distribuyes el producto en la suma. Por ejemplo: Propiedades de los neutros Existen dos números especiales entre los números reales: el cero y el uno. ¿Por qué son especiales? Pues porque son completamente neutrales o neutros ante algunas operaciones; es decir, no pueden hacer nada con ellas, no cambian el resultado. El cero es neutral frente a la suma y la resta, y el uno es neutral ante la multiplicación y la división. Al número 0 se le conoce como neutro aditivo y al número 1 como neutro multiplicativo. Por ejemplo:

mm 303;808;606 =+=−=+

mm 313;818;616 =×=×=×

( ) ( ) 1235412354 =++→=++

( ) ( ) mmmmmmmm 1235412354 =++→=++

( ) ( ) 6035460354 =××→=××( ) ( ) 33 6035460354 mmmmmmmm =××→=××

( ) ( ) ( )4232432 +=+( ) ( ) ( )mmmmmmm 4232432 +=+



Propiedades de los inversos Si recuerdas, para todo número real positivo, existe del otro lado de la recta numérica, a la misma distancia del cero, un número de la misma magnitud pero de signo contrario. Dicho número es su simétrico. Dichos números tienen la característica de que si se suman siempre, dan como resultado CERO. Debido a ello, a estos números se les denomina inversos aditivos. Por ejemplo: Se dice que el inverso aditivo de 10 es ‐10 y viceversa. Otro número importante es aquel que multiplicando por otro nos da como resultado al número 1. Este número especial se conoce como inverso multiplicativo o recíproco. Por ejemplo:

Como ves, el inverso multiplicativo (o recíproco) de un número entero se representa mediante la unidad sobre el número en cuestión, y el inverso multiplicativo de una fracción, es también una fracción con las partes invertidas; es decir, el numerador de una, es el denominador de otra y viceversa, sin importar si es negativo o positivo. Práctica 35 Indica que propiedad de los números reales se está utilizando en cada una de las siguientes expresiones algebraicas. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

165

561

13

311

818 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

021

2104401010 =+−=+−=+−

( ) ( )pnmpnm ×=××

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − zxyxzyx

432

212

43

212

( ) 8513 =+×

11083 =++

( ) ( ) 05656 =+−−+−

( ) 1221

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

( ) ( )nmnm 12374121212374 +=+



2. Ecuación de primer grado con una incógnita A partir de ésta sesión, en cada uno de los temas que verás utilizarás los conceptos aprendidos en las sesiones anteriores. Tanto el lenguaje algebraico, como las propiedades de la igualdad, las operaciones con números reales, los productos notables, entre otros, te servirán de base para lograr los próximos aprendizajes. Ecuaciones Lineales Las ecuaciones con una variable o una incógnita son aquellas en las que aparece sólo una literal o letra (normalmente la x); y se dice que son de primer grado cuando dicha literal está elevada a la potencia 1. Por ello, las ecuaciones se pueden clasificar de acuerdo a su grado como: Ecuación lineal o de primer grado. Ejemplo: Ecuación cuadrática o de segundo grado. Ejemplo: Ecuación cúbica o de tercer grado. Ejemplo: y así sucesivamente. Una ecuación lineal o ecuación de primer grado con una incógnita es una expresión de la forma Algunos ejemplos son: Cualquier otra ecuación en la que se deban realizar operaciones, pero que adopten esa forma, serán llamadas ecuaciones lineales de primer grado con una incógnita, como por ejemplo: Las tres ecuaciones anteriores aunque no tienen la forma ax+b, son ecuaciones de primer grado con una incógnita, pues sólo tienen una variable y está elevada a la potencia 1. Sólo se tienen que simplificar para llegar a la forma deseada. 2.1. Solución de una ecuación lineal mediante el método formal Existen problemas cotidianos que se resuelven por medio de ecuaciones lineales, como la distancia que recorre un objeto con un movimiento uniforme, los costos de producción, el interés simple o las mezclas en general. No puedes concebir una ecuación sin que esté relacionada con la resolución de un problema, ya sea en la sustitución de datos o en el despeje de alguna incógnita. Puedes resolver una ecuación de primer grado de tres formas; por el método formal que ocupa las propiedades de la igualdad, por el método de transposición o de despejes, y por el método gráfico. En ocasiones te conviene más utilizar una técnica por las características de la ecuación, el problema que deseas resolver o las intenciones que buscas.

843 =−x

0352 2 =+− xx

0162 23 =++− xxx

0 con 0 ≠=+ abax

,50108 =+x ,75 =−x 5132 =+− x

,7287 −=+ xx ,235−=+

y( ) ( ) 3712352 −=++− aaa



Método formal Para resolver ecuaciones lineales mediante el método formal deberás indicar las propiedades de la igualdad y de los números reales que utilices. Ejemplo: problema de cantidad y valor. Juan tiene 15 pesos y desea repartirlos entre sus dos sobrinos. A Pepe le da 3 pesos, ¿cuánto le toca a Javier? Plantea la ecuación y resuélvela matemáticamente. Solución La ecuación de primer grado con una incógnita por resolver es: Tu trabajo consiste en averiguar cuánto vale x; mentalmente ya lo sabes, pero lo debes demostrar matemáticamente. Para aislar o averiguar el valor de x debes quitar el número 3; es decir, debes hacerlo cero, y eso lo logras sumándolo con su inverso aditivo que es ‐3. Recuerda que también debes restarlo al 15 para no alterar la igualdad. Generalmente en este paso, se te decía “el 3 pasa restando del otro lado”, pero ahora ya sabes por qué. Entonces: Después de efectuar la operación ‐3+3=0, has obtenido el cero, entonces te basas en los hechos que viste para el neutro aditivo, con lo que 0+x=x, y del otro lado 15‐3=12: Conclusión A Javier le corresponden 12 pesos. De ahora en adelante cuando resuelvas cualquier tipo de ecuación, siempre deberá ser comprobada para verificar que la solución es correcta. Comprobación Para comprobar que un valor es solución de una ecuación, lo colocas en el lugar de la incógnita y realizas las operaciones para verificar que la igualdad se cumple. Para el ejemplo: Por lo tanto, la ecuación se resolvió correctamente, Javier recibirá 12 pesos y Pepe solamente $3. Práctica 36 En una panadería se hizo un pedido de 20 donas de chocolate. El panadero puso 2 donas en un plato y las restantes las depositó en nueve canastitas adornadas. ¿Cuántas donas hay por canastita, si hay la misma cantidad en todas?

153 =+ x31533 −=++− x

120 =+ x

12=x

153 =+ x15123 =+

1515 =



2.2. Solución de una ecuación lineal mediante el método de transposición de términos La transposición de términos es un método que te permite resolver ecuaciones de primer grado de manera sencilla y ahorrar una cantidad significativa de pasos. También llamado solución por despejes. En esta técnica debes agrupar en un miembro todos los términos con la incógnita (por ejemplo x), y en otro, los términos independientes. El método de transposición o de despejes abrevia el método formal ya que puedes hacer que un término que aparece en un miembro, aparezca de forma inversa en el otro, sin necesidad de indicar la o las propiedades utilizadas; es decir, realizar despejes:

• Si un término está sumando en un miembro, aparece restando en el otro, y si está restando, aparece sumando.

• Si un término está multiplicando en un miembro, aparece dividiendo en el otro, y si está dividiendo, aparece multiplicando.

Ejemplo 1. Observa la transposición de la ecuación : Solución: Ya no es necesario indicar cada propiedad que apliques para despejar la incógnita. Con la ayuda de este método sólo tienes que hacer los siguientes pasos:

• El número 8 que se estaba restando del lado izquierdo, pasa al lado derecho sumando.

• El 2x que se estaba sumando del lado derecho, se pasa del lado izquierdo restando.

• Por último, el 2 que multiplica a la incógnita, pasa del lado derecho dividiendo al 14, y así, el valor de x es 7.

Comprobación: Sustituye el valor de x en la ecuación original: Práctica 37 En una tienda de ropa para dama, una empleada coloca el precio de $900 a un conjunto de dos piezas, con la leyenda de que ya tiene incluido un descuento del 25% sobre el precio de venta. ¿Cuál era el precio del conjunto antes del descuento?

xx 2684 +=−

xx 2684 +=−

( ) ( )726874 +=−146828 +=−

2020 =



Se mezcla x cantidad de café cuyo precio es de $69.60 por kilogramo, con 80 kilogramos de otro café cuyo precio es de $100.80 el kilogramo, para obtener una mezcla que puede venderse a $88.80 el kilogramo. ¿Cuántos kilogramos de $69.60 deben emplearse en la mezcla? 2.3. Solución de una ecuación lineal mediante el método gráfico Si recuerdas, una ecuación lineal o ecuación de primer grado con una incógnita es una ecuación de la forma: donde x es la incógnita y el coeficiente a puede ser una cantidad numérica diferente de cero. Una ecuación de primer grado o ecuación lineal tiene las mismas características que cualquier otra ecuación:

a) Toda ecuación tiene dos miembros separados por el signo igual. El de la izquierda se llama primer miembro y el de la derecha se llama segundo miembro de la ecuación.

b) Se les llama términos de la ecuación a cada una de las expresiones literales o numéricas separadas por los signos de suma o resta (+ o ‐), y también puede haber ecuaciones con un sólo término.

c) Resolver una ecuación es hallar un número que al sustituirlo en la igualdad la haga verdadera, este número se denomina solución o raíz de la ecuación.

d) El grado de la ecuación está indicado por el mayor exponente de la variable, que en este caso, siempre será 1.

Para introducirnos de lleno al método gráfico, que es la tercera técnica de solución de una ecuación lineal, primero necesitas conocer algunos conceptos matemáticos.

2.3.1. Ecuación de primer grado con dos incógnitas

Una ecuación de primer grado o ecuación lineal con dos incógnitas se expresa como: Si recuerdas, en sesiones anteriores viste que el conjunto de los números reales se representa por la letra R (Figura 6), y que el símbolo ∈ significa pertenencia. Esto quiere decir que los coeficientes A, B y C pertenecen al conjunto de los reales, lo cual indica que pueden tomar cualquier valor: positivo, negativo, fraccionario, entero, racional o irracional, pero A y B deben ser diferentes de cero. La ecuación anterior involucra a dos variables o incógnitas, representadas por x y y, por lo que es evidente que la solución de ésta ecuación es una pareja de valores que satisfacen la igualdad.

0con0 ≠=+ abax

0=++ CByAx R∈Cy B A, donde 0By 0,A ≠≠



Ejemplo: determina los valores de “x” y “y” que satisfacen la siguiente ecuación lineal con dos incógnitas x + y = 2. La solución más obvia es: x=1 y y=1, ya que 1 + 1 = 2 Sin embargo, x=1.5 y y=0.5 también es una solución. Pero, también es una solución x=0.5 y y=1.5. Procediendo de esta manera puedes determinar un número infinito de soluciones. El procedimiento para encontrar todas las parejas de valores de “x” y “y” que constituyen el conjunto solución de una ecuación lineal con dos incógnitas consiste en:

1. Despeja cualquiera de las dos variables (comúnmente, se acostumbra despejar la incógnita “y” para que quede en función de x).

2. Asígnale valores a la otra variable. 3. Determina el valor que le corresponde a la variable que despejaste.

Práctica 38

a) Dada la ecuación 5x + 2y – 3 = 0, encuentra al menos tres soluciones.

b) En el parque de tu colonia se estableció una cancha de tenis pero sin tomar en cuenta las medidas reglamentarias. Lo único que sabes es que su perímetro es de 120 metros. ¿Cómo puedes saber cuánto miden sus lados?

Hasta lo que has visto ahora, ¿ya entendiste la diferencia entre una ecuación de primer grado conuna incógnita y otra con dos incógnitas?, ¿no?

Analiza los siguientes ejemplos :

Ecuación con una incógnita Ecuación con dos incógnitas

Si se tiene la ecuación Si se tiene la ecuacióndespejando la incógnita se obtiene : Lo primero que debe hacerse es

expresarla como función, despejando y:

Dando diferentes valores a x se obtendrándiferentes valores para y . Algunos de ellospueden ser:

Si observas, en la ecuación lineal con una incógnita se obtiene un sólo valor que hace válida laigualdad, mientras que en la ecuación lineal con dos incógnitas, una de ellas se convierte en lavariable dependiente (y), y toma infinitos valores dependiendo de los valores que se le asignen a lavariable independiente (x).

20 2 9 =+ x

20 29 = +x 220 9 −=x

9 18= x

2 =x

0724 = − + y x

0 7 24 = −+ y x

2 7

2 4

+−= x y

x -2 -1 0 1 2y 7.5 5.5 3.5 1.5 - 0.5



Práctica 39 Instrucciones: plantea la ecuación lineal del problema y resuélvela mediante el método de despejes. Problema de mezclas. ¿Cuántos kilogramos de dulce, cuyo precio es de $1000 cada uno, deben mezclarse con 6 kilogramos de otro dulce que vale $750 el kilogramo, para vender la mezcla al precio de $900 por kilogramo? Problema de mezclas. Una florista vende un arreglo con dos docenas de flores en $750. El ramo está formado por rosas cuyo precio es de $500 la docena, y de claveles a $300 la docena. ¿Cuántas flores de cada especie debe poner para formar el ramo? Sugerencia: llama x al número de rosas, y 24‐x al número de claveles.



Sesión 10 Los temas a revisar el día de hoy son:

2.3.2. Introducción a las funciones 2.3.3. Plano cartesiano 2.3.4. La función lineal y su relación con la ecuación lineal 2.3.5. Graficación mediante tabulación 2.3.6. Graficación a partir de la pendiente y la ordenada al origen 2.3.7. Graficación por medio de las intersecciones con los ejes 2.3.2. Introducción a las funciones El concepto de función implica la asociación entre los elementos de dos conjuntos, que por lo general son números, y cuya correspondencia se establece mediante una regla de asociación. Algunos sucesos que ocurren en tu entorno son ejemplos sencillos de funciones:

• Cuando viajas en autobús o automóvil, en un tiempo determinado recorres distancias que dependen de la velocidad con que se desplaza el vehículo. La distancia recorrida está en función de la velocidad, y como sabes, la regla de asociación es: distancia=velocidad por tiempo.

• La temperatura o el grado de humedad ambiente a lo largo de un día depende de la hora; es decir, con cada hora está asociada una determinada temperatura o cierto grado de humedad, de manera que la temperatura o humedad están en función de la hora del día.

• Al depositar dinero en un banco a cierta tasa de interés, obtienes una ganancia. Dicha ganancia está en función de la tasa de interés.

• Una relación establece la correspondencia o asociación entre los elementos de dos conjuntos de objetos.

Ejemplo • A cada persona se le asocia: una edad, una estatura, un peso, etc. • A cada automóvil se le asocia: un modelo, un número de motor, un número de placas, etc. • En un almacén a cada artículo se le asocia: un precio, un número de inventario, un volumen, etc. • A cada país se le asocia: un régimen socioeconómico, un nombre, una superficie, una altura sobre el nivel del mar, un clima, etc.

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I Semana

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• El conjunto de imágenes f(x) constituyen el conjunto “Y”, al que se le conoce como rango, contradominio o recorrido de la función “f”.

• Cada elemento del dominio se asocia con exactamente un elemento del rango, en otras palabras, un elemento del dominio se asocia con uno y sólo un elemento del rango.

• Las imágenes “y” o f(x), que corresponden a los elementos “x” del dominio, se determinan mediante la regla de asociación o correspondencia.

• En una función, dos o más elementos del dominio pueden asociarse con el mismo elemento del rango, cumpliéndose lo mencionado en la definición acerca de que a un elemento del dominio sólo lo corresponde un único elemento del rango. Sin embargo, el mismo elemento del dominio no puede asociarse con dos elementos diferentes del rango.

Los siguientes casos ejemplifican funciones:

x1x2x3

xn

f(x1)f(x2)f(x3)

f(xn)

f(x)Conjunto X

Conjunto Y

Dominio Rango

M M

• 1

•2 • 3

• 4

• 5

9•

11 •

13•

20•

•1

•15

•11•8

•5•7•9

•21

4•

8•

12•

20•

16•

•8•7

•9

• 6

• 1•2•3•4• 5 3•

CASO 1Dos elementos deldominio se asocian con elmismo del rango . Observaque al elemento 2 de X lecorresponde un único elemento de Y, el 11 . Auncuando al elemento11 deY , se cumple con ladefinición de función .

X Y A B W Z

CASO 2En tres ocasiones, parejasde elementos del conjuntoA se asocian con el mismoelemento delconjuntoB.Aun así, se cumple con ladefiniciónde función.

CASO 3 Todos los elementos delconjunto W se asocian conel mismo elemento delrango; aun así, se cumpleque cada elemento deldominio se asocia con unsólo elemento del rango,por lo tantoes una función.

De la definición anterior conviene destacar lo siguiente: • Al conjunto “X” se le conoce como

el dominio de la función “f”. • Al elemento “y” que corresponde

a determinado elemento “x” del dominio se le conoce como imagen de “x” bajo “f” y se denota como f(x).



Notación de funciones Los símbolos más usados para denotar funciones son: que se leen: la función f de X en Y f aplica x en la obtención de f(x) f aplica x en la obtención de y (esta notación es la que más usarás en este curso) Para denotar los elementos del dominio de una función se puede usar cualquier letra del alfabeto (excepto “y” para evitar confusiones): x, s, t, u, v, w, l, y para denotar el rango se usan los símbolos: Ejemplo: Uso de la simbología para identificar el dominio, rango y la expresión de la función.

2.3.3. Plano cartesiano

La definición de función implica, como ya se explicó, la asociación entre los elementos de dos conjuntos dados, formándose parejas de elementos que pueden representarse como pares ordenados de valores, donde el primer elemento del par pertenece al dominio y el segundo al rango. Pares ordenados de valores Al asociar los elementos de los dos conjuntos se determinan pares ordenados de valores; se dice que son ordenados porque el primer elemento siempre proviene del primer conjunto y el segundo elemento del segundo conjunto. Un par ordenado de valores se representa colocando los elementos que lo constituyen dentro de un paréntesis separando los elementos con una coma. Por lo general, se identifica al par mediante una letra mayúscula, como se ilustra a continuación. Práctica 40 Representa en el plano cartesiano los siguientes pares ordenados:

Dominio Rango Expresión

x

t

u

f(x)

f(t)

f(u)

)(: xfxf →

)(: tftf →

)(: ufuf →

YXf →: )(: xfxf → yxf →:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lfwfvfuftfsfxf ,,,,,,

( ) ( ) ( ) ( )6,08,31,32,5 −− DCBA

( )( )( )( )0,0

5.3,5.45,6

3,5

DCBA

−

−



De acuerdo a la definición de función puedes identificar cuándo un conjunto de pares ordenados es una función o no. Recuerda: Una función f de X en Y, es un conjunto de pares ordenados de valores (x , y) tal que para cada x del dominio le corresponde una única “y” del rango. Si en ninguno de los pares ordenados del conjunto, un mismo elemento del dominio se encuentra asociado con dos elementos diferentes del rango, este conjunto representa una función. Si no se da lo anterior, concluimos que no se trata de una función. Práctica 41 Verifica si los siguientes pares ordenados representan una función. (‐3,2) (4,3) (1,0) y (7,2)

(4,‐2) (5,7) (‐8,‐3) (10,3) (‐3,5) (7,4) y (‐3,6)

2.3.4. La función lineal y su relación con la ecuación lineal Cuando la asociación entre los elementos de dos conjuntos de números reales se establece mediante una ecuación de primer grado o ecuación lineal con dos incógnitas, que viene a ser la regla de asociación o correspondencia, se define una función lineal. La función f definida por la ecuación de primer grado o lineal con dos incógnitas recibe el nombre de función lineal, donde m y b son constantes. La ecuación anterior se interpreta como la asociación entre los elementos de dos conjuntos de números reales, donde f “aplica” x en la obtención de y. La manera más usual de expresar la ecuación es: Anteriormente ya viste que la ecuación de primer grado o ecuación lineal con dos incógnitas se expresa de la siguiente forma: la cual puede transformarse en la ecuación y=mx+b, de la siguiente manera:

bmxy +=

bmxyxf +==)( )1(LLLL

0=++ CByAx



2.3.5. Graficación mediante tabulación Ya que hiciste un repaso de cómo graficar, además de que conociste un poco de funciones y de ecuaciones lineales, ahora sí, vayámonos de lleno con la tercera y última técnica de solución de ecuaciones de primer grado: el método gráfico. Dada una ecuación que define a una función lineal, puedes determinar infinitos pares ordenados de valores que pertenezcan a ella; graficados estos en un plano cartesiano y unidos los puntos subsecuentes mediante una línea continua, obtienes la gráfica de la función. Ejemplo. Representa la gráfica de la función lineal definida por la ecuación: Solución Recuerda que estás determinando la asociación entre los elementos de dos conjuntos mediante una regla de correspondencia definida por la ecuación dada.

BCAxy −−

=

BCx

BAy −−=

BAm −=

BCb −=

bmxy += )2(LLLL

CAxBy −−=

m representa la pendiente de la recta, es decir, la inclinación que la recta forma con el eje x. En este caso es el coeficiente de x.

b es la ordenada al origen, es decir, es el valor donde la recta corta, cruza o intersecta a la ordenada o eje y, además es el valor independiente de la ecuación (no se multiplica por alguna incógnita).

Del conjunto X, llamado dominio de la función, elige arbitrariamente cualquier elemento, por eso se le conoce como variable independiente; por ejemplo, elegido x=‐3, veamos con cuál elemento del conjunto Y se asocia.



Como pudiste ver en la figura, el elemento con el que se asocia del conjunto Y es ‐7, asegurando que con ningún otro; a estos elementos se les conoce como variable dependiente porque su valor depende del asignado a “x”. Para trazar la gráfica de la ecuación lineal necesitas realizar una tabulación; es decir, debes asignar valores a la incógnita “x” para calcular el valor de “y” correspondiente a cada uno de ellos y formar los pares ordenados que se localizarán en el plano cartesiano.

Práctica 42 Está próximo tu cumpleaños y harás una fiesta mexicana con 10 deliciosos platillos para una taquiza. Si el kilo de tortillas cuesta 15 pesos, completa la siguiente tabla colocando el precio a pagar por x kilos de tortillas. Si llenas la tabla y graficas su contenido, ¿qué forma tendrá la gráfica?

Kilos de tortillas

Precio a pagar

1 15

2

3

4

5

6

7

8

x f(x) Pares ordenados

-3 -7 A(-3, -7)

0 2 B(0, 2)

3 11 C(3, 11)

5 17 D(5, 17)

La gráfica se obtiene uniendolos puntos A, B, C, Dmediante una línea continua,como lo puedes observar enla figura 13.

Tabulación de los pares ordenados



2.3.6. Graficación a partir de la pendiente y la ordenada al origen En una función lineal hay dos valores que tienen mucha importancia, el primero es “b”, la ordenada al origen, que es el número en el que la función intersecta al eje de las ordenadas o eje “y”.

El otro valor importante en una función lineal es “m”, la pendiente, la cual se define como el incremento en “y”, que se representa por Δy (se lee: delta y), entre el incremento en “x”, representado por Δx (delta x). Esta relación determina el número de unidades que cambia “y” por cada unidad de cambio en “x”: El signo de la pendiente influye directamente en la inclinación de la recta:



Práctica 43 Ejemplo 1. Traza la gráfica de una función lineal que pasa por el par ordenado (‐1,1) y que tiene pendiente . 2.3.7. Gráfica por medio de las intersecciones con los ejes Existen ciertos pares ordenados característicos que facilitan la construcción de la gráfica de una función lineal. La función lineal representada gráficamente es una línea recta, y por lo mismo, es posible trazarla conociendo sólo dos puntos de la misma, lo que significa que para construir esa gráfica debes conocer dos pares ordenados de valores únicamente. Los pares ordenados más sencillos de determinar son aquéllos donde la gráfica de la función intersecta o cruza a los ejes coordenados.

Práctica 44 Construye la gráfica de la función lineal definida por la ecuación determinando únicamente sus intersecciones con los ejes coordenados.

Si m > 0, es decir, si es positiva:La recta está inclinada hacia la derecha

Si m < 0, es decir, si es negativa:La recta está inclinada hacia la izquierda

Gráfica de la función g(x)= -x-5

Pendientepositiva

1=m

Gráfica de la función h(x)=x+2

Pendientenegativa

1−=m

En la Figura 24 se representan lasgráficas de dos funciones linealesidentificadas por (1) y (2).

La intersección de (1) con el eje x seidentifica con A, la característica deeste punto es que su ordenada y of(x) es igual a cero.

La intersección de (1) con el eje y seidentifica con B, la característica deeste punto es que la abscisa x esigual a cero.

Gráfica de dos funciones lineales intersectando los ejes

23

−

63 += xy




3. Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas 3.1. Clasificación de los sistemas de ecuaciones 3.2. Métodos de solución de sistemas 2×2 3.2.1. Método de suma y resta 3.2.2. Método de sustitución 3.2.3. Método de igualación 3.2.4. Método gráfico

3. Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones para las cuales se busca una solución común. Una solución común de un sistema de dos ecuaciones con dos variables es un par ordenado de valores que hace que ambas ecuaciones sean verdaderas. A un sistema de ecuaciones también se le conoce con el nombre de ecuaciones simultáneas debido a que la solución de un sistema satisface todas las ecuaciones al mismo tiempo, es decir, simultáneamente. Definición Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas o sistema de ecuaciones 2×2 o sistema de ecuaciones simultáneas, suele representarse empleando la letra “a” con los correspondientes subíndices para los coeficientes; la “x”, con sus subíndices para las incógnitas y la “b” para los términos independientes, por lo que su representación es:

dondea1,1 = Coeficientede la ecuación1 y de la variable x1.a1,2 = Coeficientede la ecuación1 y de la variable x2.a2,1 = Coeficientede la ecuación2 y de la variable x1.a2,2 = Coeficientede la ecuación2 y de la variable x2.

x1 = Incógnita 1 o literal 1.x2 = Incógnita 2.

b1 = Término independiente 1.b2 = Término independiente 2.

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=+

222,211,2

122,111,1

bxaxabxaxa

Intersección de dos planos

⎩⎨⎧

=+=+feydxcbyax

Por sencillez y por costumbre, a la incógnita 1 se le suele llamar x, y a la incógnita 2 se le llama y.Además, se procura evitar el empleo de subíndices debido a que pueden resultar confusos, por loque, un sistema de ecuaciones 2 2 se suele representar por:

Perosiste 3.1. CAl mcasos

•

•

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se puede considerar como redundante, debido a que cualquier punto de la recta es solución del sistema. Por ejemplo, el número infinito de soluciones del sistema de ecuaciones:

• Sistema incompatible. Este tipo de sistema no tiene solución. En este caso, su representación gráfica son dos rectas paralelas, es decir, no tienen ningún punto en común porque no se cruzan o cortan. El cumplimiento de una de las ecuaciones significa el incumplimiento de la otra y por lo tanto no tienen ninguna solución en común. Por ejemplo, las dos rectas paralelas del sistema de ecuaciones:

La siguiente tabla muestra las 4 características que describen a cada tipo de sistemas de ecuaciones.

Figura3. Gráfica de un sistema de ecuaciones 2 2. Las soluciones son todos los puntos de la recta.

Gráficamente se obtienen dos rectascoincidentes, es decir, una recta encima deotra. Por lo tanto, todos los puntos que selocalicen en esa recta, son solución delsistema 2 2.

Figura4. Gráfica de un sistema de ecuaciones 2 2. No tiene solución, las rectas paralelas no se cruzan.

Gráficamente se obtienen dos rectasparalelas que nunca se cruzarán. Por lotanto, este sistema de ecuaciones 2 2 notiene solución.

⎩⎨⎧

=+=+

2221

yxyx

⎩⎨⎧

=+=+

2223

yxyx



3.2. Métodos de solución de sistemas de ecuaciones 2×2 Ya sabes lo que son los sistemas de ecuaciones lineales 2×2 y como se clasifican de acuerdo a la cantidad de soluciones que tiene. Ahora, partiendo de que tendrás un sistema compatible determinado de dos ecuaciones con dos incógnitas como el siguiente: entonces, resolver el sistema consistirá en encontrar los valores de “x” y de “y” que satisfagan las dos ecuaciones simultáneamente. Los 5 métodos de resolución de sistemas de ecuaciones que puedes utilizar son:

1. Suma y resta. 2. Sustitución. 3. Igualación. 4. Método gráfico. 5. Determinantes.

3.2.1. Método de suma y resta También recibe el nombre de método de reducción o método de eliminación y es el más fácil de aplicar. Consiste en eliminar una variable sumando las ecuaciones originales o sus equivalentes; para ello es necesario que la misma variable tenga en ambas ecuaciones coeficientes inversos. Ejemplo. La competencia canina de agility consiste en que el perro, dirigido por su guía, supere un circuito de obstáculos en el menor tiempo posible. El guía no puede tocar a su perro ni a los obstáculos y el perro compite sin collar ni correa. Sin embargo, las señales verbales y visuales son permitidas. Cada falta al superar un obstáculo se penaliza quitándole puntos al equipo humano‐perro. Asimismo, existe un tiempo estándar para cada circuito y se penaliza al equipo que tarde más que ese tiempo.

SISTEMA

COMPATIBLEDETERMINADO

COMPATIBLE INDETERMINADO INCOMPATIBLE

•La solución es única.

•Analíticamente se obtiene un valor para x y un valor para y.

•Gráficamente las rectas se intersectanen un punto.

•Las rectas tienen distinta pendiente.

•Tiene infinitas soluciones.

•Analíticamente se llega a la expresión: 0x=0 o bien a 0y=0.

•Gráficamente las rectas son coincidentes.

•Las rectas tienen igual pendiente e igual ordenada al origen.

•No tiene solución.

•Analíticamente se llega a la expresión: 0x=a o bien 0y=a, siendo a≠0.

•Gráficamente las rectas son paralelas.

•Las rectas tienen igual pendiente y distinta ordenada al origen.

⎩⎨⎧

=+=+feydxcbyax



Supón que en una competencia de agility entre los perros y sus guías suman 18 cabezas y 52 extremidades inferiores (pies y patas). ¿Podrías indicar cuántos perros y cuántos guías hay en la competencia? Solución Para resolver cualquier problema de este tipo, tienes que formar el sistema de ecuaciones, es decir, debes determinar dos cosas:

1. Cuáles son las incógnitas y 2. Qué relación hay entre ellas. 3. En este caso la propia pregunta dice cuáles son las incógnitas: el número de

perros y el número de guías.

4. Entonces, definamos:

5. x = Número de perros

6. y = Número de guías

Sabes que cada perro y cada guía tienen una sola cabeza, por lo tanto, el número de perros por una cabeza, más el número de guías por una cabeza también, tienen que sumar 18:

Por otro lado, los perros tienen cuatro patas y los guías 2 pies, por lo tanto, el número de perros por 4 patas cada uno, más el número de guías por dos pies cada uno, tienen que sumar 52:

Las dos ecuaciones anteriores forman un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas o también llamado sistema de ecuaciones simultáneas 2×2:

La cuestión es encontrar los valores de “x” y “y” que cumplan las dos ecuaciones al mismo tiempo.

Si a la primera ecuación la numeramos como (1) y a la segunda ecuación como (2), entonces: Ahora sí, resolvamos el sistema de ecuaciones por el método de reducción. Pasos para resolver un sistema de ecuaciones 2×2 mediante el método de suma y resta La parte importante de este método es que busques en el sistema de ecuaciones coeficientes simétricos en la misma literal, por ejemplo, si se tiene el término 9x en una ecuación, se espera que se obtenga de alguna manera ‐9x en la otra ecuación. En caso de que la ecuación tenga todos los coeficientes distintos, es necesario que multipliques los miembros de una de las ecuaciones, de manera que se generen los números simétricos. Si el sistema ya cumple con la condición mencionada, entonces realiza los siguientes pasos:

1811 =+ yx

5224 =+ yx

⎩⎨⎧

=+=+

522418

yxyx

( )( )⎩

⎨⎧

=+=+

25224118

LLLL

LLLL

yxyx

1

2

3

El sis

Lo qucumpmult

Multpara Paso

Por l Pasoorde Pasola inc con lguías

31 Univers

1. Suma los incógnita

2. Despeja lde las lit

3. Sustituye ecuacion

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⎩⎨⎧

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I Semana

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Comprobación Puedes comprobar estos resultados sustituyéndolos en el sistema de ecuaciones: En resumen, a partir de un problema en forma de texto, has identificado las incógnitas y has establecido las relaciones que hay entre ellas, dando lugar a un sistema que tiene tantas ecuaciones independientes como incógnitas. Resuelto el sistema, tienes la solución, que puedes comprobar que es correcta en el texto original. Práctica 45 Una señora tiene billetes de 200 y de 500 pesos en su cartera. Si en total tiene 20 billetes, y el total de dinero en su cartera es de $7 300, ¿cuántos billetes tiene de cada denominación? 3.2.2. Método de sustitución Como su nombre lo indica, en este método se despeja una variable de una de las dos ecuaciones y se sustituye en la otra para que sólo quede una variable. Tiene una aplicación fundamental en Física y Química cuando es necesario resolver algún problema en el que se desconocen dos o más cantidades. Pasos para resolver un sistema de ecuaciones 2×2 mediante el método de sustitución

1. Toma una de las ecuaciones del sistema y despeja una de las literales, de preferencia la que sea más fácil de despejar.

2. Sustituye en la otra ecuación el valor de la literal despejada en el paso anterior, para así obtener una nueva ecuación con una incógnita.

3. Despeja la incógnita de la nueva ecuación. 4. Sustituye el valor de la incógnita despejada en la expresión que obtuviste en el

primer paso para determinar el valor de la otra variable. Ejemplo. Un hotel de 5 estrellas tiene habitaciones dobles (2 camas), y habitaciones sencillas (1 cama). En total el hotel tiene 50 habitaciones y 87 camas. ¿Cuántas habitaciones tiene de cada tipo? Lo primero que debes hacer es plantear el sistema de ecuaciones 2×2: Si x = Número de habitaciones sencillas y = Número de habitaciones dobles entonces el sistema de ecuaciones es:

18=+ yx 5224 =+ yx

18108 =+

1818 =

( ) ( ) 5210284 =+

522032 =+

5252 =

⎩⎨⎧

=+=+

872150

yxyx



Paso 1. Despeja una de las literales o variables de cualquiera de las dos ecuaciones. Como puede ser cualquiera de las dos ecuaciones y cualquiera de las dos variables, entonces, se despejará x de la primera ecuación: Paso 2. Sustituye lo anterior en la otra ecuación del sistema y obtén una nueva ecuación con una incógnita. Paso 3. Despeja la incógnita de la nueva ecuación. Paso 4. Sustituye el resultado anterior en la ecuación del paso 1. Por lo tanto, el hotel de 5 estrellas tiene 13 habitaciones sencillas y 37 habitaciones dobles. Comprobación Puedes comprobar los resultados sustituyéndolos en el sistema de ecuaciones: Práctica 46 Un fanático de las series televisivas compró 5 DVD’s de la serie Smallville y 4 DVD’s de la serie Lost en 390 pesos. Posteriormente, volvió a comprar 4 DVD’s de Smallville y 2 DVD’s de Lost en $240. ¿Cuál es el precio de los DVD’s de cada serie? 3.2.4. Método de igualación Este método es un poco más largo ya que se basa, como su nombre lo menciona, en la igualación de las dos ecuaciones apoyándose en que ambas tienen el mismo valor en el punto de intersección. Pasos para resolver un sistema de ecuaciones 2×2 mediante el método de sustitución

1. Toma una de las ecuaciones y despeja una de las incógnitas de la ecuación. 2. Despeja la misma literal en la otra ecuación del sistema. 3. Por la propiedad transitiva de la igualdad, puedes igualar las dos literales

despejadas en cada ecuación para obtener una nueva ecuación. 4. La ecuación que obtuviste en el paso anterior es de primer grado con una

variable, despeja la incógnita que tiene. 5. Sustituye el valor de la literal que obtuviste en alguna de las ecuaciones

despejadas del paso 1 o del paso 2.

50=+ yxyx −= 50

8721 =+ yx( ) 872501 =+− yy

87250 =+− yy8750 =+ y

8750 =+ y5087 −=y

37=yyx −= 50

3750−=x

13=x

50=+ yx 8721 =+ yx503713 =+5050 =

( ) ( ) 87372131 =+877413 =+8787 =



Recuerda que…

La propiedad transitiva de la igualdad indica que si a=b y b=c, entonces a=c, es decir, si dos expresiones son iguales a una tercera, entonces éstas son iguales entre sí. Por ejemplo:

Si 1+3=4 y 4=2×2, entonces: 1+3 = 2×2

Ejemplo. Una pizzería vende dos tipos de pizzas tamaño individual: mexicana a 40 pesos y hawaiana a 60 pesos. Una noche vendieron 74 pizzas y se recaudaron 3 660 pesos. ¿Cuántas pizzas se vendieron de cada tipo? Solución Lo primero que debes hacer es plantear el sistema de ecuaciones 2×2: Si defines x = Cantidad de pizzas mexicanas vendidas. y = Cantidad de pizzas hawaianas vendidas. entonces el sistema de ecuaciones es: Ahora sí, resuelve por el método de igualación. Paso 1. Toma una de las ecuaciones y despeja una de las incógnitas. Como puedes seleccionar cualquier ecuación, se recomienda que sea la más fácil de despejar incógnitas. En este caso, selecciona la ecuación 1 y despeja cualquier variable, digamos, la x: Paso 2. Despeja la misma literal en la otra ecuación del sistema. Paso 3. Por la propiedad transitiva de la igualdad, puedes igualar las dos incógnitas despejadas en cada ecuación para obtener una nueva ecuación. Paso 4. La ecuación que obtuviste en el paso anterior es de primer grado con una variable. Despeja la incógnita que tiene.

⎩⎨⎧

=+=+

3660604074

yxyx

74=+ yxyx −= 74

36606040 =+ yxyx 60366040 −=

40603660 yx −

=

4060366074 yy −

=−

xx =

35=y

( ) yy 6036607440 −=−40

60366074 yy −=−

yy 603660402960 −=−yy 406036602960 +−=−

y20700 −=−

y=−−

20700



Paso 5. Sustituye el valor de la incógnita que obtuviste en alguna de las ecuaciones despejadas del paso 1 o del paso 2. En este caso, en la más sencilla de las dos, en el despeje de la ecuación 1: Por lo tanto, esa noche se vendieron 39 pizzas mexicanas y 35 hawaianas.

Práctica 47

Una cuerda de 120 metros se tiene que cortar en dos partes, de tal manera que una parte sea 12 metros mayor que la otra, ¿Cuál es la medida de cada parte?

3.2.5. Método gráfico En este método se trazan dos rectas en el mismo plano cartesiano para determinar la intersección (punto donde se cruzan) y entonces definir a ese punto como la solución del sistema. Pasos para resolver un sistema de ecuaciones 2×2 mediante el método gráfico

1. Representa cada una de las ecuaciones que componen el sistema como un par de funciones, es decir, despeja la incógnita y de cada ecuación.

2. Traza la gráfica de cada función utilizando alguno de los métodos vistos la semana pasada (por tabulación, conocidos la pendiente y ordenada, y por intersección con los ejes).

3. Localizar donde las rectas que determinan las funciones lineales se cortan. 4. Asocia los valores de “x” y “y” de la coordenada a la solución que satisface.

Ejemplo 1. Carmen gasta 55 pesos en la compra de 17 gomitas y chicles. Las gomitas le costaron $2.60 y los chicles $3.50 cada uno. ¿Cuántos dulces de cada tipo compró? Solución Si x = Cantidad de gomitas compradas. y = Cantidad de chicles comprados. entonces, el sistema de ecuaciones que representa al problema es:

Paso 1. Despejar de cada ecuación la incógnita y y represéntalascomo funciones:

Paso 2. Trazar la gráfica de cada función mediante el método seleccionado. En este caso sedecidió utilizar la tabulación:

17=+ yx 5550.360.2 =+ yx

xy −= 17 yx 50.35560.2 −=−

yx=

−−

50.35560.217)( +−= xxf

50.35560.2)(

−−

=xxf

yx −= 743574−=x

39=x

⎩⎨⎧

=+=+

5550.360.217

yxyx

PasoObsepuedposibecuaEl pu Pasoecuael va Por l PrácDos auto ecua De ac

36 Univers

o 3. Identifierva que exde interpretble que deciones. unto de inte

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de México

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Pun

7

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Taller d

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I Semana

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f(x)15.014.213.512.712.011.310.59.89.08.3

ón f(x)= 2.60x-5-3.50

⎩⎨⎧

==

→125

yx

3 y 4

omún quí es ma de

ma de mero

en del entes

55

25




3.2.5. Método por determinantes 4. Sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas 4.1. Métodos de solución de sistemas 3×3 4.1.1. Método gráfico 4.1.2. Método por determinantes 4.1.3. Método de sustitución

3.2.5. Método por determinantes El método de solución de un sistema de ecuaciones lineales 2×2 mediante determinantes se llama Regla de Cramer en honor de Gabriel Cramer que fue quien escribió la regla. Un determinante es un arreglo matemático que consta de cierto número de renglones y de columnas. Para resolver un determinante se debe realizar una resta de multiplicaciones, es decir, es una operación que da como resultado un número real. Existen diferentes órdenes de determinantes, por ejemplo, de segundo orden:

Todos los determinantes deben ser cuadrados, es decir, deben tener el mismo número de renglones y de columnas: 2×2, 3×3, 4×4, … El determinante

está formado por cuatro números que son sus elementos: 3, ‐5, 2, 4. Si los acomodas en un orden especial: 3, ‐5 y 2, 4 son renglones o si 3, 2 y ‐5, 4 son columnas. Si debes resolver un determinante de la forma:

entonces, su resultado se obtiene por:

3 -52 4 Las líneas | |, representan un

determinante.

Es de segundo orden porque tiene 2 renglones y 2 columnas.

Columnas

Renglones

3 -52 4

a bc d

Para necede ec Los cimpoa calcont

Paso

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23

4

Diasecu

=Δ

38 Univers

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sidad CNCI d

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Taller d

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de Matem

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I Semana

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daria.

gonal cipal



Ejemplo. Resuelve el siguiente problema utilizando determinantes.

Los boletos para una excursión son de dos precios: $50 para los niños y $100 para los adultos. Si se pagaron $7 250 en total y asistieron 90 personas, ¿cuántos niños y cuántos adultos fueron a la excursión?

Solución Lo primero que debes hacer es establecer el sistema de ecuaciones 2×2. Si x = Cantidad de niños en la excursión. y = Cantidad de adultos en la excursión.

entonces, el sistema es:

Representando lo anterior sin las literales:

Paso 1. Establece los determinantesa resolver:

⎩⎨⎧

=+=+

72501005090

yxyx

7250100509011

Coeficientes Términos independientes

fedcba

→

Para cada uno de los tres determinantes:

Paso 2. Coloca una flecha que pase por la diagonal principal y multiplica las cantidades.

Paso 3. Coloca una flecha que pase por la diagonal secundariay multiplica las cantidades.

1005011

=Δ

1007250190

=Δ x

725050901

=Δ y

(1)(100)=100

(90)(100)=9000

(1)(7250)=7250

1005011

=Δ

(1)(50)=50

1005011

==Δedba

1007250190

==Δefbc

x

725050901

==Δfdca

y



Práctica 49 Susana le dice a Karina: tu peso y el doble del mío suman 130 Kg. Karina le dice a Susana: tu peso y el doble del mío suman 140 Kg. ¿Cuánto pesa cada una de las chicas? 4. Sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas Recuerda que un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones cuyas variables deben satisfacer las condiciones planteadas simultáneamente. Un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas siempre se puede escribir de la forma:

Paso 4. Resta al resultado de la diagonal principal, el resultado de la diagonal secundaria.

La solución del sistema de ecuaciones se obtiene con:

Por lo tanto, en la excursión se encuentran 35 niños y 55 adultos.

1007250190

=Δ x 725050901

=Δ y

(1)(7250)=7250 (90)(50)=4500

Δ = 100 – 50 = 50

Δx = 9000 – 7250 = 1750

Δy = 7250 – 4500 = 2750

3550

1750==

ΔΔ

= xx 5550

2750==

ΔΔ

= yy

dondea1,1 … a3,3 = Coeficientes de las incógnitas.x1 …x3 = Incógnitas del sistema.b1 …b3 = Términos independientes.

O como comúnmente se representanpor:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++

=++

=++

333,322,311,3

233,222,211,2

133,122,111,1

bxaxaxabxaxaxabxaxaxa

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=++

3333

2222

1111

dzcybxadzcybxadzcybxa



4.1. Métodos de solución de sistemas 3×3 Para resolver sistemas de ecuaciones 3×3 puedes utilizar los métodos que usaste para resolver sistemas 2×2 como el de suma y resta, el de igualación, el de sustitución o los determinantes. En esta ocasión, sólo estudiarás los siguientes métodos:

1. Método por determinantes. 2. Método por sustitución.

Si recuerdas, los sistemas de ecuaciones lineales 2x2 se expresan gráficamente como rectas que pueden estar en tres casos: con solución, sin solución y con múltiples soluciones. De igual manera las ecuaciones lineales de tres incógnitas se expresan en un sistema tridimensional como un plano infinito. Por supuesto que no podemos dibujar un plano infinito, por lo que sólo se dibuja una parte de los planos. Una ecuación lineal de tres incógnitas representa un plano que puede ser ubicado en un sistema de tres dimensiones con ejes que están mutuamente a 90º:



Si observaste, las gráficas son muy complicadas de hacer, pues ya son tres puntos los que debes localizar en el plano cartesiano, es por ello, que sólo verás métodos analíticos como el que sigue. 4.1.1. Método por determinantes Aquí también se aplica la regla de Cramer, si recuerdas, consiste en trabajar sobre los coeficientes de las ecuaciones que forman el sistema. De esta manera, dado un sistema de ecuaciones 3×3: Representando el sistema anterior como un arreglo matricial, donde sólo se colocan los coeficientes son las literales, y los términos independientes, se tiene que:

Una manera que puede ayudarte a calcular el determinante de un arreglo matricial de 3×3, se obtiene agregando las dos primeras filas en la parte inferior del arreglo. Las soluciones de los 4 determinantes son:

El determinante general se obtiene con:

Los determinantes de x, y y z se obtienen de la misma manera que para un sistema 2 2, es decir, encada uno se va reemplazando la columna de la variable correspondiente por los términosindependientes, segúncorresponda:

De esta manera, la solución del sistema está dada por:

333

222

111

cbacbacba

=Δ

333

222

111

cbdcbdcbd

x =Δ

333

222

111

cdacdacda

y =Δ

333

222

111

dbadbadba

z =Δ

ΔΔ

= xxΔΔ

= yyΔΔ

= zz

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=++

3333

2222

1111

dzcybxadzcybxadzcybxa

3333

2222

1111

dcbadcbadcba



Ejemplo. Entre Armando, Beatriz y Carlos tienen 140 pesos. Armando cuenta con el doble de pesos que Carlos. También Armando tiene $10 más que Beatriz. ¿Cuánto posee cada uno? Solución Primero define las incógnitas: x = Dinero que posee Armando (pesos). y = Dinero que posee Beatriz ($). z = Dinero que tiene Carlos ($).

333

222

111

cbacbacba

=Δ

333

222

111

cbacbacba

333

222

111

cbdcbdcbd

x =Δ

333

222

111

cbdcbdcbd

( )213132321213132321 abcabcabccbacbacba ++−++=

( )213132321213132321 dbcdbcdbccbdcbdcbd ++−++=

333

222

111

cdacdacda

y =Δ

333

222

111

dbadbadba

z =Δ

333

222

111

dbadbadba

( )213132321213132321 adcadcadccdacdacda ++−++=

( )213132321213132321 abdabdabddbadbadba ++−++=

Ahor Por l Comvalor

Los d

=Δ

=Δ=Δ

=Δ x

=Δ

=Δ

x

x

=Δ y

=Δ

=Δ

y

y

45 Univers

ra plantea laEntre los tArmando Armando

o tanto, el s

o sabes, es r de las incó

determinant

011201

111

−−

333

201111

cba−

(5

210−

−−−

110001140

−=

33

101140

bd

3002000

−=−−+=

33

011401

cda−

010101

11401−=

250280100

−=

−+=

sidad CNCI d

as ecuaciontres tienen tiene el dobtiene $10 msistema de

necesario qógnitas, por

tes son:

2

3

2

)0)(1(=

( )020 =++

02

1−

3

21

c−

)(140(=

( 02800 ++−

3

21

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de México

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210 −−−=

)(0()0)(0( −+

) 2000 −+=

1)(10)(1()0 +

) 1000 −+=+

Taller d

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)(1)(1()1)( +

020 −−

)1)(10()1)(1 +

280020 −−

)(140)(1()1 +

20280 +−−

=++ zyxzx 2== yx

de Matem

problema:

×3 a resolve

erminantes atricial del s

[ 0)(1()2 −−

[ )0)(1()2)( −−

0−

[ )(0)(1()2 −−

020 −

140=

10+y

máticas I

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para así posistema ant

)(2()1)( −−+

)(2()10)( −−+

)10)(2()1( −+

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

+

xxx

I Semana

oder enconterior es:

)(0()1)(1 +−

)0()140)(1 +−

140)(0()1)( +

==−=+

100214

yzzy

3 y 4

trar el

])1)(1(

])0)(1(

])1)(

40



Práctica 50 Un ganadero desea hacer negocios de compra‐venta de animales con un vecino, pero tiene un problema ya que el vecino no le dice cual es el precio de cada animal, sólo le dice lo siguiente:

• Si vendes dos vacas y cinco cabras para comprar 13 cerdos te sobran 1000 pesos. • Si vendes seis cabras y ocho cerdos para comprar cinco vacas, tendrás una

pérdida de $600. • Si vendes tres vacas y tres cerdos te alcanza exactamente para comprar nueve

cabras ¿Cuáles son los precios de una vaca, de una cabra y de un cerdo? 4.1.2. Método por sustitución Si recuerdas, en este método se despejaba una variable de una de las dos ecuaciones y se sustituía en la otra para que sólo quedara una variable. En este caso, se hará lo mismo, de las 3 ecuaciones, se despejará una variable de dos de ellas, después se hará lo mismo con la tercera. Pasos para resolver un sistema de ecuaciones 3×3 mediante el método de sustitución

1. Toma una de las ecuaciones del sistema y despeja una de las literales, de preferencia la que sea más fácil de despejar.

2. Sustituye en las otras 2 ecuaciones el valor de la literal despejada en el paso anterior, para así obtener dos nuevas ecuaciones con 2 incógnitas.

3. Con esas 2 nuevas ecuaciones forma un sistema de ecuaciones 2×2 y resuélvelo por este mismo método de sustitución.

4. Sustituye el valor obtenido en una de las ecuaciones del paso 2. 5. Por último, sustituye los dos valores encontrados en la ecuación despejada del

paso 1.

1011001

14011

−=Δ z

33 1001

14011

da −

[ ])1)(1)(10()1)(1)(0()1)(0)(140()0)(1)(1()140)(1)(1()10)(0)(1( +−+−+−+=

( )150

100001400100001400−=Δ

−+−+−=+−−+−=Δ

z

z

Como ya conoces los determinantes, ahora obtén los valores de las incógnitas:

Por lo tanto, Armando tiene 60 pesos, Beatriz$50 y Carlos posee 30 pesos.

ΔΔ

= xxΔΔ

= yyΔΔ

= zz

5300−−

=x5

250−−

=y5

150−−

=z

60=x 50=y 30=z



Ejemplo. En un local de comida rápida, un pedido de 5 hamburguesas, 2 órdenes de papas fritas y 3 refrescos cuesta 56 pesos. Un pedido de 4 hamburguesas, 3 órdenes de papas fritas y 2 refrescos cuesta 46 pesos. Un pedido de 6 hamburguesas, 4 órdenes de papas fritas y 3 refrescos cuesta 68 pesos ¿Cuál será el precio de una sola hamburguesa con un refresco? Solución Las incógnitas son: x = Precio de una hamburguesa (pesos). y = Precio de una orden de papas fritas ($). z = Precio de un refresco ($). El sistema de ecuaciones lineales 3×3 a resolver es:

Empleando el método de sustitución: Paso 1. Toma una de las ecuaciones del sistema y despeja una de las literales, de preferencia la que sea más fácil de despejar. Toma la ecuación (1) y despeja a x: Paso 2. Sustituye en las otras 2 ecuaciones (2) y (3), el valor de la literal despejada en el paso anterior, para así obtener dos nuevas ecuaciones con 2 incógnitas.

46234 =++ zyx 68346 =++ zyx

46235

32564 =++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −− zyzy 6834

532566 =++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −− zyzy

46235

128224=++

−− zyzy

46235

1258

5224

=++−− zyzy

5224462

5123

58

−=+−+− zzyy

5224

5230

510

512

515

58

−=+−+− zzyy

56

52

57

=− zy

68345

1812336=++

−− zyzy

68345

185

125

336=++−− zyzy

5336683

5184

512

−=+−+− zzyy

5336

5340

515

518

520

512

−=+−+− zzyy

54

53

58

=− zy

Ecuación 2 Ecuación 3

( )4LLLLL ( )5LLLLL

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=++

683464623456325

zyxzyxzyx ( )1LLLLL

( )2LLLLL

( )3LLLLL

56325 =++ zyxzyx 32565 −−=

53256 zyx −−

=



Paso 3. Con esas 2 nuevas ecuaciones forma un sistema de ecuaciones 2×2 y resuélvelo por estemismo método de sustitución.

Despejandoy de la ecuación (4):

Y sustituyéndolaen (5):

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

=−

54

53

58

56

52

57

zy

zy

56

52

57

=− zy

zy52

56

57

+=

5752

56 z

y+

=

zy

5752

5756

+=

zy3510

3530

+=

→=−54

53

58 zy

54

53

3510

3530

58

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + zz

54

53

17580

175240

=−+ zz

54

53

17580

175240

=−+ zz

175240

175140

175105

17580

−=− zz

175100

17525

−=− z

17525

175100

−

−=z

437517500

=z

4=z

Paso 4. Sustituye el valor obtenido en cualquiera delas ecuaciones (4) o (5) del paso 2.En este caso en la ecuación (5):

54

53

58

=− zy

( )544

53

58

=−y

54

512

58

=−y

512

54

58

+=y

516

58

=y

585

16

=y

4080

=y

2=y



Paso 5. Por último, sustituye los dos valores encontrados en la ecuación despejada del paso 1. Así pues, una hamburguesa cuesta 8 pesos, una orden de papas fritas $2 y un refresco 4 pesos. Contestando la pregunta, ¿Cuál será el precio de una sola hamburguesa con un refresco? 1 Hamburguesa + 1 refresco = 8 + 4 = 12 Se deberán pagar 12 pesos por una hamburguesa y un refresco. Práctica 51 El salario mensual de Guillermo, Roberto y Juan es de $8 200. El salario mensual de Roberto y Guillermo es de $8 000, y el salario mensual de Guillermo y Juan es de $8100. Determina el salario mensual de cada uno.

53256 zyx −−

=

( ) ( )5

432256 −−=x

512456 −−

=x

540

=x

8=x



Semana 4


5. Ecuaciones cuadráticas 5.1. Métodos de solución de ecuaciones cuadráticas 5.1.1. Método de solución por despeje de ecuaciones cuadráticas puras 5.1.2. Método de solución por factorización de ecuaciones cuadráticas mixtas

5. Ecuaciones cuadráticas

Hasta ahora sabes que una ecuación es una igualdad entre un par de expresiones, que contiene una incógnita representada por una literal. Es importante recordar que el grado de una ecuación depende de la máxima potencia que tenga la incógnita. En bloques anteriores resolviste ecuaciones de primer grado, en este bloque resolverás ecuaciones de segundo grado; es decir, el mayor grado que presenta la incógnita es dos. La forma general o forma estándar de una ecuación de segundo grado con una incógnita o también llamada ecuación cuadrática es donde: ax2 = El término cuadrático. bx = El término lineal. c = El término independiente. Las ecuaciones cuadráticas se clasifican de dos formas: en completas e incompletas. Completas. Son aquellas que tienen los tres términos: el término cuadrático, el lineal y el independiente, siendo de la forma: Incompletas. Son aquellas en las que les hace falta alguno de los dos últimos términos, debido a que b=0 o bien c=0, sin embargo, el término cuadrático siempre debe estar presente, siendo de la forma:

5.1. Métodos de solución de ecuaciones cuadráticas

Debido a que el grado de una ecuación cuadrática es dos, una ecuación de este tipo tiene dos soluciones. Por ello, en comparación de las ecuaciones de primer grado o ecuaciones lineales, la resolución de las ecuaciones cuadráticas es más compleja por lo que existen varios métodos para resolverlas. Algunos de ellos son:

1. Por despeje de ecuaciones cuadráticas puras

2. Por factorización de ecuaciones cuadráticas mixtas

02 =++ cbxax Rcbaa ∈≠ ,,,0

02 =++ cbxax

02 =+ bxax 02 =+ cax

Incompleta Pura Incompleta Mixta



3. Completando el trinomio cuadrado perfecto

4. Por fórmula general

5.1.1. Método de solución por despeje de ecuaciones cuadráticas puras La solución de una ecuación cuadrática de la forma ax2+c=0 consiste en despejar la incógnita como aprendiste en el tema de ecuaciones lineales, para luego obtener las dos soluciones por medio de una raíz cuadrada.

En este método la solución siempre será:

Ejemplo. Resuelve la ecuación cuadrática incompleta. Observa que es una ecuación cuadrática pura debido a que no tiene en término lineal. Despeja la incógnita como lo hiciste con las ecuaciones lineales:

Ahora aplica a ambos miembros de la ecuación una raíz cuadrada, con el fin de eliminar el cuadrado de la incógnita:

Así pues, tienes dos valores: el positivo y el negativo, siendo ambos solución de la ecuación: Comprobación

Si

Si

acxcaxSi −

±=→=+ 02

0123 2 =−x

0123 2 =−x123 2 =x

3122 =x

42 =x

Recuerda que…

La raíz cuadrada de un número x se puede representar de dos formas:

21

xx =

42 =x42 =x4=x

21 +=x 22 −=x

0123 2 =−x→+= 21x

→−= 22x

( ) 01223 2 =−( ) 01243 =−

01212 =−00 =

0123 2 =−x

( ) 01223 2 =−−( ) 01243 =−

01212 =−00 =



Práctica 52

Obtén las dos soluciones de la ecuación

Ejemplo. Resuelve la siguiente ecuación cuadrática

Solución

Te enfrentas a la raíz cuadrada de una cantidad negativa, y tú sabes que no existe ningún número real que elevado al cuadrado sea ‐9. Al tipo de números que obtienen raíces negativas se les conoce como números imaginarios, ya que en el siglo XVII René Descartes (1596 ‐ 1650) los llamó así porque pensó que sólo eran producto de su imaginación. Las siguientes definiciones te ayudarán a obtener las raíces cuadradas de números negativos: Definición 1 Se define un número imaginario como: Definición 2 La raíz cuadrada de una multiplicación se distribuye sobre los factores: Regresando a nuestro ejercicio, obtengamos la raíz cuadrada del ‐9: La cantidad negativa –a se puede representar por ‐1×a. Por la definición 2. Por la definición 1 y por la raíz de 9. Por la propiedad conmutativa de la multiplicación.

Por lo tanto, las soluciones de la ecuación cuadrática son:

5.1.2. Método de solución por factorización de ecuaciones cuadráticas mixtas La condición necesaria para utilizar este método es que a la ecuación cuadrática le falte el término independiente, es decir, que sea una ecuación cuadrática mixta:

0155 2 =+− x

092 =+x92 −=x

92 −=x9−=x

1−=i

baab =

9−=x

91×−=x91×−=x3±×= ixix 3±=

092 =+x

ix 31 += ix 32 −=

092 =+x

02 =+ bxax



La solución de este tipo de ecuaciones es por medio de la factorización por factor común, ya que ambos términos contienen a la incógnita x. El método consiste en factorizar la ecuación e igualar a cero cada factor, procediendo a resolver las ecuaciones obtenidas. Las ecuaciones de este tipo siempre tienen solución y además una de sus soluciones es x=0. Pasos para resolver una ecuación mixta

1. Factoriza la expresión del primer miembro de la igualdad por el factor común. 2. Utiliza la propiedad de los números reales que indica que uno de los dos factores

es cero. 3. Despeja cada factor para encontrar el valor de la incógnita.

Ejemplo. Resuelve la ecuación

Solución Lo primero que debes observar es que la ecuación presenta la forma general o estándar, por lo que es posible utilizar los pasos descritos anteriormente. Paso 1. Factoriza la expresión del primer miembro de la igualdad por el factor común. El factor común del primer término es 4x, por lo que: Paso 2. Utiliza la propiedad de los números reales que indica que uno de los dos factores es cero.

Recuerda, si el producto de dos factores es cero, uno de los dos o los dos, son cero:

Por lo tanto:

Paso 3. Despeja cada factor para encontrar el valor de la incógnita.

Por lo tanto, la ecuación cuadrática tiene dos resultados, 0 ó 2.

Práctica 52

Determina el valor de la incógnita en la ecuación

Sabías que…

La propiedad cero de la multiplicación o también llamada propiedad de producto cero dice que existe un número único, el cero, tal que el producto de cualquier número real x por cero es cero: 00 =⋅x

084 2 =− xx

( ) 024 =−xx

000 ==→= boaabSi

( ) 024 =−xx

02bien, o04 =−= xx

40

=x 02 =−x

01 =x 22 =x

8582 2 −−=− xx




5.1.3. Método de solución completando el trinomio cuadrado perfecto 5.1.4. Método de solución por fórmula general

5.1.3. Método de solución completando el trinomio cuadrado perfecto

Este método se aplica a ecuaciones completas: y a ecuaciones incompletas mixtas: .

Pasos para completar un trinomio cuadrado perfecto 1. Despeja el término independiente. 2. Divide cada término de la ecuación entre el coeficiente de x2. 3. Suma en ambos miembros de la ecuación el cuadrado de la mitad del coeficiente

de x. 4. Factoriza el primer miembro y simplifica el segundo miembro. 5. Despeja la variable en cuestión y toma dos raíces, una positiva y una negativa. Ejemplo. Encuentra las soluciones de la ecuación Solución Paso 1. Despeja al término independiente.

Paso 2. Divide entre el coeficiente de x2.

Paso 3. Suma el cuadrado de la mitad del coeficiente de “x” a ambos miembros de la ecuación.

02 =++ cbxax02 =+ bxax

02463 2 =−− xx

02463 2 =−− xx

2463 2 =− xx

2463 2 =− xx

32463 2 =− xx

822 =− xx

822 =− xx

La mitad

1−El cuadrado

( ) 11 2 =−



Por lo tanto,

Paso 4. Factoriza el primer miembro y simplifica el segundo.

Paso 5. Despeja la incógnita y obtén dos valores.

Por lo que las soluciones de la ecuación cuadrática son 4 o ‐2.

Práctica 53

Encuentra las raíces de

5.1.4. Método de solución por fórmula general

La fórmula general o también llamada fórmula cuadrática obtiene las raíces o soluciones de una ecuación de segundo grado con una incógnita. La fórmula es: donde a = Coeficiente del término cuadrático. b = Coeficiente del término lineal. c = Coeficiente del término independiente. Ejemplo. El producto de dos números naturales es 48 y su diferencia es 8. ¿Cuáles son esos números?

→=− 822 xx 18122 +=+− xx

18122 +=+− xx( ) 91 2 =−x

( ) 91 2 =−x

( ) 91 2 =−x31 ±=−x

13 +±=x

131 ++=x 132 +−=x41 =x 22 −=x

062 2 =− xx

aacbbx

242 −±−

=



Solución Si representas ambos números como: x = El número natural mayor y = El número natural menor entonces la diferencia entre ellos se representa por: debido a lo anterior, es posible representar al número mayor como: El producto de los números naturales es: Ahora, sustituye el valor de x en la multiplicación: Representando la ecuación anterior de la forma general o estándar (igualada a cero): Ya tienes una ecuación cuadrática que está completa, ahora utiliza la fórmula general para obtener el valor de la incógnita (en este caso y): Para este problema: Sustituyendo valores:

8=− yx

yx += 8

48=⋅ yx

48=⋅ yx

( ) 488 =+ yy

488 2 =+ yy

488 2 =+ yy

04882 =−+ yy

aacbby

242 −±−

=

4881

−===

cba

aacbby

242 −±−

=

( ) ( )( )( )12

481488 2 −−±−=y

2192648 +±−

=y



Las soluciones de la ecuación cuadrática son 4 y ‐12. Recuerda que originalmente se hablaba de dos números naturales y el ‐12 no es un número natural, por ello no es solución del problema. Para encontrar el segundo número, sustituye el 4 en la ecuación: Así pues, los dos números naturales que multiplicados dan 48 y restados dan 8, son el 4 y el 12. Práctica 54

El área de un rectángulo es de 96 cm2. Si su largo es 4 cm mayor que su ancho, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?

22568 ±−

=y

2168 ±−

=y

2168

1+−

=y2

1682

−−=y

28

1 =y

41 =y

224

2−

=y

122 −=y

yx += 848 +=x

12=x

A = 96 cm2

X+4

x




6. Funciones cuadráticas 6.1. Características de una ecuación cuadrática 6.1.1. Elementos de la parábola 6.1.2. Sentido de la parábola 6.1.3. Tipos de soluciones a partir de sus coeficientes

6. Funciones cuadráticas En bloques anteriores aprendiste que una ecuación lineal, la cual representa una línea recta, puede convertirse en una ecuación de dos variables, o mejor dicho, en una función. De forma similar, una ecuación cuadrática que se iguala a “y”, es decir, y=ax2+bx+c, se convierte en una función y genera una gráfica llamada parábola (curva abierta). Definición. A toda función de la forma

se le llama función cuadrática. 6.1. Características de una ecuación cuadrática 6.1.1. Elementos de la parábola El dominio de la función es R, es decir, la variable x puede ser cualquier número real, y su gráfica o parábola tiene los siguientes elementos:

0 , , )( 2 ≠∈++== ayRcbaconcbxaxxfy

Figura 1. Parábola de una función cuadrática



• Cada uno de los lugares en los que la gráfica corta al eje x se conoce como raíz. • El vértice es el punto en el cual la gráfica alcanza su valor mínimo (o máximo). • El eje de simetría es una recta que permite observar claramente que las

parábolas son curvas simétricas. 6.1.2. Sentido de la parábola El sentido de la gráfica de una función cuadrática dependerá del signo que tenga el coeficiente a del término cuadrático: Si el valor de a es positivo, la parábola estará abierta hacia arriba. Si el valor de a es negativo, la parábola estará abierta hacia abajo.

Si a > 0 la parábola abre hacia arriba

Si a < 0 la parábola abre hacia abajo

Recuerda que se llama raíz de una función al valor en el que ésta corta al eje x. Estos valores son las soluciones de la ecuación cuando está igualada a cero, y por lo tanto, y=0. Depende directamente del grado de la función, pues como puedes observar en las gráficas anteriores, la parábola corta en dos valores al eje x.

6.1.3. Tipos de soluciones a partir de sus coeficientes Definición Dada la fórmula general a

acbbx2

42 −±−=

el dis

y se Segútiene

sol

Por

so

Por

sol

Po

60 Univers

scriminante

representa

ún el signo e una ecuac

Si Δ > 0, la euciones o r

r ejemplo latiene

Si Δ = 0, la eoluciones o

r ejemplo latiene

x

Si Δ < 0, la luciones o rsus soluciocomplej

or ejemplo ltiene

sidad CNCI d

e se define c

por la letra

del determción cuadrát

ecuación tieraíces reales

a ecuación ye solucionesx1 =‐1 x2 = 5

ecuación tieraíces reale

a ecuación ye solucionesx1 = x2 = 2

ecuación nraíces realesones son nújos conjuga

a ecuación e soluciones

x 21 +=

x 22 −=

de México

como:

a griega may

minante puetica:

ene dos s distintas.

y=‐x2+4x+5 s:

ene dos es iguales.

y=‐x2+4x+4 s:

o tiene s, es decir, úmeros dos.

y=x2‐4x‐6 s:

i2+

i2−

Taller d

yúscula delt

edes saber

b=Δ

de Matem

ta: Δ.

el número

acb 42 −

máticas I

o y tipo de

I Semana

e soluciones

3 y 4

s que



Son raíces conjugadas porque una es positiva y la otra negativa.

Ejemplo. La longitud de un terreno donde se desea poner una tienda de abarrotes excede su ancho en 7 metros y el área del terreno es de 120 metros cuadrados. ¿Cuáles son las dimensiones que tendrá la tienda de abarrotes? Solución Si defines x = Longitud del terreno (m). y = Ancho del terreno (m). gráficamente la información dada es: entonces, la ecuación que representa al área es: y la ecuación que representa el ancho del terreno es: Sustituye lo anterior en la ecuación del área: Representa la ecuación obtenida como la forma general de una ecuación cuadrática: Ahora, antes de resolver por fórmula general indica las características de esta ecuación cuadrática:

Recuerda que…

Un número complejo está formado por dos partes y tienen la forma

Donde a y b son números reales, además a es la parte real y bi es la parte imaginaria.

bia +

x

y A=120 m2

xyA =xy=120

7−= xy

xy=120( )7120 −= xx

xx 7120 2 −=

012072 =−− xx



Sentido de la parábola: Como el signo del coeficiente del término cuadrático es positivo, entonces la parábola estará abierta hacia arriba. Tipos de soluciones: Para saber cuántas y de qué tipo serán sus soluciones, obtén el valor del discriminante: Como , entonces: a=1, b=‐7 y c=‐120. Sustituyendo en la fórmula del discriminante: Como Δ > 0 entonces, la ecuación cuadrática tendrá dos raíces reales distintas. Comprobemos lo anterior resolviendo por fórmula general: Por lo tanto, se tienen dos raíces reales distintas, de las cuales, el valor de ‐15 se descarta debido a que no existen distancias negativas. Sustituye x1 en la fórmula del ancho para conocer su valor: Por lo tanto, las dimensiones de la tienda de abarrotes serán:

acb 42 −=Δ

( ) ( )( )120147 2 −−−=Δ

012072 =−− xx

48049 +=Δ

529=Δ

aacbbx

242 −±−

=

( )( )12

5297 ±−−=x

2237 ±

=x

2237

1+

=x2237

2−

=x

151 =x 82 −=x

715 −=y8=y

15 m

8 m

7−= xy



Ahora realiza la gráfica de la parábola para que observes los elementos que contiene. La función cuadrática a graficar es: Tabula algunos valores de x, de preferencia, tomando 1 o 2 valores anteriores a la menor de las soluciones (x2 =‐8), y 1 o 2 valores posteriores a la mayor de las soluciones (x1 = 15). En este caso, la tabla tomará valores de ‐9 a 16: x ‐9 ‐8 ‐7 ‐6 ‐5 ‐4 ‐3 ‐2 ‐1 0 1 2 3 y 24 0 ‐22 ‐42 ‐60 ‐76 ‐90 ‐102 ‐112 ‐120 ‐126 ‐130 ‐132 x 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y ‐132 ‐130 ‐126 ‐120 ‐112 ‐102 ‐90 ‐76 ‐60 ‐42 ‐22 0 24 La parábola correspondiente es:

Si observas la gráfica puede ver que las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática cortan o cruzan al eje x. También puedes observar que el término independiente de la ecuación es el punto que cruza al eje y. Práctica 55

El almacén de una juguetería tiene las siguientes dimensiones: mide 5 m de altura y su ancho es de cinco metros más que de largo. Además, el volumen del almacén es de 1500 m3. Calcula la longitud y la anchura del almacén de la juguetería.

Figura 2. Parábola de la función cuadrática y=x2-7x-120

1207)( 2 −−== xxxfy



Sesión 16 Los temas a revisar el día de hoy son: 6.2. Gráfica de una ecuación cuadrática

7. Forma estándar de una función cuadrática 7.1. Desplazamiento vertical 7.2. Desplazamiento horizontal

6.2. Gráfica de una ecuación cuadrática Si te diste cuenta en estos dos ejemplos, para obtener la gráfica de una función cuadrática tuviste que establecer la ecuación cuadrática, resolverla por fórmula general y al final graficarla mediante tabulación, un trabajo muy tedioso ¿no? Existe una forma más fácil de graficar una función cuadrática, y es mediante el uso de su vértice. Definición El vértice de una parábola es el punto donde la gráfica cambia de sentido. La fórmula para calcular las coordenadas del vértice es: donde a, b y c son los coeficientes de la ecuación cuadrática.

El valor de la coordenada xv del vértice se llama eje de simetría, ya que genera una recta paralela al eje “y”, y la cual siempre está colocada exactamente en medio de las dos raíces dividiendo a la gráfica exactamente a la mitad. Se determina por la ecuación:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−abac

abV

44,

2

2

( )vv yxV ,

abx

2−

=

Figura 4. Vértice y Eje de simetría de una parábola



Cuando la parábola abre hacia arriba, el vértice es el valor mínimo de la parábola. Cuando abre hacia abajo, el vértice representa el valor máximo. En ambos casos, la coordenada que representa esto es: Pasos para realizar una gráfica de una función cuadrática Existe un procedimiento que agiliza la graficación de una ecuación cuadrática:

1. Obtén las raíces de la ecuación cuadrática utilizando el método que mejor te convenga y localízalos en un eje cartesiano.

2. Calcula el vértice de la parábola y localízalo en el plano cartesiano. 3. Localiza otros dos puntos en la recta para graficar. 4. Une los puntos de la gráfica para obtener una parábola.

Ejemplo. Se estudiaron los efectos nutricionales sobre ratas de laboratorio, que fueron alimentadas con una dieta que contenía 10% de proteína. La proteína consistía en levadura y harina de maíz. Al variar el porcentaje p de levadura en la mezcla de proteína se estimó que el peso promedio ganado en gramos de una rata en un cierto periodo fue de f(p), donde:

a) Realiza la gráfica de la función cuadrática. b) ¿Cuánto porcentaje de levadura debe haber en la proteína para que las ratas

tengan el máximo peso en gramos? c) Encuentra el o los valores de p en que el peso ganado por las ratas sea de 45.5

gramos.

Solución Si p = Cantidad de levadura en la proteína (%). f(p) = Peso ganado por las ratas (gr.) entonces, lo que debes hacer para graficar la función se muestra a continuación.

a) Gráfica de la función cuadrática Paso 1. Obtener y graficar las raíces de la función. Para resolver la ecuación de la función, primero debes igualarla a cero y después utiliza la fórmula general para obtener las raíces:

abac

44 2−

202501)( 2 ++−= pppf 1000 ≤≤ p

→++−= 202501)( 2 pppf 0202

501 2 =++− pp

→−±−

=a

acbbp2

42

202

02.0501

==

−=−=

cb

a



Los puntos que deberás ubicar en el plano cartesiano son: ( ‐9.25, 0) y ( 109.25, 0)

Como el signo del coeficiente del término cuadrático es negativo (‐1/50), entonces la parábola abrirá hacia abajo:

Paso 2. Obtener el vértice de la parábola. Sustituye los valores de a, b y c en la fórmula del vértice:

( ) ( )( )( )02.02

2002.0422 2

−−−±−

=p

04.06.142

−+±−

=p

04.06.52

−±−

=p

04.037.22

−±−

=p

04.037.22

1 −+−

=p04.0

37.222 −

−−=p

25.91 −=p 25.1092 =p

Figura 5. Localización de las raíces de la función

202

02.0

==−=

cba

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−abac

abV

44,

2

2

( )( )( ) ( )

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−−

−−

02.0422002.04,

02.022 2

V

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−−

−−

08.046.1,

04.02V ( )70,50V



Por lo tanto, el valor máximo de la parábola se encuentra en el punto (50,70) y el eje de simetría es paralelo a “y” en el valor 50. Gráficamente:

Paso 3. Encuentra otros dos puntos en el plano cartesiano. Como sólo se tienen tres puntos localizados en el plano, se debe obtener otras dos parejas ordenadas para indicar que tanto se abre la parábola. En este caso, como las raíces de la función fueron ‐9.25 y 109.25, dale los valores de ‐50 y 150 a “p” y sustitúyelos en la función para encontrar otros dos puntos:

Por lo tanto, los otros dos puntos en el plano serán: (‐50, ‐130) y (150, ‐130)

Figura 6. Localización del vértice de la función

202501)( 2 ++−= pppf

( ) ( ) 1302050250501)50( 2 −=+−+−−=−f

( ) ( ) 130201502150501)150( 2 −=++−=f

Figura 7. Localización del los 5 pares ordenados obtenidos



Paso 4. Une los puntos para obtener la parábola.

b) ¿Cuánto porcentaje de levadura debe haber en la proteína para que las ratas tengan el máximo peso en gramos?

Si observas la gráfica, el valor máximo se encuentra en el vértice que calculaste anteriormente: V (50, 70). Así pues, se necesita el 50% de levadura en la proteína de la dieta para obtener el máximo peso de 70 gramos.

c) Encuentra el o los valores de “p” en que el peso ganado por la ratas sea de

45.5 gramos. Lo que debes hacer es igualar la función al valor que deseas y resolverla por alguno de los métodos vistos anteriormente:

Figura 8. Parábola del peso ganado por las ratas en función de la cantidad de levadura en la proteína de la dieta consumida.

202501)( 2 ++−= pppf

2025015.45 2 ++−= pp

05.45202501 2 =−++− pp

05.252501 2 =−+− pp



Resolviendo por fórmula general: a= ‐0.02, b=2 y c=‐25.5 Por lo tanto, las ratas pesarán 45.5 gramos cuando en su dieta se haya incluido 15% de levadura o también cuando se agregue el 85% de levadura en la proteína.

Si observas la gráfica, lo anterior lo puedes localizar en la parábola:

aacbbp

242 −±−

=

( ) ( )( )( )02.02

5.2502.0422 2

−−−−±−

=p

04.004.242

−−±−

=p

04.096.12

−±−

=p

04.04.12

−±−

=p

04.04.12

−+−

=p04.0

4.12−−−

=p

15=p 85=p

Figura 9. Las ratas pesarán 45.5 gramos cuando consuman 15% o 85% de levadura en la proteína.



7. Forma estándar de una función cuadrática Si se grafican dos funciones cuadráticas: y si a1 y a2 tienen el mismo signo y además el vértice de ambas parábolas coincide, entonces, resulta uno de los siguientes dos casos:

Observa las parábolas de estas dos funciones. a1 y a2 tienen signo positivo y el mismo vértice. Mientras mayor sea el valor de “a”, más cerrada será la parábola.

Observa las parábolas de estas dos funciones. a1 y a2 tienen signo negativo y el mismo vértice.

Mientras mayor sea el valor absoluto de “a”, más cerrada será la parábola.

Así, el valor absoluto de “a” modifica la abertura de las parábolas:

i) Cuanto menor es |a|, la parábola es más abierta. ii) Cuanto mayor es |a|, la parábola es más cerrada.

222

22

112

11

cxbxay

cxbxay

++=

++=

021 >> aa

Caso 1 Caso 2

21

21 0,0aaaa

>

<<



7.1. Desplazamiento vertical Para continuar con la forma de una ecuación cuadrática, ahora centra tu atención en lo siguiente. La gráfica de la función es simétrica de acuerdo al eje “y”:

Si desplazas su gráfica en forma vertical u horizontal, obtendrás las gráficas de otras funciones cuadráticas. Por ejemplo: Si trasladas la gráfica dos unidades hacia arriba, obtendrás la gráfica de la

función

Si trasladas la gráfica tres unidades hacia abajo, obtendrás la gráfica de la

función

2xy =

2xy =22 += xy

2xy =32 −= xy



En resumen, los desplazamientos no modifican al eje de simetría, pero sí a la ordenada del vértice, por lo que, en caso de contar con una parábola cuya ecuación es de la forma: las coordenadas del vértice serán: 7.2. Desplazamiento horizontal Continuando con el análisis de la gráfica de la función ve ahora que sucede si desplazas su gráfica en forma horizontal. Si trasladas la gráfica dos unidades hacia la derecha, obtendrás la gráfica de la función

Si trasladas la gráfica dos unidades hacia la izquierda, obtendrás la gráfica de la función

kxy += 2

),0( kV

2xy =

( )22−= xy

2xy =( )22+= xy



En resumen, los desplazamientos si modifican al eje de simetría y a la abscisa del vértice, por lo que, en caso de contar con una parábola cuya ecuación es de la forma: las coordenadas del vértice serán: Combinando lo visto hasta ahora, puedes observar que: Si trasladas la gráfica una unidad hacia la derecha y dos unidades hacia arriba,

obtendrás la gráfica de la función

Si trasladas la gráfica tres unidades hacia la izquierda y una unidad hacia

abajo, obtendrás la gráfica de la función

( )2hxy −=

)0,(hV

2xy =

( ) 21 2 +−= xy

( ) 13 2 −+= xy

2xy =



En resumen, al desplazar la gráfica de “h” unidades en sentido horizontal y “k” unidades en sentido vertical, obtendrás la gráfica de la función: Las coordenadas de su vértice serán: Así pues, la función cuadrática se puede expresar en la forma donde Práctica 56 Un bateador le pega a una pelota la cual describe una trayectoria parabólica definida por la ecuación

a) ¿Cuáles son las características de la ecuación cuadrática? b) Obtén la gráfica de la función cuadrática. c) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota y en cuánto tiempo lo hace? d) Representa la función cuadrática en su forma estándar.

( ) khxy +−= 2

),( khV

2xy =

02 ≠++= acbxaxy

( ) khxay +−= 2

abh

2−

=

)(hfk =

963 2 ++−= tty

taller de matemáticas - … · agua de horchata y un litro de agua de limón respectivamente; o...

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