ANLISIS MATEMTICO II 2014

Unidad Temtica I - Campos Escalares y Vectoriales

TALLER N 1 GEOMETRA ANALTICA EN EL ESPACIO

Recta, plano, superficies cilndricas, cudricas, coordenadas cilndricas y esfricas.

OBJETIVOS Y METODOLOGA

El presente taller tiene por objetivo comenzar la materia aprendiendo conceptos tiles y necesarios para el Anlisis Matemtico II

que corresponden a Geometra Analtica en el Espacio. Concretamente el primer desafo consiste en migrar del plano al espacio,

pensar en conjuntos de puntos de tres componentes; relacionar grficas, ecuaciones y sus nombres para rectas, planos y otras

superficies tpicas; conocer otros sistemas de coordenadas, que permiten expresar esos conjuntos de puntos en funcin de

nuevas variables. Es necesario adquirir habilidad en las representaciones mentales asociadas y entrenarse para saber, no slo

resolver, sino tambin argumentar y enunciar los conceptos en lenguaje coloquial.

Para ello es til rescatar de la bibliografa disponible definiciones destacadas, sobre todo a modo de ayuda memoria personal, para

estudiar y repasar, teniendo presente que, en matemtica, el orden y la prolijidad aportan claridad al pensamiento.

Ms all de la formalidad de los informes, lo significativo es aprender, y hacerlo a tiempo, como sustento para el abordaje de los

temas siguientes.

A- Investiga, sobre los temas propuestos, deja

constancia de tu trabajo, asocia graficas con

ecuaciones; analiza el efecto de la variacin de los

parmetros en dichas ecuaciones.

B- Aplica los conceptos investigados para resolver

las siguientes propuestas:

I - Rectas y segmentos de rectas

I.1) a) Encuentra las ecuaciones paramtricas para la recta que pasa por el punto P(-2,0,4) y es

paralela al vector v = 2 i + 4 j - 2 k . b) Expresa la recta por ecuacin simtrica (tambin llamadas

ecuaciones cannicas). c) Informa la direccin de la recta a trav s de los cosenos directores del

vector y de sus ngulos directores. d) Grafica en un sistema de coordenadas rectangulares xyz. e)

Obtiene otro punto de la recta (por ejemplo, si t=1) y comprueba grficamente que le pertenece, si

es necesario grafica nuevamente.

Rta : la parametrizaci n estndar de la recta es : x = -2 + 2 t, y = 4 t, z = 4 - 2 t

I.2) a) Encuentra las ecuaciones paramtricas para la recta que pasa por los puntos P(-2,0,3) y

Q(3,5,-2). b) Da la ecuacin simtrica. c) Grafica. d) Idem 1.1.e) para t= -1.

Rta: a) la parametrizaci n estndar de la recta es: x=-2+5t, y=5t, z=3-5t; d) R(-7,-5,8)

I.3) Parametriza el segmento de recta que une los puntos

a) P (-3, 2, -3) y Q (1, -1, 4)

b) P (2,0,2) y Q( 0,2,0);

dibuja los ejes coordenados , traza el segmento e indica la direccin de t creciente para su

parametrizacin.

Rta.: a) x=-3+4t, y=2-3t, z=-3+7t, 0t1 ; b) x=2-2t, y=2t, z=2-2t, 0t1

I.3) Parametriza el segmento de recta que une los puntos

a) P (-3, 2, -3) y Q (1, -1, 4)

b) P (2,0,2) y Q( 0,2,0);

dibuja los ejes coordenados , traza el segmento e indica la direccin de t creciente para su

parametrizacin.

Rta.: a) x=-3+4t, y=2-3t, z=-3+7t, 0t1 ; b) x=2-2t, y=2t, z=2-2t, 0t1

I.4) Cules son los ngulos formados por la recta x-1

1 =

y+2

-1 =

z

- 2

y los ejes de las coorde-

nadas?

Nota: si graficas hazlo con cuidado, para "ver" los ngulos (no es fcil por la perspectiva).

Rta.: 60, 120, 135.

I.5) Qu imagen geomtrica corresponde al sistema de dos ecuaciones: x=2 y=3?Rta.: lnea recta paralela al eje Oz y que pasa por el punto P(2,3,0); tambin: conjuntos de puntos de R

3de la forma: (2,3,z) con zR

I.6) Grafica la recta x=2 y=4; (mustrala como interseccin de los planos x=2, y=4)I.7) Idem anterior para la recta y=3 z=5.I.8) a) Halla las trazas (es decir los puntos de interseccin) de la recta

x+1

2=

y-1

-3=

z+2

4 en los planos

coordenados. b) Grafica la recta que pasa por los puntos encontrados en a), cuidando la escala/per -

spectiva. c) Ubica otro punto cualquiera de la recta en el grfico, por ejemplo si t= -1.

Rta.: traza en plano zx: P(-1/3,0,-2/3); traza en plano zy: P(0,-1/2,0)

II - Planos

II.1) Da la ecuacin de cada uno de los planos de coordenadas. Esboza un grfico y asigna las

ecuaciones correspondientes.

II .2L Cul es la imagen geomtrica que corresponde a la ecuacin : z2 - 1 = 0?Rta.: los planos paralelos z=1, y z= -1.

II .3) Grafica por separado, y descrbe los planos : a) x = 3; b) y = 6; c) z = 2; d) x+y=3;

eL x + y + z = 1;II .4 .1L Dados : el punto Po Hx0, y0, z0L, y el vector n = A i + B j + C k

aL da la ecuacin vectorial del plano al quepertenece el punto Po sabiendo que n es perpendicular a l, tambin grafica;

bL trabaja la expresin anterior para encontrar la ecuacin general del plano.II .4 .2L Encuentra una ecuacin para el plano que pasa por Po H-3, 0, 7L perpendicular a n = 5 i + 2 j - k.II.5) Escribe la ecuacin del plano paralelo al eje Oz que corta sobre los ejes Ox y Oy segmentos

de longitud 2 y 3 respectivamente. Grafica.

Rta.: x/2 + y/3 =1

II.6) Escribe la ecuacin del plano que pasa por el punto Po(1,2,3) y que es perpendicular al eje

Oz.

Rta.: z=3

II .7) Escribe la ecuacin del plano que corta a los ejes x, y, z en los puntos : 2, 4, 6 respectiva -

mente.

II .8) Grafica los planos : a) 2 x + y + 2 z = 4; b) - 2 x - y + 2 z = 0.

II.9) Da las ecuaciones paramtricas de la recta que pasa por P (0, -7, 0) perpendicular al plano x

+ 2 y + 2 z = 13

Rta.: x=t, y= -7+2t, z= 2t

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II.9) Da las ecuaciones paramtricas de la recta que pasa por P (0, -7, 0) perpendicular al plano x

+ 2 y + 2 z = 13

Rta.: x=t, y= -7+2t, z= 2t

II .10) Encuentra el ngulo entre los planos 3x - 6y - 2z = 15, y, 2x + y - 2z = 5.

Rta.: q=1.38 rad.

III - Superficies cilndricas

III .1L Grafica los cilindros parablicos : aL y = x2 ; bM z2 = y;III .2M Grafica : aM z = sen HyL ; bM y = ln HxL;

III .3M Se construye un panel solar para calentaragua con una hoja de acero inoxidable a la que se da forma de parbola,

con puntos A H-3, 1L, B H0, 0L, C H3, 1L. El agua fluir a travs de una tuberasituada en el foco de la parbola. A qu distancia est la tubera del vrtice?

Rta. 9 4

IV - Superficies cudricas

IV .1L Escribe la ecuacin de la esfera con centro en el origen de coordenadas y de radio 3. Grafica.IV .2L Escribe la ecuacin de la esfera con centro

en el punto C H2, -2, 1L que pasa por el origen de las coordenadas.Rta. : x2 + y2 + z2 - 4 x + 4 y - 2 z = 0

IV .3) Calcula los semiejes del elipsoide x2

+ 2 y2

+ 3 z2

= 4. Grafica.

Rta.: a=2; b= 2 ; c=2/ 3 .

IV .4) Determina los semiejes de la elipse obtenida por la interseccin del elipsoide x

2

36+

y2

9+

z2

4=1 y

el plano x=3 . Grafica.

Rta.: 3 3 /2 , 3

IV .5) Grafica los paraboloides y consigna en cada caso si es de revoluci n o elptico: a) z=

x2

+ y2;

b) z= -x2

- y2+4; c) z = 2 x

2+

y2

4

IV .6) Grafica el paraboloide hiperblico: z= y2

- x2.

IV .7) Grafica: a) el cono z2= x

2+ y

2; b) el cono elptico : z

2= x

2+ 9 y

2.

IV .8) Grafica los hiperboloides de una hoja: a) -z2+ x

2+ y

2=1; b) z

2- x

2+ y

2=4.

IV .9) Grafica los hiperboloides de dos hojas: a) -z2- x

2+ y

2=1; b) z

2- x

2- y

2=1.

IV.10....Para reconocer ( item general, no

necesariamente cudricas):

Taller_1_14_Geometria_Analitica_en_el_espacio.nb 3

IV.10....Para reconocer ( item general, no

necesariamente cudricas):

Qu figuras geomtricas en el espacio corresponden a las ecuaciones siguientes:

a) x y =0; b) x z = y z ; cL y2 + y - 2 = 0; dM z2 = 2 x; eM y=1, z = -2; f) x

2= 0 , gM x2 + y2 = 0; h) x2 + y2 + z2 = 0 ? Grafica.

Rtas.: a) conjunto de planos coordenados Oyz y Oxz; b) conjunto del plano de coordenadas Oxy y del plano bisector del diedro que

forman los planos de coordenadas Oxz y Oyz; c) dos planos paralelos y= -2 e y=1; d) cilindro parablico; e) recta paralela al eje Ox; f)

plano de coordenadas Oyz; g) eje Oz; h) punto O(0,0,0).

V- Coordenadas cilindricas y esfricas

V .1) Grafica en coordenadas cilndricas y enuncia (describe en lenguaje coloquial) :

a) r=2; b) r=0; c) q =p

3 ; d) r=3 q = p

4; e) z = r

2

Rta.: a)cilindro circular recto de eje z , radio 2 ; b) el eje z; c) plano perpendicular al xy, pasa por el eje z, forma un ngulo de p

3

radianes

con el semieje positvo de x; d) recta como interseccin entre cilindro circular recto de eje z , radio 2 , y el plano p

4; e) paraboloide de

revolucin.

V.2) Encuentra una ecuacin en coordenadas esfricas para x2 + y2 + z2 = 9.

Rta.: r=3

V.3) Describe los conjuntos definidos por las ecuaciones y desigualdades en coordenadas esfricas:

a) r=2; b) f =p

6; c) r=1, 0f

p

2.

V.4) Encuentra una ecuacin en coordenadas esfricas para el cono z2= x

2+ y

2.

Rta.: f =p

4

V.5) Expresa en coordenadas esfricas el octavo de esfera con centro en el origen y radio 2 corre-

spondiente al 1 octante.

Rta.: r =2, 0 q p

2, 0 f

p

2

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