sumatorias
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Resolviendo problemas de Sumatorias
1) Encontremos una formula por recurrencia para la sumatoria del tipo:
Donde m es un número natural.
Solución:
Ocupemos la identidad que nos hará despejar por una suma telescópica, y luego separamos
cada termino para observar si se puede simplificar en algunas partes que conforman la
ecuación.
a) Como es un binomio, se puede escribir de la forma
, que
se postula en el teorema del binomio.
b) Si , se puede sacar un término de la sumatoria, ya que
, quedando en ese
termino , que está restando a la derecha.
c) Se restan los términos semejantes quedando la formula de una manera más simple.
d) Si , podemos sacar el termino que nos conviene para dar a conocer el resultado, ya
que
, y , quedando dos expresiones en la sumatoria.
e) Ahora la sumatoria se puede separar en 2 sumatorias, y ya vemos que está apareciendo la
sumatoria que deseábamos al comienzo.
f) La identidad que se ocupó al comienzo era para desarrollar una suma telescópica, y se
saca , y , quedando la expresión de la
izquierda.
g) Para que quede mejor la expresión de la izquierda, utilizamos el teorema del binomio para
=
.
h) Si bien cuando , el término de la sumatoria es 1, por lo que se puede eliminar
ese 1 que se ve tan feo ahí solo, y como se le quita el último termino, se debe disminuir en
1 el límite superior de la sumatoria, y se pasa restando la sumatoria de la derecha que no
corresponde a la sumatoria que queremos obtener.
i) Ahora se multiplica por hacia los dos lados de la igualdad y estamos ya muy
cerca de la formula por recurrencia, bueno en si ya estamos en ella.
j) Bueno, yo quise sacar un término que siempre aparece en la segunda sumatoria, cuando
,
, y , entonces queda un termino 1 dentro de la
sumatoria, por lo que se puede separar conservando el signo.
k) El termino que se sacó de la sumatoria, es n veces 1, por lo que se puede escribir como n.
l) Y por último la formula por recurrencia del problema planteado es, vean que es por
recurrencia, ya que y , y esto lo demuestra.