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ETSI de Topografía, Geodesia y Cartografía

U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA

TAYLOR Prueba de Evaluación Continua Grupo A 16-10-12

1.- Hallar la fórmula de MacLaurin ( ( )f x =Tn + Rn) de la función ( )x

f x e−−−−==== .

Solución

Se calculan las primeras derivadas de la función ( )x

f x e−−−−==== y se predice, por inducción, la

expresión de la derivada n-ésima:

'( ) xf x e−= − ; ''( ) xf x e−= ; '''( ) xf x e−= − ; ( )IV xf x e−= ; luego ( ( ) ( 1)n n xf x e−= − . Se calcula

la derivada de esta expresión y se observa que su valor es el mismo que el que se obtiene al sustituir n por n+1

( 1 1( ) ( 1)n n xf x e+ + −= −

La fórmula de MacLaurin (Taylor en el punto a=0) es ) 1)

2 3 1'(0) ''(0) '''(0) (0) ( )( ) (0) ( 0) ( 0) ( 0) ... ( 0) ( 0)

1! 2! 3! ! ( 1)!

n nn nf f f f f c

f x f x x x x xn n

++= + − + − + − + + − + −

+

( ) ( ) ( )2 3 1

1 0 1 ... 1 1 , con

02! 3! ! 1 !

n nn nx c

c xx x x xe x e

x cn n

++− − < <

= − + − − + − + − < <+ o bien

2.- Dada la función ( ) xf x e==== se pide:

a) Obtener 4

,1xT e

con DERIVE y hallar el valor aproximado de 0.5

e , con dicho

polinomio así como una cota del error cometido.

b) Averigua cuál el grado mínimo n que necesitaríamos tomar en el polinomio ,1x

nT e

para que el error fuera menor que 0.001 al obtener la aproximación de0.5

e .

Solución:

4 3 2 √x ��(5�x - 28�x + 54�x - 236�x - 179) a): TAYLOR(� , x, 1, 4) = - �� 384

el valor aproximado de 0.5e es:

4 3 2 ��(5�0.5 - 28�0.5 + 54�0.5 - 236�0.5 - 179)

- �� = 2.029420368 384 Una cota del error cometido se obtiene aplicando:

( ) 5

(5

[0.5,1]

0.5 1( 0.5) ( )

5!xerror x máx f x

∈

−= ≤ ,

luego hemos de obtener la derivada quinta y su máximo en [1, 1.5] √x 2 3/2 d 5 √x � �(x - 10�x + 45�x - 105�√x + 105) #3: � = �� dx 9/2



32�x √x 2 3/2 � �(x - 10�x + 45�x - 105�√x + 105) #4: IF0.5 < x < 1, �� 9/2 32�x

5 71.65916618�(1 – 0.5) La cota de error(x=0.5)≤ �� = 0.01875 < 0.02 5! √0.5 #7: 2.02 - 0.02 < e < 2.02 + 0.02 √0.5 #8: 2.00 < e < 2.04 b) El polinomio de grado 4 proporciona una aproximación lejos de 0.001 por lo que estudiamos

la cota de error para n>4, probamos con varias n en Derive y vemos si es menor que 0.001. Con n=35

( ) 35

(35

[0.5,1]

0.5 1( 0.5) ( )

35!xerror x máx f x

∈

−= ≤

35 3.444594007·1047

�0.5

La cota de error(x=0.5) ≤ �� = 0.00097 < 0.001 35! por lo que el n mínimo es 35.

3.- Construido un depósito esférico para almacenamiento de líquidos, se le pide a un topógrafo

que estime con la mayor precisión posible el volumen que puede contener. El topógrafo mide el

radio R de la esfera que resulta ser de 11,35 m. con una cota de error estimado dR < 20 cm.

a) Aplique el concepto de diferencial para aproximar el error propagado (porcentual)

cometido al calcular el volumen V del depósito.

La gráfica del valor absoluto de la derivada es decreciente en [0,0.5] luego el máximo se alcanza en 0.5 y vale

71.65916618

La derivada es decreciente en [0.5,1] por lo que el máximo se obtiene en x=0.5 y vale 3.444594007·1047



b) Estimar el máximo error en la medida de R, para que el error propagado al calcular el

volumen no supere el 3%.

Solución

a) R=11,35 ± 0.20, es decir, se toma como valor aproximado R = 11.35 m. y la cota de error,

dR < 0.20m, nos indica que el verdadero valor de R está entre 11.15 y 11.55 m.

Este error de R se propaga al calcular el volumen del depósito:

V = 3 34 4 11.35

3 3Rπ = π ≈ 6124.578336 m3.

Para obtener una cota del error V∆ se usa la diferencial V dV∆ ≈

dV = V’ (R) dR= 2 24 3 4

3R dR R dRπ = π

El error propagado porcentual es : 2

3

4 3 3·0.2100 100 100 100 5.286 5.3%

4 11.35 3

porc

dV R dR dRe

V RR

π≈ = = = ≈ <π

, luego el error

propagado en porcentaje es ≤ 5.3%

b) Se pide estimar dR para que impone la condición de que 100porc

dVe

V≈ <3, luego:

2

3

4 3 3 11.35100 100 100 3 0.1135 0.12

4 3·100 100 3

dV R dR dR RdR

V RR

π= = < ⇒ < = = <π

Por lo tanto, la cota de error al medir R no debe superar los 12 cm, es decir dR <12cm.



TAYLOR Prueba de Evaluación Continua Grupo B 16-10-12

1.- Hallar la fórmula de MacLaurin ( ( )f x =Tn + Rn) de la función ( ) lnf x x==== .

Solución

Se calculan las primeras derivadas de la función ( ) lnf x x==== y se predice, por inducción, la

expresión de la derivada n-ésima:

11'( )f x x

x

−= = ; 2''( )f x x−= − ; 3'''( ) 2f x x−= ; 4( ) 2.3IVf x x−= − ; luego

( 1 1 ( 1)!( ) ( 1) ( 1)! ( 1)n n n n

n

nf x n x

x

− − − −= − − = − . Se calcula la derivada de esta expresión y se

observa que su valor es el mismo que el que se obtiene al sustituir n por n+1

( 1 1 1 ( 1)1

!( ) ( 1) ( 1)!( ) ( 1) ! ( 1)n n n n n n

n

nf x n n x n x

x

+ − − − − ++= − − − = − = −

La fórmula de MacLaurin (Taylor en el punto a=0), con c∈(0,x) o bien c∈(x,0), es: ) 1)

2 3 1'(0) ''(0) '''(0) (0) ( )( ) (0) ...

1! 2! 3! ! ( 1)!

n nn nf f f f f c

f x f x x x x xn n

++= + + + + + +

+

Ahora bien, las derivadas ( 1 ( 1)!( ) ( 1)n n

n

nf x

x

− −= − no están definidas en x=0, luego no es

posible obtener la fórmula de Taylor en a=0

2.- Dada la función ( ) lnf x x==== se pide:

a) Obtener 6

ln ,1T x con DERIVE y hallar el valor aproximado de ln 1.5 , con dicho

polinomio así como una cota del error cometido

b) ¿Qué grado mínimo n necesitaríamos usar en el polinomio ln ,1nT x para que el

error fuera menor que 0.001 al obtener la aproximación de ln 1.5 .

Solución:

a): TAYLOR(LN(√x), x, 1, 6) = 5 4 3 2 (1 - x)�(10�x - 62�x + 163�x - 237�x + 213�x - 147) �� 120

el valor aproximado de ln 1.5 es: 5 4 3 2 (1 - 1.5)�(10�1.5 - 62�1.5 + 163�1.5 - 237�1.5 + 213�1.5 - 147 �--= 0.20234375 120 Una cota del error cometido se obtiene aplicando:



( )7

(7

[1,1.5]

1.5 1( 1.5) max ( )

7!xerror x f x

∈

−= ≤ , luego hemos de obtener la derivada séptima y su

máximo en [1, 1.5] d 7 360 LN(√x) = �� #3: dx 7 x 360 IF1 < x < 1.5, �� #4: 7 x La gráfica del valor absoluto de la derivada es decreciente en [1,1.5] luego el máximo se alcanza en 1 y vale 360, luego 7 360�0.5 Error(x=1.5)≤ �� = 0.0005580357142 < 0.0006 7!

b) El polinomio de grado 6 ya proporciona una aproximación con un error menor que 0.001 pero no sabemos si 6 es el n mínimo que se pide por lo que estudiamos la cota de error para n=5 y vemos si es menor que 0.001.

( )6

(6

[1,1.5]

1.5 1( 1.5) max ( )

6!xerror x f x

∈

−= ≤

d 6 60 LN(√x) = - �� dx 6 x

Como antes, la gráfica del valor absoluto de la derivada sexta es decreciente en [1,1.5] luego el máximo se alcanza en 1 y vale 60, luego 6 60�0.5 Error(x=1.5)≤ �� = 0.001302083333 > 0.001, luego n = 6 es el grado mínimo. 6!

60 IF1 < x < 1.5, - �� 6

x



3.- Para el control de calidad de una pieza cilíndrica de un cohete, con la medida de la altura

igual al diámetro de la base, se le pide a un topógrafo que mida el radio R de la base con alta

precisión y el resultado es de 6,14m. con una cota de error dR < 6cm.

a) Usar diferenciales para aproximar el máximo error propagado cometido, en términos

porcentuales, al calcular el volumen del cilindro.

b) Estimar el máximo error porcentual posible en la medida de R para que el error

cometido al calcular el volumen no supere el 1%.

Solución

a) R=6,14 ± 0.06, es decir, se toma como valor aproximado R = 6.14 m. y la cota de error, dR=0.06m, nos indica que el verdadero valor de R está entre 6.08 y 6.2 m.

Este error de R se propaga al calcular el volumen del depósito:

V = 2 3 3 2 2 2 6.14R R Rπ = π = π ≈ 1454.403737m3. Para obtener una cota del error V∆ se usa la diferencial V dV∆ ≈

dV = V’ (R) dR= 2 22 3 6 R dR R dRπ = π El error propagado porcentual es :

2

3

6 3 3·0.06100 100 100 100 2.93159609 3%

6.142 porc

dV R dR dRe

V RR

π≈ = = = ≈ <π

, luego el error

propagado en porcentaje es < 3%

b) Se pide estimar 100dR

R con la condición de que 100porc

dVe

V≈ <3, luego:

3 1100 100 1 100 0.3333 0.34%

3

dV dR dR

V R R= < ⇒ < = <

Por lo tanto, la cota de error al medir R no debe superar 0.34% de la medida de R.



CURVAS

Prueba de Evaluación Continua Grupo A 16-10-13

(Sin DERIVE)

Sea la curva de ecuaciones ( ) (2 )( ) cos(2 )

= =

x t tg ty t t

. La siguiente imagen muestra la gráfica

incompleta de dicha curva: Se pide: a) Hallar el campo de variación de t. b) Estudio de simetrías. c) Razonar si la curva es periódica y obtener el período de la curva. d) Estudio de asíntotas.

e) Para valores de t en [0, 2π ], hallar puntos críticos, puntos de tangencia horizontal,

vertical y singulares.

f) Para valores de t en [0, 2π ], hacer el estudio del crecimiento y decrecimiento por

ramas. g) ¿Para qué valores del parámetro t se obtienen los puntos P y Q de corte de la curva con

el eje de ordenadas? Dibujar la gráfica completa de la curva.

Solución

a) Campo de variación de t:

No existe x(t) = tg(2t) para ( )2k 12k2t k t k , k Z2 4 2 4 4

+ ππ π π π+ π= + π⇔ = + = = ∈

Mientras que y(t) = cos (2t) existe para todos los valores de t.

Por tanto, el campo de variación de t es ( )2k 1 3 5R , k Z R , , ,...4 4 4 4

+ π π π π − ∈ = − ± ± ±

b) Simetrías: la curva es simétrica respecto al eje de ordenadas OY, ya que

( ) ( )( ) ( )

x t x t

y t y t

− = −

− = .

c) Periodicidad:



( ) ( )

Período de x(t) tg(2t): 2

2Período de y t =cos 2t : = 2

π = ⇒ π π

La curva es periódica de período:

T = m.c.m {π/2, π}=π.

d) Asíntotas: Por ser -1 ≤y(t) ≤ 1, la curva no tiene asíntotas verticales ni oblicuas.

y = 0 es asíntota horizontal pues 4

4

lim ( )

lim ( ) 0

±→

→

= ∞

=

∓t

t

y t

y t

π

π

e) Puntos críticos en [0, π/2]. Son aquellos valores de t donde x’(t) o y’(t) se anulan o no existen:

( )2

'( ) 0 t2'( )

cos 2 '( ) no existe para 2t=2 4

≠ ∀= ⇒ π π

⇒ =

x tx t

t x t t

'( ) 0 2 0, 0,'( ) 2sen(2 ) 2

'( ) existe t

π = ⇒ = π⇒ == − ⇒ ∀

y t t ty t t

y t

Luego los puntos críticos son 0, ,4 2π π

=t

En t=0, '( ) 0

0'( ) 0

≠⇒ = =

x t dyy t dx

⇒ se trata de un punto de tangencia horizontal: P(0, 1)

En t=2π ,

'( ) 00

'( ) 0≠

⇒ = =

x t dyy t dx

⇒ se trata de un punto de tangencia horizontal: Q(0, -1)

En t=4π , no hay punto de tangencia horizontal, vertical, ni es un punto singular, pues no

pertenece al campo de variación de t.

f) Estudio del crecimiento por ramas: t (x, y ) x’(t) y’(t) y’(x) y(x)

(0,4π) (0, 1) → (∞ , 0)

As. horiz.

+ - −=

+− 1↓ 0

(4π,

2π) (-∞ ,0) → (0, -1)

As. horiz.

+ - −=

+− 0↓ -1

g) x(t) = tg(2t) = 0 2 0, 0,2π

⇒ = π⇒ =t t (P y Q, respectivamente).



(Con DERIVE)

Se conoce la excentricidad de la órbita de un cometa e = 0.54769 así como la distancia del cometa al sol en el perihelio q = 1.874519 UA. a) Hallar una ecuación en polares de la órbita del cometa.

b) Para dicha ecuación, hallar de manera aproximada la distancia del cometa al sol cuando α = π/4. c) Hallar también una ecuación en cartesianas de la órbita.

Solución

a) e = c / a = 0.54769 c⇒ = 0.54769 a

a = q + c = 1.874519 + 0.54769 a

( ) 1.874519a 1 0.54769 1.874519 a1 0.54769

⇒ − = ⇒ = =−

4.144323583

c⇒ = 0.54769 a = 2.269804583 ⇒ b2 = a2 - c2 = 12.023405112bp

a⇒ = = 2.901174309

Luego, una ecuación en coordenadas polares de la órbita del cometa es:

p 2.901174309r1 e cos 1 0.54769cos

= =− α − α

.

b) 2.901174309r1 0.54769cos

4

=π

− = 4.734874194 UA

2 2 2 2

2 2

x y x y1 1a b 17.17541796 12.02340511

+ = ⇔ + =



CURVAS

Prueba de Evaluación Continua Grupo B 16-10-13

(Sin DERIVE)

Sea la curva de ecuaciones ( ) cos(2 )( ) (2 )

= =

x t ty t tg t

. La siguiente imagen muestra la gráfica

incompleta de dicha curva: Se pide:

a) Hallar el campo de variación de t. b) Estudio de simetrías. c) Razonar si la curva es periódica y obtener el período de

la curva. d) Estudio de asíntotas.

e) Para valores de t en [0, 2π ], hallar puntos críticos, puntos

de tangencia horizontal, vertical y singulares.

f) Para valores de t en [0, 2π ], hacer el estudio del

crecimiento y decrecimiento por ramas. g) ¿Para qué valores del parámetro t se obtienen los puntos

P y Q de corte de la curva con el eje de abscisas? Dibujar la gráfica completa de la curva.

Solución

a) Campo de variación de t:

No existe y(t) = tg(2t) para ( )2k 12k2t k t k , k Z2 4 2 4 4

+ ππ π π π+ π= + π⇔ = + = = ∈

Mientras que x(t) = cos (2t) existe para todos los valores de t.

Por tanto, el campo de variación de t es ( )2k 1 3 5R , k Z R , , ,...4 4 4 4

+ π π π π − ∈ = − ± ± ±

b) Simetrías: la curva es simétrica respecto al eje de abscisas OX, ya que

( ) ( )( ) ( )

x t x t

y t y t

− =

− = − .

c) Periodicidad:

( ) ( ) 2Período de x t =cos 2t : = 2

Período de y(t) tg(2t): 2

π π ⇒ π =

La curva es periódica de período:



T = m.c.m {π/2, π}=π.

d) Asíntotas: Por ser -1 ≤x(t) ≤ 1, la curva no tiene asíntotas horizontales ni oblicuas.

x = 0 es asíntota vertical pues 4

4

lim ( ) 0

lim ( )±

→

→

= = ∞

∓

t

t

x t

y t

π

π

e) Puntos críticos en [0, π/2]. Son aquellos valores de t donde x’(t) o y’(t) se anulan o no existen:

'( ) 0 2 0, 0,'( ) 2sen(2 ) 2

'( ) existe t

π = ⇒ = π⇒ == − ⇒ ∀

x t t tx t t

x t

( )2

'( ) 0 t2'( )

cos 2 '( ) no existe para 2t=2 4

≠ ∀= ⇒ π π

⇒ =

y ty t

t y t t

Luego los puntos críticos son 0, ,4 2π π

=t

En t=0, '( ) 0'( ) 0

= ≠

x ty t

⇒ se trata de un punto de tangencia vertical: P(1, 0)

En t=2π ,

'( ) 0'( ) 0

= ≠

x ty t

⇒ se trata de un punto de tangencia vertical: Q(-1, 0)

En t=4π , no hay punto de tangencia horizontal, vertical, ni es un punto singular, pues no

pertenece al campo de variación de t.

f) Estudio del crecimiento por ramas:

t (x, y ) x’(t) y’(t) y’(x) y(x)

(0,4π) (1, 0) → (0, ∞ )

As. horiz.

- + += −

− ∞ ↓ 0

(4π,

2π) (0, -∞ ) → (-1, 0)

As. horiz.

- + += −

− 0↓ -∞

g) y(t) = tg(2t) = 0 2 0, 0,2π

⇒ = π⇒ =t t (P y Q, respectivamente)



(Con DERIVE)

Se conoce la excentricidad de la órbita de un cometa e = 0.67349 así como la distancia del cometa al sol en el perihelio q = 1.798695 UA. a) Hallar una ecuación en polares de la órbita del cometa.

b) Para dicha ecuación, hallar de manera aproximada la distancia del cometa al sol cuando α = π/6. c) Hallar también una ecuación en cartesianas de la órbita.

Solución

c) e = c / a = 0.67349 c⇒ = 0.67349 a

a = q + c = 1.798695 + 0.67349 a

( ) 1.798695a 1 0.67349 1.798695 a1 0.67349

⇒ − = ⇒ = =−

5.508851183

c⇒ = 0.67349 a = 3.710156183 ⇒ b2 = a2 - c2 = 16.582182452bp

a⇒ = = 3.010098094

Luego, una ecuación en coordenadas polares de la órbita del cometa es:

p 3.010098094r1 e cos 1 0.67349cos

= =− α − α

.

d) 3.010098094r1 0.67349cos

6

=π

− = 7.222954637 UA

2 2 2 2

2 2

x y x y1 1a b 30.34744135 16.58218245

+ = ⇔ + = .

solu pr evc taylor 13-14 -...

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