Sntesis de periodo 2 grado sptimo.

RAZONES Y PROPORCIONES1.RAZONESLa razn de dos nmeros resulta de dividir ambos nmeros. Por ejemplo la razn de 7 a 4 se escribe 7/4 o 7:4 y se lee siete es a cuatro. El primer trmino es el antecedente y el segundo consecuente.

Serie de razones iguales Una serie de razones iguales es la igualdad entre dos o ms razones:

Propiedades fundamentales de las series de razones iguales:En toda serie de razones iguales, cada razn es igual a la razn entre la suma de los antecedentes y la suma de los consecuentes, as:

EJEMPLOS:

PROPORCIONES.Consiste en la igualdad entre 2 razones y se representa de dos maneras:a/b=c/d o a:b::c:dY se lee a es a b como c es a d. Los puntos a y d se llaman extremos y los puntos b y c se llaman medios.

PROPIEDADES.A) En toda proporcin el producto de los medios es igual al producto de los extremos.ad=bcpor ejemplo, en la proporcin se comple que 2 x 15= 6 x 5

Ejemplos Hallar el valor de y en la proporcin Se realizan los siguientes pasos:

Por tanto, el valor de y es 50.

Propiedades de las proporciones Adems de la propiedad fundamental de las proporciones, en una proporcin se cumplen las siguientes propiedades:

Propiedades 1. Los medios o los extremos se pueden intercambiar y el resultado sigue siendo una proporcin.

2. La suma o la resta de los antecedentes es a la suma o a la resta de los consecuentes, como cada antecedente es a su consecuente.

3. La suma o la resta de los trminos de la primera razn es al primer consecuente como la suma o la resta de los trminos de la segunda razn es al segundo consecuente.

4. la suma de los trminos de la primera razn es a la primera razn como la suma de los trminos de la segunda razn es a la difere nciade los trminos de la segunda razn.

Ejemplos: calcular el valor de X y de Y en la proporcin , teniendo en cuenta que X + Y = 12 Se realiza los siguientes pasos:

PROPORCIONALIDAD DIRECTA En muchas situaciones cotidianas y en fenmenos que ocurren en otras reas, se relacionan dos o ms magnitudes de tal forma que una depende de la otra. Por ejemplo, el costo de produccin depende de la cantidad de artculos que se produzcan y la distancia que recorre un mvil depende del tiempo.

Una magnitud es una cualidad de un objeto a la cual se le puede asignar una medida Por tanto, la distancia, la masa, el tiempo, entre otras, son magnitudes.Para representar la relacin de dependencia entre dos magnitudes de utiliza la tabla de datos y la representacin grfica.Por ejemplo, la relacin entre la cantidad de gaseosas y el precio en pesos que se debe pagar por ellas, se puede representar en una tabla y en una grfica as:

Magnitudes directamente correlacionadasDos magnitudes estn directamente correlacionadas si estn relacionadas y al aumentar una de ellas la otra tambin aumentan o, al disminuir una de ellas, la otra tambin disminuye.

Por ejemplo, la medida del lado de un cuadrado y su rea estn directamente correlacionadas, porque al aumentar el rea y al disminuir la medida del lado el rea disminuye.Magnitudes directamente proporcionales Dos magnitudes estn directamente proporcionales, cuando al comparar las medidas que se corresponden entre dichas magnitudes se obtiene una razn constante, la cual se denomina constante de proporcionalidad. Propiedades de las magnitudes directamente proporcionales Si A y B son magnitudes directamente proporcionales tales que P y q son medidas de la magnitud A que corresponden a la medidas r y s de la magnitud B, respectivamente, entonces cumple que:

Esta relacin se denomina propiedad fundamental de las magnitudes directamente proporcional.Grfico de proporcionalidad directaEl grfico correspondiente a una relacin de proporcionalidad directaes una lnea rectaque pasa por el punto de origen de un sistema de coordenadas cartesianas.En una funcin de prorcionalidad directa, si una de las variables aumenta, la otra tambin aumenta en un mismo factor; y si una de las variables disminuye, la otra disminuye en un mismo factor.Ejemplo:Juan ha utilizado 20 huevos para hacer 4 tortillas iguales. Cuntos huevos necesita para hacer 6 tortillas? Y para hacer 2?Grafica los resultados hasta 6 tortillas.

Como puedes ver, el grfico es una lnea recta que pasa por el origen. Adems si nos fijamos en la tabla, nos podemos dar cuenta que el cociente (divisin) entre las dos magnitudes (y / x) es constante. En este caso el valor de la constante de proporcionalidad es 5.Proporcionalidad inversaDos variables (una independientexy la otra dependientey) soninversamente proporcionalessi el producto entre los valores respectivos de cada una de las variables es constante(xy=k)Adems, en una funcin de proporcionalidad inversa, si una de las variables aumenta, la otra disminuye en un mismo factor; y si una de las variables disminuye, la otra aumenta en un mismo factor.Esta relacin de proporcionalidad inversa se puede representar como una funcin de la forma:y = k / xDonde:y : variable dependiente.x: variable independiente.k : constante de proporcionalidad.Ejemplos:Indica si las variables son inversamente proporcionales.a)El nmero de albailes y el tiempo empleado en hacer el mismo edificio.Respuesta:Son inversamente proporcionales, ya que con el doble, triple... nmero de albailes se tardar la mitad, tercera parte de tiempo en construir el mismo edificio.b)La velocidad de un auto y el trayecto recorrido en el mismo tiempo.Respuesta:Noes inversa ya que a tiempo constante, con el doble o el triple... de la velocidad, el auto recorrer el doble, triple... de espacio.c)La velocidad de un auto y el tiempo empleado en recorrrer el mismo trayecto.Respuesta:Son inversamente proporcionales,ya que, a espacio constante, con el doble, triple... velocidad, el auto tardar la mitad, tercera parte... de tiempo en recorrerlo. Grfico de proporcionalidad inversaLa representacin grfica de esta funcin son puntos que pertenecen a una curva, llamadahiprbola.

Para recordar

Primero, se verifica que las magnitudes sean directamente proporcional. Para esto, se establece la razn entre cada medida de la primera magnitud y su correspondiente medida de la segunda magnitud.

Luego, la constancia de proporcionalidad es k = 20

Finalmente, se tiene que de donde A = 20B, es la ecuacin que relaciona ambas magnitudes.

PROPORCIONALIDAD INVERSA

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una, disminuye la otra en la misma proporcin.

Ejemplo

Tres pintores tardan 10 das en pintar una tapia. Cunto tardarn seis pintores en hacer el mismo trabajo? Al aumentar el nmero de pintores disminuye el tiempo que se tarda en pintar la tapia, como el nmero de pintores se multiplica por 2, el nmero de das que se emplean en pintar se divide por 2. As tardarn 5 das.

Regla de Tres Simple Directa e Inversa - Problemas Resueltos

Regla De Tres:Es el procedimiento operativo que resulta de comparar dos o ms magnitudes proporcionales.

- Cuando se comparandos magnitudesse denominaRegla de Tres Simpley puede ser directa o inversa.

- Cuando se comparantres o ms magnitudesse denominaRegla de Tres Compuesta. Regla de Tres Simple Directa

Es la regla que se establece entre tres cantidades, para hallar una cuarta cantidad(incgnita). Las cuatro cantidades deben corresponder a dosmagnitudes directamente proporcionales.

Vamos a ver y resolver un ejemplo:

Sabemos que por cada 100 gramos de harina hay que echar 10 gramos de cacao.Podemos aumentar o disminuir las cantidades, pero si queremos seguir la receta, estas cantidades deben guardar unaproporcin.Pensamos: si echsemos el doble de harina de lo que dice la receta, tendramos que duplicar tambin la cantidad de cacao. Y si echsemos el triple de harina de lo que dice la receta, tambin habra que triplicar la cantidad de cacao.Es decir, si la cantidad de harina crece, tambin debe crecer proporcionalmente la cantidad de cacao. En este problema,la harina y el cacao son cantidades directamente proporcionales.

Cmo podemos resolver este problema?

Organizamos los datos en una tabla:

Ahora podemos resolver este problema aplicando una regla de tres simple directa:

Regla de tres simple inversa

Laregla de tres simple inversase utiliza cuando el problema trata de dos magnitudes inversamente proporcionales.Podemos decir que dos magnitudes son inversamente proporcionalescuando al multiplicar una de ellas por un nmero, la otra se divide por el mismo, y viceversa.Para resolver una regla de tres simple inversa debemos seguir la siguiente frmula:

Vamos a ver y resolver un ejemplo:Sabemos que si funcionan 2 casetas, se forman 30 kilmetros de cola en cada una. Pero, si hubiese abiertas el doble de casetas, y teniendo en cuenta que habra la misma cantidad de coches en el peaje, habra ms o menos coches por cada caseta? Habra menos coches, porque se repartiran entre ms casetas.Es decir, si aumenta el nmero de casetas, disminuye la longitud de la cola de coches, y viceversa: si hubiese el doble de casetas habra la mitad de cola, y si hubiese la mitad de casetas, habra el doble de cola. Vemos que estas cantidades soninversamente proporcionales.

Cmo podemos resolver este problema?

Organizamos los datos en una tabla:

Ahora podemos resolver este problema aplicando una regla de tres simples inversas:

Regla de Tres Compuesta Directa e InversaLaregla de tres compuestase emplea cuando se relacionantres o ms magnitudes, de modo que a partir de las relaciones establecidas entre las magnitudes conocidas obtenemos la desconocida.Unaregla de tres compuestase compone de variasreglas de tres simplesaplicadas sucesivamente.Como entre las magnitudes se pueden establecer relaciones deproporcionalidad directa o inversa, podemos distinguirtres casosderegla de tres compuesta:Regla de tres compuesta directa

Ejemplos Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de agua por valor de 20 . Averiguar el precio del vertido de 15 grifos abiertos 12 horas durante los mismos das.

Amsgrifos,mseurosDirecta. Amshoras,mseurosDirecta.

9 grifos10 horas20 15 grifos12 horasx

Regla de tres compuesta inversa

5 obreros trabajando, trabajando 6 horas diarias construyen un muro en 2 das. Cunto tardarn 4 obreros trabajando 7 horas diarias?

Amenosobreros,msdasInversa.Amshoras,menosdasInversa.

5 obreros6 horas2 das4 obreros7 horasxdas

Regla de tres compuesta mixta

Si 8 obreros realizan en 9 das trabajando a razn de 6 horas por da un muro de 30 m. Cuntos das necesitarn 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar los 50 m de muro que faltan?Amsobreros,menosdasInversa.Amshoras,menosdasInversa.Amsmetros,msdasDirecta.

8 obreros 9 das6 horas30 m10 obrerosx das8 horas50 m

Porcentaje En nuestra vida cotidiana podemos encontrar varios ejemplos de datos entregados en porcentajes, por ejemplo: "el 40% de la poblacin vot por tal candidato, o "hay un 30% de rebaja en moda de invierno", ahora la pregunta es: cmo podemos calcular esos porcentajes?Cuando hablamos de porcentajes estamos aludiendo a la frase "por ciento", es decir, si hablamos de 40% de algo, queremos decir, que de cada 100, consideramos 40.Te explicaremos el clculo con un ejemplo, y luego haremos una generalizacin para todos los casos.Supongamos que viajars al sur de Chile en verano y quieres comprar zapatos de la temporada pasada. Buscando en las tiendas, te das cuenta que todos los productos de invierno tienen una rebaja de un20%(es decir, se resta un 20% del precio que aparece en la etiqueta). En la etiqueta de los zapatos que te gustaron aparece:$32.000.

Quieres saber cunto se descontar del precio de los zapatos, si la rebaja es de un 20%.Ya sabemos que al decir "20%", estamos diciendo que consideramos "20 de cada 100", por lo que, por cada $100 que cuesten los zapatos, consideraremos $20. Nos preguntamos ahora: "cuntas veces $100 corresponden a $32.000?". Entonces debemos hacer una divisin:32.000 : 100 = 320, as que,"$32.000 es 320 veces $100"Recuerda que por cada $100 consideramos $20, as que, como $32.000 es 320 veces $100, debemos considerar 320 veces $20.Entonces haremos una multiplicacin:20 X 320 = 6.400, as que,el descuento que se har por los zapatos es de $6.400.En resumen, lo que hicimos fuedividir 32.000 por 100 y multiplicar el resultado por 20, esto es lo mismo que multiplicar 32.000 por la fraccin 20/100.

Ahora veamos qu sucede en general: Cuando quieres calcular ela%(con un a cualquiera) de un valorxcualquiera, debes multiplicar x por la fraccin a/100.

Prueba con calcular el 50% de algunos valores, qu puedes concluir?, y si calculas el 10%?

Ejemplo:

Calcular el total, dada una cantidad que corresponde a un porcentaje de l.Ejemplo: Si el 20 % de una cierta cantidad total es 120 Cul es el total?CantidadPorcentaje

x100

12020

Para resolverlo, se hace:

Resolvemos la incgnita (x):

Haciendo la operacin, queda:

Simplificando, queda:Respuesta: 120 es el 20 % de un total de 600.