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Simetría molecular

Prof. Jesús Hernández Trujillo

Facultad de Química, UNAM

Simetría molecular/JHT– p. 1/37

Contenido

• La noción de simetría• Simetría molecular

◦ Operaciones de simetría◦ Elementos de simetría

• Teoría de grupos

◦ Definición de grupo◦ Grupos puntuales◦ Clasificación de grupos puntuales

• Representaciones matriciales

◦ Reresentación matricial de grupos puntuales◦ Representaciones equivalentes y reducibles◦ Tablas de caracteres

• Aplicaciones


Contenido

• La noción de simetría• Simetría molecular

◦ Operaciones de simetría◦ Elementos de simetría

• Teoría de grupos

◦ Definición de grupo◦ Grupos puntuales◦ Clasificación de grupos puntuales

• Representaciones matriciales

◦ Reresentación matricial de grupos puntuales◦ Representaciones equivalentes y reducibles◦ Tablas de caracteres

• Aplicaciones

Ver: D. M. Bishop,Group Theory and Chem-istry, Dover Publications Inc,1993

D. A. McQuarrie,J. D. Simon, Physical Chem-istry. A Molecular Approach,University Science Books


La noción de simetría

La noción de simetría se asocia a:

• Proporción (correspondencia entre las medidas – tamaño,forma, proporción, posición – de un objeto)

• Repetición regular de partes idénticas (periodicidad)

• Belleza


Simetría especular o bilateral


Para sistematizar la noción de simetría:

• Operación de simetría.

Hacer algo a un objeto que lo deje sin cambio





• La teoría de grupos aporta el lenguaje matemático a lasimetría (Evariste Galois, 1811–32)





• La teoría de grupos aporta el lenguaje matemático a lasimetría (Evariste Galois, 1811–32)

En el caso de la simetría especular: un plano de simetría


Simetría rotacionalLa simetría de los copos de nievese debe a la estructura molecular delagua y sus interacciones

Fotos:http://www.sciam.com


Arte

Castillo de la Alhambra, España


M. C. Escherwww.mcescher.com


Música de mesa para dos, Mozart


Simetría molecular

Operación de simetría. Acción que mueve los núcleos de unamolécula a una posición físicamente indistinguible de laoriginal.

Elemento de simetría. Entidad geométrica sobre la que tiene lugarla operación de simetría (puntos, líneas, planos)


Simetría molecular

Operación de simetría. Acción que mueve los núcleos de unamolécula a una posición físicamente indistinguible de laoriginal.

Elemento de simetría. Entidad geométrica sobre la que tiene lugarla operación de simetría (puntos, líneas, planos)

Las operaciones de simetría serándescritas matemáticamente median-te la teoría de grupos y del álgebrade operadores


Operaciones de simetría

• Identidad: No hacer nada

Notación: E




Notación: E

• Rotación por 2π/n grados alrededor de un eje en el sentidode las manecillas del reloj (n entero)

Notación: eje Cn




Notación: E


Notación: eje Cn

Si una rotación deja a la molécula en coincidencia con ellamisma, entonces un eje Cn es un elemento de simetría dela molécula




Notación: E


Notación: eje Cn

Si una rotación deja a la molécula en coincidencia con ellamisma, entonces un eje Cn es un elemento de simetría dela molécula

Notación: La aplicación sucesiva de k veces unarotación alrededor de un eje Cn se denota por Ck

n


Ejemplos:

NH H

H

H

H

¿eje?


Ejemplos:

NH H

H

H

H

¿eje? C2

C

HH

H

H

N

HH

H

¿eje?


Ejemplos:

NH H

H

H

H

¿eje? C2

C

HH

H

H

N

HH

H

¿eje? C3

¿eje?


Ejemplos:

NH H

H

H

H

¿eje? C2

C

HH

H

H

N

HH

H

¿eje? C3

¿eje? C3(4)

¿eje?


Ejemplos:

NH H

H

H

H

¿eje? C2

C

HH

H

H

N

HH

H

¿eje? C3

¿eje? C3(4)

¿eje? C2, C3, C6


• Reflexión en un plano.

Dos casos:

◦ El plano es perpendicular al eje principal de rotación

Notación: σh

Ejemplo: C6H6


• Reflexión en un plano.

Dos casos:

◦ El plano es perpendicular al eje principal de rotación

Notación: σh

Ejemplo: C6H6

◦ El plano es paralelo al eje principal de rotación

Notación: σv

Ejemplos: H2O, piridina, CH4, NH3 y C6H6


• Rotación – reflexión (rotación impropia):

Combinación de una rotación por 2π/n en el sentido de lasmanecillas del reloj seguida por una reflexión en un planoperpendicular a ese eje

Notación: Sn

Ejemplos:

Etano alternado, S2

metano: S3(4)


• Rotación – reflexión (rotación impropia):

Combinación de una rotación por 2π/n en el sentido de lasmanecillas del reloj seguida por una reflexión en un planoperpendicular a ese eje

Notación: Sn

Ejemplos:

Etano alternado, S2

metano: S3(4)

Además:

Sk

n = σhCk

n k impar

Sk

n = Ck

n k par


• Inversión. La acción de mover un punto a lo largo de lalínea que pasa el origen de tal forma que sus coordenadascambian de signo.

Notación: i

Ejemplos:

Fe


Resumen

elemento de simetría operación de simetría(objeto geométrico) (acción)

eje . . . rotaciónplano . . . reflexiónpunto . . . inversión


Teoría de grupos

Grupo:

Un conjunto G = {a, b, . . .} y una operación binaria (multi-plicación) forman un grupo si

1. a, b ∈ G → ab ∈ G

2. a(bc) = (ab)c

3. ∃ e ∈ G tal que ea = ae ∀a ∈ G

4. ∃ b ∈ G tal que ab = ba = e. El elemento b se llama elinverso de a y se denota por b = a−1


Teoría de grupos

Grupo:

Un conjunto G = {a, b, . . .} y una operación binaria (multi-plicación) forman un grupo si

1. a, b ∈ G → ab ∈ G

2. a(bc) = (ab)c

3. ∃ e ∈ G tal que ea = ae ∀a ∈ G

4. ∃ b ∈ G tal que ab = ba = e. El elemento b se llama elinverso de a y se denota por b = a−1

Grupo abeliano: Si ab = ba ∀a, b ∈ G se dice que el grupo esconmutativo o abeliano


Ejemplos:

1. N , el conjunto de numeros naturales con la operación sumano es un grupo


Ejemplos:


2. Z el conjunto de los números enteros con la operaciónsuma es un grupo infinito


Ejemplos:



3. G = {1,−1, i,−i} con la operación multiplicación es ungrupo finito


Ejemplos:




Tabla de multiplicar: 1 −1 i −i

1 1 −1 i −i

−1 −1 1 −i i

i i −i −1 1

−i −i i 1 −1


Ejemplos:




Tabla de multiplicar: 1 −1 i −i

1 1 −1 i −i

−1 −1 1 −i i

i i −i −1 1

−i −i i 1 −1

¿Cuál de estos grupos es abeliano?


Orden de un grupo: El número de elementos queéste contiene

Ejemplos de grupos abstractos:

• Grupo de orden 1: G = {e}





• Grupo de orden 2: G = {e, a}

Nótese que aa ≡ a2 6= a pues aa = a → a = e

Por lo tanto, a2 = e, a = a−1








Tabla de multiplicar :

e a

e e a

a a e








Tabla de multiplicar :

e a

e e a

a a eEjemplo: G = {1,−1}


• Grupo abstracto de orden 3: G = {e, a, b}

Opciones para la operación binaria:

ab = a o bien ab = e





Opción 1. ab = a → b = e Por lo tanto, no es válida






Opción 2. ab = e necesariamente







Tabla de multiplicar parcial:

e a b

e e a b

a a e

b b







Tabla de multiplicar parcial:

e a b

e e a b

a a e

b b

Además:En una tabla de multiplicar cadarenglón o columna contiene cada ele-mento del grupo sólo una vez pues:

b c

a d d ab = ac → b = c


Por lo tanto:

Tabla de multiplicar del grupo de orden 3:

e a b

e e a b

a a b e

b b e a


Por lo tanto:

Tabla de multiplicar del grupo de orden 3:

e a b

e e a b

a a b e

b b e aNótese que:

aa ≡ a2 = b y a3 = a2a = ba = e

Es decir, a genera los demás ele-mentos del grupo (grupo cíclico)


• Grupo abstracto de orden 4: G = {e, a, b, c}

Existen dos opciones para la tabla de multiplicación




Opción 1: Grupo cíclico (ejercicio: construirlo)




Opción 1: Grupo cíclico (ejercicio: construirlo)e a b c

e e a b c

a a b c e

b b c e a

c c e a b




Opción 1: Grupo cíclico (ejercicio: construirlo)e a b c

e e a b c

a a b c e

b b c e a

c c e a b

Opción 2e a b c

e e a b c

a a e c b

b b c e a

c c b a e Grupos abelianos


Ejemplos:

• Las raíces cúbicas de 1 con la operación multiplicaciónforman un grupo de orden 3


Ejemplos:


• Las rotaciones de un triángulo equilatero en un planoforman un grupo de orden 3


Ejemplos:



• G = {1, ı,−1,−ı} con la operación multiplicación forma ungrupo de orden 4


Ejemplos:



• G = {1, ı,−1,−ı} con la operación multiplicación forma ungrupo de orden 4

• Las siguientes matrices forman un un grupo con laoperación de multiplicación matricial.

(

1 0

0 1

) (

0 1

−1 0

) (

−1 0

0 −1

) (

0 −1

1 0

)


Grupos Isomorfos: Aquellos que tienen la mismaestructura; sólo difieren en los símbolos que usan

G y G′ son grupos isomorfos si sus elementos pueden ponerseen correspondiencia uno a uno:

a ↔ a′, b ↔ b′, . . .

ab = c → a′b′ = c′




a ↔ a′, b ↔ b′, . . .

ab = c → a′b′ = c′

Ejemplo:

• Los grupos Z, de los números enteros, yG = {. . . 2−2, 2−1, 20, 21, 22, . . .} son isomorfos.




a ↔ a′, b ↔ b′, . . .

ab = c → a′b′ = c′

Ejemplo:

• Los grupos Z, de los números enteros, yG = {. . . 2−2, 2−1, 20, 21, 22, . . .} son isomorfos.

։ Analiza cuáles de los grupos de la página anterior sonisomorfos


Grupos puntuales

• Son de interés los grupos cuyos elementos consisten en lasoperaciones de simetría correspondientes a una molécula

• La operación de multiplicación o combinación es larealización de una operación de simetría seguida de otra

• Satisfacen las propiedades de grupo


Grupos puntuales

• Son de interés los grupos cuyos elementos consisten en lasoperaciones de simetría correspondientes a una molécula

• La operación de multiplicación o combinación es larealización de una operación de simetría seguida de otra

• Satisfacen las propiedades de grupo

Casos:

En moléculas: Dado que los elementos de simetría se intersectanen un punto, estos grupos se llaman grupos puntuales

En cristales infinitos: Estos no tienen un punto fijo pero tienensimetría traslacional y se llaman grupos espaciales


Clasificación degrupos puntuales

Tomado de:Group Theory and chemistry, D. M. Bishop, Dover


Diagramade flujo

Tomado de:Group Theory and chemistry,D. M. Bishop, Dover


Ejemplos:

1. C2v = {E,C2, σv, σ′

v} Ejemplo: H2O

2. C4 = {E,C4, C24

= C2, C34}

3. C2h = {E,C2, i, σh}

4. S4 = {E,S4, C2, S34}

Estos grupos son isomorfos


Ejemplos:

1. C2v = {E,C2, σv, σ′

v} Ejemplo: H2O

2. C4 = {E,C4, C24

= C2, C34}

3. C2h = {E,C2, i, σh}

4. S4 = {E,S4, C2, S34}

Estos grupos son isomorfos

• Escribe las tablas de multiplicar de los grupos C2h y C2v


Otro ejemplo:

C3v = {E, σv, σ′

v, σ′′

v , C3, C2

3}

Además: C23

= C−1

3

Tabla de grupo:

E σv σ′

v σ′′

v C3 C23

E E σv σ′

v σ′′

v C3 C23

σv σv E C3 C23

σ′

v σ′′

v

σ′

v σ′

v C23

E C3 σ′′

v σv

σ′′

v σ′′

v C3 C23

E σv σ′

v

C3 C3 σ′′

v σv σ′

v C23

E

C23

C23

σ′

v σ′′

v σv E C3


Representaciones matriciales de grupos puntuales

• Las matrices que representan a las operaciones de simetríade un grupo puntual tienen la misma tabla de multiplicar




• Reemplazamos la geometría de las operaciones desimetría con el álgebra de matrices





• Se considera el efecto de la operación de simetría sobre unvector de posición o sobre un conjunto de funciones base(por ejemplo en ℜ3 o en un espacio de funciones)





• Se considera el efecto de la operación de simetría sobre unvector de posición o sobre un conjunto de funciones base(por ejemplo en ℜ3 o en un espacio de funciones)

• Sea G un grupo. Una representación matricial D(G) dedimensiones n × n es un homomorfismo de G a D(G),donde:

Homomorfismo:

Dados dos grupos G y G′, varios elementosde G pueden tener la misma imagen en G′


Representaciones matriciales de operaciones de simetría

• Identidad

D(E) =

1 0 0

0 1 0

0 0 1


Representaciones matriciales de operaciones de simetría

• Identidad

D(E) =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

• Rotación de θ = 2π/n grados en el sentido de lasmanecillas del reloj alrededor del eje z:

D(Cn) =

cos θ sen θ 0

−sen θ cos θ 0

0 0 1

La inversa de D(Cn) se obtiene al sustituir θ por −θ:

D(Cn)−1 =

cos θ −sen θ 0

sen θ cos θ 0

0 0 1


• Inversion

D(i) =

−1 0 0

0 −1 0

0 0 −1


• Inversion

D(i) =

−1 0 0

0 −1 0

0 0 −1

• Reflexión en un plano horizontal y en uno vertical

D(σh) =

1 0 0

0 1 0

0 0 −1

D(σv) =

1 0 0

0 −1 0

0 0 1


• Rotación impropia: Rotación alrededor del eje Cn seguidade reflexión en un plano horizontal

D(Sn) =

1 0 0

0 1 0

0 0 −1

cos θ sen θ 0

−sen θ cos θ 0

0 0 1

=

cos θ sen θ 0

−sen θ cos θ 0

0 0 −1


Representaciones matriciales del grupo C2h

En este caso θ = 2π/2 = π

D(C2) =

−1 0 0

0 −1 0

0 0 1




D(C2) =

−1 0 0

0 −1 0

0 0 1

H

HCl

Cl




D(C2) =

−1 0 0

0 −1 0

0 0 1

H

HCl

Cl

Tabla de multiplicardel grupo:

E C2 i σh

E E C2 i σh

C2 C2 E σh i

i i σh E C2

σh σh i C2 E




D(C2) =

−1 0 0

0 −1 0

0 0 1

H

HCl

Cl


E C2 i σh

E E C2 i σh

C2 C2 E σh i

i i σh E C2

σh σh i C2 E

Tabla de multiplicar de lasrepresentaciones matriciales:

D(E) D(C2) D(i) D(σh)

D(E) D(E) D(C2) D(i) D(σh)

D(C2) D(C2) D(E) D(σh) D(i)

D(i) D(i) D(σh) D(E) D(C2)

D(σh) D(σh) D(i) D(C2) D(E)




D(C2) =

−1 0 0

0 −1 0

0 0 1

H

HCl

Cl


E C2 i σh

E E C2 i σh

C2 C2 E σh i

i i σh E C2

σh σh i C2 E

Tabla de multiplicar de lasrepresentaciones matriciales:

D(E) D(C2) D(i) D(σh)

D(E) D(E) D(C2) D(i) D(σh)

D(C2) D(C2) D(E) D(σh) D(i)

D(i) D(i) D(σh) D(E) D(C2)

D(σh) D(σh) D(i) D(C2) D(E)

Verifica este resultado


Es decir,

• El siguiente conjunto de operaciones de simetría es ungrupo:

C2h = {E,C2, i, σh}

• Las correspondientes representaciones matriciales formanun grupo:

C2h = {D(E),D(C2),D(i),D(σh)}


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