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Química Cuántica I
Potenciales y efecto túnel
Prof. Jesús Hernández TrujilloFacultad de Química, UNAM
Efecto túnel/Jesús Hernández Trujillo– p. 1/29
Potenciales
Dos tipos de potenciales:
Confinante Diverge asintóticamente.
lımx→±∞
V (x) = ∞
No confinante El límite existe en al menos x = ∞ ox = −∞:
lımx→±∞
V (x) = c
convención↓= 0
Es decir, el potencial es asintótico en una o máscoordenadas
Efecto túnel/Jesús Hernández Trujillo– p. 2/29
Ejemplos de potenciales confinantes
Partícula en una caja deparedes infinitas
V (x) =
{
0 : x ∈ [0, a]
∞ : x < 0 o x > a
Oscilador armónico
V (x) =1
2x2 , x ∈ (−∞,∞)
0 ax
V = ∞ V = ∞V = 0
x
V
Efecto túnel/Jesús Hernández Trujillo– p. 3/29
Algunos potenciales no confinantes:
−V
−V
V
V
V
o
Voo
V V
o
x
x
x x
V
r
V
r
∼ 1/r
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Un potencial no confinante genérico:
x
V (x)
E1
E2
E3
a b
c d
Análisis clásico:v = ±
√
2[E − V (x)]/m
En los puntos de retorno la velocidad vale cero, v = 0.
a, b: Puntos de retorno para el estado enlazado con E = E1.
c, d: Puntos de retorno para el estado no enlazado con E = E2.
E = E3: La partícula se alenta y se acelera al pasar sobre labarrera pero sin rebotar.
Efecto túnel/Jesús Hernández Trujillo– p. 5/29
Los potenciales no confinantes describen mejor a lossistemas reales.
Cuando E > 0, la partícula es libre (no confinada) enuna porción del espacio.
EE
E
1
2
3
Continuo
E
Estados enlazados(ligados)
E=0
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Pozo cuadrado
Considerar los estados ligados de una partícula bajo laacción del potencial confinante:
V (x) =
{
−Vo : −L ≤ x ≤ L
0 : |x| > L
V(x)
−L Lx
−V
O
Region IIRegion IIIRegion I
o
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La función de onda satisface:
Región I:d2ψ
dx2− k2ψ = 0 solución: ψI(1)
Región II:d2ψ
dx2+ α2ψ = 0 solución: ψII(2)
Región III:d2ψ
dx2− k2ψ = 0 solución: ψIII(3)
donde
k =−√−2mE
~(4)
α =−√
−2m(Vo + E)
~(5)
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Condiciones para ψ:
ψ finito en x± ∞ (cuadrático – integrable)
Condiciones a la frontera:
ψI(−L) = ψII(−L)(6)
ψII(L) = ψIII(L)(7)
ψ debe tener primeras derivadas continuas:dψI
dx
∣
∣
∣
∣
x=−L
=dψII
dx
∣
∣
∣
∣
x=−L
(8)
dψII
dx
∣
∣
∣
∣
x=L
=dψIII
dx
∣
∣
∣
∣
x=L
(9)
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Solución par: Ψp(−x) = Ψp(x)
Ψp(x) =
ψI(x) =Nekx Región I
ψII(x) =Ne−kL
cosαLcosαx Región II
ψIII(x)=Ne−kx Región III
donde
k = α tan(αL)(10)
Se trata de una ecuación trascendente para E.
N es la constante de normalización.
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Solución impar: Ψi(−x) = −Ψi(x)
Ψi(x) =
ψI(x) =Nekx Región I
ψII(x) =−N e−kL
senαL senαx Región II
ψIII(x)=−Ne−kx Región III
donde
k = −α cot(αL)(11)
Ésta también es una ecuación trascendente para E.
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Sólo las energías E que satisfacen (10) y (11) sonpermitidas (cuantización).
Además:
n− 1 <b
π< n(12)
donde
b =
√2mVoL
~.
En consecuencia, el número de estados ligadosdepende de m, L y V0
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x
Ψ(x)
-L L
⇐ ⇒no clásico no clásico
Estado basal
I II III
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x
Ψ(x)
-L L
⇐ ⇒no clásico no clásico
Primer estado excitado
I II III
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La densidad de probabilidad en las regionesclásicamente prohibidas decae exponencialmente conla distancia al pozo:
|ψI(x)|2 = |N |2 e2kx |ψIII(x)|2 = |N |2 e−2kx
Cuando la masa de la partícula aumenta, disminuye laprobabilidad de encontrarla fuera del pozo,pues κ ∼ √
m, ecuación (4).
Efecto túnel/Jesús Hernández Trujillo– p. 15/29
Barrera cuadrada
x = 0 x = L
I II III
V0
V = 0
E
Región:
V (x) =
0, x < 0 IV0 > 0, 0 ≤ x ≤ L II0, x > 0 III
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La función de onda:
ψI(x) = A1eik1x +B1e
−ik1x
ψII(x) = A2ek2x +B2e
−k2x 6= 0
ψIII(x) = Ceik1x
donde:
k1 =
√
2mE
~2
k2 =
√
2m(V0 − E)
~2
Las condiciones a la frontera proporcionan informaciónsobre las constantes.
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Esquemáticamente:
Re[ψ(x)]
Tomado de:F. S. Levin, An introduction to quantumtheory, Oxford university press, 2002
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La probabilidad de que la partícula se refleje en labarrera es:
R =(amplitud reflejada)2
(amplitud incidente)2=B2
1
A21
La probabilidad de que la partícula se transmita por labarrera es:
T =(amplitud transmitida)2
(amplitud incidente)2=C2
A21
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Se obtiene:T =
1
1 + V 2
0
4E(Vo−E)senh2(k2L)
Nótese que:
T 6= 0 incluso cuando E < V0
(efecto túnel).
T → 0 cuando k2L ≫ 1(límite clásico).
0
1
L
T(L)
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Efecto túnel
Penetración de una partícula en una región
clásicamente prohibida o su paso a través
de una barrera de potencial
Ejemplos:
Barrera de rotación interna en una molécula
∆E
φ
2.8 kcal/mol
0 60 120 180
C2
H
H
H
HC1
HH C2
H
H
H
H
C1
HH→
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Cinética química
Modificación a la ecuaciónde Arrhenius:
k = σAe−Ea/RT
σ: Factor de tunelaje;importante para transfe-rencia de H
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Decaimiento radiactivo
r
V (r)barrera de potencial
atracciónnuclear
repulsión culómbica
partícula α
Una aproximación:
V
rRo
Dimensiones nucleares a partirdel experimento + modelo
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Microscopía de tuneleo: Sirve para caracterizarmateriales
– Consiste en la aplicación práctica del efecto túnelpara el estudio de superficies
– Proporciona evidencia directa del fenómeno– Más detalles en:
Positioning Single Atoms with a Scanning Tunnelling MicroscopeEigler, D. M.; Schweizer, E. K. Nature 1990, 344, 524–526
http://nobelprize.org/educational_games/physics/microscopes/scanning/index.html
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Efecto túnel/Jesús Hernández Trujillo– p. 25/29
Efecto túnel/Jesús Hernández Trujillo– p. 26/29
Nature 344, 524–526 (1990)
Efecto túnel/Jesús Hernández Trujillo– p. 27/29
Efecto túnel/Jesús Hernández Trujillo– p. 28/29
Ver también:
http://www.research.ibm.com/articles/madewithatoms.shtml#fbid=YJgsHMzahtn
(Video sobre efecto túnel realizado por IBM)
Efecto túnel/Jesús Hernández Trujillo– p. 29/29