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Objetivos del módulo:

Identificar los factores componentes que influyen en una serie de tiempo.

Explicar qué causa la tendencia en una serie de tiempo y desarrollar una ecuaciónpara modelarla.

Calcular la componente cíclica en una serie de tiempo e identificar lo que causa lavariación.

Identificar la variación estacional en una serie de tiempo y calcular los índicesestacionales para describirlas.

Eliminar la estacionalidad en los datos.

Desarrollar la descomposición de series para modelos de pronósticos a corto ylargo plazo.

Medir los errores generados por un procedimiento de pronósticos.

Usar técnicas intuitivas de promedios móviles y suavizamiento exponencial paracrear un pronóstico.

Calcular un coeficiente de autocorrelación.

Construir un correlograma.

Identificar si los datos son aleatorios, no estacionarios o estacionales.

Detectar una correlación serial en una serie de tiempo.

Utilizar modelos autorregresivos y de regresión para pronósticos.

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Introducción

La mayoría de los procedimientos estadísticos está diseñado para seraplicados a datos que se originan en una serie de experimentos aleatoriosindependientes. Los datos resultantes nx,.......,x1 son representativos de una ciertapoblación y el análisis estadístico realiza inferencias sobre ciertos aspectos de lapoblación a partir de la muestra nx,.......,x1 . Con este tipo de datos el orden enque aparecen los datos es irrelevante. Sin embargo en muchos casosnecesitamos de los pronósticos o predicciones como herramienta esencial encualquier proceso de toma de decisiones. Pronosticar supone proyectar laexperiencia pasada hacia el futuro, desde la suposición que las condiciones quegeneraron los datos históricos no serán diferentes de las condiciones futuras. Sedebe tener presente que, la calidad de las predicciones que podemos efectuarestá estrechamente relacionada con la información que se puede extraer y utilizarde los datos que se tengan.

El análisis de series temporales es un método cuantitativo ampliamenteusado como ayuda a tener una visión con incertidumbre acerca del futuro.

Una serie de tiempo o serie cronológica es una sucesión de observacionesty (t= 1, 2,...,T) realizadas secuencialmente en el tiempo, por ejemplo cada mes.

En este caso el orden en que aparecen los datos es de suma importancia y losprocedimientos clásicos no son directamente aplicables. Las series de tiempo soncomunes en muchos campos. Algunos ejemplos son:

Economía : Desempleo, precios, ventas, demanda, etc.Meteorología : Precipitaciones, velocidad del viento, etc.Medicina : Electrocardiogramas, electroencefalogramas, etc.Física : Sismología, oceanografía, etc.Química : Temperatura, viscosidad, concentración, rendimiento, etc.

Algunas series pueden ser observadas continuamente en el tiempo (porejemplo, temperatura, electrocardiogramas). Se les denomina series de tiempocontinuas. En la mayoría de las series, sin embargo, las observaciones se realizanequiespaciadamente en el tiempo. Ellas se denominan series de tiempo discretasy son las únicas que consideraremos en este módulo.

1) DESCOMPOSICIÓN DE UNA SERIE DE TIEMPO

1.1 Descomposición:

En la introducción de este módulo se definió una serie de tiempo como losvalores de datos que se recogen, registran u observan en incrementos sucesivosde tiempo. Cuando se registra y observa una serie de tiempo variable, muchasveces es difícil o imposible visualizar sus diferentes componentes. El propósito dedescomponer una serie de tiempo es observar cada uno de sus elementosaislados. Al hacerlo, se puede tener una mejor idea de las causas de lavariabilidad de la serie. Una segunda razón importante para aislar las

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componentes de una serie de tiempo es facilitar el proceso para determinar lospronósticos. Si se entiende el movimiento de los elementos de una serie, elpronóstico resulta más sencillo.

Para entender los elementos de una serie de tiempo, deben considerarselas relaciones matemáticas entre las componentes. Existen tres modelos dedescomposición de una serie, que suelen usarse alternativamente en lasaplicaciones, según se comporte la serie analizada. Estos tres modelos son eladitivo,

Yt = Tt + Ct + Et + It (1)el multiplicativo Yt = Tt x Ct x E tx It (2)

y el mixto, que puede tomar, por ejemplo, la forma siguiente:

Yt = Tt(1+Ct)(1+Et)+It (3)

Donde en cada caso:Yt es el valor observado de la variable de interésTt es la componente llamada tendenciaCt es un término llamado componente cíclicaEt es la llamada componente estacionalIt es la llamada componente irregular

.El modelo que más se usa para la descomposición de las series de tiempo es elmodelo multiplicativo, en el que Yt es el producto de cuatro elementos que actúanen combinación para producir la serie. A fin de ilustrar la descomposición de unaserie, consideremos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1.1.1: Los datos que se muestran a continuación corresponden alnúmero de nuevas unidades habitacionales comenzadas en el país desde eltercer trimestre de 1984 al segundo trimestre de 1992.

Año I II III IV1984 398 3521985 283 454 392 3451986 274 392 290 2101987 218 382 382 3401988 298 452 423 3721989 336 468 387 3091990 264 399 408 3961991 389 604 579 5131992 510 661

Representar gráficamente la serie ¿qué puede comentar?

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Unidades Habitacionales Nuevas

0

100

200

300

400

500

600

700

III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II1985 1986 1987 19891988 1990 1991 19921984

Descomponiendo la serie en sus términos componentes usando el modelomultiplicativo se tiene:

Año Trim Unidades YhatIndice Estacional

Tendencia estacional

%Irregulares y Ciclicos

Total movil 3 trim. % Ciclico % Irregular

1984 III 398 291.65 107.61 313.84 126.82IV 352 298.00 91.09 271.45 129.67 372.52 124.17 104.43

1985 I 283 304.34 80.14 243.9 116.03 366.31 122.1 95.03II 454 310.69 121.16 376.43 120.61 351.54 117.18 102.93III 392 317.03 107.61 341.16 114.9 352.63 117.54 97.75IV 345 323.38 91.09 294.57 117.12 335.71 111.9 104.66

1986 I 274 329.72 80.14 264.24 103.69 317.08 105.69 98.11II 392 336.07 121.16 407.18 96.27 278.66 92.89 103.64III 290 342.41 107.61 368.47 78.7 241.07 80.36 97.93IV 210 348.76 91.09 317.69 66.1 221.4 73.8 89.57

1987 I 218 355.10 80.14 284.58 76.6 229.93 76.64 99.95II 382 361.45 121.16 437.93 87.23 260.35 86.78 100.52III 382 367.79 107.61 395.78 96.52 283.52 94.51 102.13IV 340 374.14 91.09 340.8 99.77 294.02 98.01 101.8

1988 I 298 380.48 80.14 304.92 97.73 293.94 97.98 99.74II 452 386.83 121.16 468.68 96.44 294.15 98.05 98.36III 423 393.17 107.61 423.09 99.98 298.64 99.55 100.43IV 372 399.52 91.09 363.92 102.22 305.5 101.83 100.38

1989 I 336 405.86 80.14 325.26 103.3 299.23 99.74 103.57II 468 412.21 121.16 499.43 93.71 282.93 94.31 99.36III 387 418.55 107.61 450.4 85.92 259.47 86.49 99.34IV 309 424.90 91.09 387.04 79.84 242.15 80.72 98.91

1990 I 264 431.24 80.14 345.6 76.39 231.49 77.16 99II 399 437.59 121.16 530.18 75.26 237.06 79.02 95.24III 408 443.93 107.61 477.71 85.41 257.22 85.74 99.62IV 396 450.28 91.09 410.16 96.55 288.26 96.09 100.48

1991 I 389 456.62 80.14 365.94 106.3 310.53 103.51 102.7II 604 462.97 121.16 560.93 107.68 328.63 109.54 98.3III 579 469.31 107.61 505.02 114.65 340.73 113.58 100.94IV 513 475.66 91.09 433.28 118.4 365.08 121.69 97.3

1992 I 510 482.00 80.14 386.27 132.03 362.15 120.72 109.37II 661 488.35 121.16 591.68 111.72

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En el ejemplo 1.1.1 observamos que si en el IV trimestre de 1984,multiplicamos el valor 298 de la columna Yhat por el valor 91.09/100 de la columnaIndice estacional, resultado que multiplicamos por 124.17/100 de la columna %cíclico y por último multiplicamos por 104.43/100 de la columna % Irregularobservamos que el valor resultante es 352, que corresponde al valor observadode la serie para este periodo. Esto mismo lo puede repetir para las líneassiguientes.

En este ejemplo se muestra claramente como la serie se descompone ensus cuatro términos componentes. Se debe tener presente que una serie detiempo debe tener al menos una de las cuatro componentes.

Con el fin de describir cada una de las componentes de una serie,consideremos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1.1.2: Los datos que se muestran a continuación corresponden al registroanual de automóviles nuevos (en millones de unidades) en los EstadosUnidos entre 1960 y 1991.

Año Autos Año Autos Año Autos Año Autos1960 6.577 1970 8.388 1980 8.761 1990 9.1031961 5.855 1971 9.831 1981 8.444 1991 8.2341962 6.939 1972 10.409 1982 7.7541963 7.557 1973 11.351 1983 8.9241964 8.065 1974 8.701 1984 10.1181965 9.314 1975 8.168 1985 10.8891966 9.009 1976 9.752 1986 11.141967 8.357 1977 10.826 1987 10.1831968 9.404 1978 10.946 1988 10.3981969 9.447 1979 10.357 1989 9.853

Gráficamente

5

6

7

8

9

10

11

12

1960

1962

1964

1966

1968

1970

1972

1974

1976

1978

1980

1982

1984

1986

1988

1990

Figura 1.1.1: Registro anual de automóviles nuevos entre 1960 y 1961

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Observe el gráfico ¿qué puede comentar?

TENDENCIA

La tendencia de una serie de tiempo, también llamada tendencia secular,es la componente que hace que el valor de la variable tienda a aumentar odisminuir en un periodo muy largo. En la figura 1.1.1, se observa una tendenciacreciente.

Las fuerzas básicas responsables de la tendencia de una serie sonpoblación, crecimiento, inflación de precios, cambios tecnológicos e incrementosde la productividad.

COMPONENTE CÍCLICA

La componente cíclica es una fluctuación con apariencia de ondasalrededor de la tendencia. Cualquier patrón no necesariamente regular deobservaciones arriba o abajo de la recta de la tendencia es atribuible a lacomponente cíclica de la serie de tiempo. La figura 1.1.1 ilustra un patrón típicode fluctuación cíclica por encima y por debajo de la línea de tendencia. Note quelos movimientos cíclicos no siguen ningún patrón regular, sino que se mueven deuna forma un tanto impredecible. Casi siempre, las fluctuaciones cíclicas estáninfluidas por las condiciones económicas.

LA COMPONENTE ESTACIONAL

La componente estacional también llamada variación temporal, se refiere alpatrón de cambio que se repite de un año a otro. Para una serie mensual, lacomponente estacional mide la variabilidad de las series cada enero, cada febrero,etcétera. Para una serie trimestral, existen cuatro medidas estacionales, una paracada trimestre. La variación estacional puede reflejar las condiciones del clima,los días festivos o las longitudes variables de los meses del calendario.

COMPONENTE IRREGULAR

La componente irregular es una medida de la variabilidad restante de laserie de tiempo después de eliminar las otras componentes. Es la que describe lavariabilidad aleatoria en una serie de tiempo causada por factores no previsibles yno recurrentes. La mayor parte de la componente irregular está formada por lavariabilidad aleatoria. Sin embargo, algunos eventos no previstos como huelgas,cambios de clima (sequías, inundaciones o sismos), resultados de una elección,conflictos armados o nuevas legislaciones causan irregularidades en una variable.

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1.2) ANÁLISIS DE TENDENCIA

Las tendencias se manifiestan en muchas series mediante un crecimientoregular a largo plazo. Otras muestran un decrecimiento, en tanto que algunasparecen constantes o estacionarias, y otras presentan ondas u oscilaciones deperiodo muy elevado.Las tendencias suelen representarse mediante funciones del tiempo continuas ydiferenciables. Los modelos de regresión más utilizados son:

i) Lineal.ii) Polinómico.iii) Exponencialiv) Modelo autorregresivov) Curva de Gompertz.

Disponiendo de observaciones muestrales, el procedimiento consiste en “ajustar”la función más adecuada a los datos aplicando el análisis de regresión.Hay dos tipos de problemas relacionados con el análisis de tendencias: lapredicción a largo plazo y la eliminación de tendencias.

¿Porqué estudiar la tendencia?

Existen tres razones por la cual resulta útil estudiar la tendencia:

i) El estudio de la tendencia nos permite describir un patrón histórico.ii) El estudio de la tendencia nos permite proyectar patrones pasados, o

tendencias, hacia el futuro.iii) En muchas situaciones, el estudio de la tendencia de una serie de tiempo

nos permite eliminar la componente de tendencia de la serie. Esto facilitael estudio de las otras tres componentes.

1.2.1 Ajuste de tendencia lineal

Si la gráfica de la serie sugiere una tendencia lineal, se plantea el ajuste de lafunción tt tY εββ ++= 10 ; t= 1, 2, ...,T (1.2.1)donde los tε son variables aleatorias que satisfacen los supuestos dados en elmodelo de regresión simple.Observe que si retardamos t en un periodo en (1.2.1) y restamos de la ezpresiónoriginal se tiene: ttt uYY +=− − 11 β (1.2.2)con 1−−= tttu εε .La expresión (1.2.2) muestra que en el modelo de tendencia lineal la variablecrece, aproximadamente, según una progresión aritmética de razón 1β .

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Observe además que la serie Zt = Yt – Yt-1 dada por (1.2.2) carece de tendencia,por lo que este procedimiento de generar la serie Zt es un procedimiento habitualpara eliminar la tendencia.El procedimiento que se usa para encontrar la recta que mejor se ajusta a losdatos observados de la serie de tiempo es el de mínimos cuadrados, el cualcorresponde al mismo procedimiento usado para minimizar SCE en el análisis deregresión.

El periodo puede venir expresado en días, semanas, meses, trimestres oaños por lo que, lo más practico para trabajar con el periodo en los modelos escodificarlo de manera correlativa desde 1 a T.Para el ejemplo 1.1.2, al año 1960 le corresponde el valor 1, a 1961 el valor 2 y asísucesivamente. Luego, para este ejemplo, ajustando un modelo lineal simpleusando excel se tiene:

Resumen

Estadísticas de la regresiónCoeficiente de correlación múltiple 0.52237069Coeficiente de determinación R^2 0.27287113R^2 ajustado 0.2486335Error típico 1.18495869Observaciones 32

ANÁLISIS DE VARIANZA

Grados de libertad

Suma de cuadrados

Promedio de los

cuadrados FValor crítico

de FRegresión 1 15.8078891 15.8078891 11.2581612 0.00216301Residuos 30 42.1238127 1.40412709Total 31 57.9317019

Coeficientes Error típico Estadístico t Probabilidad Inferior 95%Superior

95%Intercepción 7.90191129 0.42896223 18.4209957 6.6452E-18 7.02585446 8.77796813Periodo 0.0761228 0.02268721 3.35531835 0.00216301 0.02978939 0.12245621

Observe que el coeficiente de determinación es sólo de un 27,3%, es decir, sólo el27.3% de la variabilidad de la variable registros de automóviles nuevos esexplicada por la variable tiempo.

De los datos observamos que el modelo ajustado para la tendencia es:

XY 076123.0901911.7ˆ +=

Del modelo, se espera que el registro anual de automóviles nuevos se incrementecada año en promedio 0.076123 millones de unidades o 76,123 automóvilesnuevos.

Veamos ahora cuál sería nuestra estimación de registro de automóviles nuevospara 1992 (tiempo=33) haciendo uso sólo de la tendencia.

)33(076123.0901911.7ˆ +=Y

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4139.10= millones de autos

Así, para el año 1992 se esperan 10,413,900 automóviles nuevos en los EstadosUnidos.

1.2.2 Ajuste de tendencia polinómicaLa función polinomial de grado p,

ppttttf ββββ ++++= ...)( 2

210 (1.2.3)posee la atractiva propiedad de aproximar a cualquier función no lineal continua ,de derivadas también continuas, con cualquier grado de exactitud dentro de unintervalo dado, para lo cual hay que tomar p lo suficientemente grande. De hecho,tomando p=T-1, es posible determinar exactamente pβββ ,...,, 10 de manera que elpolinomio reproduzca los T valores observados de Yt.Si bien el polinomio así obtenido describiría exactamente el pasado de la serietemporal Yt, como instrumento predictivo sería poco confiable, pues nadagarantiza que la ecuación haya recogido las pautas de comportamientos regularesde la serie.Si se toma p<T-1, los coeficientes del polinomio dejan de estar determinados, y suelección es ya un problema estadístico, que puede resolverse por el método de losmínimos cuadrados.Si lo que pretende es utilizar el polinomio estimado para predecir, hay que tener encuenta que las predicciones vendrán fuertemente influidas por los términos en losque t figura elevado a la mayor potencia.Ajustemos una tendencia cuadrática al ejemplo 1.1.2. De excel tenemos que:

Estadísticas de la regresiónCoeficiente de correlación múltiple 0.70035924Coeficiente de determinación R^2 0.49050307R^2 ajustado 0.45536535Error típico 1.00885774Observaciones 32

ANÁLISIS DE VARIANZA

Grados de libertad

Suma de cuadrados

Promedio de los

cuadrados FValor crítico

de FRegresión 2 28.4156776 14.2078388 13.9594453 5.6696E-05Residuos 29 29.5160243 1.01779394Total 31 57.9317019

Coeficientes Error típico Estadístico t Probabilidad Inferior 95% Superior 95%Intercepción 6.36026613 0.57030046 11.1524828 5.2542E-12 5.19387008 7.52666218t 0.34817783 0.07967461 4.36999704 0.00014534 0.18522486 0.5111308t2 -0.00824409 0.00234236 -3.51956935 0.00144796 -0.01303475 -0.00345343

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El modelo de tendencia cuadrática es

Yt = 6,3603 + 0,3482t – 0,00824t2 con un R2 ajust= 0,455

1.2.2.1 Eliminación de tendencias polinómicas.

De la expresión (1.2.2) vimos que si a una serie de tiempo con tendencia lineal sele aplica la primera diferencia, desaparece la tendencia.Siguiendo este procedimiento con una serie de tiempo que presente tendenciapolinómica de segundo grado, para eliminar la tendencia hay que realizar dosoperaciones consecutivas de obtención de diferencias. Sea tt ttY εβββ +++= 2

210 , entonces,

12211 2 −− −++−=−= ttttt tYYZ εεβββla cual es una expresión lineal en t. Obteniendo las segundas diferencias se tieneque,

2121 22 −−− +−+=− ttttt ZZ εεεβ expresión que ya no tiene tendencia. En general, para eliminar la tendenciapolinómica de grado p, se toman diferencias sucesivas de la serie hasta p veces.

1.2.3 Estimación de tendencia exponencial.

Suponiendo que la tendencia de la serie de tiempo es dada por la expresión

teaeY rtt

ε= t=1, 2,...,T (1.2.4)el problema estadístico consiste en estimar a y r, a partir del conjunto deobservaciones Yt, t=1, 2, ...,T

r<0

r>0

Si tomamos logaritmo natural en la expresión (1.2.4) se tiene,

lnYt= lna + rt + tε (1.2.5)

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expresión lineal por lo que, para estimar r se puede usar el método de mínimoscuadrados, suponiendo para tε que satisface los supuestos del modelo deregresión.Para eliminar tendencias exponenciales basta con tomar diferencias usando laexpresión (1.2.5). Así

lnYt – lnYt-1 = r + utDonde 1−−= tttu εε

1.2.4 Modelo Autorregresivo

En algunas ocasiones se usa la relación

ttt YY εγγ ++= −110 , 1γ >0 (1.2.6)

denominado modelo autorregresivo y sirve para representar tendencias.Una aplicación directa de este modelo es para representar tendencias que

presentan dos componentes aditivas, una lineal y otra exponencial.

511 ,=γ

11 =γ

601 ,=γ

Ejemplo 1.2.4.1: Los índices de consumo de energía eléctrica, registrados en unadeterminada área geográfica en expansión fueron los siguientes :

Año 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988Yt 100 195 295 386 537 660 827 973 1318 1425

Graficando la serie, tenemos

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12

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990

Del gráfico vemos que existe la posibilidad de ajustar un modelo autorregresivo.Si ajustamos una tendencia lineal, R2= 0,969. Ahora si ajustamos una tendenciaexponencial, R2 = 0,956, en cambio un ajuste de un modelo autorregresivo entregala siguiente salida excel.

Estadísticas de la regresiónCoeficiente de correlación múltiple 0.98671069Coeficiente de determinación R^2 0.97359799R^2 ajustado 0.96982627Error típico 76.0379182Observaciones 9

ANÁLISIS DE VARIANZA

Grados de libertad

Suma de cuadrados

Promedio de los

cuadrados FValor crítico

de FRegresión 1 1492454.53 1492454.53 258.131303 8.7937E-07Residuos 7 40472.355 5781.765Total 8 1532926.89

Coeficientes Error típico Estadístico t Probabilidad Inferior 95% Superior 95%Intercepción 96.6226997 47.1351354 2.04990818 0.07954117 -14.8341047 208.079504Variable Yt-1 1.08606987 0.06759856 16.0664652 8.7937E-07 0.9262248 1.24591495

De la salida, el modelo autorregresivo es ,

Yt= 96,623 + 1,086Yt-1 con un R2= 0,974

el cual es mas satisfactorio como modelo para predecir la tendencia.

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1.2.5. Curva de Gompertz. Tendencia

Para describir fenómenos de crecimiento con un punto de inflexión se puedeutilizar la curva Gompertz, que responde a la ecuación:

T(t) = T*rteb

−

(1.2.7)

en donde r, b y T* son parámetros positivos. La representación gráfica de estacurva es:

T*

F

La ordenada del punto de inflexión, F, es

TF = e-1T*

La máxima tasa de crecimiento tiene lugar en el punto de inflexión.

1.3) Estudio de la Componente Cíclica

El procedimiento utilizado para identificar la componente cíclica es el método delos residuos. Cuando observamos una serie temporal consistente en datosanuales, solamente se toman en cuenta las componentes de tendencia secular,cíclica e irregular. La componente cíclica se definió como la fluctuación con formade onda alrededor de la tendencia. En la figura 1.1.1, las cumbres y valles arriba ydebajo de la recta de tendencia representan fluctuaciones cíclicas en el número deregistros anuales de automóviles nuevos. Estas fluctuaciones pueden estarinfluidas por las condiciones cambiantes de la economía como: tasa de interésdemanda de los consumidores, niveles de inventarios, condiciones del mercado,etc. Para determinar la componente cíclica cuando la serie temporal estácompuesta por datos anuales, empleamos la ecuación conocida como método delos residuos:

)100(YYC = (7)

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la cual es una medida de la variación cíclica como un porcentaje de latendencia, donde;C : componente cíclicaY : Valor real de la variable de interés.Y : Pronóstico del valor de Y para el periodo seleccionado.

Otra medida de la variación cíclica es el residuo cíclico relativo, cuya expresiónde cálculo está dada por

100)YYY(Crel

−= (8)

Aplicando este método a nuestros datos de registros de automóviles nuevos enlos Estados Unidos, obtenemos los siguientes resultados:.

Año Registro Tiempo Pronóstico Indice ResiduoY X Y Cíclico Cíclico Relativo

1960 6,577 1 7,978 82,439 -17,5611961 5,855 2 8,054 72,697 -27,3031962 6,939 3 8,130 85,351 -14,6491963 7,557 4 8,206 92,091 -7,9091964 8,065 5 8,283 97,368 -2,6321965 9,314 6 8,359 111,425 11,4251966 9,009 7 8,435 106,805 6,8051967 8,357 8 8,511 98,191 -1,8091968 9,404 9 8,587 109,514 9,5141969 9,447 10 8,663 109,050 9,0501970 8,388 11 8,739 95,984 -4,0161971 9,831 12 8,815 111,526 11,5261972 10,409 13 8,892 117,060 17,0601973 11,351 14 8,968 126,572 26,5721974 8,701 15 9,044 96,207 -3,7931975 8,168 16 9,120 89,561 -10,4391976 9,752 17 9,196 106,046 6,0461977 10,826 18 9,272 116,760 16,7601978 10,946 19 9,348 117,095 17,0951979 10,357 20 9,424 109,900 9,9001980 8,761 21 9,500 92,221 -7,7791981 8,444 22 9,577 88,170 -11,8301982 7,754 23 9,653 80,327 -19,6731983 8,924 24 9,729 91,726 -8,2741984 10,118 25 9,805 103,192 3,1921985 10,889 26 9,881 110,201 10,2011986 11,140 27 9,957 111,881 11,8811987 10,183 28 10,033 101,495 1,4951988 10,398 29 10,109 102,859 2,8591989 9,853 30 10,186 96,731 -3,2691990 9,103 31 10,262 88,706 -11,2941991 8,234 32 10,338 79,648 -20,352

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La interpretación de los valores obtenidos para el índice cíclico y para elíndice cíclico relativo es:

Para el año 1960, el índice cíclico nos indica que el valor observado fue un82,439% de los registros de autos nuevos esperados para ese año. Para esemismo año, el residuo cíclico relativo indicó que el registro de autos nuevos estabaun 17,561% por debajo de los registros de autos nuevos esperados.

Una forma de ayudar a analizar la componente cíclica, es realizar un gráficoen el que representamos el índice cíclico como porcentaje de la tendencia.Observar como este proceso elimina la línea de tendencia y aísla la componentecíclica de la serie de tiempo (ver figura 1.3.1).

Figura 1.31: Gráfico Componente cíclica para los registros de automóviles nuevos.

En este gráfico se muestra a la tendencia como línea base, representadapor el 100%. La importancia de este tipo de gráficos se debe a que permite lacomparación de la variable de interés con el patrón cíclico de otras variables y/oindicadores de negocio.

Del gráfico vemos que la serie registró su valor más bajo en 1961(72,697%), después hubo un crecimiento sostenido hasta alcanzar un valor de un111,4% por sobre el valor esperado. Los buenos tiempos prevalecieron entre 1966y 1979 con excepción los años 1967, 1970, 1974 y 1975. A partir de 1980 siguióuna disminución en el registro durante cuatro años.

1.4) Estudio de la Componente Estacional

La variación temporal o estacional, se define como un movimiento repetitivoy predecible alrededor de la línea de tendencia que se da en un año, o en menos.Con el fin de detectar la componente estacional, los intervalos de tiempo necesitan

60

70

80

90

100

110

120

130

1960

1962

1964

1966

1968

1970

1972

1974

1976

1978

1980

1982

1984

1986

1988

1990

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ser medidos en unidades más pequeñas, como días, semanas, meses otrimestres.

La descomposición de una serie de tiempo mensual o trimestral puederevelar las componentes estacional e irregular, además de las componentes detendencia y cíclica. Al examinar cada una de estas cuatro componentes porseparado se puede descubrir información interesante y útil que permita al analistacombinar estos elementos para producir un buen pronóstico. Los pronósticos queusan series de tiempo mensuales o trimestrales se hacen por lo general para 1 a12 meses, o para 1 a 4 trimestres futuros. El analista debe tener de 4 a 7 años dedatos mensuales o trimestrales para realizar cálculos necesarios para un análisisestacional.

La primera componente que debe aislarse en una serie de tiempo mensualo trimestral es la componente estacional. Se requiere un índice para cada 12meses o cada 4 trimestres del año; los programas de computación de la serie detiempo se usan para calcular estos índices. A continuación se da una descripcióndel procedimiento que usan tales programas para datos mensuales.

La idea básica al calcular un índice estacional mensual es comparar los valoresreales de la variable (Y) con un promedio de 12 meses para esa variable. De estamanera se puede determinar si el valor de Y es mayor o menor que el promedioanual y por cuánto. Si se analizan datos trimestrales, se calcula el promedio decuatro trimestres para la comparación.

Al calcular el promedio anual para la comparación mensual, se debe usar unpromedio centrado en el mes que se está examinando. Desafortunadamente,cuando se promedian 12 meses, el centro del promedio no está en el centro delmes sino en el punto en el que termina un mes y comienza otro. Ésta es la razónpor la que se usan los siguientes pasos para centrar un promedio de 12 mesespara Y en el mes que se examina. (Estos cuatro pasos suponen que los datoscomienzan en enero.)

Paso 1 Se calcula el total móvil de 12 meses, de enero a diciembre para losdatos del primer año y se coloca opuesto a julio. Se calcula el siguiente total de12 meses quitando enero del primer año y agregando enero del segundo año.Éste es el total móvil de 12 meses de febrero del primer año a enero del segundoaño; se coloca opuesto a agosto.

Paso 2 Se calcula un total móvil de dos años sumando los totales móvilesopuestos a julio y a agosto. Los totales de dos años incluyen datos de 24 meses(enero del primer año una vez, de febrero a diciembre dos veces y enero delsegundo año una vez). Este total se centra en julio.

Paso 3 Se divide el total móvil de dos años entre 24 para obtener el promediode 12 meses centrado corregido en julio.

Paso 4 Se calcula el índice estacional para cada mes con la división del valorreal de cada mes entre el promedio centrado corregido de 12 meses y semultiplica por 1 00 para convertir la razón en un número índice. A continuación seindica cómo se realiza este cálculo:

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Índice estacional

E = )(100TCI

TECI (9)

donde E = índice estacionalTECI = valor real de YTCI = promedio centrado de 12 meses

Ejemplo 1.4.1La tabla que se muestra a continuación contiene los datosmensuales de 1985 a 1986 para los registros nuevos de automóviles,y los resultados de los cálculos de los índices estacionalesmensuales ilustrado anteriormente.

Tabla 4.1: Procedimiento para el cálculo del índice estacional mensual

Periodo RegistroTotal Móvil12 meses

Total MóvilDe 2 años

PromedioMóvil

Centrado de12 meses

ÍndiceEstacional

1985Enero 781Febrero 790Marzo 927Abril 936Mayo 912

Junio 92310899

Julio 949 (2) 21930 (3) 913.75 103.86 (4) (1) 11031

Agosto 926 22094 920.58 100.5911063

Septiembre 1105 22047 918.63 120.2910984

Octubre 973 21938 914.08 106.4510954

Noviembre 828 21914 913.08 90.6810960

Diciembre 849 22009 917.04 92.5811049

1986 22083 920.13 99.23Enero 913

11034Febrero 822 22036 918.17 89.53

11002

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Marzo 848 22048 918.67 92.3111046

Abril 906 22067 919.46 98.5411021

Mayo 918 21933 913.88 100.4510912

Junio 1012 21877 911.54 111.0210965

Julio 934Agosto 894Septiembre 1149Octubre 948Noviembre 719Diciembre 902

El paso siguiente es determinar un índice estacional para cada mes. Como esteejemplo contenía pocos datos no determinaremos el índice estacional. Para lograruna mayor comprensión de este método, veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.4.2:Los datos que se muestran a continuación, representan el númerode huésped registrados en cada trimestre durante los últimos cincoaños:

TRIMESTREAño I II III IV1988 1.861 2.203 2.415 1.9081989 1.921 2.343 2.514 1.9861990 1.834 2.154 2.098 1.7991991 1.837 2.025 2.304 1.9651992 2.073 2.414 2.339 1.967

En la tabla que a continuación se anexa, se muestra el desarrollo que conducea la obtención del índice estacional para cada trimestre.

Tabla 1.4.2.1: Procedimiento para el cálculo del índice estacional por trimestre

Número Total Móvil Total Móvil Promedio ÍndiceAño Trimestre Huésped 4 trimestres de 2 años Móvil

centrado 4trimestres

Estacional

1988 I 1.861II 2.203

8.387III 2.415 16.834 2.104,250 114,8

8.447IV 1.908 17.034 2.129,250 89,6

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8.5871989 I 1.921 17.273 2.159,125 89,0

8.686II 2.343 17.450 2.181,250 107,4

8.764III 2.514 17.441 2.180,125 115,3

8.677IV 1.986 17.165 2.145,625 92,6

8.4881990 I 1.834 16.560 2.070,000 88,6

8.072II 2.154 15.957 1.994,625 108,0

7.885III 2.098 15.773 1.971,625 106,4

7.888IV 1.799 15.647 1.955,875 92,0

7.7591991 I 1.837 15.724 1.965,500 93,5

7.965II 2.025 16.096 2.012,000 100,6

8.131III 2.304 16.498 2.062,250 111,7

8.367IV 1.965 17.123 2.140,375 91,8

8.7561992 I 2.073 17.547 2.193,375 94,5

8.791II 2.414 17.584 2.198,000 109,8

8.793III 2.339IV 1.967

Una vez obtenidos los índices estacionales, estos se organizan por trimestressegún se indica más abajo

Tabla 1.4.2.2: Organización de los índices estacionales obtenidos en tabla 1.4.2.1

TRIMESTREAño I II III IV1988 114,8 89,61989 89,0 107,4 115,3 92,61990 88,6 108,0 106,4 92,01991 93,5 100,6 111,7 91,81992 94,5 109,8

Observar que la tabla 1.4.2.2 muestra cuatro índices estacionales para cadatrimestre. Para el trimestre I los valores son 89,0, 88,6, 93,5 y 94,5.

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El paso siguiente a esta organización de los índices estacionales escombinar estos valores en un solo índice por trimestre, para ello calculamos unpromedio por trimestre.

Para que este promedio sea representativo del trimestre correspondiente,es conveniente eliminar los valores extremos, para ello existen variosprocedimientos estadísticos que permiten la detección de estos valores, como porejemplo el gráfico de caja y bigote. También esta la comparación de la media conla mediana. También se puede obtener el coeficiente de variación.

Veamos estos resultados para el ejemplo anterior.

Tabla 1.4.2.3: Estadísticos descriptivos por trimestre

Año I II III IV1988 114.8 89.61989 89.0 107.4 115.3 92.61990 88.6 108.0 106.4 92.01991 93.5 100.6 111.7 91.81992 94.5 109.8

Promedio 91.4 106.45 112.05 91.5Mediana 91.25 107.7 113.25 91.9Desv. Estand 3.03 4.03 4.09 1.31Coef. Var. 3.32 3.79 3.65 1.43

Trimestre

De los resultados obtenidos observamos que la media no es fuertemente diferentede la mediana, por lo que ya el promedio es un buen representante del centro.Además, el coeficiente de variación es bastante pequeño (<4%), lo que indica quecada serie es bastante homogénea. De esta forma podemos considerar alpromedio como índice estacional de cada trimestre.

Los valores de los índices estacionales obtenidos en la tabla 1.4.2.1,todavía contienen las componentes cíclica e irregular de la variación de la serie detiempo. Al eliminar los valores extremos de cada trimestre reducimos lasvariaciones cíclica e irregular extremas. Cuando promediamos los valoresrestantes, suavizamos aún más estas componentes. Las variaciones cíclicas eirregular tienden a ser eliminadas mediante este proceso, de modo que la mediaes un índice de la componente estacional.

Al sumar los cuatro nuevos índices de la tabla 1.4.2.3(91,4+106,45+112,05+91,5) dan por resultado 401,4, sin embargo, la base de uníndice siempre es 100. Por consiguiente, los cuatro índices trimestrales deben darun total de 400 y su media debe ser de 100. Para corregir este error, multiplicamoscada uno de los índices trimestrales por una constante de ajuste. Este número seencuentra dividiendo la suma deseada de los índices (400) entre la suma real(401,4), siendo en este caso la constante de ajuste igual a 0,99651.

A continuación mostramos el cálculo del índice temporal por trimestre,donde el índice temporal = media modificada x constante de ajuste, así:

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Tabla 1.4.2.4: Procedimiento para el cálculo del índice temporal modificado.

Media Constante de IndiceTrimestre Ajuste Temporal

I 91,4 X 0,99651 91.08II 106,45 X 0,99651 106.08III 112.05 X 0,99651 111.66IV 91,5 X 0,99651 91,18

Total 400,0

1.5 ) Usos del Indice Temporal.

El método razón de promedios móvil que acabamos de estudiar, nospermite identificar la variación estacional de una serie de tiempo. Los índicestemporales se utilizan para eliminar de una serie de tiempo los efectos porestacionalidad, proceso que se denomina desestacionalización odestemporalización de una serie de tiempo o temporal. Es conveniente antes deque podamos identificar las componentes de tendencia o cíclica de una serie detiempo, eliminar la variación estacional calculando para ello el índice temporal.Para describir el procedimiento, procederemos a desestacionalizar cada valorobservado de la serie tiempo:

Tabla 1.5.1: Procedimiento de desestacionalización de datos.

Número Indice Temp. OcupaciónAño Trimestre Huésped 100 Desestacionalizada1988 I 1,861 0.9108 2043

II 2,203 1.0608 2077III 2,415 1.1166 2163IV 1,908 0.9118 2093

1989 I 1,921 0.9108 2109II 2,343 1.0608 2209III 2,514 1.1166 2251IV 1,986 0.9118 2178

1990 I 1,834 0.9108 2014II 2,154 1.0608 2031III 2,098 1.1166 1879IV 1,799 0.9118 1973

1991 I 1,837 0.9108 2017II 2,025 1.0608 1909III 2,304 1.1166 2063IV 1,965 0.9118 2155

1992 I 2,073 0.9108 2276II 2,414 1.0608 2276III 2,339 1.1166 2095IV 1,967 0.9118 2157

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Ya que ha sido eliminado el efecto de las estaciones, los valoresdesestacionalizados que quedan, solamente reflejan las componentes detendencia, cíclica e irregular de la serie de tiempo.

Una vez que hemos eliminado la variación temporal, podemos determinar latendencia desestacionalizada, que luego podemos proyectar hacia el futuro.

A continuación mostraremos los gráficos correspondiente a la serie observadajunto al promedio móvil (figura 1.5.1) y a la serie observada junto a los valoresdesestacionalizados (figura 1.5.2)

Figura 1.5.1: Gráfico promedio móvil para suavizar la serie de tiempo original

La línea indicada como serie 1 en esta figura representa los valores observados,en cambio la línea punteada indicada como serie 2, representa los valoresobtenidos por el método razón de promedios móvil para cada trimestre.

La figura 1.5.1, muestra cómo el promedio móvil ha suavizado las cimas yvalles de la serie de tiempo original.

1,500

1,700

1,900

2,100

2,300

2,500

2,700

I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV

Serie1 Serie2

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Figura 1.5.2: Gráfico comparación de la serie desestacionalizada junto a la serieoriginal.

La línea indicada como serie 1 en esta figura representa los valores observados,en cambio la línea punteada indicada como serie 2, representa los valores de laserie ya desestacionalizados.

Procedamos ahora a estimar la línea de tendencia desestacionalizada, paraello aplicamos el método de mínimos cuadrados. Recordar codificar la variabletiempo, en este caso se codificó de 1 a 20

El modelo a ajustar es:XˆˆY 10 β+β=

dondeY representa los valores ajustados de la serie desestacionalizada0β y 1β son los parámetros estimados del modelo.

X es el periodo

1500

1700

1900

2100

2300

2500

2700

I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV

Serie1 Serie2

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Estadísticas de la regresiónCoeficiente de correlación múltiple 0.08984655Coeficiente de determinación R^2 0.0080724R^2 ajustado -0.04703469Error típico 114.693274Observaciones 20

ANÁLISIS DE VARIANZA

Grados de libertad

Suma de cuadrados

Promedio de los

cuadrados FValor crítico

de FRegresión 1 1926.95338 1926.95338 0.14648573 0.7063986Residuos 18 236781.847 13154.547Total 19 238708.8

Coeficientes Error típico Estadístico t Probabilidad Inferior 95% Superior 95%Intercepción 2080.52632 53.2786334 39.0499189 7.4643E-19 1968.59197 2192.46066X 1.70225564 4.44761439 0.38273454 0.7063986 -7.64184268 11.046354

De esta salida excel vemos que el modelo de la tendencia desestacionalizada es:

XY 7022152632080 ..ˆ +=

A partir de esta línea de tendencia podemos hacer proyecciones hacia el futuro,por ejemplo, realicemos un pronóstico para el cuarto trimestre de 1993, el cualcorresponde a un tiempo de 24 de acuerdo a la variable codificada, así

)(..ˆ 247022152632080 +=Y =2.121 personas

Conocida esta predicción debemos tomar en consideración el efecto de lasestaciones, para ello debemos multiplicar la ocupación promediodesestacionalizada predicha 2.121 por el índice temporal correspondiente alcuarto trimestre, expresado como fracción de 100, para obtener de este modo unaestimación estacionalizada, así

2.121 x 0.9118=1.934 personas.

Veamos ahora un ejemplo completo que nos permitirá estudiar todas lascomponentes.

Ejemplo: Suponga que deseamos predecir las ventas de una compañía que seespecializa en la producción de equipos para recreación.

En la tabla 1.5.2 mostramos las ventas pasadas o históricas de esta compañía:

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Tabla 1.5.2: Ventas trimestrales de equipos para recreación entre 1988 y 1992.

Ventas x Trimestre (x$1.000.000)Año I II III IV1988 16 21 9 181989 15 20 10 181990 17 24 13 221991 17 25 11 211992 18 26 14 25

Como los datos de la tabla 1.5.2 están por trimestres, como primer pasodebemos desestacionalizar la serie temporal. Primero calculamos los promediosmóviles por el método razón de promedio móvil, para luego obtener el índiceestacional., estos se muestran en la tabla siguiente:

Tabla 1.5.3: Procedimiento para la determinación del índice estacional:

Total Móvil Total Móvil Promedio ÍndiceAño Trimestre Ventas 4 trimestres de 8 trim. Móvil (1) Estacional1988 I 16

II 2164

III 9 127 15.875 56.763

IV 18 125 15.625 115.262

1989 I 15 125 15.625 96.063

II 20 126 15.750 127.063

III 10 128 16.000 62.565

IV 18 134 16.750 107.569

1990 I 17 141 17.625 96.572

II 24 148 18.500 129.776

III 13 152 19.000 68.476

IV 22 153 19.125 115.077

1991 I 17 152 19.000 89.575

II 25 149 18.625 134.274

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III 11 149 18.625 59.175

IV 21 151 18.875 111.376

1992 I 18 155 19.375 92.979

II 26 162 20.250 128.483

III 14IV 25

El paso siguiente consiste en organizar los índices obtenidos en la última columnade la tabla 5.3 y calcular la media modificada, con la cual obtenemos el nuevoíndice temporal .

Tabla 1.5.4 : Procedimiento para la obtención de la media modificada.

Año I II III IV1988 56.7 115.21989 96 127 62.5 107.51990 96.5 129.7 68.4 1151991 89.5 134.2 59.1 111.31992 92.9 128.4

Promedio 93.725 129.825 61.675 112.25Mediana 94.45 129.05 60.8 113.15

Desv. Estándar 3.236 3.118 5.076 3.639Coef. Var. 3.452 2.402 8.230 3.242

La suma de las medias modificadas es : 397,475, por lo que el factor de ajuste es

0063521475397

400 ,,

=

Tabla 5.5: Procedimiento para el cálculo del índice temporal modificado.

Media Constante de IndiceTrimestre Modificada Ajuste Temporal

I 93,725 X 1,006352 94,32II 129,825 X 1,006352 130,65III 61.675 X 1,006352 62,07IV 112.25 X 1,006352 112,96

Total 400

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Tabla 1.5.6: Procedimiento de desestacionalización de datos.

Indice Temp. VentasAño Trimestre Ventas 100 Desestacionalizada1988 I 16 0.9432 16.96

II 21 1.3065 16.07III 9 0.6207 14.50IV 18 1.1296 15.93

1989 I 15 0.9432 15.90II 20 1.3065 15.31III 10 0.6207 16.11IV 18 1.1296 15.93

1990 I 17 0.9432 18.02II 24 1.3065 18.37III 13 0.6207 20.94IV 22 1.1296 19.48

1991 I 17 0.9432 18.02II 25 1.3065 19.14III 11 0.6207 17.72IV 21 1.1296 18.59

1992 I 18 0.9432 19.08II 26 1.3065 19.90III 14 0.6207 22.56IV 25 1.1296 22.13

Con las ventas desestacionalizada estamos ahora en condiciones de obtener lalínea de tendencia desestacionalizada, para ello emplearemos excel

Estadísticas de la regresiónCoeficiente de correlación múltiple 0.83129099Coeficiente de determinación R^2 0.6910447R^2 ajustado 0.67388052Error típico 1.28463688Observaciones 20

ANÁLISIS DE VARIANZA

Grados de libertad

Suma de cuadrados

Promedio de los

cuadrados FValor crítico

de FRegresión 1 66.4421654 66.4421654 40.260856 5.6017E-06Residuos 18 29.7052546 1.65029192Total 19 96.14742

Coeficientes Error típico Estadístico t Probabilidad Inferior 95% Superior 95%Intercepción 14.7140526 0.59675424 24.6568044 2.5265E-15 13.4603175 15.9677877X 0.31609023 0.04981608 6.34514429 5.6017E-06 0.21143044 0.42075001

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De la salida excel vemos que nuestro modelo estimado es:

XY 3161071414 ,,ˆ +=

Supongamos ahora que deseamos realizar estimaciones de las ventas paratodos los trimestres de 1993 ¿cuáles serían los pasos a seguir?

1.- Debemos determinar los valores desestacionalizados de las ventas para loscuatro trimestres de 1993 mediante el uso de la ecuación de tendencia

XY 3161071414 ,,ˆ += . Esto requiere obviamente de la codificación de loscuatros trimestres de 1993.Como los trimestres históricos fueron codificados correlativamente de 1 a 20,entonces a los trimestres de 1993 le corresponden los códigos 21, 22, 23 y 24respectivamente. Sustituyendo estos valores en la ecuación de la tendenciatenemos que:

352121316107141421 ,)(.,ˆ =+=Y662122316107141422 ,)(.,ˆ =+=Y982123316107141423 .)(.,ˆ =+=Y302224316107141424 ,)(.,ˆ =+=Y

Cada uno de estos valores estimados de ventas para los cuatro trimestres delaño 1993 se encuentran sobre la línea de tendencia.

2.- Ahora debemos estacionalizar esta estimación multiplicándola por el índiceestacional correspondiente a cada trimestre, expresado como una fracción de100, así los nuevos valores son:

21,35 x 0,9432 =20.1421,66 x 1,3065= 28.3021.98 x 0,6207 = 13.6422,30 x 1,1296 = 25.19

Sobre la base de este análisis, la compañía estima que las ventas portrimestre para 1993 serán de $20.140.000, $28.300.000, $13.640.0000 y$25.190.000 respectivamente. A continuación en la figura 7 podemos apreciar laserie original junto a su proyección para cada trimestre de 1993.

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Figura 1.5.7: Serie original junto a la proyección de ventas para 1993.

Para finalizar con esta primera parte, se dejará el siguiente ejercicio para suanálisis.

Ejercicio: Los datos que a continuación se muestran corresponden a registrosmensuales de automóviles nuevos

1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991ene 781 913 800 774 733 619 599feb 790 822 671 810 722 657 590mar 927 848 829 919 833 773 669abr 936 906 895 852 843 751 675may 912 918 830 874 885 819 744jun 923 1012 963 981 950 858 792jul 949 934 899 883 830 779 755

ago 926 894 903 901 880 777 675sep 1105 1149 955 937 956 825 737oct 973 948 819 807 800 787 692nov 828 719 718 764 666 683 610dic 849 902 901 896 694 683 628

05

1015202530

I1988

III I1989

III I1990

III I1991

III I1992

III I1993

III

Ventas Estimación