señales digitales tran z
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6.1 Señales
Las señales pueden describir una variedad muy amplia de fenómenos físicos, y
aunque se pueden representar de muchas formas, en todo caso la información
dentro de una señal está contenida en un patrón de variaciones de alguna
forma.
Por ejemplo, el mecanismo vocal humano produce el habla mediante la
creación de fluctuaciones de la presión acústica. Así, los diferentes sonidos
corresponden a diferentes patrones en las variaciones de la presión acústica, y
el sistema vocal humano produce una voz inteligible generando secuencias
diferentes de esos patrones. Las variaciones de presión acústica se convertirán
después en señal eléctrica.
Es decir, una señal no va a ser más que una función de una o unas variables
independientes que contiene información acerca de la naturaleza o
comportamiento de algún fenómeno. Así, por ejemplo, la señal de voz se
representa de forma matemática por la presión acústica como una función del
tiempo.
Hay dos tipos básicos de señales, de tiempo continuo y de tiempo discreto.
En el caso de las señales de tiempo continuo la variable independiente es
continua y entonces estas señales están definidas para una sucesión continua
de valores de la variable independiente.
De otra parte, las señales de tiempo discreto están sólo definidas en tiempos
discretos y en consecuencia para estas señales, la variable independiente toma
solo un conjunto de valores discretos.
Ejemplo de señales de tiempo continuo es una señal de voz como función del
tiempo y la presión atmosférica como función de la altitud.
Para distinguir entre las señales de tiempo continuo y las de tiempo discreto se
usarán los símbolos t y n respectivamente. Además, para las señales de
tiempo continuo la variable independiente se encerrará entre paréntesis y para
las de tiempo discreto se usará el corchete.
Una señal o secuencia de tiempo discreto x[n] puede representar un fenómeno
para el cual la variable independiente es inherentemente discreta. También
puede representar muestras sucesivas de un fenómeno para el cual la variable
independiente es continua.
Por ejemplo, el procesamiento de la voz en una computadora digital requiere
del uso de una secuencia discreta que represente los valores de la señal de
voz de tiempo continuo en puntos discretos en el tiempo.
Sin embargo, no importa cual sea el origen de los datos, la señal x[n] está
definida solo para valores enteros de n.
Ejemplo 1.
La temperatura promedio diaria en la ciudad de Medellín, medida en una
semana, es una función de variable discreta y se puede representar
gráficamente, veamos: Supongamos que la función está descrita por la
siguiente secuencia: {20,25,23,26,24,21,25}.
A continuación representamos gráficamente la función.
6.2 Transformaciones de la variable independiente
En muchas situaciones es importante considerar señales relacionadas
mediante una modificación de la variable independiente. Por ejemplo, como se
muestra en la figura siguiente, la señal x[-n] se obtiene a partir de x[n]
mediante una reflexión alrededor de n = 0.
Similarmente, en la figura siguiente, x(-t) se obtiene a partir de x(t) mediante
una reflexión alrededor de t = 0. Esto es, si x(t) representa una señal de audio
en una grabadora de cinta, entonces x(-t) es la misma grabación pero
representada en sentido contrario.
Igualmente, x(2t) seria la grabación reproducida al doble de velocidad y x(t/2) la
grabación reproducida a media velocidad.
Otro ejemplo es una transformación en la que se tienen dos señales y
que son idénticas en forma pero que están desplazadas o corridas
una con respecto a la otra. De forma similar representa una versión
de x(t) desplazada en el tiempo.
Una señal o es una señal par si es idéntica a su reflexión alrededor
del origen, es decir, si:
ó
Una señal es impar si:
ó
Un hecho importante es que cualquier señal se puede separar en la suma de
dos señales, una de las cuales es par y la otra es impar. Así :
Donde la primera expresión es una señal par y la segunda expresión es una
señal impar.
Nos limitaremos en este capítulo a señales en tiempo discreto.
6.3 Señales básicas de tiempo discreto.
Definiremos el escalón unitario de tiempo discreto como:
La secuencia se muestra así:
Definimos la muestra unitaria de tiempo discreto así:
La gráfica es, entonces:
La muestra unitaria de tiempo discreto posee muchas propiedades.
Así:
o sea que el impulso unitario de tiempo discreto es la primera diferencia del
escalón de tiempo discreto.
En general dada una secuencia cualquiera x[n], podemos representarla en la
forma siguiente:
El escalón unitario de tiempo discreto es la sumatoria de la muestra unitaria.
Ejemplo 2.
Representar gráficamente las siguientes funciones:
6.4 Señales de tiempo discreto exponencial compleja y senoidal.
Al igual que en tiempo continuo, una señal importante en tiempo discreto es la
señal o secuencia exponencial compleja definida por: donde C y
son en general números complejos.
De forma alterna ésta se puede expresar como: donde Si C
y son reales se tiene:
la señal crece en forma exponencial.
se tiene una exponencial decreciente.
Si es positiva todos los valores de son del mismo signo,pero si es negativa, entonces se alterna el signo de .
Si = 1, es constante, mientras que si = -1 el valor de se alterna entre C y -C.
Otra exponencial compleja importante se obtiene cuando y forzando
que sea imaginaria pura.
Sea, como en el caso continuo, esta señal está muy relacionada
con:
Si se escribe ; se obtiene:
Así para , las partes real e imaginaria de una secuencia exponencial
compleja son senoidales.
Para corresponden a secuencias senoidales multiplicadas por una
exponencial decreciente; para son secuencias senoidales multiplicadas
por una exponencial creciente.
Veamos las propiedades de periodicidad de
Consideremos la exponencial compleja con frecuencia:
O sea, que en tiempo discreto la señal con frecuencia es idéntica a las
señales con frecuencia: ; , etc.
Por tanto, al considerar las exponenciales de tiempo discreto se necesita tomar
en cuenta solamente un intervalo de longitud 2 dentro del cual se escoge
Por lo general:
Ahora, para que sea periódica con período N > 0 se debe cumplir que:
Es decir que o sea que debe ser múltiplo de
Por tanto,
Por lo anterior, no es periódica para valores arbitrarios de ; sólo es periódica si
es un número racional.
Como en el caso continuo se definirá la frecuencia fundamental como o sea
que
Período fundamental es .
Veamos en una tabla las siguientes diferencias entre y
m y N no tienen factores en común.
Ejemplo 3.
Represente gráficamente las siguientes funciones de variable discreta.
1. x(n) = 2n( u(n) - u(n - 5)).
2. y(n) = 2n u(n).
3. z(n) = (-1)n (0.8)n u(n).
4. w(n) = z(n 2).
Ejemplo 4.
Considere la siguiente función de variable discreta:
Represente gráficamente: magnitud, fase, parte real y parte imaginaria.
Observe que tanto la parte real como la parte imaginaria son sinusoidales
amortiguadas similares a las que se manejan en variable continua.
Para representar la parte imaginaria dibujamos la función y la
multiplicamos por la magnitud.
Ejercicios 6.4
1. Verifique los siguientes resultados:
2. Genere y grafique los términos de las siguientes secuencias.
3. Usando la función impulso unitario, represente las secuencias siguientes:
4. Una secuencia x[n] está representada por x[n]=u[n+1]-u[n-4]+0.5 [n-4].
a) Representarla gráficamente.
b) Representar gráficamente x[-n], x[n2], x[n - 1] [n - 3], 0.5(-1)nx[n].
5. Considere la secuencia siguiente:
a) Representarla gráficamente.
b) Muestre que h[n]puede expresarse en la forma:
c). Muestre que h[n] puede expresarse en la forma h[n] =
d) Represente gráficamente la función S[n] = h[n + 2] +h[-1 - n].
6. Dibuje la parte par y la parte impar de las siguiente secuencias:
a) x[n] = [n + 2] + 2[n + 1] + 3[n] + [n - 7].
b) y[n] = -[n + 4] + 2[n + 3] + 2[n + 2] + 2[n + 1] + [n] + 2[n - 1] - [n - 3].
7. Muestre que si x[n] es una secuencia impar entonces:
8.Muestre que x[n] es impar y y[n] es impar, entonces que x[n]y[n] es impar,
9. Muestre que:
10. Si la parte par de una secuencia está dada por xp[n] = [n + 3] + 2[n + 2] +
4[n + 1] + 16[n] + 4[n - 1] + 2[n - 2] + [n - 3] y si x[n] = 0 para n 0,
determinar x[n]y represéntelo gráficamente.
11. Dada la secuencia x[n] = [n + 4] + [n + 3] + 2[n + 2] + [n + 1] + 2[n] +
[n - 1] + 2[n - 2] + [n - 3] + [n - 4]
a) Represente y[n] = x[2n]
6.5 Sistemas.
Un sistema se puede ver como cualquier proceso que produce una
transformación de señales. Entonces un sistema tiene una señal de entrada
una señal de salida la cual está relacionada con la entrada a través de la
transformación del sistema.
Nos interesan tanto sistemas en tiempo continuo como en tiempo discreto.
Un sistema de tiempo continuo es aquel en el que las señales de entrada de
tiempo continuo son transformadas en señales de salida de tiempo continuo.
Tales sistemas se señalan en forma gráfica como:
De forma similar, un sistema de tiempo discreto, transforma entradas de tiempo
discreto en salidas de tiempo discreto, así:
Los sistemas se pueden conectar en serie, en paralelo, o en serie – paralelo
como en los diagramas siguientes:
El símbolo denota que la suma o adición es la suma de la salida de los
sistemas.
Se pueden diseñar sistemas para, por ejemplo, calcular expresiones
aritméticas complicadas, como el que ilustra el siguiente diagrama para el
cálculo de:
Otro tipo de sistema es la interconexión de retroalimentación como en la
siguiente figura.
Acá la salida del sistema 1 es la entrada al sistema 2, mientras que la salida del
sistema 2 se retroalimenta y se suma a la entrada externa para producir la
entrada actual al sistema 1.
6.5.1 Sistemas con y sin memoria.
Se dice que un sistema es sin memoria si su salida para cada valor de su
variable independiente depende sólo de la entrada en ese mismo instante de
tiempo. Por ejemplo el sistema que ilustra la ecuación:
es sin memoria, ya que el valor de y[n] en un instante n depende sólo del valor
de x[n] en ese mismo instante.
Un resistor es un sistema sin memoria, así la relación entrada - salida es de la
forma:
Donde R es resistencia, x(t) es corriente y y(t) es voltaje.
Un ejemplo de un sistema con memoria es:
Otro ejemplo es:
Un capacitor es otro ejemplo de un sistema con memoria, ya que
Donde C es capacitancia, x(t) es corriente y y(t) es voltaje.
6.5.2 Invertibilidad.
Se dice que un sistema es invertible si distintas entradas producen distintas
salidas. Dicho de otra forma, un sistema es invertible si al observar su salida
podemos determinar la entrada.
Por ejemplo, , entonces su sistema inverso es .
Al interconectarlos en serie se obtiene la entrada original como salida.
Otro ejemplo de sistema invertible es el dado por la ecuación:
Para este sistema, la diferencia entre dos valores sucesivos de salida es
precisamente el último valor de entrada. Por tanto, en este caso el sistema
inverso es:
6.5.3 Causalidad.
Un sistema es causal si su salida en cualquier instante de tiempo depende sólo
de los valores de la entrada en el tiempo presente y en el pasado. Tal sistema
es llamado no anticipativo, ya que la salida no anticipa valores futuros de la
entrada.
El movimiento de un automóvil es causal ya que no anticipa acciones futuras
del conductor.
6.5.4 Estabilidad.
Intuitivamente, un sistema estable es aquel en el que entradas pequeñas
conducen a respuestas que no divergen.
Es decir, si la entrada a un sistema es limitada, entonces la salida debe ser
también limitada y por tanto no debe diverger.
6.5.5 Invarianza en el tiempo.
Un sistema es invariante en el tiempo si un desplazamiento en tiempo de la
señal de entrada causa un desplazamiento en tiempo de la señal de salida.
Es decir, si y[n] es la salida cuando x[n] es la entrada, entonces y[n-n0] es la
salida cuando se aplica x[n-n0].
Ejemplo: sea y(t)=sen x(t)
Sean x1(t) y x2(t)= x1(t - to) dos entradas desplazadas en el tiempo.
Entonces el sistema es variante en el tiempo.
6.5.6 Linealidad.
Un sistema lineal en tiempo continuo o tiempo discreto, es aquel que posee la
importante propiedad de superposición: Si una entrada consiste de la suma
ponderada de varias señales, entonces la salida es sólo la superposición, esto
es, la suma ponderada de las respuestas del sistema a cada una de estas
señales.
Matemáticamente, el sistema es lineal si:
Ejemplos de sistemas no lineales son los descritos por:
Por último, un sistema incremental lineal de tiempo continuo o discreto es aquel
que responde de manera lineal a cambios de entrada.
Esto es, la diferencia entre las respuestas de un sistemas incremental lineal a
cualquiera de dos entradas es una función lineal de la diferencia entre las dos
entradas.
Hay que observar que y[n]=2x[n]+3 no es lineal.
Ejercicios 6.5
1. En el sistema descrito por z[n] = y[n] - y[n - 1], analizar:
a) LInealidad.
b) Invarianza en el tiempo.
c) Causalidad.
d) ¿El sistema tiene memoria?
e) Estabilidad.
2. En el sistema descrito por:
analizar los mismos aspectos del problema anterior.
3. En las siguientes secuencias, para que valores de la variable independiente
la parte par de la señal es cero
4. Dada la señal discreta , determine los valores de los enteros M y n0 de manera que x[n] se exprese como x[n] = u[Mn - n0].
5. Considere un sistema S con entrada x[n] y salida y[n] obtenido mediante la
conexión en serie de y
, donde x1[n] y x2[n] denotan señales de entrada. Determine la relación entrada-salida del sistema S.
6. Sea un sistema discreto cuya relación entrada salida es:
a) ¿ El sistema es sin memoria?.
b) Determine la salida del sistema cuando la entrada es A [n], donde A es un
número real o complejo.
c) ¿El sistema es invertible?
7. Considere un sistema discreto con entrada x[n] y salida y[n] relacionadas
mediante , donde no es un entero positivo finito.
a) ¿ El sistema es sin lineal?.b) ¿ El sistema es invariante en el tiempo?.
8. Determine cuál de las siguientes señales es o no periódica. Si la señal es
periódica, determine su periodo fundamental.
9. Cuál de los siguientes sistemas es invertible. Si alguno lo es, construya el
sistema inverso. Si no, encuentre dos señales de entrada al sistema que den la
misma salida.
10. Considere un sistema S con entrada x[n] y salida y[n] relacionadas
mediante y[n]=x[n](g[n]+g[n-1])
a) Si g[n]=1 para toda n, demuestre que S es invariante en el tiempo.
b) Si g[n]=n para toda n, demuestre que S no es invariante en el tiempo.
c) Si g[n]= 1+(-1)n para toda n, demuestre que S es invariante en el tiempo.
d) En todos los casos anteriores, ¿el sistema será lineal?.
7.1 Sistemas lineales Invariantes.
En el capítulo sexto se estudiaron diversas propiedades de los sistemas. Dos
de ellas, la linealidad y la invarianza con el tiempo juegan un papel fundamental
en el análisis de señales y sistemas, debido a que muchos fenómenos físicos
se pueden modelar mediante sistemas lineales invariantes con el tiempo.
Un problema fundamental en el análisis de sistemas es hallar la respuesta a
una entrada determinada. Esto se puede obtener mediante ecuaciones en
diferencias o explotando el hecho de la linealidad e invarianza en el tiempo. De
lo anterior surge el concepto de sumatoria de convolución.
Un sistema lineal invariante se puede formular mediante una ecuación en
diferencias de coeficientes constantes, la cual presenta la forma general
siguiente: .
Resolver la ecuación en diferencias consiste en encontrar una expresión para
y[n], es decir, generar la secuencia: {y(0), y(1), y(2), ....,y(N),...}
Antes de estudiar apropiadamente los métodos de solución de una ecuación en
diferencias, presentaremos algunas propiedades importantes de los sistemas
lineales invariantes.
7.2 Propiedades de los sistemas lineales invariantes.
7.2.1 Superposición.
El principio de superposición establece que:
a) Si un sistema se excita con K veces una función, la respuesta es K veces la
respuesta original.
b) Si el sistemas se excita con la suma de dos funciones, la respuesta es la
suma de las respuestas individuales.
Entrada Salida
x[n] y[n]
Kx[n] Ky[n]
Kx1[n] + Kx2[n] Ky1[n] + Ky2[n]
7.2.2 Desplazamiento.
Si la excitación de un sistema lineal invariante se traslada en el tiempo,
entonces la respuesta se traslada en la misma cantidad:
Entrada Salida
x[n-n0] y[n-n0]
7.2.3 Respuesta natural.
Es la respuesta de un sistema cuando se excita con el impulso digital unitario.
La denotamos por: h(n).
7.2.4 Convolución.
Cuando un sistema lineal invariante se excita con una señal cualquiera: x(n), la
respuesta es la convolución entre la entrada y la respuesta natural, así:
y[n] = conv( x[n] , h[n] ) .
La convolución de dos funciones de variable discreta: x[n] y h[n], se define de la
siguiente manera:
A continuación se presenta una deducción poco rigurosa de la sumatoria de
convolución de dos funciones.
Supongamos que la respuesta al impulso unitario es h[n], esto es:
Ahora aplicamos la importante propiedad de la función impulso:
Ahora bien, si sumamos las entradas correspondientes a k desde menos
infinito hasta infinito, tenemos:
Teniendo en cuenta que la entrada así expresada corresponde a la función:
x[n], obtenemos finalmente que:
Entrada Salida
x[n] y[n]=conv(x[n],h[n])
Ejemplo 1.
Encuentre la fórmula para expresar la siguiente
suma:
Restando las expresiones anteriores, tenemos:
Ejemplo 2.
Encuentre una fórmula para la suma:
Hacemos uso de la fórmula encontrada previamente, teniendo en cuenta que la suma dada se puede escribir como:
De lo anterior podemos concluir que si , la sumatoria llevada hasta el infinito es convergente y está dada por:
Ejemplo 3.
Si la señal de entrada se aplica a un sistema lineal, causal e
invariante con el tiempo la salida es para n >=2.
Encontrar la respuesta al impulso, h(n) del sistema.
Solución:
Por definición, h(n) es la respuesta del sistema a la entrada Como el
sistema es lineal e invariante con el tiempo, se tiene:
x (n+2) = 3 , o sea que = 1/3 x (n+2). Como la convolución de h(n)
con es por definición igual a h(n) , se tiene que h(n) = 1/3 y (n+2).
La salida se puede expresar en la siguiente forma:
De forma que
Ejemplo 4.
Encuentre la convolución entre las funciones:
a) h(n)= 2-n .u(n)) y x1(n)= u(n) .Represéntela gráficamente
b) h(n)= 2-n .u(n)) y x2(n)= u(n) -u(n-5).Represéntela gráficamente
Hacemos la correspondientes asignaciones.
Podemos calcular las convoluciones de manera simbólica, asi:
Puede notarse que u(n - k)=1 para K = 0,1,2,....n con lo que podemos escribir;
Simplificando y denotando la convolución por y1(n), se obtiene y1[n]= 2(1-2-
(n+1))u(n).
Para el caso b), se obtiene: x2[n]= u(n)-u(n-5).
Por tanto, usando la propiedad de traslación y el resultado anterior, tenemos:
y2[n]= y1[n]-y1[n-5].
y2[n]= 2(1-2-(n+1))u(n)- 2(1-2-(n-5+1))u(n-5).
Simplificado, se encuentra que: y2[n]= 2(1-2-(n+1))u(n)- 2(1-24-n)u(n-5).
Si se hacen las correspondientes asignaciones, se tiene que:
y1[n]= 2(1-2-(n+1))u(n).
y2[n]= 2(1-2-(n+1))u(n)- 2(1-24-n)u(n-5).
Ejemplo 5.
En un sistema lineal e invariante con el tiempo, determine y(n) sabiendo que:
Solución.
Se sabe que u(m) u( n-m) =1 para y 0 para otra asignación.
Se sabe que u(m-7) u(n-m) = 1 para y 0 para otra asignación.
Por tanto
Cuando la excitación es u(n-5), la respuesta será y (n-5). Por tanto, para la
excitación dada, la respuesta es:
Ejercicios 7.2
1. Sean
calcule las siguientes convoluciones:
a) x [n]* h[n]
b) x [n]* h[n-2]
c) x[n-2]* h[n]
2. Considere una entrada y una respuesta al impulso unitario dado por
determine y dibuje la salida y[n] .
3. Calcule y dibuje y[n] = x[n] * h[n] donde
4. Sea es un entero.
Determine y[n] = x[n] * h[n] si y[4] = 5 y y[14] = 0
5. Un sistema lineal invariante con el tiempo se excita con el impulso digital
unitario y su respuesta es Determine y[k]
sabiendo que
x[k]= u(k)-u(k-4). Represente x[k] y
6. Un sistema lineal S tiene la relación donde g[n]=u(n)-u(n-4).
Determine y[n] cuando:
7. Considere el sistema discreto cuya respuesta al impulso
es
Determinar el entero A tal que
8. En el sistema lineal invariante cuyas respuestas al impulso son:
¿Cuales corresponden a sistemas causales y cuales a sistemas estables?
7.3 Ecuaciones en Diferencias Lineales con Coeficientes Constantes
7.3.1. Introducción
Una ecuación en diferencias lineal de coeficientes constantes de orden N se puede expresar en forma general:
a0 y[n] + a1.y[n+1] + .... + an.y[n+N] = b0.x[n] + b1.x[n+1] + ... + bMx[n+M].
Haciendo uso del operador desplazamiento, esto es, E.y [k]= y[k+1], podemos
escribir la ecuación de una manera simbólica, así.
(aN.En + aN-1. EN-1 + .... + a1.E + a0).y[n] = (bM.EM + ... + b1.E + b0).x[n]
Es bueno observar la equivalencia entre una ecuación en diferencias con las
ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes. Nótese la
analogía entre el operador D de las ecuaciones diferenciales y el operador E de
la ecuación en diferencias.
El siguiente razonamiento permitirá aclarar lo relativo al operador E, conocido
como operador desplazamiento hacia adelante.
E·y[k] = y[k+1]
E·(E·y[k]) = E?y[k+1] = y[k+2]
E2·y{k] = y[k+2]
Continuando con este procedimiento, se encuentra que: EN·y[n] = y[n + N]
7.3.2 Solución de manera recursiva.
Nuestro objetivo es resolver la ecuación en diferencias de segundo orden:
{y{0],y[1], y[2], ... , y[N-1], y[N], y[N+1], ...}, conocidos los primeros N valores de
la secuencia , es decir, desde y[0] hasta y[N-1].
Ejemplo 6.
Resuelva de manera recursiva la ecuación en diferenciales de segundo orden:
2y(n+2)-3y(n+1)+y(n)=0, conocidos los valores: y(0) = 1, y(1) = -1 y represente
gráficamente la solución en el dominio: 0 <= n <= 10.
Primero que todo despejamos y[n+2], así:
Nota: Indistintamente utilizaremos las siguientes dos notaciones: y[n+k] y yn+k
Se sabe que y0=1 y y1 =-1, despejamos y[n+2].
Reemplazando diversos valores de n en la ecuación anterior se obtiene la siguiente tabla.
Observe que la secuencia converge al valor menos tres a medida que n aumenta.
Ejemplo 7.
Resuelva la ecuación en diferencias: 2 y[n+2] – 3y[n+1] + y[n] = , sabiendo que y[0] = 0, y[1] = 1
Reemplazando diversos valores de n en la ecuación anterior, se obtiene la
siguiente tabla.
7.4 Solución de la ecuación homogénea de segundo orden.
La forma general de una ecuación en diferenciales de segundo orden y
homogénea es la siguiente:
(a2.E2 + a1.E + a0).y[n] = 0
Suponemos que la ecuación tiene soluciones de la forma exponencial, así:
Se toman los dos primeros desplazamientos y se sustituyen en la ecuación.
A partir de la identidad anterior obtenemos la ecuación característica, la cual es
una ecuación cuadrática que posee dos soluciones, a saber:
De acuerdo con el discriminante, las dos soluciones pueden ser:
a) Reales y diferentes, en cuyo caso la solución general es una combinación
lineal de las funciones:
b) Reales iguales, en cuyo caso las dos soluciones son iguales y, por lo tanto
se hace necesario encontrar la segunda solución. Puede mostrarse que la
solución general de la homogénea en este caso es:
c) Complejas conjugadas, es decir .
En este caso, la solución general de la homogénea es:
<
Ejemplo 8.
Encuentre la solución general para cada una de las siguientes ecuaciones en
diferencias:
a) (2 E2 + 3 E + 1) y(n) = 0
b) (4 E2 + 4 E + 1) y(n) = 0
c) (2 E2 + 2 E + 1) y(n) = 0
Resolvemos una por una de la siguiente manera
a) Las raíces de la ecuación característica son:
<
b) Las raíces de la ecuación característica son:
Ejemplo 9.
Para las ecuaciones del ejemplo anterior, tome las condiciones: y[0] = 1, y[1] = 0 y resuelva las ecuaciones por los dos métodos. Compare gráficamente las soluciones.
a) En este caso, la solución por recurrencia de la ecuación diferencial es:
Ahora lo resolvemos por el método descrito anteriormente, es decir, debemos
calcular las constantes.
Por el ejercicio anterior se sabe que
Como yc[0]=1 se tiene que c1 + c2 = 1 .
Como yc[1]=0 se tiene que -0.5 c1 - c2 = 0
Resolviendo el sistema, se tiene que c1=2 y c2=-1 . En consecuencia, la
solución explícita esta dada por:
yc[n]=(-1)n(2.2-n-1)
Observando la siguiente tabla, se puede ver que las dos soluciones son idénticas.
b) Según el ejercicio anterior, se tiene que yc[n]=(-1)n2-n(c1+c2n)
Como yc[0]=1; se tiene que c1=1.
Como yc[1]=0 se tiene que c1 + c2=0, o sea que c2=-1.
Por tanto yc[n]=(-1)n2-n(1-n).
La ecuación recursiva es . Observando la siguiente tabla, se puede ver que las soluciones son idénticas.
c)Según el ejercicio anterior, se tiene que Como yc[0]= 1 se tiene que c1=1.
Como yc[01n]= 0 se tiene que , de donde c2= 1.
Por consiguiente
Con y[0]= 1 y y[1]=0 , se tiene que la ecuación recursiva es
Observando la siguiente tabla, se puede ver que las soluciones son idénticas.
7.5 Ecuación en diferencias de segundo orden no homogénea
Para resolver la ecuación no homogénea de segundo orden, representada por
la expresión (a2E2 + a1E + a0) y(n) = F[n] , debemos sumar una solución
particular de esta ecuación, a la solución obtenida de resolver (a2E2 + a1E + a0)
y(n) = 0.
Para hallar la solución particular necesaria, empleamos el método de los
coeficientes indeterminados, comenzando con una combinación lineal arbitraria
de todos los términos independientes que se obtienen a partir de F[n] por
aplicación repetida del operador E.
Como en el caso de las ecuaciones diferenciales, si cualquier término de la
expresión elegida inicialmente para Yp es repetición de algún término de la
solución complementaria ( solución de la ecuación en diferencias homogénea),
éste y todos los términos asociados deben multiplicarse por la menor potencia
entera positiva de n, hasta eliminar toda duplicación.
El proceso a seguir es análogo al empleado para resolver ecuaciones
diferenciales de orden superior.
El procedimiento a seguir se resume en la siguiente tabla.
Ecuación en diferencias (a2E2 + a1E + a0) y(n) = F[n]
Cuando F[n] está formada por la suma de varios términos, la selección
apropiada para Yp es la suma de las expresiones Yp correspondientes a cada
uno de los términos por separado.
Ejemplo 10.
Hállese una solución completa de la ecuación en diferencias:
(E2 - 5E + 6) = n+2n.
Solución.
En este caso la ecuación característica es y a partir de sus
raíces , se halla la solución complementaria que es yc = c12n +
c2 3n
Para hallar una solución particular, se ensayaría normalmente con la
expresión
yp = An + B + C2n según la tabla anterior.
Como ocurre que el término C2n es repetición de un término de la solución
complementaria, debemos multiplicar C2n por n antes de incorporarlo a la
expresión que hemos elegido para yp.
Por lo tanto, yp tiene la forma siguiente: yp = An + B + Cn2n . Enseguida
sustituimos la anterior expresión en la ecuación en diferencias obteniéndose la
siguiente expresión:
2An + (-3A + 2B) - 2C2n = n + 2n
EJERCICIOS 7.5
1) Considere un sistema lineal invariante con el tiempo cuya entrada x[n]
y salida y[n] están relacionadas mediante la ecuación
en diferencias
2) Considere el siguiente sistema:
S1 y S2 son sistemas lineales invariantes en el tiempo y causales y
4) Encuentre la solución de la siguiente ecuación en diferencias
y[n+2] – 5y[n+1] +6y[n] = n + si y[0] = 0 y y[1] = 1.
5) Encuentre la solución de las siguientes ecuaciones en diferencias:
a) 4y[n+2] – 4y[n+1] + y[n] = n + 2n.
b) y[n+2] – 4y[n+1] + 4y[n] = 2n.
6) Encuentre la solución completa de las siguientes ecuaciones en
diferencias:
a) y[n+2] – y[n+1] + 6y[n] = n + 3n.
b) y[n+2] + y[n] = sen n .
c) y[n+2] +4y[n] = cos n .
d) y[n+2] – 3y[n+1] + 2y[n] = 2n + 2-n.
11.1 Introducción. La transformada Z es la contraparte en tiempo
discreto de la transformada de Laplace en tiempo continuo.
Tal como se señaló en el Capítulo 6, en la práctica aparecen muchas
señales de tiempo discreto mediante el muestreo de una señal de
tiempo continuo x(t).
En las secciones 11.2 y 11.3 se define la transformada Z de una señal
de tiempo discreto X[n] y después se estudian las propiedades
básicas de la transformada Z. En las secciones 11.4 y 11.5 se estudia
la transformada Z inversa y se utiliza el método de la transformada
inversa para la solución de ecuaciones en diferencias. Con el método
de la transformada Z, las soluciones a las ecuaciones en diferencias
se convierten en un problema de naturaleza algebraica.
La transformada Z hace posible el análisis de ciertas señales discretas
que no tienen transformada de Fourier en tiempo discreto;
pudiéndose demostrar que la transformada Z se reduce, a la
transformada de Fourier de tiempo discreto cuando la variable de
transformación es unitaria ó sea cuando |Z| = 1 .
11.2 La Transformada Z
La transformada Z de una secuencia en tiempo discreto X[n] se define
como:
donde Z es una variable compleja. Otra notación para la sumatoria es
Z( X[n] ). Si la secuencia es causal, la transformada Z se convierte
en :
Esta transformada se llama unilateral, para distinguirla de la primera
definición que toma el nombre de la transformada Z bilateral.
La transformada Z unilateral es de gran utilidad en el análisis de
sistemas causales, especificados por ecuaciones en diferencias, con
coeficientes constantes y con condiciones iniciales, es decir, aquellos
que en su inicio no se encuentran en reposo.
Ejemplo 1
Halle X[Z] si X[n]= [n].
Solución
Se define
por consiguiente,
o sea,
X[Z] = 1·Z0 = 1.
Ejemplo 2
Sea y sea X[n] la secuencia obtenida al muestrear X(t)
cada T segundos. Hallar X[Z].
Solución
Acá,
por consiguiente,
Sabiendo que
se tiene,
Sí el periodo de muestreo T = 1, se tiene
Ejemplo 3
Sea
Halle X[Z].
Solución
por tanto,
como
es una serie geométrica, la expresión para X[Z] sólo es válida sí
|1/3Z-1| < 1
ó sea que |Z-1| < 3, y por tanto |Z| > 1/3. La anterior ecuación, define
la región de convergencia de X[Z] en el plano complejo así:
Ejemplo 4
Dada X[Z] como,
Halle X[Z].
Solución
Si se hacen los siguientes cambios de variables:
n = -m en la primera sumatoria
n = 2m en la segunda sumatoria
n = 2m + 1 en la tercera sumatoria se tiene :
Se trata de tres series geométricas que convergen sí:
|1/3Z| < 1 o sea |Z| < 3
|1/9Z-2| < 1 o sea |Z| > 1/3
|1/4Z-2| < 1 o sea |Z| > 1/2
El intervalo de convergencia de X[Z] será la intersección de los tres
intervalos anteriores, o sea 1/2 < |Z| < 3.
por tanto:
Ejemplo 5
Si X[n] = U[n] , halle X[Z].
Solución
Se sabe que:
por tanto,
que es una serie geométrica que converge si |Z-1| < 1 o sea si |Z| > 1.
Ejemplo 6
Halle la transformada Z de
Siendo a una constante.
Solución
converge si |aZ-1| o sea si |Z| > a.
Ejemplo 7
Si
y sea X[n] la secuencia obtenida al muestrear X[t] cada T segundos.
Halle X[Z].
Solución
Se sabe que
por tanto,
por el ejemplo 2, se sabe que la transformada de X[n]=l-ant es
por tanto, en este caso se tiene:
En la siguiente tabla se escriben las transformadas Z de las
principales secuencias discretas.
X[n] con n ≥ 0 X[Z]Radio de Convergencia |Z|
> R
[n] 1 0
Z-m 0
U[n] 1
n 1
n2 1
an |a|
nan |a|
(n+1)an |a|
1
1
11.3 Propiedades de la Transformada Z
11.3.1 Linealidad. Si X1[n] y X2[n] son dos secuencias discretas con
transformadas X[Z] y X2[Z], entonces:
Z(a1X1[n]+a2X2[n])=a1X1[Z]+a2X2[Z]
siendo a1 y a2 constantes arbitrarias.
11.3.2 Desplazamiento temporal.Sea X[n] una secuencia causal
con transformada X[Z]. Entonces, dado cualquier entero n0>0, se
tiene :
Simultáneamente, se puede demostrar que
Ejemplo 8
Considere la ecuación en diferencia y[n]-1/2y[n-1]=[n] y la condición
inicial y[-1]=3. Halle y[n] para n0.
Solución
Tomando transformada Z a ambos lados de la ecuación, y usando la
propiedad de desplazamiento temporal, se tiene:
Y[Z]-1/2Z-1(Y[Z]+y[-1]Z)=1
Por tanto,
Usando la tabla de transformadas, se tiene que: y[n]=5/2(1/2)n
11.3.3 Multiplicación por an. Si X[Z] es la transformada Z de X[n],
entonces la transformada Z de anX[n] está dada por X[a-1Z].
Demostración
En los teoremas anteriores, estamos suponiendo que X[n]=0 para
n<0.
Ejemplo 9
Halle la transformada Z de X[n]=anU[n].
Solución
Como la trasformada de U[n] es
es decir
entonces
11.3.4 Diferenciación con respecto a Z. Si se deriva la expresión
que es la transformada Z de una secuencia causal X[n], respecto a Z
se tiene:
De la expresión anterior se deduce que:
Se puede demostrar, derivando sucesivamente, que:
Ejemplo 10
Sea y[n]=n(n+1)U[n], halle y[Z].
Solución
y[n] se puede escribir como y[n]=n2U[n]+nU[n]
Aplicando el teorema anterior se tiene:
Por tanto,
11.3.5 Teorema del Valor inicial. Dada una secuencia causal X[n]
se tiene que
Desarrollando la sumatoria, se tiene que
X[Z]=X[0]+X[1]Z-1+ ... +X[n]Z-n
Se puede observar que cuando Z tiende a infinito, Z -n tiende a cero
para todo n, por tanto,
Ejemplo 11
Halle el valor inicial de una secuencia X[n] cuya transformada Z es
Solución
Se puede observar que X[n]=U[n]
11.3.6 Teorema del Valor final. Sea X[n] una secuencia causal. El
valor final de X[n], esto es, el valor de X[n] a medida que n tiende a
infinito se puede dar por la siguiente expresión:
siempre que el valor final exista, o sea que exista X[n] cuando n
tiende a infinito.
La demostración se deja al lector.
Ejemplo 12
Halle el valor final de una secuencia X[n] cuya transformada Z es:
Solución
Aplicando el Teorema del Valor final se tiene:
Hay que hacer notar que
es la transformada Z de X[n]=4-nU[n]
11.3.7 Convolución. La convolución de dos secuencias causales
X[n] y y[n] no es más que el producto normal de las transformadas Z
de ambas secuencias, es decir, X[n]*y[n]=X[Z]y[Z]
En particular, si X[n] es la entrada de un sistema lineal invariante con
el tiempo y h[n] es la respuesta al impulso, entonces se tendrá que:
Z[X[n]*h[n]]=y[Z]=X[Z]H[Z]
donde H[Z] es la transformada de h[n].
Para obtener la salida y[n] bastará hallar la transformada inversa de
y[Z] .
Ejemplo 13
Dadas las secuencias X[n]={1,3,-1,-2} y la respuesta la impulso
h[n]={1,2,0,-1,1}en un sistema lineal invariante con el tiempo.
Hallar la salida y[n].
Solución
y[n]=X[n]*h[n]
Aplicando la propiedad de convolución se tiene que:
y[Z]=X[Z]H[Z] donde
X[Z]=1+3Z-1-Z-2-2Z-3
H[Z]=1+2Z-1-Z-3+Z-4
Por tanto y[Z]=1+5Z-1+5Z-2-5Z-3-6Z-4+4Z-5+Z-6-2Z-7
Por tanto, la secuencia de salida es: y[n]={1,5,5,-5,-6,4,1,-2}
11.4 La Transformada Z inversa. La transformada Z en sistemas
de control de tiempo discreto juega el mismo papel que la
transformada de Laplace en sistemas de control de tiempo continuo.
Para que la transformada Z sea útil, se debe estar familiarizado con
los métodos para hallar la transformada Z inversa.
La notación para la transformada Z inversa será Z-1. La transformada
Z inversa de X[Z] da como resultado la correspondiente secuencia
X[n].
Existen cuatro métodos para obtener la transformada Z inversa y
serán:
1. Método de la División Directa.2. Método Computacional.3. Método de expansión en fracciones parciales.4. Método de la Integral de inversión.
El método de la división directa proviene del hecho de que si X[Z]
está expandida en una serie de potencias de Z-1, esto es sí
entonces X[n] es el coeficiente de Z-k y por consiguiente, los valores
de X[n] se pueden hallar por inspección para n= 0, 1, 2,...
Ejemplo 14
Halle X[n] para n = 0, 1, 2, 3, 4, cuando
Solución
Dividiendo el numerador por el denominador se obtiene:
X[Z]=10Z-1+17Z-2+18.4Z-3+18.68Z-4+ ...
Al comparar esta expansión X[Z] en una serie infinita
se obtiene: X[0]=0, X[1]=10, X[2]=17, X[3]=18.4, x[4]=18.68
En la mayoría de los casos no resulta tan sencillo identificar el
término general mediante la observación de algunos valores de la
secuencia.
El método mas utilizado es la descomposición en fracciones parciales
de X[Z]. En vista de la unicidad de la transformada Z, se puede
utilizar la tabla de parejas de transformadas para identificar las
secuencias correspondientes.
Ejemplo 15
Halle la transformada inversa de
mediante el método de expansión en fracciones parciales.
Solución
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que:
Usando una tabla de transformadas, se tiene que:
X[n]=9n2n-1-2n+3 para n = 0, 1, 2,...
Ejemplo 16
Halle la transformada inversa de
Solución
Expandiendo en fracciones parciales, se tiene que:
Utilizando una tabla de transformadas y el teorema de
desplazamineto temporal podemos ver que X[n] = 2n-1U[n-1] - [n-2] -
[n-1]
Por tanto
11.5 Método de Transformada Z para la solución de
ecuaciones en diferencias.
Dada una ecuación en diferencias de orden n, utilizamos las
propiedades de la transformada Z, en especial las de linealidad y
desplazamiento, para transformarla en una ecuación algebraica.
La siguiente tabla muestra la transformada Z de algunas secuencias,
usando la propiedad de desplazamiento.
Función Discreta Transformada Z
X[n+4] Z4X[Z]-Z4X[0]-Z3[1]-Z2X[2]-ZX[3]
X[n+3] Z3X[Z]-Z3X[0]-Z2X[1]-ZX[2]
X[n+2] Z2X[Z]-Z2X[0]-ZX[1]
X[n+1] ZX[Z]-ZX[0]
X[n] X[Z]
X[n-1] Z-1X[Z]
X[n-2] Z-2X[Z]
X[n-3] Z-3X[Z]
X[n-4] Z-4X[Z]
Ejemplo 17
Resuelva la siguiente ecuación en diferencias.
X[n+2]+3X[n+1]+2X[n]=0
con X[0]=0, X[1]=1
Solución
Al tomar la transformadas Z de ambos miembros de la ecuación en
diferencias dadas, se obtiene:
Z2X[Z]-Z2X[0]-ZX[1]+3ZX[Z]-3ZX[0]+2X[Z]=0
Al sustituir las condiciones iniciales y simplificar, se obtiene:
por tanto, X[n]=[(-1)k-(-2)k]U[n]
Ejemplo 18
Resuelva la siguiente ecuación en diferencias:
X[n+2]=X[n+1]+X[n]
con X[0]=0, X[1]=1
Solución
Al tomar la transformada Z de esta ecuación en diferencias, se
obtiene: Z2X[Z]-Z2X[0]-ZX[1]=ZX[Z]-ZX[0]+X[Z]
Al resolver para X[Z] se obtiene:
Al sustituir la condiciones iniciales se obtiene:
por tanto,
12.1 Introducción. En el capítulo cuatro se analizaron circuitos
lógicos donde la salida, en un instante dado, depende sólo de la
entrada en ese mismo instante. Estos circuitos son llamados circuitos
sin memoria. En este capítulo se estudiarán sistemas donde la salida
en un instante dado depende, no sólo de la entrada en ese mismo
instante, sino del estado del sistema en el momento en que se
introduce la entrada. Estos sistemas se llaman secuenciales y tienen
una importancia obvia en el diseño de computadores.
En este tipo de circuitos, el estado interno del sistema depende del
estado precedente de éste y de la entrada precedente.
En esta era de la automatización, las personas se enfrentan todos los
días a situaciones de entrada y salida. Cuando se compra, por
ejemplo, un tiquete del metro en una máquina expendedora, la
entrada se da al pulsar un botón, después se introducen las monedas
para obtener la salida esperada, es decir, el tiquete. La máquina
"cuenta" de alguna forma las monedas introducidas hasta llegar al
monto correcto. En ese momento, y no antes, la máquina dará salida
al tiquete y entregará la "devuelta" si es necesario.
En consecuencia, la máquina debe recordar interiormente, a medida
que se introduce cada moneda, cuál es la suma de dinero que se ha
introducido.
Después que definamos, en que consiste, una máquina de tiempo
finito, se desarrollará en un primer ejemplo, la situación descrita
anteriormente.
12.2 Máquinas de Estado Finito
12.2.1 Definición. Una máquina de estado finito M se caracteriza
por:
- Un conjunto finito A de símbolos de entrada.
- Un conjunto finito E de estados internos.
- Un conjunto finito B de símbolos de salida.
- Una función de próximo estado f de E x A E .
- Una función de salida g de E x A B .
Esta máquina se denota por M = { A, B, E, f, g }; por lo general se da
un estado inicial .
Ejemplo 1.
En una estación del Metro una máquina distribuye tiquetes sencillos a
$600 pesos el tiquete. La máquina acepta monedas de $100, $200,
$500, $1000. Mediante una tabla, describa los diferentes estados de
la máquina y la salida.
Solución.
Se supondrá que la máquina se encuentra en el estado e0
perteneciente a E en el tiempo t0. Al introducir una moneda en el
tiempo ti la salida será g(x,es) donde es es el estado de la máquina en
el tiempo ti. A esta salida le sigue una transición de la máquina en el
tiempo ti+1dado por f(x,es).
Para el ejemplo, los estados del conjunto E serán:
e0 = Estado inicial de la máquina sin introducir monedas.
e1 = La máquina recuerda la inserción de $100.
e2 = La máquina recuerda la inserción de $200.
e3 = La máquina recuerda la inserción de $300.
e4 = La máquina recuerda la inserción de $400.
e5 = La máquina recuerda la inserción de $500.
e6 = La máquina recuerda la inserción de $600 o más pesos.
La función f: E x A E donde A = { n, 100, 200, 500, 1000, b } es la
entrada donde n detalla el hecho de no introducir monedas y b hundir
botón para obtener el tiquete, se detalla en la siguiente tabla:
f
n 100 200 500 1000 b
En esta tabla por ejemplo, f(e0,500)=e5; lo que quiere decir que en el
tiempo t siguiente la máquina recordará que se le han introducido
$500.
f(e3,200)=e5 , lo que significa que la máquina pasa del estado e3; al
estado e5 ; lo que quiere decir que pasa de "recordar" que se le
habrían introducido $300 a "recordar" que se le han introducido $500.
f(e5,200)=e6 , lo que significa que la máquina pasa de "recordar" que
se le habrían introducido $500 a "recordar" que se le han introducido
más de $600, en este caso, la función de salida se diseñará para que
devuelva $100 al comprador.
Al pulsar el botón, la máquina pasará al estado e0; si el estado actual
es e0 ó e6.
La función g:E x A B es la función de salida, que se detalla en el
siguiente cuadro:
g
n 100 200 500 1000 b
n n n n 400 n
n n n n 500 n
n n n 100 600 n
n n n 200 700 n
n n n 300 800 n
n n 100 400 900 n
n 100 200 500 100 T
En esta tabla, por ejemplo, g(e3,500) = 200, lo que significa que la
máquina pasa de "recordar" que se le habían introducido $300 a
"recordar" $800 y por tanto devuelve $200. Como f(e3,500)=e6, la
máquina pasa al estado e6 y por último, como g(e6,b)=T recibe el
tiquete.
Como f(e6,b)=e0, la máquina retorna al estado inicial.
El conjunto de salida B será:
B = { n, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000, T}
acá: n significa que no hay salida.
T significa que se entrega el tiquete.
Ejemplo 2.
Sean X = X5X4X3X2X1 = 00111, Y = Y5Y4Y3Y2Y1 = 01101 número
binarios, donde X1,Y1 son los bits menos significativos. Los ceros
iniciales de X e Y son para que las cadenas X e Y sean de igual
longitud y poder garantizar suficientes lugares para completar la
suma.
Un sumador binario en serie es una máquina de estado finito que se
puede usar para obtener X + Y.
En la suma X+ Y, se tiene:
X = 0 0 1 1 1
Y = + 0 1 1 0 1
Z = 1 0 1 0 0
Se observa que para la primera suma mirando de derecha a izquierda
X1 = Y1 = 1 y Z1 = 0, mientras que para la tercera suma mirando de
derecha a izquierda, X3 = Y3 = 1 y Z3 = 1 debido al acarreo de la
suma de X2 e Y2 y de X1 y Y1.
En consecuencia, cada salida depende de la suma de las dos entradas
y la capacidad para recordar, si se acarrea 0 o 1 que es crucial
cuando es 1.
El sumador binario en serie se elabora mediante una máquina de
estados finitos de la siguiente forma:
E = {e0,e1} donde e0 = 0 y e1 = 1
A = { 00, 01, 10, 11 }
B = { 0, 1 }
Las tablas se detallan a continuación:
f
00 01 10 11
0 0 0 0 1
1 0 1 1 1
Lo que realiza f : E x A E es recordar si hay o no hay acarreo.
g
00 01 10 11
0 0 1 1 0
1 1 0 0 1
En las tablas anteriores se observa que:
f(1,01) = 1 y g(1,01) = 0 porque e1 = 1; significa que se lleva 1 de la
suma de los bits anteriores, la entrada 01 significa que se suman 0 y
1 y se acarrea 1. De ahí que la suma sea 10 y g(1,01) = 0 por el 0 en
10.
Ejemplo 3.
Diseñe una máquina de estado finito que produce salida 1 si la
entrada es un número par de unos, produce la salida 0 en caso
contrario.
Solución
Los dos estados de la máquina serán P e I donde P es par e I es impar.
El estado inicial es 0, que es un número par.
La tabla de transición de estados es la siguiente:
f
0 1
P P I
I I P
La tabla de salida será:
g
0 1
P 1 0
I 0 1
Así, por ejemplo, si la entrada es 11101 entonces la salida vendrá
dada por:
g(P,11101) = g(g(P,1),1101)
= g(I,1101)
= g(g(I,1),101)
= g(P,101) = g(g(P,1),01)
= g(I,01) = g(g(I,0),1)
= g(I,1) = 1
Ejemplo 4.
Diseñe una máquina de estado finito que produce salida 1 siempre
que vea 101; produce la salida 0 en caso contrario.
Solución.
Acá A = {0, 1}, B = {0,1}. El estado inicial e0 se mantendrá si la
entrada es 0 y cambiará a e1 si la entrada es 1; es decir f(e0,0)=e0;
f(e0,1)=e1.
El estado e1 se mantendrá si la entrada es 1 y cambiará a e2 si la
entrada es 0; es decir f(e1,0)=e2; f(e1,1)=e1.
El estado e2 cambiará a e0 si la entrada es 0 y cambiará a e1 si la
entrada es 1 y acá la salida será 1. Las demás salidas serán 0.
La tabla de transición de estados es:
f
0 1
La tabla de salida es:
g
0 1
0 0
0 0
0 1
Así por ejemplo, si la entrada es 101 la máquina hará lo siguiente:
Al entrar 1 es estado cambia de e0 a e1 y la salida será 0. Al entrar 0 el estado cambia de e1 a e2 y la salida es 0. Al entrar 1 es estado cambia de e2 a e1 y la salida será 1.
Esta situación la podemos representar también, mediante un
diagrama de transición donde los vértices o círculos serán los
estados. El estado inicial se indica mediante una flecha. Si una
entrada produce un cambio de estado del vértice e i al vértice ek, se
traza una arista dirigida de ei a ek y se etiqueta como x/s donde x es
la entrada y s es la salida. Si no hay cambio de estado, se traza un
lazo dirigido sobre el vértice que representa ese estado.
En el ejemplo anterior, el diagrama de transición es:
12.3 Diagramas de transición de estados y cadenas
12.3.1 Definición. Sea M = { A, B, E, f, g } una máquina de estado
finito. Un diagrama de transición G de M es una gráfica cuyos vértices
son los elementos de E. Una flecha indica el estado inicial e0. Una
arista dirigida (ei,ej) existe en G si existe un x perteneciente a A tal
que f(ei,x) = ej. En este caso, si g(ei,x) = t, la arista (ei,ej) se etiqueta
x/t.
12.3.2 Definición. Sea M = { A, B, E, f, g } una máquina de estado
finito. Una cadena de entrada para M es una cadena en A, es decir,
una serie de símbolos a1a2a3....an, donde cada ai pertenece a A.
Se dice que b1b2b3... bn es una cadena de salida para M
correspondiente a la entrada a1a2a3... an, si existen estados e1e2e3... en
pertenecientes a E tales que :
e0 es el estado inicial.
ei = f(ei-1,ai) para i= 1,...,n bi = g(ei-1,xi) para i= 1,...,n
Ejemplo 5.
Determinar la gráfica y la cadena de salida correspondiente a la
cadena de entrada aababba para la máquina de estado finito cuyas
tablas de transición y salida se detallan a continuación:
f g
a b a b
e0 e0 e1 e0 0 1
e1 e1 e1 e1 0 1
Solución
Al comienzo, estamos en el estado e0. La primera entrada es a y
según la gráfica, el estado se mantiene y la salida es 0. La siguiente
entrada también es a y por consiguiente la salida es 0.
La tercera entrada es b. En este caso la salida es 1 y se pasa al
estado e1.
La cuarta entrada es a y como estamos en el estado e1, la salida será
0 y continuamos en el mismo estado.
La quinta entrada es b y como estamos en el estado e1, la salida es 0
y continuamos en el mismo estado. Lo mismo ocurre con la sexta
entrada b.
La séptima entrada es a, la salida será 1 y el estado será e1.
En consecuencia la cadena de salida es 0011001.
Ejercicios 12.3
1. Diseñe una máquina de estado finito que produzca la salida 1 si la
entrada son k unos, donde k es múltiplo de 3; produce la salida 0 en
caso contrario.
2. Diseñe una máquina de estado finito que produzca la salida 1
cuando ve el primer 0 y hasta ver otro; a partir de ese momento
produce la salida 0; en los demás casos, produce la salida 0.
3. Dibuje el diagrama de transición de la máquina M={ A, B, E, f, g}
donde A = {a, b}; B = {0, 1}; E = {e0, e1} dadas las tablas siguientes
de f y g.
f g
a b 0 1
e0 e0 e1 e0 1 1
e1 e1 e1 e1 0 1
4. Determine la cadena de salida para la cadena de entrada abba del
ejercicio 3.
5. Sea X = X1X2... Xn una cadena de bits. Sea Y = Y1Y2... Yn, donde
Donde:
Yi = a si Xi = 0
ó
Yi = b si Xi = 1
para i= 1, 2,...,n.
Sea C = Yn... Y1
Muestre que si C es la entrada a la máquina de estado finito del
ejemplo 5 de este capítulo, la salida es el complemento a 2 de X.
6. Determine A, B y las tablas de entrada y salida para la máquina
cuya gráfica es:
12.4 Autómatas de estado finito
12.4.1 Definición. Un autómata de estado finito M = A, B, E, f, g }
es una máquina de estado finito en el que los símbolos de salida son
0 y 1, es decir B = {0, 1}, además el estado actual determina la
última salida.
Los estados, para los cuales la última salida es 1 se llaman estados de
aceptación.
Ejemplo 6.
Muestre que la máquina de estado finito cuyas tablas de transición de
estados y de salida se dan en las siguientes tablas, es un autómata
de estado finito.
f g
a b a b
e0 e1 e0 e0 1 0
e1 e2 e0 e1 1 0
e2 e3 e0 e2 1 0
Solución.
La gráfica de la máquina es la siguiente:
De la gráfica se observa que la salida es B = {0, 1}.
Además, según la gráfica se presenta la siguiente situación:
Si se esta en e0, la última salida fué 0. Si estamos en los estados e2 o e3, la última salida fué 1.
Por tanto, es un autómata de estado finito.
Por lo general, en los autómatas de estado finito, los estados de
aceptación se dibujan con círculos dobles y se omiten los símbolos de
salida así:
12.4.2 Definición. Sea = X1X2...Xn una cadena de entrada a un
autómata de estado finito. Se dice que a es aceptada, si el estado
final de la cadena termina en un estado de aceptación.
Ejemplo 7.
Es aceptada la cadena abaa por el autómata de estado finito descrito
por la gráfica siguiente?
Solución
Comenzando en el estado e0, se tiene que cuando entra a, se pasa a e1.
Estando en e1, si la entrada es b, pasamos al estado e0. Estando en e0, si la entrada es a, pasamos al estado e1. Por último, estando en e1, si la entrada es a pasamos al estado
es
que es un estado de aceptación.
Por lo tanto, =abaa es aceptada por el autómata de estado finito.
Ejemplo 8.
Diseñe un autómata de estado finito que acepte aquellas cadenas del
conjunto A = { a, b } que no tengan letras a.
Solución.
Consideremos dos estados.
e: No se encontró una a.
e1: Se encontró una a.
f g
a b a b
e0 e1 e0 e0 0 1
e1 e1 e1 e1 0 0
La gráfica será:
Ejemplo 9.
Diseñe un autómata de estado finito que acepte aquellas cadenas del
conjunto A = { a, b } que contienen un número impar de letras a.
Solución.
Se consideran dos estados:
e0: Hay un número par de letras a.
e1: Hay un número impar de letras a.
es claro que el estado de aceptación es e1.
f g
a b a b
e0 e1 e0 e0 1 1
e1 e0 e1 e1 0 0
La gráfica será:
Ejercicios 12.4
1. Muestre que la máquina de estado finito descrita por la
siguiente gráfica es un autómata de estado finito.
Cuál es el estado de aceptación?
2. Dada la gráfica del autómata de estado finito
Dibuje la tabla de transición de estados y la tabla de salida.
3. Determine si la cadena abbaa es aceptada por los autómatas de
los ejercicios 1 y 2.
4. Trace la gráfica de un autómata de estado finito que acepte
cadenas del conjunto A = { a, b} que posean:
o Un número par de a.
o Al menos dos a.
o Exactamente dos a.
o Contiene n letras a, donde n es un número múltiplo de 3.
5. Dado A = { a, b}, muestre que una cadena de entrada es
aceptada por el autómata de estado finito dado por la siguiente
gráfica:
Sí y sólo sí la cadena termina en a. Cuál es la tabla de transición
de estados?
6. Muestre que una cadena de entrada, dado A = { a, b} es
aceptada por el autómata de estado finito dado por la siguiente
gráfica:
Sí y sólo sí la cadena termina en bb. Cuál es la tabla de
transición de estad
13.1 Introducción. Existen muchos problemas en la vida real que
involucran tanto, conjuntos discretos, como relaciones entre ellos. Así,
por ejemplo, podría interesar observar de cuantas formas se puede
viajar por carretera de Medellín a Santafé de Bogotá.
Muchos problemas de tipo combinatorio, que se plantean en la
ciencia de la computación, investigación de operaciones y ciencias
físicas, pueden analizarse a través de las técnicas encontradas en un
área relativamente nueva de la matemática, llamada teoría de grafos.
En el presente capítulo, grafo será el sinónimo de un conjunto de
puntos llamados vértices, con una o mas curvas o rectas, llamadas
aristas, que unen un punto consigo mismo o un par de puntos. En un
grafo, lo que importa no es la forma de la arista sino, más bien, si las
aristas tienen un punto común o no. Los siguientes dos diagramas
representan el mismo grafo.
En los grafos anteriores, los vértices son v1, v2, v3, v4 mientras que los
aristas son e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7.
Las aristas e2 y e7 se llaman aristas paralelas porque unen un mismo
par de vértices.
La arista e8 se llama lazo o bucle porque une un vértice consigo
mismo.
Las consideraciones anteriores conducen de una manera natural a
una definición mas precisa de lo que es un grafo.
13.2 Grafos.
13.2.1 Definición. Un grafo G está formado por:
Un conjunto no vacío V de vértices.
Un conjunto E de aristas, donde cada arista une a dos vértices o
a un mismo vértice.
Un vértice que no está unido a otro vértice o a sí mismo se llama
vértice aislado.
Ejemplo 1
Para el grafo siguiente:
a. Escribir el conjunto de vértices.
b. Escribir el conjunto de aristas.
c. Hallar los vértices aislados.
d. Hallar los lazos.
e. Hallar las aristas paralelas.
Solución
a. El conjunto de vértices es:
V = { v1, v2, v3, v4}
b. El conjunto de aristas es:
E = { e1, e2, e3, e4, e5}
c. No hay vértices aislados.
d. e5 es el único lazo.
e. e1 y e4 son aristas paralelas.
13.2.2 Definición. Un grafo se llama grafo simple si no tiene aristas
paralelas ni lazos.
Ejemplo 2
Los puentes de Konigsberg.
Este es unos de los problemas más antiguos referentes a grafos y que
dio origen al estudio de esta teoría.
El pueblo de Königsberg es atravesado por el río Pregel, que tiene dos
islas como lo denota el siguiente gráfico.
Las islas están unidas por un puente. La isla más grande está unida a
cada orilla del río por dos puentes y la más pequeña sólo por uno.
Hay siete puentes en total. La gente de ese pueblo se pregunta si es
posible caminar por cada puente una sola vez, si se empieza en una
de las orillas o en una de las islas, y regresar al punto de partida.
Solución
Este problema equivale al siguiente:
Sean cada masa de tierra un vértice y cada puente una arista. Se
obtiene, el siguiente grafo:
A y C son las orillas del río. B y D son las islas. Los siete aristas son los siete puentes
Leonardo Euler (1707–1783) demostró que es imposible hacer un
recorrido completo comenzando en cualquiera de los vértices A, B, C,
D y recorriendo cada arista una sola vez y regresar al vértice del cuál
se partió.
Cuando se defina lo que es un circuito euleriano en la sección 13-4 se
dará una razón matemática de esta imposibilidad.
Ejemplo 3
Las redes de computadoras y de rutas de transporte, se pueden
representar por medio de grafos. La inspección o análisis de sus
grados, determina, por lo general, las aristas de unión con fines de
optimización.
El siguiente es un grafo de las carreteras entre Medellín y Bogotá.
13.2.3 Definición. Sean G un grafo y v un vértice de G. El grado de
v, denotado por grad (v), es el número de aristas que salen de v. Una
arista que vea un lazo, se cuenta dos veces.
Ejemplo 4
Dado el siguiente grafo, encuentre el grado de cada vértice.
Solución
grad (v1) = 3, grad (v2) = 3
grad (v3) = 4, grad (v4) = 0
13.2.4 Teorema. Sea G un grafo con vértices v1, v2,..., vn. Entonces
la suma de los grados de todos los vértices de G es igual a dos veces
el número de aristas en G. Es decir,
grad (v1) + grad (v2) + ………+ grad (vn) = 2 A, donde A es el número
de aristas de G.
Demostración
Dados los vértices vi y vj pertenecientes a G, eventualmente una a
estos dos vértices, suma 1 al grado de v i y 1 al grado de vj y por tanto
2 a:
Así, 2A es el total de la suma de los grados de los vértices de G.
Como consecuencia del teorema anterior se tiene que para cualquier
grafo, el número de vértices de grado impar, debe ser par.
Ejemplo 5
¿Es posible tener un grafo, en el que cada vértice tiene grado 4 y hay
10 aristas?.
Solución
Por el teorema anterior se tiene:
2A = 20 o sea que deben existir 10 aristas.
De otra parte, como los vértices tienen el mismo grado 4, se debe
cumplir que, 20=4 V, donde V es el número de vértices. Por tanto V =
5.
La figura siguiente muestra uno de eso grafos:
Ejemplo 6
¿Se puede dibujar un grafo G con tres vértices v1 v2 y v3, donde,
a. grad (v1) = 1, grad (v2) = 2, grad (v3) = 2b. grad (v1) = 2, grad (v2) = 1, grad (v3) = 1c. grad (v1) = 0, grad (v2) = 0, grad (v3) = 4
Solución
a. No es posible porque la suma de los grados de los vértices es 5
que el un número impar.
b. Sí, porque grad (v1) + grad (v2) + grad (v3) = 4; que es un
número par. El número de aristas es 2.
c. No existen otros grafos que cumplan estas condiciones.
d. Sí, porque grad (v1) + grad (v2) + grad (v3) = 4; que es un
número par. El único grafo es:
13.2.5 Definición. El grafo completo de orden n, que se denota por
kn, es el grafo que tiene n vértices y cada vértice está unido a los
demás por exactamente una arista.
Ejercicios 13.2
1. Dibuje todos los grafos simples que tienen dos vértices.
2. Dibuje todos los grafos simples que tienen cuatro vértices y seis
aristas.
3. Sea G un grafo con vértices v1, v2, v3, v4, v5, v6 de grados 1, 2,
3, 4 y 5 respectivamente.
¿Cuántos aristas tiene G? Justifique su respuesta,
4. ¿Se puede dibujar un grafo simple con vértices v1, v2, v3, v4 de
grados 1, 2, 3, 4 respectivamente? Justifique su respuesta.
5. Dibujar los grafos completos de orden 1, 2, 3, 4, 5.
6. ¿Cuántas aristas tiene el grafo completo de orden 6? Justifique
su respuesta.
13.3 Trayectorias y circuitos o ciclos.
13.3.1 Definición. Sean vi y vj dos vértices de un grafo G. Una
trayectoria o camino de vi a vj es una sucesión alternada de vértices y
aristas de G que comienza en vi y termina en vj.
Sí vi = vj entonces la trayectoria es trivial, sin aristas y se denota por
vi ó vj.
13.3.2 Definición. Sí una trayectoria o camino de vi a vj no tiene
vértices repetidos, se llama trayectoria simple.
Un circuito o ciclo es una trayectoria o camino que empieza y termina
en el mismo vértice y no tiene aristas repetidas. El circuito se llamará
simple si no tiene aristas ni vértices repetidos, excepto el primero y el
último.
Ejemplo 7
Dado el siguiente grafo, determinar cuál de las sucesiones siguientes
son trayectorias, trayectorias simples, circuitos y circuitos simples.
a. v1 e1 v2 e6 v4 e3 v3 e2 v2
b. v1 e8 v4 e3 v3 e7 v1 e8 v4
c. v2 e2 v3 e3 v4 e4 v5 e5 v1 e1 v2
Solución
a. Es una trayectoria de v1 a v2, no es simple.
b. Es una trayectoria de v1 a v4, no es simple.
c. Es un circuito simple.
13.3.3 Definición. Sea G un grafo. Se dice que G es un grafo conexo
si para cada par de vértices vi, vj en G, existe una trayectoria entre vi
y vj.
Ejemplo 8
El grafo del ejemplo anterior es un grafo conexo.
Ejemplo 9
¿Cuál de los grafos siguientes es conexo?
Solución
a. Conexo.
b. Conexo.
c. No es conexo.
13.3.4 Teorema. Sea G un grafo conexo con n vértices. Entonces G
debe tener al menos n -1 aristas.
Si el grafo es simple y con n vértices y si tiene más de ((n-1)/2)
aristas, entonces el grafo es conexo.
Ejercicios 13.3
1. Dado el grafo siguiente:
2. Hallar:
a. Cuatro trayectorias simples diferentes.
b. Cuatro circuitos diferentes no simples.
c. Cuatro circuitos simples diferentes.
3. Demuestre el teorema 13.3.4.
4. Dibuje un circuito simple que consista en:
a. Una sola arista.
b. Sólo dos aristas.
5. Si G es un grafo simple con:
o Seis vértices y once aristas, ¿Puede ser inconexo?
¿Porqué?
o Seis vértices y diez aristas, ¿Puede ser inconexo?
¿Porqué?
13.4 Grafos Eulerianos y Hamiltonianos
13.4.1 Definición. Sea G un grafo . Un circuito que contiene todas
las aristas de G recibe el nombre de circuito euleriano.
Lo anterior quiere decir que un circuito euleriano es una trayectoria
que empieza y termina en el mismo vértice, pasa por cada vértice al
menos una vez y sólo una vez por cada arista.
Ejemplo 10
En los grafos siguientes, cuales admiten circuitos eulerianos?
Solución
a. No lo admite porque v4 es un vértice aislado.
b. No lo admite porque cualquier ciclo utilizará la arista e1 dos
veces.
c. El circuito v1 e1 v2 e2 v1 es euleriano.
d. El circuito v3 e3 v1 e1 v2 e2 v3 es euleriano.
e. No admite ningún circuito euleriano.
f. v1 e1 v2 e2 v3 e3 v4 e4 v2 e5 v5 e6 v1 es un circuito euleriano.
Existe un criterio preciso para saber cuando un grafo admite un
circuito euleriano. Este criterio lo proporciona el siguiente teorema.
13.4.2 Teorema. Sea G un grafo. G contiene un circuito euleriano sí
y sólo sí:
G es conexo.
Cada vértice de G es de grado par.
Demostración
Si G tiene un ciclo de euler, para todo vi, vj ε V existe una trayectoria
que hace parte del ciclo. Entonces G es conexo.
Sea vi el vértice donde comienza el circuito de euler. Para cualquier
otro vértice vk de G, cada vez que el ciclo llegue allí, partirá de ese
vértice. Así, el circuito ha pasado por dos aristas nuevas con él o por
un lazo de él. En cada caso se añade 2 al grado de ese vértice. Como
este vértice vk no es punto inicial se añade 2 cada vez que el ciclo
pasa por vk, de modo que el grado de vk es par.
En el vértice inicial vi, la primera arista del ciclo debe ser distinta de la
última, y de cualquier otra que pase por vi, por tanto se tiene que el
grado de vi también es par.
El recíproco de este teorema se deja como ejercicio.
Ejemplo 11
Los puentes de Königsberg del ejemplo 2 no admite solución, debido
a que el grado de todos los vértices es impar.
13.4.3 Definición. Un circuito o ciclo hamiltoniano es un ciclo simple
que contiene todos los vértices de G. Lo anterior quiere decir que un
circuito hamiltoniano es una trayectoria que empieza y termina en el
mismo vértice, no tiene aristas repetidas y pasa por cada vértice una
sola vez.
Ejemplo 12
¿Cuál de los grafos siguientes admite un circuito hamiltoniano?
Solución
a. No admite circuitos hamiltonianos. El razonamiento es el
siguiente: Si se empieza en v1, v2, v3, v4 y si se está en los
demás vértices, en el v5 se estará dos veces.
Si se empieza en v5, para luego ir a los vértices v1 o v4 ó a v3 o
v2 respectivamente, se tendrá que pasar de nuevo por v5
(puesto que se empezará en v5). Para completar el circuito, se
debe regresar a v5, por lo que se pasa tres veces por él.
b. Un ciclo hamiltoniano es:
v1 e1 v2 e2 v3 e3 v4 e4 v1
13.4.4 Teorema. Sea G un grafo conexo con n vértices, donde n≥3.
Si la suma de los grados de cada par de vértices no adyacentes es
mayor o igual a n, entonces G tiene un circuito hamiltoniano.
La demostración se deja como ejercicio.
Ejercicios 13.4
1. ¿Contiene un circuito euleriano el grafo completo k4?
2. ¿ Contiene un circuito euleriano el grafo completo k5?
3. Dar un ejemplo de un grafo en el cual cada uno de sus vértices
tenga grado par pero que no contenga un circuito euleriano.
4. Una ciudad consiste en dos masas de tierra, situadas en ambas
orillas de un río que tiene islas y puentes como lo detalla la
gráfica siguiente:
5. ¿Hay una forma de empezar en cualquier punto para hacer un
viaje redondo por todas los masas de tierra y pasar
exactamente una vez por cada puente? ¿Cómo puede hacerse?
6. Dar un ejemplo de un grafo que contenga, tanto circuitos
eulerianos como hamiltonianos.
7. Dar un ejemplo de un grafo que contenga un circuito
hamiltoniano pero no uno euleriano.
8. Dar un ejemplo de un grafo que contenga un circuito euleriano
pero no uno hamiltoniano.
9. ¿Contiene un circuito euleriano el grafo completo kn?
13.5 GRAFOS ORIENTADOS
13.5.1 Definición. Sea G un grafo. Si cada arista en G tiene una
dirección, entonces G se llama grafo dirigido o digrafo y sus aristas se
llaman arcos.
El vértice donde empieza un arco se llama punto inicial y el vértice
donde termina se llama punto terminal.
Cuando no se consideran las direcciones de las aristas en G, el grafo
que se obtiene se llama grafo subyacente de G.
Ejemplo 13
Dado el digrafo siguiente:
a. Dar los puntos inicial y terminal de cada arco.b. Dibujar el grafo subyacente.
Solución
a. a) La tabla siguiente detalla todos los arcos con sus puntos
inicial y terminal.
Arco Punto Inicial Punto Terminal
e1 v1 v2
e2 v2 v1
e3 v3 v2
e4 v3 v3
e5 v1 v3
b. El grafo subyacente es:
13.5.2 Definición. Sea v un vértice de un digrafo G. el grado de
entrada de v, denotado por gradent (v) es el numero de arcos en G
cuyo punto terminal es v. El grado de salida de v, denotado por
gradsal (v) es el numero de arcos en G cuyo punto inicial es v.
Ejemplo 14
En el ejemplo anterior, los grados de entrada y de salida de cada
vértice se detallan en la siguiente tabla.
Vértice Grado entrada Grado salida
v1 1 2
v2 2 1
v3 2 2
13.5.3 Definición. Una trayectoria dirigida en un digrafo G es una
sucesión de vértices y aristas de modo que el punto terminal de un
arco es el punto inicial del siguiente. Si en G existe una trayectoria
orientada que va del vértice vi al vértice vk entonces se dice que vk es
asequible a partir de vi .
Ejemplo 15
Considérese el digrafo siguiente:
Una trayectoria dirigida de v2 a v5 es: v2 e2 v3 e3 v4 e4 v5.
v1 no es asequible desde ningún vértice porque gradent (v1) =0
v3 es asequible desde cualquier otro vértice.
13.5.4 Definición. Sea G un digrafo. Si cada vértice en G es
asequible a partir de cualquier otro vértice en G, entonces el digrafo
se denomina fuertemente conexo.
Si el grafo subyacente de G es conexo, entonces se dice que G es
débilmente conexo.
Ejemplo 16
El siguiente digrafo es fuertemente conexo.
En este digrafo cada vértice es asequible desde cualquier otro vértice.
13.5.5. Definición. Sea G un grafo. Si a cada arista en G se le puede
dar una dirección de manera que resulte un digrafo fuertemente
conexo, entonces se dice que G es orientable.
Se puede demostrar que un grafo G es orientable sí y sólo si es
conexo y continua siendo conexo al eliminar cualquier arista.
Ejercicios 13.5
1. Dibujar un digrafo con tres vértices, donde cada vértice tiene
grado de entrada 2.
2. ¿ Serán orientables los siguientes grafos?
3. Sea A = {2,3,4,9,36} y sea R una relación en A definida así:
xRy si y solo si x divide a y.
Dibujar un digrafo G que represente a R donde los vértices de G
sean los elementos de A y un arco de Vi a Vk significa que Vi R
Vk.
4. Repita el problema anterior para A = { 1,2,5,8,9}.
13.6 ÁRBOLES
13.6.1 Definición. Sea A un grafo. A recibe el nombre de árbol sí y
sólo si :
A es conexo.
A no contiene circuitos.
Ejemplo 17
Dibujar todos los árboles distintos que tengan:
a. Dos vértices.
b. Tres vértices.
c. Cuatro vértices.
Solución
13.6.2 Definición. Sea A un árbol. Un vértice de grado 1 se llama
una hoja. Un vértice de grado mayor que 1 se llama rama.
De las definiciones anteriores se desprenden las siguientes
propiedades:
Existe una trayectoria única entre dos vértices cualesquiera de
un árbol.
El numero de vértices es mayor en 1 al numero de aristas.
Un árbol con dos o mas vértices tiene al menos dos hojas.
Ejemplo 18
Una red de espías organizada de manera que cada dos espías pueden
comunicarse uno con otro ya sea directamente o a través de una
cadena única de sus colegas, constituye un árbol. Aca, V es el
conjunto de espías y E el conjunto de aristas tal que si existe el
camino vi ei vk, significa que los espías vi y vk pueden comunicarse.
Ejemplo 19
Considérese un grupo de ajedrecistas que luchan por un campeonato.
Supóngase que cada ajedrecista tiene una única oportunidad para
enfrentar al campeón vigente, y que el perdedor de cualquier
encuentro será eliminado de la contienda.
Sea A = (V, E) un grafo no dirigido donde los vértices de V
representan los ajedrecistas y las aristas de E representan los
encuentros.
Sea V = { v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8, v9 }
Suponga que al inicio, v1 es el campeón vigente y que se dan los
siguientes encuentros:
- v1 venció a v2, v3 y v4 y pierde con v5.
- v5 venció a v6 y v7 y pierde con v8.
- v8 pierde con v9.
El árbol que detalla esta situación, es el siguiente:
Los vértices v2,v3,v4,v6,v7,v9 son hojas .
Los vértices v1,v5,v8 son ramas.
13.6.3 Definición. Sea G un grafo dirigido. Se dice que G es un árbol
dirigido si se convierte en un árbol cuando se ignoran las direcciones
de sus aristas.
13.6.4 Definición. Un árbol con raíz es un árbol dirigido que posee
exactamente un vértice cuyo grado de entrada es 0 y los grados de
entrada de todos los demás vértices es 1.
El vértice con grado de entrada 0 se llama raíz de árbol. Un vértice
cuyo grado de salida es 0 se llama hoja. Un vértice cuyo grado de
salida es diferente de 0 se llama rama.
13.6.5 Definición. Sea vi una rama de un árbol con raíz. Se dice que
vk es un hijo de Vi si existe una arista dirigida de vi a vk, además se
dice que vi es padre de vk.
En un árbol con raíz se dice que los vértices son hermanos si son hijos
del mismo vértice.
Ejemplo 20
Dibuje El grafo con raíz de un hombre que tiene dos hijos, de los
cuales uno no tiene hijos y el otro tiene tres hijos.
Solución
13.6.6 Definición. Sea A un árbol con raíz. Se dice que A es un árbol
binario si cada rama tiene exactamente dos hijos.
Ejemplo 21
El árbol anterior muestra el número de encuentros en un torneo de
eliminación simple con 8 competidores.
Se juegan un total 7 encuentros a saber:
Cuatro encuentros en la primera ronda.
Dos encuentros en la segunda ronda.
El encuentro final.
En total son 7 encuentros.
En este árbol binario, las hojas representan a los competidores en el
torneo y las ramas a los ganadores de los encuentros o,
equivalentemente los encuentros jugados en el torneo.
Si se llama r el numero de ramas y h el número de hojas en un árbol
binario, se puede demostrar que:
r = h –1.
Ejercicios 13.6
1. Demuestre que un árbol binario tiene un número inferior de
vértices.
2. Un árbol tiene 2n vértices de grado 1, 3n vértices de grado 2 y
n vértices de grado 3. Determine el número de vértices y
aristas del árbol.
3. Un árbol tiene 2 vértices de grado 2, un vértice de grado 3 y 3
vértices de grado 4. ¿ Cuantos vértices de grado 1 tiene el
árbol?
4. Demuestre que la suma de los grados de los vértices de un
árbol con n vértices es 2n – 2.
http://docencia.udea.edu.co/SistemasDiscretos/