proceso de muestreo. análisis de señales muestreadas teorema de shanon transformada z funciones de...
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Proceso de muestreo
Proceso de muestreo
• Análisis de señales muestreadas
• Teorema de Shanon
• Transformada Z
• Funciones de transferencia en z
• Relación entre los dominios s y z
Señales en control por computador
Proceso
u(t)
y(t)computador D/A
A/Dy(kT)
u(kT)
wt
u(t)
t
y(kT)
t
y(t)
tT
Proceso de muestreo
• ¿Cuál debe ser el valor de T para no perder información esencial de y(t)?
• ¿Puede reconstruirse y(t) a partir de y(kT)?• Para contestar se debe investigar cuál es la relación entre
los componentes de frecuencia de y(t) y de y*(t)• ¿Puede utilizarse la transformada s para el análisis?• ¿Hay otra formulación equivalente?
y*(t)y(t)
t
T
t
Componentes de frecuencia de una señal
t
f(t)
=t
+
++ …
dte)t(f frecuencia de componente la de amplitud)(F
)t(jsen)tcos(ede)(F2
1)t(f
tj
tjtj
F() Transformada de Fourier
Espectro de frecuencias de la señal
Señales muesteadas / Tren de pulsosy*(t)y(t)
t
T
tT
n
T ...)T2t()Tt()t()nTt()t(
y(t)
TT
(t)
* =1
y*(t)
t
n
T* )nTt()nT(y..)Tt()Tt(y)t()t(y)t()t(y)t(y
kTt0
kTt)kT(y)t(y*
T(t)
Transformada de Fourier discreta
T
y*(t)
n
nTj
n
tjtj
n
tj**
e)nT(f
dte)t(f)nTt(dte)t(f)nTt(dte)t(f)(F
Señales periódicas
t
f(t) T Una señal periódica de periodo T siempre admite una descomposición en serie de Fourier
T
(t)1
Ejemplo: Tren de pulsos de periodo T
n
nTj
n
tjtj
n
tj edte)nTt(dte)nTt(dte)t(f)(F
t
n
T ...)T2t()Tt()t()nTt()t(
n
nTj
n
tjtj
n
tj edte)nTt(dte)nTt(dte)t(f)(F
Espectro de frecuencia de T(t)
01e1
1
e1
11e,e razones de sgeométrica series 2e
TjTjTjTj-
n
nTj
Si ≠ is s = 2/T
Si = is
isi
is
icF
ciF
)()(
)(
Espectro discontinuo
ci
F()
s
T
(t)1
t
n
tjnn
n
tjsnT
sec2
1de)n(c
2
1)t(
de)n(c2
1)t(
de)(F2
1)t(f
tj
nsnT
tj
Espectro de frecuencia de T(t)
En un periodo:
Espectro de una señal muestreada y*(t)
)n(YT
1dte)t(y
T
1
dteeT
1)t(ydte)t()t(ydte)t(y)(Y
sn
t)n(j
n
tj
n
tjntjT
tj**
s
s
)n(YT
1)(Y s
n
*
El espectro de frecuencias de la señal muestreada se obtiene sumando infinitas veces el espectro de la señal continua desplazado ns
Espectro de una señal muestreada y*(t)
)n(YT
1)(Y s
n
*
|Y()|
|Y*()|
Espectro continuo
… …Espectro discreto
0
0 s 2s-s-2s
1/T
Máxima frecuencia de la señal continua
s/2
Si 0 < s/2 los espectros laterales no se superponen y el contenido de frecuencias de Y y de Y* son identicos en [- 0 0 ]
Espectro de una señal muestreada y*(t)
)n(YT
1)(Y s
n
*
|Y()|
|Y*()|
Espectro continuo
… …
Espectro discreto
0
0 s 2s-s-2s
1/T
Máxima frecuencia de la señal continua
s/2
Si 0 > s/2 los espectros laterales se superponen y el contenido de frecuencias de Y* se distorsiona en [- 0 0 ]
Teorema de Shanon
|Y()|
|Y*()|… …Espectro discreto
0
0 s 2s-s-2s
1/T
Máxima frecuencia de la señal continua
s/2
Para que no haya pérdida significativa de la información el periodo de muestreo ha de cumplir 0 < s/2 = N = /T
TN0
N Frecuencia de Nyquist
“Aliasing”
Cuando se muestrea incorrectamente una señal pueden aparecer frecuencias en la señal muestreada que no están en la original
Señal continua
Señal muesteada
Ejemplo: Se muestrea a frecuencia menor que 20 En el ordenador se ve la señal como una de frecuencia menor
Toma de datos, filtrado “antialiasing”y*(t)y(t)
t
T
tT
y(t)
t
Filtro
Antes de muestrear una señal conviene pasarla por un filtro continuo pasa bajo (filtro “antialiasing”) para eliminar las frecuencias superiores a /T que distorsionarian la señal muestreada con el ordenador
P.e. Filtro de Bessel de segundo orden:
6129.1)/s(2098.2)/s(
6129.1
B2
B
B ancho de banda
Espectro de frecuencias
|Y*()|
0
No se suele representar un rango de frecuencias superior a /T porque es repetitivo y esas frecuencias no aparecen en la señal original/T
Si las frecuencias del espectro no tienden a cero antes de /T ello es síntoma de un T inadecuado
Periodo de muestreo T
|Y*()|
0 /T
El teorema de Shanon nos da un criterio para elegir un T adecuado para muestrear una señal, pero a veces es difícil de aplicar
Criterio práctico: Escoger T de modo que corresponda a tomar entre 10 – 30 muestras del tiempo de asentamiento T
Periodo de muestreo
En lazo cerrado normalmente los procesos son mas rápidos que en lazo abierto
T
Si se escoge T para un sistema de control, debe aplicarse la regla al tiempo de asentamiento esperado en lazo cerrado
t
t
y
y
¿Se puede recuperar y(t)?
|Y()|
0
|Y*()|… …Espectro discreto
0 s 2s-s-2s
1/T
s/2
En teoría, si 0 < /T, filtrando la señal muestreada con un filtro ideal se puede obtener la señal original
Un filtro ideal no es realizable pero pueden hacerse aproximaciones
Reconstrucción de y(t)y(t)
T
y*(t)
t
n
/2
/2-
)nTt(j
/2
/2-
tj
n
nTj/2
/2-
tj*
ss*tj
dte2
T)nT(y
dtee)nT(y2
Tdte)(Y
2
Ty(t)
/2]/2,[-en)(TY) Y(si,dte)(Y2
1)t(y
n N
N
)nTt(
))nTt((sen)nT(y)t(y
Introduce un retardo en el cálculo
Necesita infinitos datos
Reconstrucción
Sen(x) /x
Los coeficientes sinusoilades van decreciendo cuando nT de aparta del valor de t considerado
n N
N
)nTt(
))nTt((sen)nT(y)t(y
...)T2mTt(
))T2mTt((sen)T)2m((y
)T2mTt(
))T2mTt((sen)T)2m((y
)TmTt(
))TmTt((sen)T)1m((y
)TmTt(
))TmTt((sen)T)1m((y
)mTt(
))mTt((sen)mT(y)t(y
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
Para t próximo a mT:
0.1283
1
7.7 14.1
0.0709
Reconstrucción
Sen(x) /x
...)T2mTt(
))T2mTt((sen)T)2m((y
)T2mTt(
))T2mTt((sen)T)2m((y
)TmTt(
))TmTt((sen)T)1m((y
)TmTt(
))TmTt((sen)T)1m((y
)mTt(
))mTt((sen)mT(y)t(y
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
0.1283
1
7.7 14.1
0.0709
t
mT (m+1)T
(m-1)T (m+2)T
(m-2)T
112
7)T3mTt(
T....
2
3)TmTt(
T2)mTt(
T
Con m=3 |coeficientes| < 0.1
Mantenedores
u(kT)
t
u(t)
t
u(kT) u(t)
t
Orden 0
ZOH
Orden 1
……
Tren de pulsosy*(t)
y(t)
t
T
tT
n
T ...)T2t()Tt()t()nTt()t(
y(t)
T* =
y*(t)
t
0n
T* )nTt()nT(y..)Tt()Tt(y)t()t(y)t()t(y)t(y
kTt0
kTt)kT(y)t(y*
T
(t)1
Condiciones iniciales nulas
Transformada de y*(t)
0n
nTs
0n0n
** e)nT(y)nTt()nT(y)nTt()nT(y)t(y(s)Y LLL
0n
nTs* e)nT(y(s)Y
Ejemplos:
TsTs3Ts2TsnTs
0n
*
e1
1...eee1e)nT(y)s(Y
T)sa(Ts2aT2TsaTnTs
0n
anT*
e1
1...eeee1ee)s(Y
1Salto unit.
Exp. Decr.
1
Expresiones no racionales en s
No adecuadas para el análisis
Transformada ZDada la secuencia discreta f(0), f(1), f(2), ….f(k),… se define su transformada Z mediante:
0k
kz)k(f)z(F)k(fZ
Donde z es una variable compleja
Juega en los sistemas discretos un papel equivalente al que la transformada s de Laplace juega en los continuos
Se suponen condiciones iniciales nulas
tT
f(k)
Ejemplos(t)
1
T
Impulso unitario
1zz)k()k( 0
0k
k
Z
u(kT)1
T
Escalón unitario
1z
z
z1
1)k(u
zrazón de geometrica serie
z)k(u
1
1-
0k
k
Z
Z
T
e-akT
1
T
Exponencial decreciente
aT-1aT-
akT
0k
k1aT
0k
kakTakT
ez
z
ze1
1e
)ze(zee
Z
Z
Funciones racionales de z
Tabla de transformadas Z
Propiedades de F(z) (1)
Linealidad )z(bF)z(aF)k(bf)k(af 2121 Z
)z(bF)z(aF
z)k(fbz)k(faz))k(bf)k(af()k(bf)k(af
21
0k
k2
0k
k1
0k
k2121
Z
Retardos
1d
0k
kd
d
z)k(f)z(Fz)dk(f
)z(Fz)dk(f
Z
Z
)z(Fz...)z)1(f)0(f(z...z)2(fz)1(fz)0(f
...z)1(fz)0(f...z)d1(f)d(fz)dk(f)dk(f
d1d2d1dd
1dd1
0k
k
Z
Propiedades de F(z) (2)
1d
0i
id
1d
0i
i
0i
id1d
0i
i1d
0i
i
di
id
di
id
0k
k
z)i(f)z(Fz
z)i(fz)i(fzz)i(fz)i(fz)i(fz
zz)i(fidk haciendoz)dk(f)dk(fZ
Valor inicial
)z(Flim)k(flimz0k
)0(f...z)2(fz)1(f)0(flim)z(Flim 21
zz
Propiedades de F(z) (3)
Valor final )z(F)z1(lim)k(flim 1
1zk
)f(1z siz)(f)1(f
z.....)2(f)3(f)1(f)2(f)0(f)1(f)1(f)0(f
z)1k(f)k(fz)1k(fz)k(f)z(F)z1(
k
k
0k
k
0k
k
0k
k1
Supuesta estable
Transformada Z inversa
dzz)z(F
j2
1)k(f 1k
Donde el camino cerrado encierra las singularidades de F(z)
Propiedades de F(z) (4)
Convolución )z(G)z(F)ik(g)i(f0i
Z
)z(G)z(Fz)n(gz)i(fzz)n(g)i(f
0g(-k)ser alzz)n(g)i(f
ni-k haciendoz)ik(g)i(f)ik(g)i(f
n
0i0n
i
0n
in
0i
in
in
0i
0k
k
0i0i
Z
Función de transferencia pulsada en z
T u(k)
ZOH+ProcesoT y(k)
T
u(k) y(kT)
tT
0i
)i(u)ik(h)k(y
)z(U)z(H)i(u)ik(h)k(yY(z)0i
ZZ
)z(U)z(H)z(Y
Transformada de la convolución
H(z) transformada Z de h(kT)
Transformada s de un ZOH
ZOH
(t)1
T
y(t)1
T
Respuesta impulso del ZOH
1
T
1
T1
T
u(t)
u(t-T)
y(t) )e1(s
1)s(Ue)s(U)s(Y
)Tt(u)t(u)t(y
TsTs
se1
)s(GTs
ZOH
La función de transferencia es la transformada de la respuesta impulsional
Como calcular H(z)
ZOHT u(k) T y(k)
T
u(k) y(kT)
tT
G(s)
)z(Us
)s(G)z1()z(U
s
)s(Gz)z(U
s
)s(G
)z(Us
)s(Ge)z(U
s
)s(G)z(U)s(G
s
-e1)z(Y
11
TsTs
ZZZ
ZZZ
s
)s(G)z1()z(H 1 Z
Tabla de transformadas ZG(s)/s Z[G(s)/s]
Tabla de transformadas ZG(s)/s Z[G(s)/s]
Tabla de transformadas ZG(s)/s
Z[G(s)/s]
Ejemplo: depósitoq
h
F u
T = 0.5
)s(sz
1z
)s(s)z1(
s
)s(G)z1()z(H
252.1s
167.0
s)s(Guh
dt
hd
11
Z
ZZ
1
1
T
T
T
T
z535.01
z062.0
535.0z
062.0
)ez(
)e1(
)1z)(ez(
z)e1(
z
1z
Polo = Autovalor = 0.535
)k(uq535.01
q062.0)k(y
1
1
Ejemplo: Motor
01
V0
0
10
LR
V I
T
)108.5s(s
500
)s(s
0
s
10
)s(s
1
s
1
)01(0
s0
1s)01(
0
0
10
s0
0s)01(B)AsI(C(s)
1
1
1
Ejemplo: Motor
V(k)
)k(Vq6.0q6.11q792.1q123.2
)k( 21
21
LRV
I
(k)
Ampl
ZOH
T=0.1
Encoder
Polos: 1 , 0.6
6.0z6.1z792.1z123.2
)ez)(1z()e)T1(1(z)e1T(
ezz
)1z(Tz
1zz
z1z
s1
ss1
)z1(
)s(s)z1(
s)s(G
)z1()z(H
2
T
TT
2
T22
2
21
21
1
Z
Z
Z
Relación entre los planos s y z
sTez0n
nTs* )z(Ye)nT(y(s)Y
0k
kz)kT(y)z(Y)kT(yZ
sTez
Proporciona un enlace entre resultados obtenidos en el plano s y en el z
Plano ss=+j
Plano z
sTez
Relación entre los planos s y zTjTTjTsT eeeez
/T
-/T
Plano ss=+j
Plano z
T)zarg(
ez T
Puntos del semiplano izquierdo de s van al interior del círculo unidad
Puntos del eje j en [-/T, /T] van a la circunferencia unidad
Puntos del semiplano derecho de s van al exterior del circulo unidad
1
Relación entre los planos s y zTjTTjTsT eeeez
/T
-/T
Plano s
s=+jPlano z
T)zarg(
ez T
Las frecuencias continuas de interés están limitadas al rango [-/T, /T]. Frecuencias mayores se superponen en el plano z
1
Relación entre los planos s y zTjTTjTsT eeeez
/T
-/T
Plano s s=
Plano z
T)zarg(
ez T
Polos en el eje real negativo de s (respuestas sobreamortiguadas estables) se corresponden con polos en el segmento real (0,1) de z Polos en z mas cerca de 1 dan respuestas mas lentas
Polos en el eje imaginario de s (oscilaciones mantenidas) se corresponden con polos sobre la circunferencia unidad de z
1s=j
Relación entre los planos s y zTjTTjTsT eeeez
/T
-/T
Plano ss=+j
Plano z
T)zarg(
ez T
Polos complejos en el semiplano izquierdo de s (respuestas estables subamortiguadas) se corresponden con puntos en el interior del círculo unidad en z
Polos en la parte derecha del plano s (respuestas inestables) se corresponden con polos en el exterior del circulo unidad en z
1
Relación entre los planos s y zTjTTjTsT eeeez
/T
-/T
Plano s
Plano z
T)zarg(
ez T
Polos estables con la misma parte real en s (respuestas con el mismo tiempo de asentamiento) se corresponden con polos en z situados en una circunferencia interior al circulo unidad
1
Relación entre los planos s y zTjTTjTsT eeeez
/T
-/T
Plano s
Plano z
T)zarg(
ez T
Polos estables con la misma parte imaginaria en s (respuestas con la misma frecuencia de oscilación) se corresponden con polos en z situados en un radio del circulo unidad
1
Relación entre los planos s y zTjTTjTsT eeeez
/T
-/T
Plano s
T)zarg(
ez T
Polos estables sobre la misma pendiente en s (respuestas con el mismo sobrepico) se corresponden con polos en z situados en una espiral logaritmica
1
Plano z
Abaco en z
Respuesta temporal
T u(k)
ZOH+ProcesoT y(k)
T
u(k) y(kT)
tT
)z(U)z(H)z(Y
Puede utilizarse la descomposición en fracciones simples de Y(z) y la transformada inversa de Z
Consejo: desarrollar Y(z)/z y despejar Y(z)
Para entradas conocidas puede deducirse la respuesta de los polos y ceros de H(z)
Ejemplo deposito
q
h
F u
T = 0.5 )k(uq535.01
q062.0)k(y
1
1
Plano z
1
Polo = 0.535
Respuesta a un salto en u sobreamortiguada, de primer orden y de tiempo de asentamiento:
)535.0ln(23
)535.0ln(2se535.0z 5.0s
Ejemplo: Motor
V(k)
LRV
I
(k)
Ampl
T=0.1
HOZ
Encoder
6.0zz664.7
1zz787.9
)z(z
6.0z664.7
1z787.9
)6.0z)(1z(792.1z123.2
)z(Vz6.0z6.11z792.1z123.2
)z( 21
21
Respuesta del motor en posición a un pulso de 1 voltio V(z)=1
1T
kT6.0664.7787.9)TkT(
6.0zz664.7
1zz787.9
)z(z
111 ZZZ
(k)1
T
Selección del periodo de muestreoTjTTjTsT eeeez
/T
-/T
Plano s s=
Plano z
1
)ez)(ez(
ez
)4s)(1s(
2sT4T
T2
Correspondencia
de polos y ceros
Si T es muy pequeño todos los polos y ceros se agrupan en torno al valor 1
...)999.0z..)(99.0z(
..999.0z
Problemas
numéricos