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Jenny Alexandra Cifuentes Quintero, 22 de noviembre de 2009 Señales y sistemas I - p. 1/23

SEÑALES Y SISTEMAS I

Jenny Alexandra Cifuentes Quintero

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA22 de noviembre de 2009

TransformadaZDefinición

Propiedades

TransformadaZ de funcionescomunes

Aplicaciones


Definición

La transformada Z da una descripción en el dominio de lafrecuencia para sistemas discretos. Así

f [n]!"F (z)

La transformada Z se define como

Z{f [n]} = F (z) =!X

n=0

f [n]z"n

Z"1{F (z)} = f [n] =1

2!j

IF (z)zk"1dz

Donde Z{f [n]} es la transformada de Laplace y Z"1{F (z)} es latransformada inversa.

TransformadaZ

PropiedadesLinealidadCorrimiento en tiempoDiferencias negativasDiferencias positivasMultiplicación por an entiempo discreto

Multiplicación por e!naT

en tiempo discretoTeorema del valor inicialTeorema del valor final


Aplicaciones


Linealidad

La propiedad de linealidad se satisface si contando con

f1[n], f2[n], ..., fn[n]

Con transformada Z

F1(z), F2(z), ..., Fn(z) yc1, c2, ..., cn

son constantes arbitrarias, se satisface

c1f1[n] + c2f2[n] + ... + cnfn[n] !" c1F1(z) + c2F2(z) + ... + cnFn(z)

Proof 1 Aplicamos la definición para la transformada Z

Z{c1f1[n] + c2f2[n] + ... + cnfn[n]} ="X

n=0

(c1f1[n] + c2f2[n] + ... + cnfn[n])z!n

= c1

"X

n=0

f1[n]z!n + c2

"X

n=0

f2[n]z!n + ... + cn

"X

n=0

fn[n]z!n

= c1F1(z) + c2F2(z) + ... + cnFn(z)

TransformadaZ





Aplicaciones


Corrimiento en tiempo

Si hay un corrimiento en tiempo esto corresponde a una multiplicación porz"m en el dominio de la frecuencia.

f [n ! m]µ(n ! m) "# z"mF (z)


Z{f [n ! m]µ[n ! m]} =!X

n=m

f [n ! m]z"n

Sustituimos k = n ! m

Z{f(t ! a)µ(t ! a)} =!X

k=0

f [k]z"(k+m)

Z{f(t ! a)µ(t ! a)} = z"m!X

k=0

f [k]z"k

Z{f(t ! a)µ(t ! a)} = z"mF [z]

TransformadaZ





Aplicaciones


Diferencias negativas

f [n # m] !" z!mF (z) +m!1X

n=0

f [n # m]z!n


Z{f [n # m]} ="X

n=0

f [n # m]z!n

Sustituimos k = n # m

Z{f [n # m]} ="X

k=!m

f [k]z!(k+m)

Z{f [n # m]} ="X

k=!m

f [k]z!kz!m

Z{f [n # m]} =z!m"X

k=!m

f [k]z!k

Z{f [n # m]} =z!m

2

4!1X

k=!m

f [k]z!k +"X

k=0

f [k]z!k

3

5

TransformadaZ





Aplicaciones


Diferencias negativas

Z{f [n # m]} =z!m

2

4!1X

k=!m

f [k]z!k + F (z)

3

5

Como k = n # m =" n = k + m

Z{f [n # m]} =z!m

"m!1X

n=0

f [n # m]zm!n + F (z)

#

Z{f [n # m]} =m!1X

n=0

f [n # m]z!n + z!m[F (z)]

Con m = 1

Z{f [n # 1]}{f [n # 1]} = z!1F (z) + f [#1]

Con m = 2

Z{f [n # 2]} = z!2F (z) + f [#2] + f [#1]z!1

TransformadaZ





Aplicaciones


Diferencias positivas

f [n + m] !" zmF (z) +!1X

n=!m

f [n + m]z!n


Z{f [n + m]} ="X

n=0

f [n + m]z!n

Sustituimos k = n # m

Z{f [n + m]} ="X

k=m

f [k]z!(k!m)

Z{f [n + m]} ="X

k=m

f [k]z!kzm

Z{f [n + m]} =zm

" "X

k=0

f [k]z!k #m!1X

k=0

f [k]z!k

#

Z{f [n + m]} =zm

"F (z) #

m!1X

k=0

f [k]z!k

#

TransformadaZ





Aplicaciones


Diferencias positivas

Como k = n + m =# n = k ! m

Z{f [n + m]} =zm

2

4F (z) !"1X

n="m

f [n + m]z"(n+m)

3

5

Z{f [n + m]} =zm[F (z)] !"1X

n="m

f [n + m]z"n

Con m = 1

Z{f [n + 1]} = zF (z) ! zf [0]

Con m = 2

Z{f [n + 2]} = z2F (z) ! z2f [0] ! f [1]z

TransformadaZ





Aplicaciones


Multiplicación por an en tiempo discreto

anf [n] !" F!z

a

"

Proof 5 Aplicamos la definición de transformada Z

Z{anf [n]} =$#

k=0

anf [n]z#n

Z{anf [n]} =$#

k=0

1a#n

f [n]z#n

Z{anf [n]} =$#

k=0

f [n]!z

a

"#n

Z{anf [n]} = F!z

a

"

TransformadaZ





Aplicaciones


Multiplicación por e#naT en tiempo discreto

e#naT f [n] !" F$eaT z

%

Proof 6 Aplicamos la definición de transformada Z

Z{e#naT f [n]} =$#

k=0

e#naT f [n]z#n

Z{e#naT f [n]} =$#

k=0

f [n](eaT z)#n

Z{anf [n]} = F$eaT z

%

TransformadaZ





Aplicaciones


Teorema del valor inicial

f [0] = lımz#!

F (z)

Proof 7 Para todo n $ 1, si z % & entonces

z"n =1

zn!% 0

Bajo estas condiciones f [n]z"n !% 0. tomando el limite cuando z !% &en

F (z) =!X

n=0

f [n]z"n

entonces

lımz"#!

(F (z)) =!X

n=0

lımz"#!

„f [n]

1

zn

«

Solo existe valor cuando n=0

lımz"#!

(F (z)) = f(0)

TransformadaZ





Aplicaciones


Teorema del valor final

f [#] = lımz#1

(a $ 1)F (z)

Proof 8 Considere la transformada Z de la secuenciaf [n + 1] $ f [n]

Z{f [n + 1] $ f [n]} =!X

n=0

(f [n + 1] $ f [n])z"n

Z{f [n + 1] $ f [n]} = lımk"#!

kX

n=0

(f [n + 1] $ f [n])z"n

ComoZ{f [n + 1]} = zF (z) $ zf [0]

Sustituyendo

zF (z) $ zf(0) $ F (z) = lımk"#!

kX

n=0

(f [n + 1] $ f [n])z"n

TransformadaZ





Aplicaciones


Teorema del valor final

Tomando el limite cuando z #% 1 tenemos

lımz!#1

{(z # 1)F (z) # zf(0)} = lımz!#1

{ lımk!#"

kX

n=0

(f [n + 1] # f [n])z!n}

lımz!#1

{(z # 1)F (z) # zf(0)} = lımk!#"

{kX

n=0

lımz!#1

(f [n + 1] # f [n])z!n}

lımz!#1

(z # 1)F (z) # lımz!#1

zf(0) = lımk!#"

"kX

n=0

lımz!#1

{f [n + 1] # f [n]z!n}#

lımz!#1

(z # 1)F (z) # f(0) = lımk!#"

"kX

n=0

{f [n + 1] # f [n]}#

lımz!#1

(z ! 1)F (z) ! f(0) = lımk!#"

[f[1] + f[2] + ... + f[k + 1] ! f[0] ! f[1] ! ... ! f[k]]

lımz!#1

(z # 1)F (z) # f(0) = lımk!#"

[#f [0] + f [k + 1]]

lımz!#1

(z # 1)F (z) # f(0) = #f [0] + f [$]

lımz!#1

(z # 1)F (z) = f [$]

TransformadaZ

Propiedades

TransformadaZ de funcionescomunesSecuencia geométricaPaso unitario µ[n]Secuencia exponencial entiempo discretoCoseno y seno en tiempodiscretoFunción rampa

Aplicaciones


Secuencia geométrica

La secuencia geométrica está definida como

f [n] =

&0 n < 0an n $ 0

De la definición de transformada Z

F (z) =$#

n=0

f [n]z#n

F (z) =$#

n=0

anz#n

F (z) =$#

n=0

(az#1)n

Esta sumatoria converge a1

1 # (az)#1=

z

z # a

TransformadaZ

Propiedades


Aplicaciones


Paso unitario µ[n]

La secuencia geométrica está definida como

µ[n] =

&0 n < 01 n $ 0


F (z) =$#

n=0

f [n]z#n

F (z) =$#

n=0

1z#n

F (z) =$#

n=0

(z#1)n


1 # (z)#1=

z

z # 1

TransformadaZ

Propiedades


Aplicaciones


Secuencia exponencial en tiempo discreto

f [n] = e#naT µ[n]


F (z) =$#

n=0

f [n]z#n

F (z) =$#

n=0

e#naT z#n

F (z) =$#

n=0

(e#aT z#1)n


1 # e#aT z#1=

z

z # e#aT

TransformadaZ

Propiedades


Aplicaciones


Coseno y seno en tiempo discreto

Seaf1[n] = cos(naT )

yf2[n] = sin(naT )

Para derivar la transformada Z de f1[n] y de f2[n] se usa

e!naT =z

z # e!aT

Hallemos la transformada de

Z[ejnaT ] = Z[cos(naT ) + j sin(naT )] =z

z # ejaT

Z[cos(naT ) + j sin(naT )] =z

z # ejaT

z # e!jaT

z # e!jaT

Z[cos(naT ) + j sin(naT )] =z2 # ze!jaT

z2 # zejaT # ze!jaT + 1

Z[cos(naT ) + j sin(naT )] =z2 # ze!jaT

z2 # 2z“

ejaT +e!jaT

2

”+ 1

Z[cos(naT ) + j sin(naT )] =z2 # z(cos(aT ) # j sin(aT ))

z2 # 2z cos aT + 1

TransformadaZ

Propiedades


Aplicaciones


Coseno y seno en tiempo discreto

Finalmente

Z[cos(naT ) + j sin(naT )] =z2 ! z cos(aT ) + j sin(aT ))

z2 ! 2z cos aT + 1

La parte real corresponde a la transformada del coseno y la parteimaginaria a la del seno

cos naT =z2 ! z cos aT

z2 ! 2z cos aT + 1

sin naT =z sin aT

z2 ! 2z cos aT + 1

TransformadaZ

Propiedades


Aplicaciones


Función rampa

f [n] = nµ[n]

Como ya conocemos el resultado del paso unitario

Zµ(n) =z

z ! 1=

!X

n=0

z"n

Derivamos a ambos lados con respecto a z

d

dz

„z

z ! 1

«=

d

dz

!X

n=0

z"n

!

!1

(z ! 1)2=

!X

n=0

!nz"(n+1)

Finalmente de esta expresión tenemos!X

n=0

nz"n =z

(z ! 1)2

TransformadaZ

Propiedades


AplicacionesSolución de ecuaciones dediferenciasEjercicios


Solución de ecuaciones de diferencias

Resolver la ecuación de diferencias

y[k + 2] + 3y[k + 1] + 2y[k] = 5µ[k]

Con condiciones iniciales y(0) = #1 y y(1) = 2! Aplicamos la transformada Z a cada término de la ecuación

Z{y[k + 2] + 3y[k + 1] + 2y[k]} = Z{5µ[k]}

[z2Y (z) # z2y(0) # zy(1)] + 3[zY (z) # zy(0)] + 2Y (z) = 5z

z # 1

Y (z)(z2 + 3z + 2) =5z

z # 1+ z2y(0) + zy(1) + 3zy(0)

Y (z)(z2 + 3z + 2) =5z

z # 1# z2 + 2z # 3z

Y (z)(z2 + 3z + 2) =5z

z # 1# z2 # z

Y (z)(z2 + 3z + 2) =5z # z3 + z2 # z2 + z

z # 1

Y (z) =#z3 + 6z

(z # 1)(z2 + 3z + 2)

TransformadaZ

Propiedades





! Hallamos la expresión Y (z)z

Y (z)

z=

#z2 + 6

(z # 1)(z2 + 3z + 2)

Y (z)

z=

#z2 + 6

(z # 1)(z + 1)(z + 2)

! Aplicamos fracciones parciales

Y (z)

z=

A

z # 1+

B

z + 1+

C

z + 2

A = (z # 1)#z2 + 6

(z # 1)(z + 1)(z + 2)

˛˛z=1

=#z2 + 6

(z + 1)(z + 2)

˛˛z=1

=5

6

B = (z + 1)#z2 + 6

(z # 1)(z + 1)(z + 2)

˛˛z=!1

=#z2 + 6

(z # 1)(z + 2)

˛˛z=!1

= #5

2

C = (z + 2)#z2 + 6

(z # 1)(z + 1)(z + 2)

˛˛z=!2

=#z2 + 6

(z # 1)(z + 1)

˛˛z=!2

=2

3

TransformadaZ

Propiedades





! Construimos la expansión

Y (z)

z=

56

z # 1#

52

z + 1+

23

z + 2

Y (z) =56 z

z # 1#

52 z

z + 1+

23 z

z + 2

! Aplicamos transformada Z inversa

y[n] = Z!1Y (z) =5

6µ[n] #

5

2(#1)k +

2

3(#2)k

TransformadaZ

Propiedades




Ejercicios

Halle la transformada inversa de1.

F (z) =z3

(z # 0,5)(z # 0,75)(z # 1)2.

F (z) =z2

(z # 1)(z # 0,75)3.

F (z) =12z

(z + 1)(z # 1)2

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