AAF-2012-II 1

Asignatura: Mecnica Vectorial

EQUILIBRIO EN TRES DIMENSIONES

Las condiciones para lograr el equilibrio de un cuerpo rgido sometido a un sistema tridimensional de fuerza requieren que la fuerza resultante y el momento de par resultante que actan sobre el cuerpo sean iguales a cero. Ecuaciones vectoriales de equilibrio. Las dos condiciones para lograr el equilibrio de un cuerpo rgido pueden ser expresadas matemticamente en forma vectorial como

o

F

M

0

0

donde F es la suma vectorial de todas las fuerzas externas que actan sobre el cuerpo y

oM es la suma de los momentos de par y los momentos de todas las fuerzas con respecto

a cualquier punto O localizado en o fuera del cuerpo. Ecuaciones escalares de equilibrio. Si todas las fuerzas externas y los momentos de par aplicados son expresados en forma vectorial cartesiana y sustituido en las ecuaciones anteriores, tenemos:

x y z

o x y z

F F i F j F k

M M i M j M k

0

0

Como las componentes , i j y k son independientes una de otra, las ecuaciones anteriores

sern satisfechas siempre que:

Estas seis ecuaciones escalares de equilibrio pueden usarse para resolver cuando mucho seis incgnitas mostradas en el diagrama de cuerpo libre. Cuando las ecuaciones de equilibrio son suficientes para determinar las fuerzas incgnitas en los apoyos se dice que el cuerpo est determinado estticamente (es isosttico). Un cuerpo que tiene soportes redundantes, es decir que tiene ms soportes de los necesarios para mantener el equilibrio se dice que es estticamente indeterminado (es hiperesttico), se requieren nuevas relaciones entre las fuerzas, adems de las planteadas por el equilibrio, estos casos se estudian en los cursos de Resistencia de Materiales y Anlisis Estructural.

Para resolver problemas se dibuja el diagrama de cuerpo libre, este se debe obtener

aislando el cuerpo de sus soportes y mostrando las cargas y las reacciones que los soportes pueden generar sobre el cuerpo.

Se aplican las ecuaciones de equilibrio para determinar las reacciones.

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Asignatura: Mecnica Vectorial

MODELOS PARA LA ACCION DE LAS FUERZAS EN TRES DIMENSIONES

Tipo de contacto y origen de las fuerzas Accin sobre el cuerpo a aislar 1. Miembro en contacto con superficie lisa o

miembro con apoyo esfrico

Fuerza normal a la superficie y dirigida hacia el miembro

2. Miembro en contacto con superficie rugosa

Hay posibilidades de que sobre el miembro acte una fuerza F tangente a la superficie (fuerza de rozamiento), adems de una fuerza normal N.

3. Apoyo de rodillos sobre ruedas con vnculo lateral

Adems de la fuerza normal N, puede existir una fuerza lateral P ejercida por la gua sobre la rueda

4. Rtula

Una rtula que pivote libremente en torno al centro de la bola puede soportar una fuerza R de tres componentes.

5. Unin fija (empotramiento o soldadura)

Adems de una fuerza de tres componentes, las uniones fijas pueden soportar un par de fuerzas de momento M representado por sus componentes.

6. Cojinete de empuje

Un cojinete de empuje puede soportar una fuerza axial Ry adems de fuerzas radiales Rx y Rz. En ocasiones, los pares Mx, Mz deben suponerse nulos para lograr la isostaticidad.

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Asignatura: Mecnica Vectorial

EJEMPLOS:

La placa homognea mostrada en la figura tiene una masa de 100 kg y est sometida a una fuerza y un momento de par a lo largo de sus bordes. Si la placa est soportada en el plano horizontal por medio de un rodillo en A, una rtula esfrica en B y una cuerda en C, determine las componentes de reaccin en los soportes.

xF 0 ; Bx = 0

yF 0 ; By = 0

zF 0 ; Az + Bz + Tc 300 981 = 0

xM 0 ; Tc(2) 981 (1) + Bz(2) = 0

yM 0 ; 300(1,5) + 981(1,5) Bz(3) Az(3) 200 = 0

Resolviendo las ecuaciones Az = 790 N Bz = -217 N Tc = 707 N

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Asignatura: Mecnica Vectorial

EJERCICIOS 1. La tensin en el cable AB es 800 lb. Determine las reacciones en el soporte empotrado en

el punto C.

2. La barra AB mostrada tiene un soporte de empotramiento en A. La tensin en el cable BC

es de 10kN. Determine las reacciones en A.

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Asignatura: Mecnica Vectorial

3.-El cable vertical que se muestra est conectado en A. Determine la tensin en el cable y

las reacciones en el cojinete B debido a la fuerza F =10i 30j 10k (N)

4. La barra de 80 lb est sostenida por un soporte de bola y cuenca en A, por la pared lisa

sobre la cual se apoya y por el cable BC. El peso de la barra acta en el punto medio.

Determine la tensin en el cable BC y las reacciones en A.

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Asignatura: Mecnica Vectorial

5. Los cojinetes en A, B y C no generan pares sobre la barra ni fuerzas en la direccin del

eje de esta. Determine las reacciones en los cojinetes debido a las dos fuerzas que

actan sobre la barra.

6. La torre tiene 70 m de altura. La tensin en cada cable es de 2 kN. Considere la base de

la torre A como un soporte de empotramiento. Qu valores tienen las reacciones en A?