2° Medio

Para resolver los siguientes problemas, debes consignar en la hoja de respuestas todos sus razonamientos y cálculos necesarios para determinar sus respuestas.

1. Una ventana cuadrada mide 1 metro de lado. Como estaba orientada al sur y entraba demasiada luz se disminuyó su tamaño a la mitad, tapando parte de ella. Tras ello la ventana seguía teniendo forma cuadrada y tanto su anchura como su altura seguían siendo de 1 metro. ¿Puede Ud. da una explicación de tan extraño fenómeno?

2. La hermana pequeña de Danilo ha cambiado las teclas o claves de la calculadora nueva que tiene su hermano, sin decirle nada a éste. Las teclas originales y las nuevas son las que se muestran en los siguientes dibujos:

Si Danilo presiona la tecla en la que hay un 4, el número que entra realmente en la calculadora es un 5 que, por otra parte, es lo que aparece en la pantalla. Sin darse cuenta de este asunto, Danilo ingresa en la calculadora un número primo p de dos dígitos, y otro número primo q de dos dígitos (utilizando lo que él ve, claro) y ordena sumarlos. Sorprendentemente, la respuesta que aparece es ¡la respuesta correcta! ¿Sabrías decir qué dos números primos p y q introdujo Danilo en su calculadora?

3. Se tienen tres vasos transparentes del mismo tamaño y diez monedas de un peso. Ocupando todas las monedas y los tres vasos. Muestre la forma de dejar en cada vaso un número impar de monedas de un peso.

4. Si fuera andando a 4 km/h llegaría 5 minutos tarde al colegio, pero como iré a 5 km/h llegaré 10 minutos antes de la hora de entrada. ¿A qué distancia está el colegio de mi casa?

5. Escriba un número de tres cifras, a continuación copie nuevamente dicho número y forme así un número de 6 cifras; divídalo por 7; el resultado obtenido divídalo por 11 y, finalmente, el nuevo resultado divídalo por 13.

El número pensado siempre es el resultado de la última operación, ¿por qué?

6. ¿Cuántos triángulos hay de hasta 12cm de perímetro con las unidades de sus lados todas enteras? ¿Cuál de todos los que tienen de perímetro 12 crees tú que es el de mayor área? Explícalo.

7. En una reunión hay 9 personas. La primera da la mano a una persona; la segunda da la mano a 2 personas; la tercera da la mano a 3 personas,..., la octava da la mano a 8 personas. ¿Cuántas veces da la mano la novena persona?

Si en la reunión hubiera 100 personas y la primera da la mano a una persona, la segunda da la mano a 2 personas, la tercera da la mano a 3 personas,..., la 99ª da la mano a 99 personas, ¿a cuántas personas da la mano la persona número 100? ¿Puedes generalizar el problema a cualquier número de personas?

8. El señor McGregor, un comerciante londinense, telefoneó a Scotland Yard para decir que su tienda

había sido robada. Se capturaron tres sospechosos, A, B, C, para su interrogatorio. El inspector Sherlock Holmes estableció sin ninguna duda los siguientes hechos:

a) Cada uno de los tres hombres A, B, C, había estado en la tienda el día del robo, y nadie más había estado en ella ese día. b) Si A es culpable, entonces tenía un cómplice y sólo uno. c) Si B es inocente, también lo es C. d) Si dos, y sólo dos, son culpables, entonces A es uno de ellos. e) Si C es inocente, también lo es B. ¿A quién inculpó el inspector Sherlock Holmes?

9. En la figura se muestra un cuadrado y un triángulo equilátero, donde los puntos A, B y C pertenecen a una misma recta. Si el segmento AC mide 10 cm y el segmento PB mide “4” cm.

a) Determine el perímetro total de la figura. b) Determine el área total de la figura.

Ayuda: Altura de un triángulo equilátero: 3

2h lado= ⋅

10. Si 10 1 10 1a = + ⋅ − y 26 1 26 1b = − ⋅ + Determine el valor de “a + b”.

11. En la siguiente tabla las casillas de la primera fila contienen los números enteros del 1 al 13.

Hay que escribir en la segunda fila los números enteros de 1 a 13, sin repeticiones, y en la tercera fila, la suma de los números correspondientes a la primera y segunda fila. El objetivo es que los números de la tercera fila sean todos cuadrados perfectos. ACLARACIÓN: Los cuadrados perfectos son 1, 4, 9, 16, 25, etc.

12. En la figura, el lado menor del rectángulo gris mide 8. Alrededor hay un marco formado por cuadrados de dos tamaños diferentes. Calcular el área del rectángulo gris.

OBSERVACIÓN: El lado mayor del rectángulo gris es igual a 6 veces el lado del cuadradito más chico.

13. En la primera casilla del tablero está escrito 201 y en la novena, 2550.

Completar con números las casillas vacías del tablero de modo que en cada casilla, a partir de la tercera, cada número sea igual a la suma de los números de las dos casillas anteriores.

14. La figura muestra a un hombre y dos postes que se encuentran dispuestos perpendicularmente en el suelo.

Determine la altura del poste más alto.

15. Si un trapecio ABCD, se refleja con respecto a la línea punteada, se forma otro trapecio. Calcula su perímetro.

16. Para un arreglo de su casa, Pablo compró en una ferretería 2 cajas de clavos y 3 cajas de tornillos pagando en total $1.050. Al faltarle material, Pablo volvió a la ferretería a comprar 3 cajas de clavos y 2 cajas de tornillos por lo cual pagó $950. Para terminar el trabajo Pablo necesita comprar en esa misma ferretería 4 cajas más de clavos ¿cuánto deberá pagar?

17. ¿Cuál es el menor número natural m tal que 936m es cuadrado perfecto?

18. Se tiene varios números que son múltiplos de k. Probar que si se escribe uno a continuación del otro da un múltiplo de k.

19. De los números del 1 al 1000, ¿cuántos son divisibles por 5 o por 9 pero no por ambos?

20. En un conjunto de cinco números el promedio de los tres primeros es 15 y el de los dos últimos es 10. ¿Cuál es el promedio de los cinco números?

21. Un juego para dos personas comienza con una pila de 21 piedras. Cada jugador en su turno puede quitar una o dos piedras. Gana el que se lleva la última. Determinar cuál de los dos jugadores (el primero o el segundo) tiene una estrategia ganadora.

22. Tres apostadores A, B y C pronostican el resultado de cinco partidos de fútbol. (L = local, E = empate y V = visitante). Los tarjetas presentadas fueron:

L E V L E V L E V X X X X X X X X X X X X X X X Jugador A Jugador B Jugador C

Finalizando los partidos se observó que los apostadores obtuvieron: A, tres aciertos; B tres aciertos; C, dos aciertos. Construir una tarjeta con cinco aciertos.

23. Tenemos un tablero de 6x6, ¿cuál es la mínima cantidad de casillas que hay que pintar para que no se pueda ubicar una ficha -de la forma que muestra la figura- sobre tres casillas sin pintar?

Aclaración: vale rotar la ficha.

24. En el tablero de la figura hay cuatro casillas ocupadas.

Escribir en cada una de las seis casillas vacías un número (no necesariamente entero) de modo que una vez completo el tablero con los 10 números, se verifique que el número escrito en cada casilla sea igual a la suma de los dos números escritos en las dos casillas sobre las que está apoyada.

25. ABCD es un cuadrado y BCE un triángulo equilátero.

Hallar la medida del ángulo CED.

26. Sea ABC un triángulo y r la recta paralela a BC que pasa por A. Sea P el punto de intersección entre r y la bisectriz del ángulo ABC. Sea Q el punto de intersección entre r y la bisectriz del ángulo ACB. AB mide 7 y AC mide 8. Hallar la medida de PQ.

27. Sea ABCD un cuadrado y M el punto medio de AB. Sea P la intersección de BD con MC. Hallar el área del triángulo MBP.

28. ABCD es un rectángulo. P un punto cualquiera sobre el lado BC. Sea Q el punto sobre AP tal que DQ es perpendicular a AP. AB=5, AD=3. Hallar el producto de las medidas AP y DQ.

29. Calcula el área sombreada en la figura formada por un cuadrado de lado 4 cm , dos semicircunferencias y un sector circular cuyo centro está en un vértice del cuadrado.

30. Calcula el área sombreada en la figura formada por un cuadrado de lado 4 cm , dos semicircunferencias y un sector circular cuyo centro está en un vértice del cuadrado.