planificacion metodologia segundo medio

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE

FACULTAD DE CIENCIA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y CIENCIA DE LA COMPUTACIÓN

Informe Escrito

Correspondiente al eje “Algebra” del nivel “Segundo Año Medio de

Enseñanza Media”

Autor: Fernanda Espinoza

Marjorie Lagos.

Profesor: Michael Yáñez

Enrique Pérez

Asignatura: Metodología de la Enseñanza

Matemática y Computación II

Carrera: Licenciatura en Educación Matemática

y Computación

Fecha: 26.junio.2012

Índice

Introducción 3

Análisis didáctico de la Unidad. 4

Resultado del Análisis Didáctico 5

Actividades Claves 7

Justificación 12

Actividad: Simplifiquemos fracciones algebraicas 18

Orientaciones Metodológicas 18

Material del estudiante N°1 22

Actividad: “Sumemos fracciones algebraicas” 27



Actividad: Encontrando Soluciones. 37


Descripción en términos metodológicos para los momentos de la clase 37


Actividad: “Observando soluciones en el plano cartesiano” 43


Material del Estudiante N°4 46

Actividad: “Jugando a analizar la función Exponencial” 51



Actividad: ¿Qué pasará si cambiamos los parámetros? 60



Conclusión 68

Bibliografía 69

Cd de apoyo 70

Fernanda Espinoza C Marjorie Lagos J Página 3 Algebra Segundo Medio

Introducción A la hora de referirnos a una planificación de un eje, el docente debe ser capaz de analizar

diversos aspectos, siendo estos los contenidos mínimos obligatorios, que son descritos en

diversos programas de estudio y el marco curricular, de los que obtenemos aprendizajes

esperados para desarrollar ciertas habilidades especificas que forman parte de un

procedimiento general, los que apuntan a observar las competencias que los estudiantes

deben lograr y que cada docente debe enseñar.

Es por ello que a continuación se presentará una planificación del eje de algebra

correspondiente al nivel de segundo medio, realizando en primera instancia un análisis

didáctico del eje, que consta en realizar un análisis del este explicitando los conceptos claves,

habilidades especificas, habilidad general , las actitudes que se pretenden fomentar y el

contexto que se puede desarrollar.

Cada habilidad especifica tiene asociado una actividad claves que ayuda a desarrollarla,

donde se ha considerado aspectos importantes para el aprendizaje significativo del

alumno, buscando la reflexión de a los alumnos , en diversas situaciones, donde se vea

cuestionado el concepto de aprendizaje; cada actividad tiene asociada orientaciones

metodológicas que pueden ser llevadas a cabo por el profesor a la hora de enfrentarse al

concepto a enseñar, además de los conceptos claves, las conductas de entrada y la

fundamentación de esta.

La argumentación teórica detalla la investigación que sustenta la propuesta metodológica

basada en Duval, y en investigaciones de los errores de la matemáticas específicamente el

algebra, además de diversas metodologías que se utilizan para el desarrollo de los

aprendizajes.

Finalmente en la sección del Material del estudiantes encontraremos las Guías con las

cuales los estudiantes trabajara en la clase, siendo un material de apoyo para el alumno

que ayudara a que se refuercen contenidos, se enfrenten a una situación problemática y

formalicen lo conceptos utilizados.


Análisis didáctico de la Unidad.

Matemáticas “el mundo del algebra”

Aprendizajes esperados

Contenidos

Analizar gráficamente la función exponencial, en forma manual y con herramientas tecnológicas.

Analizar gráficamente la función logarítmica, en forma manual y con herramientas tecnológicas.

Analizar gráficamente la función raíz cuadrada, en forma manual y con herramientas tecnológicas.

Analizar la validez de una expresión algebraica fraccionaria.

Establecer estrategias para operar fracciones algebraicas simples, con binomios en el numerador y en el denominador, y determinar los valores que indeterminan estas expresiones.

Resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, grafica y algebraicamente.

Modelar y aplicar la función exponencial, raíz cuadrada y logarítmica en la resolución de problemas, y resolver problemas que involucren sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Función exponencial y

representación gráfica

Función logarítmica y


Función raíz cuadrada y


Sistemas de ecuaciones lineales con

dos incógnitas

Métodos de resolución de un

sistema de ecuaciones lineales con

dos incógnitas

Gráfica de un sistema de

ecuaciones

Operaciones de Expresiones

algebraicas fraccionarias

expresiones algebraicas

fraccionarias


Resultado del Análisis Didáctico

Conceptos Clave

Procedimiento (Habilidad General)

Función exponencial

Función logarítmica

Función raíz cuadrada

Sistemas de ecuaciones

lineales con dos

incógnitas

Expresiones algebraicas

fraccionarias.

Procedimiento General:

Reconoce el tipo de situaciones que modelan las

funciones exponencial, logarítmica y raíz cuadrada.

Transforma expresiones algebraicas de forma

fraccionaria haciendo uso de convenciones del álgebra.

Resuelve sistemas de ecuaciones lineales en forma

algebraica y gráfica. Resuelve problemas que involucran

sistemas de ecuaciones lineales y justifica la pertinencia

del modelo aplicado y de las soluciones obtenidas.

Procedimientos Específicos

Expresiones algebraicas fraccionarias

Reconocer y analizan distintos tipos de

fracciones algebraicas

Reducir y simplificar expresiones algebraicas

fraccionarias.

Operar Expresiones Algebraicas Fraccionarias.

Analizar y determinar cuándo una fracción

algebraica toma valores que las indefinan.

Resolver ecuaciones y problemas de planteo

que involucre expresiones algebraicas

fraccionarias.

Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

Conocer y analizar los sistemas de ecuaciones.

Utiliza un software para determinar si un

sistema de dos ecuaciones lineales con dos

incógnitas tiene una, infinitas o no tiene

solución.

Conocer y aplicar los distintos métodos de

resolver un sistema de ecuaciones.

Modelar situaciones mediantes sistemas de

ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Resolución de problemas que involucren

sistemas de ecuaciones lineales con dos

incógnitas analizando la pertinencia de la

soluciones

Analizan gráficamente:

Interpretar por medio de un software grafico función exponencial, logarítmica y raíz


cuadrada.

Analizar situaciones que modelan funciones exponencial, logarítmica y raíz cuadrada.

Analizar e interpretar las variaciones de los parámetros de las funciones exponencial, logarítmica y raíz cuadrada.

Sujeto (Actitudes) Contexto

Se pretende que el alumno desarrolle:

Interés por conocer la realidad y utilizar el

conocimiento.

El pensamiento reflexivo y metódico.

El valor del trabajo personal.

Una adecuada autoestima y confianza en sí

mismo.

La creatividad y la capacidad de auto-

aprendizaje.

Construcción, música, arte, moda,

tecnologías, naturaleza, y en general

en el ámbito en que se desenvuelve

el estudiante.


Actividades Claves

Nombre del Eje: Algebra

Tiempo: 80 horas.

Habilidad general (procedimiento): Reconoce el tipo de situaciones que modelan las funciones exponencial, logarítmica y raíz cuadrada. Transforma

expresiones algebraicas de forma fraccionaria haciendo uso de convenciones del álgebra. Resuelve sistemas de ecuaciones

lineales en forma algebraica y gráfica. Resuelve problemas que involucran sistemas de ecuaciones lineales y justifica la

pertinencia del modelo aplicado y de las soluciones obtenidas.

Habilidades cognitivas:

Operar fracciones algebraica utilizando diferentes métodos y en distintos contexto

Resolver diversas problemática, a la hora de enfrentarse a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Determinar y describir relaciones entre variables u objetos en situaciones matemáticas

Conectar conocimientos nuevos con conocimientos existentes.

Realizar conexiones entre diferentes elementos de conocimiento y representaciones relacionadas

Vincular ideas u objetos matemáticos.

Actitudes (desafío ético): Interés por conocer la realidad y utilizar el conocimiento.

El pensamiento reflexivo y metódico.

El valor del trabajo personal.

Una adecuada autoestima y confianza en sí mismo.

La creatividad y la capacidad de auto-aprendizaje.

Habilidad Especifica Reconocer y analizan distintos tipos de fracciones algebraicas

Conceptos Claves Fracción

Termino algebraico.

Termino semejante

Reducción de términos algebraicos

Actividad Clave Se les presenta a los alumnos una actividad introductoria la que consta de varios ejercicios en la

que aparezcan distintas fracciones para que puedan identificar cuál de ellas son fracciones

algebraicas.

Materiales Plumón y borrador

Habilidad Especifica Reducir y simplificar expresiones algebraicas fraccionarias.


Fracción irreductible

Fracción algebraica


Factorización

Simplificación

Actividad Clave Alumnos desarrollan Guía ”Simplifiquemos Fracciones Algebraicas”, en la cual se pretende que

por medio de la composición de factores primos simplifiquen fracciones numéricas con el fin de

establecer la relación que existe con la factorización de fracciones algebraicas, para lograr

reconocer el procedimiento que se debe realizar para simplificar fracciones algebraicas

fraccionarias, asociándolo con simplificación de fracciones numérica.

Materiales Material del Estudiante N°1

Habilidad Especifica Operar Expresiones Algebraicas Fraccionarias.




Factorización

Simplificación

Mínimo común múltiplo

Actividad Clave Alumnos desarrollan Guía “Sumemos Fracciones Algebraicas”, la cual contiene una serie de

problemáticas donde se pretende que los estudiantes puedan encontrar la relación que existe

entre la adición y sustracción de fracciones algebraicas con las fracciones numéricas.

Materiales Material del estudiante N°2

Habilidad Especifica Analizar y determinar cuándo una fracción algebraica toma valores que las indefinan.




Factorización

Simplificación

Restricción

Expresión indefinida

Actividad Clave Se le presenta a los alumnos una actividad en la que deben verificar la validez de la expresiones

algebraicas, para ello se utilizara un recurso digital que se llama “Calculadora Wiris”, donde ellos

interactuaran con el recurso y podrán darse cuenta en que valores la fracción algebraica se

indetermina.

Materiales Recurso Digital: http://www.wiris.net/demo/wiris/es/index.html

Habilidad Especifica Resolver ecuaciones y problemas de planteo que involucre expresiones algebraicas fraccionarias

Conceptos Claves Ecuación lineal

Fracción



Factorización


Simplificación

Actividad Clave Se presenta una guía donde trabajen con situaciones donde la respuesta sea encontrada

mediante la modelación de una ecuación algebraica.

Materiales Guía n°1

Habilidades Especifica Conocer y analizar los sistemas de ecuaciones.


Actividad Clave Los alumnos desarrollan la Guía “Busquemos Soluciones”, donde se le presenta una

problemática, la que deben modelar a través de una ecuación lineal con dos incógnitas, para así

analizar las diversas soluciones que puede tomar las variables identificando que existen infinitas

soluciones , además que necesitan de información adicional para saber exactamente la solución

que satisface al problema, formalizando en primera instancia que están en la presencia de un

sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, cuya solución es un par ordenado de la forma

(x,y).


Habilidades Especifica Utiliza un software para determinar si un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

tiene una, infinitas o no tiene solución.


Graficar

Pendiente

Recta

Rectas secantes

Rectas coincidentes

Rectas paralelas

Plano cartesiano

Sistema de Ecuaciones

Actividad Clave Los estudiantes mediante GeoGebra y sus aprendizajes previos conjeturan con ayuda del

material del estudiante la representación gráfica de los sistemas de ecuaciones lineales con dos

incógnitas y mediante un análisis grafico de los sistemas puedan determinan la existencia de las

soluciones.

Materiales Material del estudiante N°4, Software Geométrico GeoGebra

Habilidades Especifica Conocer y aplicar los distintos métodos de resolver un sistema de ecuaciones.

Conceptos Claves Sistemas de ecuaciones

Actividad Clave El profesor les plantea en pizarra un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, donde los

alumnos mediante la intuición encuentren diversas maneras de resolución del problema, con la

información recopilada el profesor les menciona cada uno de los métodos.

De manera de formalizar cada uno de los métodos mediante la explicación de cada uno y su

ejercitación respectiva.


Materiales Guía N°2,Guia N°3, Guía N°4, Guía N°5

Habilidades Especifica Modelar y resolver situaciones mediantes sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

analizando la pertinencia de las soluciones.

Conceptos Claves Sistemas de ecuaciones

Método de Reducción

Método de Sustitución

Método de Igualación

Método de Cramer

Actividad Clave El profesor le entrega una guía con problemas en contexto, en donde los estudiantes modelen

mediante sistemas de ecuaciones, utilizando los diversos métodos para su resolución.

Materiales Guia N°6

Habilidad Especifica Interpretar por medio de un software grafico función exponencial, logarítmica y raíz cuadrada.

Conceptos Claves Función creciente

Función decreciente

Función

Numero e

Logaritmo

Propiedad cambio de base

Dominio

Recorrido

Constante

Grafica de una función

Actividad Clave En el laboratorio de computación, los estudiantes en parejas desarrollan una guía, la que será

apoyada por un recurso digital llamado”Graficador NLVM”, para graficar y evaluar la función,

pudiendo así identificar las distintas graficas de las funciones y las condiciones que deben

cumplir.

Materiales Material del Estudiante N°5

Recurso digital: http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_109_g_4_t_2.html

Habilidad Especifica Analizar situaciones que modelan funciones exponencial, logarítmica y raíz cuadrada.



Función

Numero e

Logaritmo


Dominio

Recorrido


Constante


Actividad Clave Se les presenta a los estudiantes un trabajo de investigación, con el objetivo de encontrar

situaciones que se puedan modelar mediantes función exponencial, logarítmica o raíz cuadrada

para luego formular un problema al que le den solución.

Materiales Trabajo de investigación.

Habilidad Especifica Analizar e interpretar las variaciones de los parámetros de las funciones exponencial, logarítmica

y raíz cuadrada.



Función

Numero e

Logaritmo


Dominio

Recorrido

Constante


Actividad Clave Los alumnos en el laboratorio de computación trabajarán una guía con la ayuda del recurso

digital llamado “Graficador NLVM”, que les permite graficar funciones y compararlas. Para luego

poder analizar y responder ciertas interrogantes. Pudiendo así analizar los tipos de variaciones

de los parámetros de las funciones exponencial, logarítmica y raíz cuadrada.


Recurso digital: http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_109_g_4_t_2.html


Justificación El eje de algebra correspondiente al nivel de segundo medio, tiene como objetivo cumplir

con los aprendizaje esperado, basados en los Contenido Mínimo Obligatorio y Objetivos

Fundamentales, que están propuestos en el marco curricular Chileno.

Es por esto que considerando los aprendizajes esperados se diseñaron diversas

actividades claves que apuntan al desarrollo de habilidades específicas nombradas

anteriormente, con el objetivo que al finalizar esta unidad se logre en completitud la

habilidad general, siendo este el objetivo principal propuesto para esta.

Para el desarrollo de las habilidades especificas, es necesario considerar diversas

metodologías que son esenciales para construir un aprendizaje significativo para el

estudiantes, algunas de ellas son: la integración curricular TICs, utilizar diversas estrategias

metodológicas para la enseñanza que son secuencias integradas de procedimientos y

recursos utilizados por el formador con el propósito de desarrollar en los estudiantes

capacidades para la adquisición, interpretación y procesamiento de la información; y la

utilización de estas en la generación de nuevos conocimientos, su aplicación en las

diversas áreas en las que se desempeñan la vida diaria para, de este modo, promover

aprendizajes significativos. Las estrategias deben ser diseñadas de modo que estimulen a

los estudiantes a observar, analizar, opinar, formular hipótesis, buscar soluciones y

descubrir el conocimiento por sí mismos.

Existen varias estrategias metodológicas para la enseñanza de la matemática algunas son

la resolución de problemas, actividades lúdicas y modelaje. Las cuales desarrollan la

preocupación de proponer el uso de recursos variados que permitan atender a las

necesidades y habilidades de los diferentes estudiantes, además de incidir en aspectos

tales como:

• Potenciar una actitud activa.

• Despertar la curiosidad del estudiante por el tema.

• Debatir con los colegas.

• Compartir el conocimiento con el grupo.

• Fomentar la iniciativa y la toma de decisión.

• Trabajo en equipo.

Para realizar la planificación nos basamos en la propuesta metodológica que trata de los

Cambio de Registro de Representación de la Teoría de Raymond Duval.

Según Duval (1996), hay al menos dos características de la actividad cognitiva

implicada en las estrategias matemáticas. Por una parte se recurre a varios registros de

representación semiótica, algunos de los cuales han sido específicamente desarrollados

para efectuar tratamientos matemáticos; y por otra, los objetos matemáticos no son

accesibles mediante la percepción, como ocurre con la mayoría de los objetos en las otras


disciplinas. A partir de esto, Duval plantea dos interrogantes claves en relación con el

aprendizaje: ¿Cómo aprender a cambiar de registro? y ¿Cómo aprender a no confundir un

objeto con la representación que se hace de él? .Puesto que una estrategia matemática

combina generalmente tratamientos y conversiones, la diferenciación funcional de

registros de representación y la coordinación entre ellos constituyen los dos puntos claves

para el aprendizaje.

El traslado entre registros no se efectúa espontáneamente a menos que se trate de

representaciones congruentes entre el registro de partida y el de llegada, pero puede ser

obstáculo serio cuando no hay congruencia. En efecto, en el traslado entre registros se

trata de la confrontación de representaciones de naturaleza diferente de un mismo objeto.

Este traslado da lugar a fenómenos de congruencia y no congruencia semántica.

Para el éxito de la coordinación de registros, es esencial la discriminación de

unidades o de valores pertinentes a la representación semiótica. Raymond Duval sostiene

que las representaciones semióticas son aquellas en las cuales la producción no puede

hacerse sin la movilización de un sistema semiótico. Así las representaciones semióticas

pueden ser producciones discursivas (en lenguaje natural o formal) o no discursivas

(figuras, gráficos, esquemas, etc.). Esta producción no responde únicamente o

necesariamente a una función de comunicación, puede responder también a una función

de objetivación o a una función de tratamiento.

Según el autor citado, para comprender la producción de las representaciones

semióticas hay que tomar en cuenta tres aspectos: el aspecto estructural, relativo a la

determinación de la significación de los signos y de las posibilidades de representación que

ofrecen; el aspecto fenomenológico, relativo a las exigencias psicológica de producción o

de aprehensión de los signos y el aspecto funcional, relativo al tipo de actividad que los

signos permiten llevar a cabo.

Por otra parte, el objeto representado no debe confundirse con el contenido de la

representación, pues el contenido de la representación depende en parte de la forma, en

la medida en que el “contenido” es lo que el registro utilizado permite presentar

explícitamente del objeto representado. Por ejemplo, la ecuación de una parábola y el

gráfico de la parábola se refieren al mismo objeto matemático, pero no tienen

exactamente el mismo contenido puesto que no dan cuenta de las mismas propiedades del

objeto.

En el párrafo sobre estructura de multirregistro de la representación y actividad


conceptual, Duval afirma que la diversificación de los registros de representación semiótica

es la constante del desarrollo de los conocimientos tanto desde el punto de vista individual

como del científico y del cultural.

La importancia para el funcionamiento del pensamiento, generalmente se explica

por las dificultades o limitaciones que encuentra la función de comunicación que existe

entre los registros (Duval ,1995).

Otro punto importante a tener en consideración para la planificación, fue entender la

importancia del error en la matemática, siendo esto “la capacidad de considerar

verdaderos conceptos y procedimientos que están deficientemente desarrollados, que

incluyen ideas contradictorias y justificaciones falsa” (rama de la filosofía llamada

gnoseologia).donde es importante recordar que los errores al igual que el fenómeno

educativo son la manifestación exterior de un proceso complejo en el que interactúan

muchas variables; por ejemplo profesor, alumno, currículo, y contexto socio cultural,

dando cuenta que en el algebra es recurrente que ocurran errores tales como:

Errores producidos por al cambio conceptual de la aritmética al álgebra

Los cambios conceptuales entre la aritmética y el álgebra tienen una importante

incidencia en la consecución de errores. El mayor cambio conceptual en el

aprendizaje del álgebra se centra alrededor de su diferencia con la aritmética en

el significado de los símbolos e interpretaciones de las letras. El discernimiento

del significado de los valores simbólicos les puede llevar a dar como resultado

de que tiene que ver con su interpretación del símbolo +, en aritmética.

En lo que se refiere a la maduración del concepto de igualdad, se presenta un

cambio conceptual aún más crítico. En aritmética, el signo = es usado para

conectar un problema con su resultado numérico, como ; para unir

una secuencia de pasos que conducen a un resultado final:

y, con menor frecuencia, para relacionar dos procesos que dan el mismo

resultado, como, por ejemplo:

Las ecuaciones, a diferencia de las expresiones aritméticas anteriores, no son

afirmaciones verdaderas universalmente; es decir, el signo no pone en conexión

identidades, sino que obliga a la incógnita a tomar un valor (o valores) para que la

expresión sea verdadera.


Un error bastante frecuente en la resolución de ecuaciones, es efectuar

operaciones en el primer miembro de la misma sin modificar el segundo. Este error

es debido a que pierden el sentido de igualdad (de equilibrio) entre ambos

miembros de la ecuación. En este sentido es muy útil el recurso de las balanzas

para el estudio de las ecuaciones.

En la misma línea está el error de cambiar el signo de uno de los miembros de la

ecuación sin modificar el signo del otro miembro.

Por último, una de las diferencias más obvias entre la aritmética y el álgebra reside

en el significado de las letras. Las letras también aparecen en aritmética, pero de

forma diferente, por ejemplo, las letras m y g pueden usarse en aritmética para

representar metros y gramos, respectivamente, más que para representar el

número de metros o el número de gramos, como en álgebra, aunque la diferencia

más significativa se da en la letra como variable.

Incluso cuando los alumnos interpretan letras que representan números existe una

tendencia a considerar las letras como valores únicos y específicos más que como

números generalizados o como variables. Una de las muchas consecuencias

erróneas en este sentido es que, a veces, los alumnos reducen la validez de una

transformación algebraica a comprobar la verdad aritmética de un ejemplo

concreto.

Por ejemplo, deducen que ya que esta igualdad se cumple para el

número , sin apreciar que, en realidad, no se cumple en ningún otro caso (salvo el

cero, claro está).

Aunque, es cierto, que para describir la expresión algebraica de un enunciado es

necesario que el alumnado piense en ejemplos concretos, hay que hacer hincapié

en que no se limiten a un solo caso, sino que habrá que comprobarlo en

numerosos ejemplos. El número es bastante “traicionero” ya que cumple que su

doble es igual que su cuadrado o que el resultado de sumarle dos; es decir:

, pero no sucede lo mismo con el resto de números y esto

puede llevar a conclusiones erróneas.


Errores de cálculo y uso incorrecto de fórmulas o procedimientos

A veces los errores que los alumnos presentan en álgebra no son tanto dificultades

en álgebra como problemas que se quedan sin corregir en la aritmética.

Así, por ejemplo, los alumnos que no dominan las operaciones con números

enteros o con fracciones traducen estos errores al campo algebraico.

El signo menos, sobre todo cuando va colocado delante de un paréntesis o de una

fracción, genera frecuentes errores como:

Algunos errores se deben también al mal uso de una fórmula o regla conocida.

Muchos de estos errores derivan del mal uso de la propiedad distributiva como:

. Llegando incluso algunos

alumnos a aplicarla correctamente cuando el valor que multiplica está a la

izquierda del paréntesis y no saber qué hacer si está a su derecha. Este error es un

tanto culpa nuestra, pues por inercia solemos escribir la expresión que multiplica al

paréntesis a la izquierda del mismo, por lo tanto, los profesores tenemos que

acostumbrarnos a ponerles todo tipo de ejemplos, con todos los casos posibles.

En este grupo podemos considerar también los errores debidos a generalización

incorrecta de propiedades aritméticas. Con bastante frecuencia encontramos

errores como que la raíz de una suma es la suma de las raíces deducida

erróneamente de la propiedad para la raíz del producto o del cociente.

En las identidades notables los errores son bastante frecuentes, girando siempre

en torno a los siguientes tipos: ;

O bien, deducidas

de la propiedad distributiva.

A la hora de simplificar encontramos numerosos errores como:


; o incluso, , deducida erróneamente de: , o bien

de:


Actividad: Simplifiquemos fracciones algebraicas

Orientaciones Metodológicas

Conceptos clave: Expresión algebraica fraccionaria, factorización de expresiones

algebraicas, simplificación de fracciones numéricas, fracción irreductible.

Descripción del recurso que utilizara: El recurso que se utilizará es el material del

estudiante, el cual consiste en una guía que se desarrollará de manera individual y que se

seguirá en conjunto con el profesor en pizarra.

Fundamentación de la Actividad:

La actividad “Simplifiquemos fracciones algebraicas” pretende que los estudiantes

simplifiquen expresiones algebraicas simples utilizando el método de factorización de

expresiones algebraicas de tal manera que se consiga una fracción algebraica irreductible.

Ésta actividad se sitúa según los Planes y Programas propuestos por el Ministerio de

Educación en el Nivel de 2º Año de Enseñanza Media, en el eje de Álgebra, teniendo en

cuenta el Objetivo Fundamental: “Interpretar la operatoria con expresiones algebraicas

fraccionarias como una generalización de la operatoria con fracciones numéricas,

establecer estrategias para operar con este tipo de expresiones y comprender que estas

operaciones tienen sentido solo en aquellos casos en que estas están definidas” y el

Contenido Mínimo Obligatorio: “Establecimiento de estrategias para simplificar, sumar,

restar, multiplicar y dividir fracciones algebraicas simples, con binomios tanto en el

numerador como en el denominador y determinación de aquellos valores que indefinen

una expresi n algebraica fraccionaria”. Teniendo como resguardo los Mapas de Progreso

del Aprendizaje correspondiente al Nivel 5, donde los alumnos logran transformar

expresiones algebraicas de forma entera y fraccionaria haciendo uso de convenciones del

álgebra, y el Aprendizaje Esperado: “Establecer estrategias para simplificar, sumar, restar,

multiplicar y dividir fracciones algebraicas con binomios tanto en el numerador como en el

denominador”.

A partir de lo anterior se desprende el Objetivo de la clase como: “Simplificar

expresiones algebraicas fraccionarias simples utilizando la factorización de expresiones

algebraicas”.

Esta actividad pretende desarrollar habilidades como realiza cálculos mentales y

escritos, para así poder desarrollar simplificaciones y más adelante adiciones y

sustracciones de expresiones algebraicas fraccionarias simples.

Para el desarrollo de esta actividad es de suma importancia que el estudiante

posea ciertas conductas de entradas que le permitan comprender el nuevo concepto


estas corresponden a reconocer expresiones algebraicas fraccionarias, simplificación de

fracciones numéricas, factorización de expresiones algebraicas y fracciones irreductibles.

Al finalizar la actividad “Simplifiquemos fracciones algebraicas” los estudiantes

estarán en condiciones de simplificar expresiones algebraicas fraccionarias simples

utilizando la factorización de expresiones algebraicas hasta obtener una fracción

irreductible, además los estudiantes habrán adquirido gran parte de las herramientas para

que después puedan realizar las cuatro operaciones con expresiones algebraicas

fraccionarias.

Descripción en términos metodológicos para los momentos de la clase

La actividad “Simplifiquemos fracciones algebraicas” se divide en tres secciones: “Un viaje

en el tiempo”, “Manos a la obra” y “¿Son iguales?”, de acuerdo a los tres momentos de la

clase.

Durante Un viaje en el tiempo

Esta sección corresponde al inicio de la clase se plantea una situación problemática

en contexto matemático, donde dos compañeros deben dar respuesta a un problema que

les dejo plantada su profesor de matemáticas la cual consiste en simplificar una fracción

algebraica para poder dar una solución correcta los estudiantes deberán recordar como

simplificaban fracciones numéricas.

Aquí el docente les debe señalar a los estudiantes que para poder dar

solución a estos primero deberán recordar ciertos conceptos previos

(numero primo, fracción irreductible, factorización) que apoyados de la guía

lograrán recordar.

Es importante que el docente se asegure de que el total del curso o gran

parte de el logre responder las preguntas planteadas en esta sección, de no

ser así el docente deberá practicar con mas ejercicios para que lo que

estaba débil sea reforzado.

El propósito de esta sección es que los estudiantes recuerden e identifiquen

cuando dos números se consideran primos, cuando una fracción es irreductible y a demás

puedan reconocer cuando dos expresiones algebraicas son primas entre si.

En esta sección se incorpora la estrategia centrada en el alumno, estos

desarrollaran la guía en forma individual pero sus respuestas las comparten con el curso

con el apoyo del docente ya sea de forma individual o en la pizarra aclarando dudas, es

por esto que también se considera la estrategia centrada en el formador mediante

estrategia expositiva.

Durante Manos a la obra

Esta sección corresponde al desarrollo de la clase, aquí los estudiantes se

encontraran con una nube la cual les permitirá recordar lo que es la simplificación de


fracciones numéricas ya que los estudiantes deberán desarrollar unos ejercicios, para

esto se espera que el profesor tenga en consideración:

Que los estudiantes lean la nube y que analicen lo que esta les dice para

que así puedan responder las primeras preguntas.

Si con los ejercicios planteados en la guía los estudiantes aun no logran

recordar la simplificación de fracciones numéricas y el procedimiento que

permite conseguirla será preciso que el profesor les de una serie de

ejercicios en pizarra para que los alumnos los desarrollen en la pizarra.

Para el desarrollo de las siguientes preguntas se recomienda que el docente tenga

en consideración:

Tener un registro de los progresos de los estudiantes en cuanto a las

factorizaciones de expresiones algebraicas, debe asegurarse de que los

estudiantes recuerdan la clase en donde realizaron la factorización de

expresiones algebraicas.

El profesor debe verificar que los alumnos logran identificar factorizaciones

simultáneas entre el numerador y el denominador de expresiones

algebraicas fraccionarias, por lo que se recomienda que pasen a la pizarra a

resolver la factorización involucrada en el problema de Martina y Joaquín.

Cuando los estudiantes conjeturen cual es la respuesta a la simplificación

planteada en el inicio, es posible de que algunos duden en las respuestas

que obtuvieron, es recomendable que se revise el ejercicio en pizarra

aclarando los errores que pueden cometer los alumnos.

En esta sección se pretende que los estudiantes establezcan la solución al

problema que se les presento en el inicio de la clase por lo que se espera que los

estudiantes simplifiquen la fracción algebraica.

La estrategia utilizada es para adquirir o desarrollar procedimientos o habilidades

cognitivas, como lo son las estrategias de aprendizaje donde se adquiere y codifica la

información.

Durante ¿Son iguales?

Para finalizar con el material del estudiante trabajamos en esta sección donde se

pretende que el estudiante pueda verificar por medio de la ejercitación si los

procedimientos que realizan los llevan a la respuesta correcta, además el estudiante

deberá responder una serie de preguntas que le permitirá sintetizar el trabajo realizado

en clases.

Para esto se debe considerar:


En la primera parte de esta sección se pretende que el estudiante refuerce

y practiquen lo aprendido en forma individual.

En la segunda parte de las preguntas de síntesis es importante dar un

tiempo pertinente para que los estudiantes puedan dar su respuesta.

Es recomendable revisar cada una de las respuestas como grupo curso, y

que ciertos alumnos a los cuales les costó más el trabajo realizado en clases

den respuestas a esas interrogantes.

En esta sección el docente debe dar especial énfasis a la definición de

simplificación de expresiones algebraicas fraccionarias simples, que los alumnos sigan los

procedimientos que deben realizar para poder simplificar.

La estrategia utilizada en esta sección es centrada en el alumno, la cual hace

referencia a la solución de problemas, en este caso el docente debe explicar de la manera

más clara posible los conceptos, ya sea graficando o ejemplificando para así lograr que

todos los alumnos hayan cumplido con el objetivo propuesto en clases.


Material del estudiante N°1

Actividad: Simplifiquemos fracciones algebraicas

Nombre:_________________________________________ Fecha:________

Conceptos claves: máximo común divisor, simplificación de fracciones numéricas,

factorización de expresiones algebraicas, fracción irreductible.

Recurso: Guía

Un viaje en el tiempo: recordemos lo que sabemos.

Martina y Joaquín discuten acerca de un problema que les planteó el profesor en la clase

de matemática. La problemática consistía en simplificar la expresión

Como pista el profesor les dice que pueden utilizar métodos vistos en años anteriores,

Martina y Joaquín no encuentran una respuesta que los convenza de tener la solución

correcta. Ayudémoslos para que encuentren la respuesta.

Es momento de recordemos conceptos ya aprendidos para llegar a la respuesta correcta.

1. ¿Cuándo dos números se consideran primos?

2. Una fracción cuyo numerador y denominador son primos entre sí se llama

irreductible. Escribe un ejemplo de una fracción reductible (que se puede simplificar) y

una irreductible.

Debemos considerar….

En álgebra dos expresiones son primas entre sí cuando no es posible factorizarlas a la vez

por una misma expresión distinta de 1.


Ejemplo: Observa las siguientes factorizaciones y su correspondiente factorización.

1.

2. 2.

3. 3.

Expresiones

1 y 2 Se pueden factorizar simultáneamente por . Por lo tanto

las expresiones no son primas entre sí.

1 y 3 Se pueden factorizar simultáneamente por . Por lo tanto,

las expresiones no son primas entre sí.

2 y 3 No tiene factores comunes, por lo tanto las expresiones son

primas entre sí.

3. Escribe 1 ejemplo de expresiones algebraicas fraccionarias irreductibles.

Manos a la obra: hacia un nuevo concepto

1. Utilicemos la descomposición en factores primos para simplificar la siguiente fracción

numérica.

Una expresión algebraica fraccionaria cuyo numerador y denominador son primos entre sí, se

dice irreductible.

Recordemos: Simplificar una fracción es obtener una fracción

equivalente irreductible es decir el numerador y el denominador

de una fracción son primos entre si. En las expresiones

algebraicas fraccionarias el proceso de simplificación se realiza

de manera análoga.


Volviendo a nuestro problema inicial entre Martina y Joaquín:

2. ¿Cuál será la factorización del numerador de la expresión algebraica fraccionaria?

3. ¿Hay factorizaciones simultáneas entre el numerador y el denominador? ¿Cuáles son?

4. Si simplificamos el numerador y el denominador por el o los factores comunes, la

expresión queda reducida a:

Para simplificar expresiones algebraicas se utilizara el método que consiste en factorizar el numerador y

el denominador.


¿Son iguales?: verifiquemos las igualdades entre expresiones

A continuación deberás verificar la validez de algunas expresiones fraccionarias

propuestas, desde lo numérico hasta lo algebraico aquí debes utilizar lo que hemos

desarrollado hoy en esta actividad.

1. Verifica la validez de las siguientes igualdades, recuerda mostrar tu procedimiento.

Para finalizar…. Debemos considerar.

2. ¿Qué significa simplificar una expresión algebraica fraccionaria?


3. ¿Qué operaciones y propiedades debes considerar al momento de simplificar una

fracción algebraica?


Actividad: “Sumemos fracciones algebraicas”


Conceptos clave: Mínimo común múltiplo, factorización de expresiones algebraicas,

simplificación de fracciones algebraicas, fracción irreductible.

Descripción del recurso que utilizara: Para instaurar el concepto de Adición de

expresiones algebraicas fraccionarias por medio de la utilización de procedimientos que

utilizábamos en las fracciones numéricas, se les presenta a los estudiantes la actividad

llamada “Sumemos Fracciones Algebraicas”, esta actividad pretende que por medio de los

mecanismo que habitualmente se utilizan en la adición de fracciones numéricas puedan

encontrar un método similar en las expresiones algebraicas fraccionarias, utilizando así

técnicas aprendidas en cursos anteriores.

Fundamentación de la actividad:

La actividad “Sumemos fracciones algebraicas” está desarrollada bajo los Planes y

Programas propuestos por el Ministerio de Educación en el Nivel de 2º Año de Enseñanza

Media, en el eje de Álgebra, teniendo en cuenta el Objetivo Fundamental: “[…]

Establecer estrategias para operar con expresiones algebraicas fraccionarias y comprender

que estas operaciones tienen sentido solo en aquellos casos en que están definidas” y el

Contenido Mínimo Obligatorio: “Establecimiento de estrategias para simplificar, sumar,

restar, multiplicar y dividir fracciones algebraicas simples, con binomios tanto en el

numerador como en el denominador y determinación de aquellos valores que indefinen

una expresi n algebraica fraccionaria”. Teniendo como resguardo los Mapas de Progreso

del Aprendizaje correspondiente al Nivel 5, donde los alumnos logran transformar

expresiones algebraicas de forma entera y fraccionaria haciendo uso de convenciones del

álgebra, y el Aprendizaje Esperado: “Establecer estrategias para simplificar, sumar, restar,

multiplicar y dividir fracciones algebraicas con binomios tanto en el numerador como en el

denominador”.

Según lo anterior se desprende el siguiente objetivo de la clase: “Relacionar la

operatoria de números fraccionarios con la operatoria de las expresiones algebraicas

fraccionarias, y establecer analogías”.

Esta actividad pretende desarrollar habilidades como realiza cálculos mentales y

escritos, para así poder desarrollar simplificaciones y más adelante adiciones y

sustracciones de expresiones algebraicas fraccionarias simples.

Para que la realización de esta actividad sea exitosa es necesario que los alumnos

dominen las expresiones algebraicas fraccionarias, es decir que ellos sean capaces de


simplificar fracciones algebraicas, identificar y calcular el m.cm y operar fracciones

numéricas.

Al finalizar esta la actividad “Sumemos fracciones algebraicas” los estudiantes

deberán ser capaces de realizar las cuatro operaciones con fracciones algebraicas

pudiendo así simplificarla y obtener fracciones irreductibles.


“Sumemos fracciones algebraicas” se divide en tres secciones: “En años anteriores,

¿Cómo sumábamos fracciones numéricas?”, “Y ahora con las fracciones algebraicas

¿existirá alguna relación?” y “¿Sucederá lo mismo con las demás operaciones?”, de

acuerdo a los tres momentos de la clase.

Durante En años anteriores, ¿Cómo sumábamos fracciones numéricas?

Esta sección corresponde al inicio de la clase donde se les plantea a los

estudiantes una problemática a resolver, la cual nos permitirán desarrollar el concepto

que se pretende, para facilitar el desarrollo de la actividad se pretende comenzar

abarcando concepto que los estudiantes ya han visto como lo es: mínimo común múltiplo

y el procedimiento que se realiza para sumar o restar expresiones numéricas ya que esta

guía pretende aplicar los contenidos de simplificación, factorización el cálculo de m.c.m,

para esto se trata en primer lugar las fracciones numéricas para que los estudiantes

puedan reconocer alguna similitud con las expresiones algebraicas fraccionarias y que

entiendan que por más que una fracción tenga letras (términos algebraicos) no es distinta

la operatoria a la que realizamos con los números.

Es importante que el docente tenga en consideración que los estudiantes muchas

veces no logran establecer una relación clara entre lo numérico y lo algebraico. Por otra

parte, el proceso en sí resulta abstracto para los estudiantes que en muchos casos no

logran “ver” lo que están haciendo, es por esto que es muy importante que el docente se

asegure de que el total del curso o gran parte del logre responder las preguntas

planteadas en esta sección, de no ser así el docente deberá practicar con mas ejercicios

para que lo que estaba débil sea reforzado y dejar claro se debe obtener el m.c.m.






Durante Y ahora con las fracciones algebraicas ¿existirá alguna relación?

Esta sección corresponde al desarrollo de la clase, aquí los estudiantes deberán

encontrar el m.c.m. de expresiones algebraicas, el cual les facilitará reconocer que el


procedimiento de adición de expresiones algebraicas es similar al de las fracciones

numéricas, es importante que el docente tenga en consideración los siguiente:

Si con los ejercicios que se han planteado en la guía los estudiantes no han

logrado reconocer y calcular el mínimo común múltiplo es necesario que el

profesor les plantee en la pizarra para que los estudiantes los desarrollen

es está y si es necesario que este los guie.

Para el desarrollo posterior de esta sección el docente deberá:

Destinar tiempo adecuado para que los estudiantes puedan resolver los

ejercicios que se les plantean ya que tanto en la adición como en la

sustracción de fracciones algebraicas, los y las estudiantes pueden

demorarse mucho en resolver cada ejercicio, ya sea porque se demoran en

reconocer los factores de cada expresión algebraica o también porque se

confunden fácilmente con el procedimiento, si lo intentan aplicar

mecánicamente.

Llevar un registro de los procesos y progresos de los estudiantes en cuanto

al cálculo de m.c.m en expresiones algebraicas fraccionarias, es necesario

que el docente se asegure de que sus estudiantes recuerden la clase en

donde realizaron la factorización de expresiones algebraicas y la

simplificación de expresiones algebraicas fraccionarias.

En esta sección se pretende que los estudiantes establezcan la solución al

problema que se les presento en el inicio de la clase por lo que se espera que los

estudiantes sumen la fracción algebraica.



información.

Durante ¿Sucederá lo mismo con las demás operaciones?

Para finalizar el material del estudiante, esta sección tiene como objetivo que el

estudiantes establezca si la relación existente entre la suma de fracciones algebraicas con

la suma de fracciones numéricas también existirá con las otras tres operaciones (resta,

multiplicación y división), además el estudiante deberá responder una serie de preguntas

las cuales tienen como objetivo sintetizar el trabajo realizado durante esta actividad.

Para el desarrollo de esta sección es importante que el docente deba considerar lo

siguiente:

En la primera etapa revisar el procedimiento que realizan los estudiantes en

la obtención de los ejercicios, y verificar si el procedimiento que utilizan con

las fracciones numéricas es asertivo o si existe alguna confusión en este, de


ser así deberá repasarlo en pizarra para que a todos los integrantes del

grupo curso hayan aclarado su confusión.

En la segunda parte de la síntesis es importante dar un tiempo adecuado

para que todos los estudiantes puedan responder.

Es recomendable que el docente revise las respuestas en forma general y

que los estudiantes a los cuales tuvieron mayores dificultades en el

desarrollo de la guía sean los que expongan sus respuestas.

En esta sección el docente debe dar especial énfasis al establecimiento de los

procedimientos necesarios para realizar las operaciones con expresiones algebraicas

fraccionarias simples y que además ellos al obtener el resultado apliquen la simplificación

de fracciones algebraicas para así poder obtener fracciones irreductibles en el caso que

sea necesario.

La estrategia utilizada en esta sección es centrada en el alumno, la cual hace

referencia a la solución de problemas, en este caso el docente debe explicar de la manera

más clara posible los conceptos, ya sea graficando o ejemplificando para así lograr que

todos los alumnos hayan cumplan con el objetivo propuesto en clases.



Actividad: Sumemos Fracciones Algebraicas.

Nombre:_________________________________________ Fecha:________

Conceptos claves: mínimo común múltiplo, factorización de expresiones algebraicas,

simplificación de fracciones algebraicas, fracción irreductible.

Recurso: Guía

En años anteriores ¿Cómo sumábamos fracciones numéricas?

En una clase de matemática el profesor pretende que sus estudiantes comiencen realizar

operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias, para esto le pide que realicen la

siguiente operación:

Recordemos que hacíamos antes con las fracciones numéricas.

4. ¿Qué procedimientos debemos considerar al momento de sumar fracciones?

5. Encontremos el m.c.m entre los siguientes números, ¿Cómo lo obtuviste?

6. Ahora que ya hemos recordado como obtener el m.c.m sumemos las siguientes

fracciones numéricas.

o

o

o


7. Compara tus respuestas con las de tus compañeros, ¿existe alguna diferencia entre el

resultado de ellos con el tuyo?, ¿si es que lo hay por qué crees que sucede?

Y ahora con las fracciones algebraicas… ¿existirá alguna relación?

5. Encontremos el m.c.m de los siguientes términos algebraicos.

o

o

o


6. ¿Podremos utilizar el procedimiento que utilizábamos con las fracciones numéricas

para encontrar la solución de las siguientes expresiones fraccionarías? Intentémoslo

7. ¿Cuál será la respuesta que los estudiantes deberían darle al profesor?

=

¿Sucederá lo mismo con las demás operaciones?

1. ¿Cuáles son los procedimientos que debemos considerar al momento de sumar

expresiones algebraicas fraccionarias?


2. ¿Serán válidos para la resta? Verifiquémoslo

3. Si con la suma y la resta funciona ¿Crees que con la multiplicación y la división

suceda también? ¿Cómo se multiplican las fracciones numéricas?

4. Y con la división de fracciones numéricas ¿Qué debías realizar para realizarla?


5. Ahora que ya recordaste como se realizaba el proceso de multiplicación y división

de fracciones numéricas, llego el momento de que veamos que pasa con las

fracciones algebraicas, así que realiza las siguientes operaciones y compara tus

respuestas con las de tus compañeros.


6. ¿Es válido el proceso de las operaciones con fracciones numéricas para las

expresiones algebraicas fraccionarias?

7. ¿Qué debemos considerar para realizar las operaciones con expresiones

algebraicas fraccionarias?

Las actividades que realizaste en esta guía tuvieron como propósito que

encontraras las relaciones que existen entre la operatoria de fracciones algebraicas con las

numéricas, para esto recordamos los procedimientos que aprendimos en años anteriores

y los aplicamos a las expresiones algebraicas fraccionarias.

Ahora solo queda verificar para que valores numéricos estas indefinidas, concepto que

trabajaremos en sesión posteriores.


Actividad: Encontrando Soluciones.

Orientaciones Metodológicas Conceptos clave: Ecuaciones lineales con dos incógnitas, planteó de ecuaciones lineales

con dos incógnitas, análisis de las soluciones.

Descripción del recurso que utilizar: Power Point de apoyo para realizar de mejor manera

la actividad.


La actividad “Tienda de CD” pretende que los estudiantes generar conjeturas y reconocer

sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Ésta actividad se sitúa según los Planes

y Programas propuestos por el Ministerio de Educación en el Nivel de 2º Año de

Enseñanza Media, en el eje de Álgebra, teniendo en cuenta el Objetivo Fundamental:

“Modelar situaciones o fenómenos cuyos modelos resultantes sean sistemas de ecuaciones

lineales con dos incógnitas.” y el Contenido Mínimo Obligatorio:”Reconocimiento de

sistemas de ecuaciones lineales como modelos que surgen de diversas situaciones o

fenómenos.”Teniendo como resguardo los Mapas de Progreso del Aprendizaje

correspondiente al Nivel 5, donde los alumnos logran resuelven sistemas de ecuaciones

lineales en forma algebraica y gráfica, y el Aprendizaje Esperado: “Identificar sistemas de

ecuaciones lineales con dos inc gnitas algebraicamente.”

A partir de lo anterior se desprende el Objetivo de la clase como: “generar

conjeturas y reconocer sistema de ecuaciones lineales con dos inc gnitas.”

Esta actividad pretende desarrollar habilidades determinar y describir o usar

relaciones entre variables u objetos en situaciones matemáticas; Conectar conocimientos

nuevos con conocimientos existentes; hacer conexiones entre diferentes elementos de

conocimiento y representaciones relacionadas; vincular ideas u objetos matemáticos

relacionados.

Para el desarrollo de esta actividad es de suma importancia que el estudiante posea

ciertas conductas de entradas que le permitan comprender el nuevo concepto estas

corresponden a ecuación de primer grado con una incógnita, expresiones algebraicas,

además de traspasar de lenguaje natural al lenguaje algebraico.


La actividad “Tienda de CD” está dividida en tres secciones, en donde están presentes los

tres momentos de la clase.

El propósito de esta actividad es que a partir de una problemática de la venda de CD de

una tienda en particular, podamos llevar a los alumnos a modelar a través de ecuaciones

lineales con dos incógnitas, en donde descubrirán la importancia de los sistemas de


ecuaciones, pudiendo analizar que no es necesaria solo una información del problema

para resolverlo, sino que necesitan la existencia de la información complementaria, para

que este se pueda tener una única solución que es la válida para el problema.

La estrategia utilizada en esta actividad es “La Interrogación Didáctica”, ya que el profesor

les presenta la problemática mencionada anteriormente, y a través de la formulación de

preguntas, relacionada con la actividad los guía hacia el objetivo de esta, que es generar

conjeturas y identificar sistema de ecuaciones lineales de dos incógnitas.

En el momento de inicio en la sección “Tienda de CD”, se presentara una situación

problemática, donde el alumno debe formular una ecuación lineal de dos incógnitas, que

a través de una serie de preguntas presentadas en esta sección, las que tiene el propósito

de que el alumno analice si existe más de una solución para nuestro problema, ahí es

donde el docente juega un papel importante a la hora de llevar la actividad, el debe ser

capaz de conllevar cualquiera sea la situación que se presente, una de ellas puede ser que

en la pregunta tres de esta sección, el alumno le acierte a la respuesta correcta del

problema, se le recomienda al docente no decirles que está mal sino que simplemente es

una solución más al problema, luego él podrá sacar sus propias conclusiones con la

respuesta final, además en esta sección el objetivo es que el alumno analice que existe

más de una solución que acierte al problema.

En el momento de desarrollo ya logrado el objetivo en la primera sección, se continúa

con la sección “investiguemos soluciones”, aquí se le presenta al alumno una tabla con

datos que servirán para comprobar que existen diversos valores para cada variable que

satisfacen la ecuación, con ello se instala en el estudiante que existen infinitas soluciones

que da respuesta a la pregunta inicial, si este no se logra el docente debe saber realizar

énfasis en que ello se dé cuenta de lo anterior mencionado.

Ya que el docente logro instalar lo antes mencionado, se le enfoca en la pregunta número

tres de esta sección donde se les plantea que nos hará falta para saber exactamente las

cantidad de CD que se vendieron en la tienda, es donde este debe darse cuenta que

alguna información adicional nos podrá ayudar a descubrir la solución de nuestra

ecuación, si esto no se logra el docente debe enfatizar de manera de orientar al alumno,


de manera que se dé cuenta que nos falta información para responder a la pregunta de el

comienzo.

Y finalmente el momento de cierre en la sección “Necesitamos información” se le

entrega información adicional, pidiendo que analicen si ahora es plausible responder la

pregunta planteada en el problema y cuál es la cantidad de Cd´s de Reggaetón y de Rock

que se vendieron en la tienda, es por ello que el docente le presenta el nuevo concepto,

explicando que lo que acaban de utilizar es un sistema de ecuaciones lineales, donde a

través de la estrategia “complete la oración”, se le formaliza la definición de sistema de

ecuaciones.


Material del estudiante N°3 Actividad: Encontrando Soluciones.

Nombre:_________________________________________ Fecha:________ Conceptos claves: Ecuaciones lineales con dos incógnitas, Planteo de ecuaciones lineales

con dos incógnitas, Análisis de las soluciones.

Recurso: Power Point.

“Tienda de CD” Una tienda de música “La Metralleta” recaudó en una semana $ 360 000 pesos por la venta de discos compactos de Reggaetón y de Rock. El precio de los CD de reggaetones es de $6000 pesos cada uno y el de los CD de rock es $8000 pesos cada uno. ¿Cuántos discos de Reggaetón y Rock se vendieron durante la semana?

1. ¿Cuáles son las variables del problema? Ya identificadas, asígnales una letra para distinguirlas.

2. ¿Podrías plantear una ecuación para resolver la situación?, ¿cuál?(Recuerda que cada variable asignada corresponde a la cantidad de Cd vendido en la tienda)

3. ¿Es correcto afirmar que se vendieron 20 CD de reggaetón y 30 de rock? , ¿Sera la única solución? ¿por qué?


“Investiguemos Soluciones” Ahora que pasa si las variables de la ecuación, toman los siguientes valores, reemplázalo en la ecuación que planteaste en la primera sección:

Cd de Reggaetón 0 25 90

Cd de Rock 25 15

1. ¿Qué puedes decir de lo anterior?, ¿por qué crees que ocurre esto?

2. Ayudando por tu tabla ¿Qué valores, de la cantidad de CD, es correcto que se vendan en la tienda?

3. Ahora con la información analizada, ¿Podemos saber exactamente cuántos CD se vendieron de cada uno? ¿Qué crees que nos falta para saberlo?

Recuerda: Una ecuación de primer grado con dos incógnitas tiene infinitas soluciones.


“Necesitamos Información” Si a la situación anterior se agrega el hecho de que la cantidad de Cd de Rock es 55 Cd menos la cantidad de Cd de Reggaetón.

1. Como planteamos la nueva ecuación

2. Ahora con ambas ecuaciones podremos responder nuestra pregunta inicial que decía ¿Cuántos discos de Reggaetón y Rock se vendieron durante la semana?

Completa Junto con tu profesor

“Es importante destacar, una situación que se modela por una ecuación con dos incógnitas no

tiene necesariamente infinitas soluciones, pues se debe comprobar la pertinencia de las

soluciones encontradas.”

Un _________________________es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas. Una ___________ al sistema corresponde a un valor para cada incógnita, de modo que al remplazarlas en las ecuaciones se satisface la igualdad.


Actividad: “Observando soluciones en el plano cartesiano”


Conceptos clave: Ecuación lineal, sistemas de ecuaciones lineales, ecuación de la recta,

puntos que representan la recta en el plano cartesiano, grafica en el plano cartesiano,

resolver sistemas de ecuaciones lineales de dos incógnitas, intersección de rectas.


estudiante, el cual consiste en una guía que se desarrollará de manera individual, además

del software grafico GeoGebra que permite conectar representaciones geométricas,

algebraicas y numéricas.

Fundamentación de la actividad

La actividad “Observando soluciones en el plano cartesiano” pretende que los estudiantes

relacionen lo aprendido de sistemas de ecuaciones lineales y graficas en el plano

cartesiano. Ésta actividad se sitúa según los Planes y Programas propuestos por el

Ministerio de Educación en el Nivel de 2º Año de Enseñanza Media, en el eje de Álgebra,

teniendo en cuenta el Objetivo Fundamental: “Modelar situaciones o fenómenos cuyos

modelos resultantes sean sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.” y el

Contenido Mínimo Obligatorio: “Resolución de problemas asociados a sistemas de

ecuaciones lineales con dos incógnitas, en contextos variados; representación en el plano

cartesiano usando un software gráfico y discusión de la existencia y pertinencia de las

soluciones”Teniendo como resguardo los Mapas de Progreso del Aprendizaje

correspondiente al Nivel 5, Utiliza un software para determinar si un sistema de dos

ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene una, infinitas o no tiene solución.”, y el

Aprendizaje Esperado: “Resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas,

grafica y algebraicamente”

A partir de lo anterior se desprende el Objetivo de la clase como: “Relacionar la

intersección de rectas en el plano cartesiano con la solución de los sistemas de ecuaciones

lineales de dos incógnitas”.

Para ello, es necesario utilizar la gráfica de las dos rectas que componen el sistema

de ecuación, ya que de esta manera el estudiante puede conjeturar que la solución de

dicho sistema se representa geométricamente con la intersección de la recta y usando

esto analizar la existencia de soluciones.

Para un correcto desarrollo de la actividad, es necesario que los estudiantes dominen

aprendizajes anteriores tales como la representación gráfica de las rectas, y la resolución

de sistemas de ecuaciones lineales de dos incógnitas. Ya que el objetivo principal de la

actividad es que los estudiantes relacionen la solución de los sistemas mediante la

intersección de las rectas, y así analizar de forma gráfica de las distintas soluciones.


Por ende esta actividad deberá ser llevada a cabo después de haber trabajado

anteriormente con desarrollo de sistemas de ecuaciones lineales, que corresponde a la

misma unidad, y también que se haya abordado la gráfica de funciones lineales.

El alumno, después de la actividad, estará preparado para representar los sistemas

de ecuaciones lineales en el plano cartesiano y analizar mediante esto sus soluciones.


Para comenzar la actividad el docente debe realizar recolección de aprendizajes previos,

rescatando así los diversos contenidos a utilizar en la actividad, mediante el recurso lluvia

de ideas y a apoyado por el recurso visual Power point donde el profesor deberá ayudar al

alumno a recordar y fortalecer los conocimientos de las clases anteriores, los cuales son

necesario para el correcto desarrollo de la actividad.

“Observando soluciones en el plano cartesiano “se divide en tres secciones:

“Representemos las rectas en el plano cartesiano y relación con sistemas de ecuaciones”,”

¿Dónde se encuentran las soluciones?”, y Reforcemos lo aprendido”, de acuerdo a los tres

momentos de la clase.

En la sección Representemos las rectas en el plano cartesiano y relación con sistemas de

ecuaciones esta sección es el inicio, donde se le presenta en primera instancia dos

ecuaciones lineales con dos incógnitas, las cuales se representan de manera grafica y

puedan observar que su solución es la intersección de las rectas, pudiendo obtener

conclusiones sobre ello. Esta actividad pretende que los estudiantes conjeturen la relación

que existe entre la forma gráfica y la algebraica de los sistemas de ecuaciones. El docente

debe tener en cuenta que no todos los estudiantes dominan el contenido visto, es por ello

que para asegurase de terminar con éxito esta sección debe procurar que los estudiantes

recuerden resolver sistemas de ecuaciones. Además se le recomienda al docente tener

mucha rigurosidad a la hora de prestarle atención a la manera que los alumnos grafiquen

las rectas, pues suele suceder que no recuerdan como graficarlas y conllevaría al fracaso

de la actividad. Al responder la pregunta es necesario recordar además de que las

ecuaciones lineales de primer grado de dos incógnitas representan rectas , necesario que

el docente ratifique que todos los alumnos grafiquen las mismas rectas, además que este

de el tiempo necesario para que los estudiantes desarrollen la sección, pudiendo así

apoyar cualquier tipo de duda que le surja al alumno, un error frecuente que comenten

los estudiante es dibujar mal las rectas debido a que no usan los instrumentos adecuados,

es por esta razón que se recomienda que el docente exija orden y que lo hagan de forma


ordenada o que el profesor tenga una diapositiva con las gráficas desarrolladas y listas

para continuar con la actividad, ya que de esta manera identifiquen correctamente el

punto de intersección, teniendo en cuenta que el estudiante puede observar otros

elementos diferente al objetivo.

En momentos sucede que el estudiante no esté seguro de lo que está descubriendo, para

ello se le sugiere al docente poder realizar otro ejemplo para así este pueda comprobar

que es correcto lo que acaba de construir.

En la sección ¿Dónde se encuentran las soluciones?, en esta parte de la actividad se le

presentan tres situaciones al estudiante donde cada una de ella representa a los tipos de

soluciones de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas que son solución

única, no existe solución y soluciones infinitas.

Además durante esta sección es estudiantes es apoyado a través del software grafico

GeoGebra.

Durante la sección se recomienda que los alumnos grafiquen las rectas de manera ordena

ósea representar un sistema a vez y sepan manipular de manera correcta el procesador

geométrico. A continuación se propone discutir en grupo las diversas preguntas

presentada, con el objetivo que estos puedan darse cuenta de las diversas situaciones en

la resolución de sistemas de ecuaciones con dos incognitas.se le recomienda al docente a

ser énfasis en las discusión de las preguntas, pudiendo establecer las tres situaciones sin

que quede ninguna sin conclusión en forma particular la tercera situación que

corresponde al sistema que posee solución única.

Al responder las preguntas el docente debe insistir en que se enfaticen la relación que

existen entre la forma gráfica y algebraica de las soluciones y de cómo reconocer cuando

los sistemas tiene o no tiene solución y cuantas.

Para finalizar en la sección Reforcemos lo aprendido se le resume al estudiante cual fue

el propósito de la guía. Además de poder acentuar los aprendizajes para asegúranos que

todos los estudiantes formalicen de la misma manera.

Se les presentas las tres soluciones donde ellos mediante la estrategia “complete la

oración” puedan formalizar el objetivo de la guía, logrando así que el estudiante relacione

la solucione de los sistemas de ecuaciones con dos incógnitas de manera grafica.

Se le recomienda al docente seleccionar estudiantes al azar, de preferencias los que

estuvieron más desatentos durante el desarrollo de la guía, para asegurarse que todos

aprendieron y si se suscitan errores deben utilizarlos de manera de corregir el error para

así reforzar el conocimiento.


Material del Estudiante N°4

Actividad: “Observando soluciones en el plano cartesiano”

Nombre:___________________________________________ Fecha:________ Conceptos claves: ecuación lineal, sistemas de ecuaciones lineales, ecuación de la recta, puntos que representan la recta en el plano cartesiano, grafica en el plano cartesiano, resolver sistemas de ecuaciones lineales de dos incógnitas, intersección de rectas. Recurso: Presentación en Power Point. Objetivo: Relacionar la intersección de rectas en el plano cartesiano con la solución de los sistemas de ecuaciones lineales de dos incógnitas. “Representemos las rectas en el plano cartesiano y relación con sistemas de ecuaciones” Sabemos que las ecuaciones lineales y , pueden ser representadas por separados en el plano cartesiano, te invitamos a descubrir que es lo que representan.

1. Completa la tabla con sus respectivos datos y luego lleva los resultados a los gráficos.

-1

0

1


-1

0

1

De lo anterior responde: ¿Qué es lo que representan en el plano cartesiano?

2. Ahora toma las dos rectas anteriores y grafícalas en un solo plano cartesiano, responde las siguientes preguntas.

Tenemos las rectas:


Ayudándote por la grafica:

3. ¿Se intersectan las rectas? ¿Cuál es el punto donde intersección de las rectas?

4. ¿Si resolvemos el sistema de ecuaciones lineales de dos incógnitas, cual es la solución?

5. ¿Qué relación podemos establecer, con la intersección de rectas y la solución de los sistemas de ecuaciones de esas dos rectas?


¿Dónde se encuentran las soluciones? Ahora, usando el recurso digital, podrás observar y comparar distintos tipos de sistemas de ecuaciones lineales según el tipo de solución que posean.

1. Usa GeoGebra para graficar los sistemas de ecuaciones lineales:

Situación N°1 Situación N° 2 Situación N°3

2. Discute junto con tus compañeros/as las siguientes preguntas.

¿Qué ocurre con la gráfica del primer sistema?, ¿por qué GeoGebra traduce la ecuación 3x -9y = 15 como x -3 y = 5?, ¿qué valores de x e y satisfacen ambas ecuaciones?

¿Qué diferencia hay entre la gráfica del primer sistema y la del segundo?, ¿qué valores de x e y satisfacen el segundo sistema de ecuaciones?

¿Qué sucede con la solución del tercer sistema?

3. ¿Qué puedes concluir con respecto a las soluciones de estos tres sistemas de ecuaciones?


Reforcemos lo aprendido Las actividades que realizaste en esta guía tuvieron como propósito que usaras el computador para graficar y resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante el método gráfico En estos momentos sabemos que los sistemas de ecuaciones lineales de dos incógnitas representan por separado una recta en el plano cartesiano. Es posible entonces graficar y conectar lo algebraico con lo geométrico. Ahora responde:

1. Al resolver un sistema de ecuaciones lineales se pueden encontrar distintos escenarios. ¿Cuáles son los casos posibles con respecto a la solución del sistema?, ¿qué significa cada uno de ellos?

Se cortan en un punto se dice que tiene solución ________.

Que no se corten, ósea son rectas paralelas, se dice que tiene solución _______.

Ambos coincidan, la misma recta, se dice que tiene ________ soluciones.

Los sistemas de ecuaciones lineales de dos incógnitas, pueden representarse en el plano cartesiano, cuya solución geométricamente es el punto de __________ de ambas rectas.


Actividad: “Jugando a analizar la función Exponencial”


Conceptos clave: Función exponencial, función creciente, función decreciente,, plano

cartesiano, gráfica de una función.


estudiante, el cual consiste en una guía que se desarrollará de manera individual , además

del recurso “Graficador NLVM” que consiste es un manipulativo virtual que permite

graficar diferentes funciones, variar coeficientes, la escala y rastrear la curva.

Fundamentación de la actividad:

La actividad “jugando a analizar la función exponencial” pretende que los estudiantes

adquieran estrategias para realizar el estudio analítico de la gráfica de la función

exponencial. Ésta actividad se sitúa según los Planes y Programas propuestos por el

Ministerio de Educación en el Nivel de 2º Año de Enseñanza Media, en el eje de Álgebra,

teniendo en cuenta el Objetivo Fundamental: “Utilizar las funciones exponencial,

logarítmica y raíz cuadrada como modelos de situaciones o fenómenos en contextos

significativos y representarlas gráficamente en forma manual o usando herramientas

tecnológicas.” y el Contenido Mínimo Obligatorio: “Uso de un software gráfico en la

interpretación de funciones exponenciales, logarítmicas y raíz cuadrada; análisis de las

situaciones que modela y estudio de las variaciones que se producen por la modificación

de sus parámetros.”Teniendo como resguardo los Mapas de Progreso del Aprendizaje

correspondiente al Nivel 5, “Reconoce el tipo de situaciones que modelan las funciones

exponencial, logarítmica y raíz cuadrada, y las representa a través de tablas, gráficos y

algebraicamente”, y el Aprendizaje Esperado: “Analizar gráficamente la función

exponencial, en forma manual y con herramientas tecnol gicas.”

A partir de lo anterior se desprende el Objetivo de la clase como: “Lograrán

analizar la situaciones que modelan la funci n exponencial”

Para el desarrollo de esta actividad es importante que el estudiante posea ciertas

conductas de entradas que le permitan comprender el nuevo concepto estas

corresponden, al concepto de potencia, contenidos que se relacionan de forma directa

con la función exponencial y que facilitan el análisis e interpretación de la misma. Además

para obtener un buen desarrollo de la clase los estudiantes deben ser capaces de

reconocer un plano cartesiano, la gráfica de la función. Esto es porque deberán saber

cómo graficar una función, que independiente de la función que sea, podrán obtener un

trazo que deberán interpretar más adelante (esto por medio de una tabla de valores que

realizarán en el comienzo de la clase).


Al finalizar esta la actividad “juguemos a analizar la función exponencial” los estudiantes

deberán ser capaces de analizar las situaciones que modelan la función exponencial.


“juguemos a analizar la función exponencial” se divide en tres secciones: “Juguemos”, “la

función exponencial aplicada” y “Síntesis”, de acuerdo a los tres momentos de la clase.

En la sección “Juguemos”: En la sección es el inicio de la actividad, donde se realizan

preguntas previas a los estudiantes buscando introducir el concepto de función

exponencial, mediante la tabla de datos donde se le pide dar valores a cada función y

luego graficarlas pudiendo responder a cada preguntas, en segunda instancia se les

cambia la base de la potencia y se les pide que realicen lo mismo realizando

anteriormente, con el objetivo de introducir al alumno al concepto. Es por ello que se le

sugiere al docente realizar énfasis en que los alumnos desarrollen de manera correcta el

cálculo de las potencias, para ello del docente debe preguntar si recuerdan bien como

realizar, pudiendo así lograr que los alumnos interactúen entre ellos para así poder

desprender ideas que se les vaya ocurriendo. Se les recomienda que el docente aborde las

dudas de las preguntas posteriores, donde deben evaluar la función en el valor “0”,

dejando que los alumnos concluyan para luego formalizar lo que ocurre, sobre todo

cuando comiencen a graficar. Una vez más, el profesor esperará las conclusiones de los

estudiantes con respecto a si la gráfica de la función es creciente o decreciente. Debe

acogerse las mismas recomendaciones con las funciones exponenciales que han variado

su base.

Luego en la sección “la función exponencial aplicada”, se desarrolla la actividad, donde se

les plantea una problemática, la que pretende analizar situaciones que modela la función

exponencial, se realizan preguntas donde se pretende que alumno analice y responda con

respecto a lo pedido. Se recomienda que el docente realice una lectura pausada de la

actividad principal para esta clase. Este paso es fundamental, el profesor debe entregar

claridad, ya que los alumnos tendrán esta aplicación por primera vez, dado que la función

logarítmica será en un contexto cotidiano. Una vez que empiecen con el cálculo, se le

recomienda al docente que les haga ver a sus alumnos que pasa a media que los meses de

campaña aumentan con respecto a la cantidad de viviendas que se venden., con ello se

recomienda guiarlos a construir el grafico pudiendo apoyar en la actividad de la primera

sección y, mediante una pregunta clave, pedirles que entreguen ideas de la directa

comparación de los datos en el gráfico, esto con el fin de que comprendan la función en su

totalidad, como así determinen que va creciendo a cada valor asignado.


Para finalizar en la sección “Síntesis”, se pretende que el estudiante junto con el profesor

mediante la estrategia lluvia de ideas puedan concluir sobre características de la función

exponencial y cuál es su dominio y recorrido, para así el docente realizar un resumen de

lo aprendido, esto es a modo de reforzamiento para los que adquirieron el conocimiento y

ayudar a los que no fueron capaces de hacerlo, ya sea por desconcentración u otro

motivo. Se le recomienda al docente orientar a sus estudiantes en la optima utilización del

software, para que este esa significativo en términos de poder obtener conocimiento, una

vez obtenida la grafica, este debe orientar a los alumnos en las conclusiones, esto es por

podrían haber confusiones con el programa. Para esto el mismo docente es quién les hará

visualizar el objetivo principal, el cual es haber modelado la función exponencial.



Actividad: Jugando a analizar la función exponencial

Nombre:_________________________________________ Fecha:________

Conceptos claves: Grafica de una función, Recorrido, Dominio, Función creciente, Función

decreciente, Función.

Recurso: Graficador NLVM

Objetivo: Lograrán analizar la situaciones que modelan la función exponencial.

Juguemos

1. Mediante la siguiente tabla de valores, grafica las funciones exponenciales.

x

-2

-1

0

1

2


2. ¿Qué sucede al evaluar en ?

3. ¿Y en ?

4. ¿Estas funciones son crecientes o decrecientes?, ¿porqué?

Ahora desarrollen de la misma manera que en la actividad anterior las siguientes gráficas,

en caso que la base a, tome valores entre 0 < a < 1.

x

-2

-1

0

1

2

3


1. ¿Qué sucede al evaluar en ?

2. ¿Y en ?

3. ¿Estas funciones son crecientes o decrecientes?, ¿Porqué?


La función exponencial aplicada

Ya que hemos analizado las diferentes graficas correspondientes, veamos la situación

que modela la siguiente función exponencial:

En una empresa dedicada a vender viviendas decide colocar en marcha una campaña

publicitaria. La agencia proyecta que el número de viviendas que se venderán esta dado

por la siguiente expresión

En que x representa la cantidad de meses que transcurren una vez que empieza la

campaña.

1. Antes del comienzo de la campaña, ¿Cuántas viviendas se vendían?

2. ¿Cuántas se venden después de 5 meses? ¿7 meses? ¿9 meses?

3. ¿Cuál es el máximo que se espera vender?


4. Con la ayuda del software “Graficador NLVM”, esboza la función

5. Escriba la función exponencial en la entrada.

6. Analice los puntos x=0 e y=0 y concluya como lo hizo en las actividades anteriores.

7. ¿Es creciente o decreciente?¿por que?

¿Sabías Que? La función exponencial se utiliza en el mundo de los negocios, en la biología y en las ciencias sociales, el estudio del crecimiento de las variables es de mucho interés, ya que permite por ejemplo, predecir valores de las monedas, número de bacterias o poblaciones en el futuro.


Síntesis

Las actividades que realizaste en esta guía tuvieron como propósito que usaras el

computador para representar gráficamente distintas funciones exponenciales, analizar lo

que ocurre al variar sus parámetros en especial en la base y revisaras una aplicación en la

vida real. Ahora responde lo siguiente:

1. ¿Explica por qué en la función exponencial ( ) xf x a , “a” no puede ser un número

negativo?

2. ¿Cuál es el dominio y recorrido de una función exponencial?


Actividad: ¿Qué pasará si cambiamos los parámetros?


Conceptos clave: Función, dominio, recorrido, función raíz cuadrada, constante,

parámetro, grafica de una función.

Descripción del recurso que utilizara: El recurso que se utilizara para el desarrollo de esta

clase es el Graficador de funciones el cual es un recurso virtual que permite graficar

funciones, modificar sus coeficientes, cambiar la escala y rastrear la curva, en particular se

pueden estudiar las diferentes componentes de una gráfica. Este manipulativo permite,

variar la escala, acotar el dominio, incluir parámetros, rastrear la curva y graficar hasta

tres funciones en paralelo.


La actividad “¿Qué pasará si cambiamos los parámetros?” pretende que los

estudiantes interpreten cual es el comportamiento de la grafica de la función raíz

cuadrada, tanto de forma manual y con herramientas tecnológicas, identificando

características como el dominio, recorrido; y argumentar acerca de las variaciones que se

producen en la gráfica al modificar los parámetros de la función raíz cuadrada. Esta

actividad está situada según los Planes y Programas propuestos por el Ministerio de

Educación en el Nivel de 2º Año de Enseñanza Media, en el eje de Álgebra, teniendo en

cuenta el Objetivo Fundamental: “Utilizar las funciones exponencial, logarítmica y raíces

cuadrada como modelos de situaciones o fenómenos en contextos significativos y

representarlas gráficamente en forma manual o usando herramientas tecnol gicas” y el

Contenido Mínimo Obligatorio: “Uso de software gráfico en la interpretación de funciones

exponenciales, logarítmica y raíz cuadrada; análisis de las situaciones que modela y

estudio de las variaciones de sus parámetros”. Teniendo como resguardo los Mapas de

Progreso del Aprendizaje correspondiente al Nivel 5, donde los alumnos los alumnos

logran reconocer el tipo de situaciones que modelas las funciones lineal, afín, exponencial,

logarítmica y raíz cuadrada, y las representan a través de tablas, gráficos y

algebraicamente, y el Aprendizaje esperado: “Analizar gráficamente la funci n raíz

cuadrada, en forma manual y con herramientas tecnol gicas”.

De lo anterior se desprende el Objetivo de la clase como: “Relacionar las

variaciones en los parámetros de una función exponencial con la grafica de esta con ayuda

de un software grafico”.

Para poder desarrollar esta actividad es necesario que ésta se realice en el

laboratorio de computación que cuente con internet, ya que se trabajara en “Graficador

NLVM”. Esta herramienta es una calculadora grafica disponible en la web que no necesita


ser descargada ni instalada en el sistema, sino que se puede utilizar mediante un

navegador, que permite graficar hasta tres funciones a la vez diferenciándolas.

Se recomienda usar este software por lo fácil de usar, pero también se puede utilizar otras

calculadoras graficas disponibles en la web o programas como GeoGebra.

Además de contar con una herramienta tecnológica, para enfrentar con éxito la

actividad, los estudiantes deben manejar los conceptos tratados en la unidad en las clases

anteriores. Los alumnos deben reconocer una función raíz cuadrada, establecer el dominio

y recorrido de una función.

Al finalizar la actividad “¿Qué pasará si cambiamos los parámetros?” los

estudiantes estarán en condiciones de identificar la grafica de la función raíz cuadrada al

modificar sus parámetros además de que a partir de la grafica puedan identificar cual es la

función (en términos algebraicos) que les corresponde.


La actividad “¿Qué pasará si cambiamos los parámetros?” se divide en tres secciones:

“Preguntas previas”, “Estudiando la gráfica de la función raíz cuadrada con el

computador” y “En búsqueda de algunas generalidades”, de acuerdo a los tres momentos

de la clase.

Durante Preguntas previas

Esta sección corresponde al inicio de la clase, donde los estudiantes realizarán un

pequeño repaso de lo que trabajaron en las clases anteriores para esto se les presenta

una serie de preguntas que ellos deben responder.

Una vez presentada la actividad, se sugiere pasar rápidamente por las palabras

claves. En esta sección se sugiere NO entrar en demasiados detalles con la gráfica de la

función raíz cuadrada, sus coeficientes, dominio y recorrido, ya que estos temas se

trabajan en el desarrollo y se formalizan en la síntesis.

El propósito de esta sección es que los estudiantes recuerden las condiciones

necesarias para que la función raíz cuadrada exista analizando el dominio y el recorrido

de esta.






Durante Estudiando la gráfica de la función raíz cuadrada con el computador

Esta sección corresponde al desarrollo de la clase, aquí los estudiantes se

encontraran con la presentación de recurso digital se sugiere proyectarlo y dar unos

minutos para que los estudiantes lo exploren. El profesor puede mostrar algunos ejemplos


de gráficas de funciones usando el recurso digital, en esta oportunidad puede aprovechar

de partir con algo que los estudiantes ya conocen, por ejemplo, con algunas gráficas de

funciones lineales que den un sentido al recurso.

Esta sección permite flexibilidad de trabajo, por lo que se sugiere al profesor dar la

oportunidad de que se realice tanto trabajo individual con el recurso digital como de

puesta en común a la hora de plantear las conjeturas.

El trabajo consiste en poner a prueba el estudio hecho hasta aquí, realizando

pequeñas variaciones en la función inicial, para así ampliar el estudio de las gráficas y

poner a prueba el sentido que tiene estos cambios según el contexto dado.

Si con los ejercicios planteados en la guía los estudiantes aun no logran identificar

las variaciones que se produce en la grafica al modificar los parámetros de la función, será

preciso que el profesor les de una serie de ejercicios en pizarra para que los alumnos los

desarrollen en la pizarra.



información.

Durante En búsqueda de algunas generalidades

El objetivo de esta sección es que se formalicen los conceptos y procedimientos

trabajados en la actividad, cabe destacar que el objetivo de esta actividad es que los

estudiantes sean capaces de relacionar la gráfica de la función raíz cuadrada con sus

coeficientes, estudiar su comportamiento, interpretar los resultados obtenidos según el

contexto y determinar el dominio y recorrido.

Es recomendable, dar unos minutos para que los estudiantes discutan acerca del

dominio y recorrido de la función escrita en forma general, para relacionarlo con la

sección “Preguntas previas”, aquí es fundamental que el profesor cuestione a los

estudiantes, respecto al dominio y recorrido de la función raíz cuadrada. Se sugiere al

docente que enfatice la discusión para responder cuando la función esta definida y

cuando no lo está.

Para finalizar se sugiere al docente una vez formalizado el trabajo de la actividad, y

si lo considera necesario volver a validar las preguntas.


Material del estudiante N°6 Actividad: ¿Qué pasará si cambiamos los parámetros?

Nombre:_________________________________________ Fecha:________

Conceptos claves: Función, dominio, recorrido, función raíz cuadrada, constante,

parámetro, grafica de una función.

Recurso: Graficador NLVM

Preguntas previas: recordemos lo que hemos aprendido

1. ¿Qué condiciones deben cumplir para que exista?

2. ¿Cuál era la grafica de la función raíz cuadrada?


3. ¿Cuál es dominio y recorrido de dicha función?

Estudiando la gráfica de la función raíz cuadrada con el computador

En el siguiente apartado podrás ver la representación gráfica de una función raíz

cuadrada, variar sus coeficientes, cambiar la escala y rastrear la curva.

Con el recurso digital grafica la función

y registra la grafica en el siguiente

cuadro, en la opción “Ventana” establece , para visualizar mejor la gráfica.


1. ¿Se modifico en algo la grafica de la función? ¿que crees que afecto en la grafica?

Ahora en el recurso digital grafica simultáneamente , +1

2. ¿Qué sucede con la gráfica de las funciones?

3. ¿Qué sucede con la gráfica de con respecto a ?

4. ¿Y con +1 con respecto a ?


En búsqueda de algunas generalidades

Como puedes notar pequeñas variaciones en los coeficientes que acompañan a las “x” de

una función raíz cuadrada, producen cambios notorios en la gráfica de ésta. En esta

sección estudiarás algunas generalidades que es posible encontrar al variar los

coeficientes.

Para esto debes reiniciar el recurso digital e ingresa que

corresponde a la forma general de una función raíz cuadrada.

1. Pincha en la pestaña “Parámetros”

y usa la barra deslizante para variar los

valores de a, b y c. Describe con tus

palabras qué puedes observar.

2. Reúnete junto a dos compañeros/as más y conjeturen acerca de qué sucede al

variar cada uno de los parámetros. Ocupa el espacio destinado para responder.

Al variar el parámetro a:

Al variar el parámetro b:

Al variar el parámetro c:


En esta guía estudiaste la representación gráfica y analítica de la función raíz cuadrada,

con la ayuda del recurso digital Graficador de funciones.

Junto a tu profesor/a, define formalmente cuál es el dominio y recorrido de la

función

En forma general : ¿existe alguna restricción para las

constantes a, b y c? ¿Siempre pueden tomar cualquier valor estos parámetros?


Conclusión

Al comenzar a realizar este trabajo cuyo objetivo es dejar en evidencia la totalidad de las

competencias asociadas al curso. Se espera que los estudiantes muestren autonomía la

preparación de diseños de clases a partir del necesario análisis didáctico y definición de

actividades claves asociadas, lo anterior, enriquecido con las diversas estrategias de

enseñanza y de integración de tecnologías de la información y comunicación.

Al realizar el análisis didáctico debimos tomar decisiones de como secuenciar los

contenidos del eje de algebra de 2° medio, estas decisiones fueron tomadas en base a los

conocimientos previos y habilidades que deben poseer los estudiantes en este nivel. Una

habilidad general en este eje fue otro de los conflictos con los que nos encontramos en

esta etapa del trabaja ya que a primeras no sabíamos como generar un procedimiento que

contuviera expresiones algebraicas fraccionarias, sistemas de ecuaciones lineales y

además las funciones logarítmica, exponencial y raíz cuadrada; pero con la ayuda de los

mapas de progresos establecimos que nuestra habilidad general sería: “Reconoce el tipo

de situaciones que modelan las funciones exponencial, logarítmica y raíz cuadrada.

Transforma expresiones algebraicas de forma fraccionaria haciendo uso de convenciones

del álgebra. Resuelve sistemas de ecuaciones lineales en forma algebraica y gráfica.

Resuelve problemas que involucran sistemas de ecuaciones lineales y justifica la

pertinencia del modelo aplicado y de las soluciones obtenidas”. Teniendo establecido

nuestro procedimiento general para el eje y teniendo en consideración con las habilidades

se debió desprender de este procedimiento habilidades específicas para las cuales se

diseñaron actividades claves donde se pretende que los estudiantes desarrollen estas

habilidades. Al momento de diseñar estas actividades es importante como lo vimos

durante el desarrollo de la asignatura, ser capaces de definir orientaciones metodológicas

para que cualquier docente de matemáticas que utilice este material sepa que se

pretende desarrollar con la actividad, que hacer si sucede b en vez que suceda a y que

estrategias de aprendizaje se pueden utilizar al momento de aplicar esta actividad.

A través de este trabajo hemos podido construir una serie de clases que

contemplan todas las perspectivas presentes en el proceso de enseñanza-aprendizaje que

se lleva a cabo en la sala de clases.

El ideal de este trabajo es que sirva como material de apoyo a otros docentes

cuando busquen el mismo objetivo que nosotros queremos, el cual es desarrollar de

manera óptima una clase matemática.


Bibliografía Brousseau, G. (1977). Etude locale des processus d’acquisition en situation scolaire.

Brousseau, G. Investigaciones en Educación Matemática.

Guzmán, I. (1998). Registros de Representación, el aprendizaje de nociones relativas a funciones. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa .

Ministerio de Educación, (2009). Objetivos Fundamentales y Contenidos Minimos Obligatorios de la Eduación Básica y Media. Santiago.

Ministerio de Educación, (2011). Programa de Estudio Segundo Año Medio. Matemática. Santiago.

Zañartu, Mario-Darrigrandi, Florencia- Ramos, Mauricio, (2010). Texto para el estudiante de Matemática de 2º Año de Enseñanza Media. Santiago: Santillana.

Henostroza, José Luis, (1997). Los errores en el aprendizaje de la matemática. Lima

Blog de Formación inical docente. Estrategias metodológicas para la enseñanza de

la matemática.

Profes. net. Errores comunes en álgebra.


Cd de apoyo

planificacion metodologia segundo medio

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