robótica tema 6. modelo cinemático diferencial · 2017. 5. 11. · 2 asignatura: robótica tema:...

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ASIGNATURA: RobóticaTEMA: Cinemática DiferencialProfesor: Miguel Hernando Gutiérrez & Cecilia García Cena

Titulación:Grado enIngenieríaElectrónicayAutomática

Área:IngenieríadeSistemasyAutomáticaDepartamento deElectrónicaAutomáticaeInformáticaIndustrialEscuelaTécnicaSuperiordeIngenieríayDiseñoIndustrial

UNIVERSIDADPOLITÉCNICADEMADRIDE.T.S.I.yDiseñoIndustrial

RobóticaTema 6. Modelo Cinemático Diferencial

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ASIGNATURA: RobóticaTEMA: Cinemática DiferencialProfesor: Miguel Hernando & Cecilia García Cena

Resumen

En este tema se desarrolla el modelo cinemático diferencial delrobot que permite, entre otras cosas, encontrar la relación entrelas velocidades articulares y la velocidad (lineal y angular) delextremo operativo del robot.

Esta transformación se logra a través de la denominada MatrizJacobiana del robot.

Esta matriz permite además obtener conclusiones aspectosi t t d l b t d f i i t

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importantes del robot y de su funcionamiento.

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Objetivos

1. Conocer los métodos matemáticos para la obtención del modelo cinemático diferencial.

2. Interpretar y saber hacer uso de la información obtenida por medio del modelo cinemático.

3. Conocer las técnicas que permiten extraer conclusiones sobre el funcionamiento del robot tanto en cuanto a su comportamiento cinemático como dinámico.

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comportamiento cinemático como dinámico.

4. Obtener conclusiones relativas a la manipulabilidad del sistema.


Contenido

6.1 Introducción6.2 Definiciones y conceptos matemáticos.6 3 La Matriz Jacobiana6.3 La Matriz Jacobiana6.5 La Jacobiana y las fuerzas estáticas6.6 El modelo cinemático diferencial inverso6.7 La Jacobiana como herramienta de análisis

Bibliografía

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[1] Modelling and Control of Robot Manipulator. Lorenzo Sciavicco, Bruno Siciliano. ISBN: 1852332212 [2] Introduction to Robotics. Mechanics and Control. JhonCraig. AddisonWesley. ISBN 0201543613 [3] Apuntes de Robótica. Capítulo 6. Miguel Hernando. www.elai.upm.es/moodle

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La relación entre las velocidades articulares y las

En robótica es de interés encontrar la relación a entre las coordenadasarticulares y la posición espacial del extremo operativo (modelo cinemáticodirecto) y además:

6.1 Introducción

o La relación entre las velocidades articulares y lasvelocidades del extremo operativo, esto es:

o La relación entre las fuerzas aplicadas por elextremo operativo del robot en el entorno con los

⎡ ⎤⇔⎢ ⎥

⎣ ⎦&i

vq

ω

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extremo operativo del robot en el entorno con lospares o fuerzas articulares, es decir:

⎡ ⎤⇔⎢ ⎥

⎣ ⎦i

fn

τ

Estas dos relaciones están basadas en un operador lineal matricial denominadoJacobiano del Robot


6.1 Introducción

Modelo cinemático directo:

Modelo cinemático inverso:

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La Matriz Jacobiana es elemento central del modelo cinemático diferencial, y se utiliza con varios objetivos:

1 Define la relación entre las velocidades articulares y las velocidades

6.1 Introducción

1. Define la relación entre las velocidades articulares y las velocidadesalcanzables en el espacio de trabajo del robot.

2. Define la relación entre los pares y fuerzas estáticas que aparecen en lasarticulaciones como consecuencia de los pares y fuerzas ejercidos sobre elextremo del robot.

3. Determina o permite estudiar las singularidades mecánicas del robot4. Nos permite la resolución de la cinemática inversa por medio de métodos

numéricos

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numéricos5. Permite analizar el grado de manipulabilidad del robot en su espacio de

trabajo6. Nos permite controlar el movimiento del robot en el espacio de la tarea

aún en ausencia de una cinemática inversa algebraica explícita.

Previo al cálculo numérico de la matriz Jacobiana, debemos definir varios conceptos.


Contenido


Bibliografía

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6.2 Definiciones y conceptos matemáticosEl Espacio de Trabajo del robot se define como la región descrita por elorigen del sistema de referencia del efector final cuando todas lasarticulaciones del robot realizan todos los posibles movimientos.

Suele distinguirse entre

• Espacio de Trabajo Alcanzable• Espacio de Trabajo Diestro

Se define como Espacio de Trabajo Diestro al volumen que el origen delsistema de referencia del efector final genera cuando realiza diferentesorientaciones En otras palabras en cada punto del espacio de trabajo

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orientaciones. En otras palabras, en cada punto del espacio de trabajodiestro, el efector final puede orientarse arbitrariamente.

Se define como Espacio de Trabajo Alcanzable es el volumen de espacio quepuede alcanzar el robot en por lo menos una orientación.


6.2 Definiciones y conceptos matemáticosEl espacio de trabajo se caracteriza por la geometría manipulador y los límitesmecánicos de las articulaciones.

El espacio de trabajo del robot sin considerar la muñeca viene dado por elfabricante.

Para un manipulador de n‐DOF, el espacio de trabajo alcanzable es el lugargeométrico de los puntos que se pueden lograr a través de la solución de lacinemática directa del robot.

( ) _ min _ max = ≤ ≤e e i i ip p q q q q

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6.2 Definiciones y conceptos matemáticos

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Velocidad lineal de un punto: diferenciación en el tiempo del vector asociado

6.2.1 Posición variable en el tiempo

Representa la velocidad relativa de Q respecto de en términos de

Este mismo vector se puede expresar en términos de otro sistema A:

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6.2 Definiciones y conceptos matemáticos6.2.2 Orientación variable en el tiempoAdemás de desplazarse, el frisbee también gira en el aire. Esto lorepresentaremos por medio del el vector ω : vector de velocidad angular

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6.2 Definiciones y conceptos matemáticos6.2.2 Orientación variable en el tiempo

•La dirección del vector ω representa el eje respecto del cual el objeto gira•La magnitud refleja el ritmo de este cambio

El movimiento del frisbee en cada instante de tiempo podemos expresarlo en base a su ritmo de cambio por medio de un vector ϑ denominado velocidad espacial (twist/spatial velocity)

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Un robot tiene asociado en cada instante una velocidad espacial del extremo o de cualquier eslabón definida por la velocidad espacial del correspondiente sistema de referencia


6.2 Definiciones y conceptos matemáticos6.2.2 Orientación variable en el tiempoVamos a ver el efecto que girar tiene sobre la velocidad de un punto Q

Sistema fijo

Sistema de origen coincidente que gira según

Puede estar dado en términos de A o de B:

E t l l id d li l d t Q i d B á

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Entonces la velocidad lineal de un punto Q asociado a B será:

Ambos vectores respecto del mismo Sistema

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6.2 Definiciones y conceptos matemáticos6.2.2 Orientación variable en el tiempoRespecto de {SA } el movimiento del frisbee queda descrito por el vector de velocidad espacial

La velocidad instantánea de un punto Q de la superficie del frisbee será por tanto:

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El producto vectorial en tres dimensiones tiene asociada una representaciónmatricial por medio de unamatriz antisimétrica S(a)

6.2.2 Orientación variable en el tiempo

Además las matrices antisimétricas cumplen:

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Bibliografía

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6.3 La matriz JacobianaLa cinemática diferencial relaciona las velocidades articulares con la velocidadangular y lineal del extremo operativo o efector final.

En robótica se habla de matriz jacobiana siempre que se trate de una matriz quetransforma de un sistema de velocidades a otro

Por defecto se entiende la Jacobiana como la Jacobiana Geométrica. Esta nosrelaciona las velocidades articulares con la velocidad espacial.

Si el cálculo de la matriz Jacobiana se realiza a través de la diferenciación delmodelo cinemático directo, se hablará entonces de la Jacobiana Analítica.

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6.3 La matriz Jacobiana

La matriz jacobiana de una función vectorial multivariable es el equivalente a laoperación derivar de las funciones de una variable.

6.3.1 La jacobiana como operación

Sea una función que va del espacio n‐dimensional a otro espacio m‐dimensional, y que por tanto puede ser representada por un conjunto de mfunciones multivariables tal que si

Entonces si las Fi son diferenciables, la matriz Jacobiana de F es:

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6.3 La matriz Jacobiana6.3.1 La jacobiana como operación

Al igual que la derivada, una de las aplicaciones más directas de la Jacobiana es laaproximación lineal de la función F en torno a un punto X0 :

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6.3 La matriz Jacobiana6.3.2 La jacobiana geométricaEs la más importante respecto de la Cinemática diferencial.

Ob i l l id d i l i á d l d l b b lObtiene la velocidad espacial instantánea del extremo del robot en base a laposición y velocidad articular en dicho instante:

Empezamos con un robot de 2 gdl en el que

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Empezamos con un robot de 2 gdl en el que No tenemos en cuenta la orientación, solo la posición del extremo:


6.3 La matriz Jacobiana6.3.2 La jacobiana geométricaPara la posición, es una derivación sin más de la cinemática directa:

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6.3 La matriz Jacobiana6.3.2 La jacobiana geométricaSi ahora consideramos la orientación mediante el ángulo polar del extremo. Elmodelo cinemático directo es:

Entonces la matriz Jacobiana será por diferenciación directa:

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Obsérvese que

En 2D la velocidad angular queda determinada por un escalar(aplicado a un vector normal al plano). Por ello, en este caso, es sencillo por diferenciación del MCD obtener la Jacobiana geométrica que coincide con la analítica


6.3 La matriz Jacobiana6.3.2 La jacobiana geométricaEn 3D, la orientación, tiene diversas representaciones:

•La derivada temporal de Euler ≠velocidad angular•La derivada temporal de Euler ≠velocidad angular•La derivada de una matriz R, es otra matriz no perteneciente a SO(3)

Queremos obtener el vector de velocidad espacial partiendo del MCD

la parte de posición es directa:

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pero ¿como obtenemos el vector de velocidad angular partiendo de lavariación a lo largo del tiempo de la matriz R?

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6.3 La matriz Jacobiana6.3.2 La jacobiana geométricaPara estudiarlo, veamos la evolución de un punto Q asociado a un sistema B quegira a una velocidad ω respecto de otro sistema A fijo:

Las coordenadas de Q en B no varíanCambia como consecuencia de ω

Las coordenadas de Q en A varían como consecuencia

Derivando respecto del tiempo

Representando Q en coordenadas de A

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Representando Q en coordenadas de A

Dado que solo se produce un giro, ambas expresiones deben ser equivalentes


6.3 La matriz Jacobiana6.3.2 La jacobiana geométricaObservemos como el producto es precisamente la matriz so(3) asociada a un vector. Una matriz R perteneciente a SO(3) cumple:

Si derivamos esta expresión respecto del tiempo:

Por tanto, el producto es una matriz antisimétrica. Si denominamos al dicho producto, tenemos:

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O lo que es lo mismo, existe un vector asociado tal que:

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6.3 La matriz Jacobiana6.3.2 La jacobiana geométricaPor lo que por identificación de términos, es posible a través de R y de la derivada de R obtener el vector de velocidad angular asociado. Es decir adoptará la siguiente forma:

Lo cual nos permite expresar ω en términos de R y su derivada

Obtención de la Jacobiana geométrica:

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Obtención de la Jacobiana geométrica:•Submatriz Jacobiana de posición: diferenciación•Submatriz Jacobiana de orientación: obtenemos y por identificación, los términos de ω.


6.3 La matriz Jacobiana6.3.2 La jacobiana geométrica: Ejemplo

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6.3 La matriz Jacobiana6.3.2 La jacobiana geométrica:

Metodos geométricos

Observamos que por su propia definición, las columnas de J representan la contribución que cada articulación tiene sobre la velocidad espacial del extremo



Métodos geométricosSi la articulación es prismática:p

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Métodos geométricosSi la articulación es rotacional:


6.3 La matriz Jacobiana6.3.3 La jacobiana analíticaEs muy común. Recibe el nombre por su procedimiento de obtención:diferenciación de la cinemática directa.diferenciación de la cinemática directa.

Si tenemos explícitamente los ángulos de Euler:

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Aun perdiendo su significado físico, es interesante para los métodos numéricosEs posible (aunque tedioso) obtener la relación entre la analítica y la geométrica

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Bibliografía

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6.4 La Jacobiana y las fuerzas estáticas

•La energía invertida en realizar un movimiento es la misma independientementedel medio de representación utilizado.del medio de representación utilizado.

•Estáticamente los pares y fuerzas se deben equilibrar.

•Concepto de trabajo virtual (“movimiento estático”)

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6.4 La Jacobiana y las fuerzas estáticas•Sea el vector de fuerzas y pares realizado por el extremo y los pares y fuerzas realizados por cada articulación :

•Considerando el trabajo virtual realizado visto por consideraciones del extremo debe ser igual al trabajo visto por el movimiento articular, se cumple:

• Expresado en términos de potencia instantánea entregada:


6.4 La Jacobiana y las fuerzas estáticas• Que expresado en términos de la jacobiana:

• Que nos dice que la traspuesta de la Jacobiana establece la relación entre los pares y fuerzas del extremo con los pares y fuerzas articulares

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6.4 La Jacobiana y las fuerzas estáticas

Ejemplo: si el robot esta en (45º , 45º) y alguien tirase con una cuerda del extremo con una fuerza F= (fx, fy, fz, 0, 0, 0), los pares reflejados en las articulaciones vendrían determinados por :


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Bibliografía

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6.5 Cinemática Diferencial Inversa• Se basa en el cálculo de la inversa de la matriz Jacobiana. • Permite calcular las velocidades articulares a partir de la velocidad del extremooperativo.•La inversión analítica de J es una tarea normalmente inasequible por tanto se•La inversión analítica de J es una tarea normalmente inasequible, por tanto seprocede al cálculo de la inversa en puntos del espacio•En algunos puntos J , aun siendo cuadrada, es singular: son los puntos singularesque se verán más adelante.• La solución a este problema permite transformar las especificaciones demovimiento asignado al efector final en el espacio operacional, en losmovimientos articulares que permiten la ejecución del movimiento deseado:

Si ( )rang n=J


6.5 Cinemática Diferencial InversaSi la matriz Jacobina no tiene inversa , por lo que el cálculo debe realizarse a través de las matrices pseudo‐inversas o reduciendo el subespacio de la tarea. El numero de articulaciones puede ser menor (infra‐

ió ) ( d d i )actuación) o mayor (redundancia)

6.6.1 Robots infra‐actuados

a) Reducción del espacio de la tarea, considerando un subespacio de la misma dimensión que número de articulaciones tiene el robot

b) Uso de la pseudoinversa por la izquierdab) Uso de la pseudoinversa por la izquierda

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6.5 Cinemática Diferencial Inversa6.5.1 Robots infra‐actuados

a) Reducción del espacio de la tarea, considerando un subespacio de la misma dimensión que número de articulaciones tiene el robot


6.5 Cinemática Diferencial Inversa6.5.1 Robots infra‐actuadosb) Uso de la pseudoinversa por la izquierda

Sea una matriz se define la pseudoinversa por la izquierda a:

Las pseudoinversas cumplen las siguientes propiedades:

Pero particularmente, la inversa por la izquierda cumple:

Y por tanto:

La solución obtenida no es exacta, pero si la más cercana desde el punto de vista de mínimos cuadrados. Es decir, si es la velocidad espacial obtenida por aplicación de la pseudoinversa (valores de q) , estos hacen mínimo el índice de error cuadrático:

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6.5 Cinemática Diferencial Inversa6.5.2 Robots sobre‐actuadosSi n>m se usa la matriz Jacobiana inversa por la derecha.Es un caso de redundancia, y el menor desplazamiento en q de los infinitos posibles valores de q que minimizan por mínimos cuadrados la solución es loposibles valores de q que minimizan por mínimos cuadrados la solución es lo que se obtiene:

La pseudoinversa por la derecha se define como:

Siendo n el número de gdl, y m el espacio de trabajo.Esta pseudoinversa cumple que:

Se puede demostrar que:

El espacio nulo asociado N, se puede utilizar para maniobrar.


6.5 Cinemática Diferencial Inversa6.5.3 Control de movimiento resuelto en velocidadPor medio de la Jacobiana y su inversa es posible ver un primer esquema que permite controlar el movimiento del extremo del robot en base a una referencia en el espacio cartesianoen el espacio cartesiano

1. Obtengo2. Calculo la velocidad para ir al objetivo en

3. Calculo la velocidad articular

4. Calculo la posición articular

5. Paso la referencia articular al controlador6. Repetir desde 1

¡Nótese que sólo se hace uso del modelo directo de forma analítica!4 y 5 se pueden resolver en velocidad: suaviza la trayectoria

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6.5 Cinemática Diferencial Inversa6.5.4 Modelo cinemático Inverso iterativoPor medio de la Jacobiana y su inversa es posible obtener un método numérico general para la resolución del MCI. Especialmente interesante en casos infra o sobre actuadossobre actuados.

La Jacobiana puede considerarse como el núcleo de una aproximación lineal del MCD:


6.5 Cinemática Diferencial Inversa6.5.4 Modelo cinemático Inverso iterativo

•Se puede generalizar expresándolo en términos de la pseudoinversa.

•Un sucedáneo de la inversa es la traspuesta (nótese su relación con el trabajo virtual y las fuerzas estáticas). •Obviamente es menos elegante y menos exacta, pero puede valer. Y es muchísimo menos costosa. Las primeras articulaciones tenderán a asumir todo el desplazamiento. En este caso , se procede a realizar aproximaciones sucesivas:

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Bibliografía

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6.6 La Jacobiana como herramienta de análisis6.6.1 Singularidades

Singularidades de ContornoSingularidades de Contorno

Son aquellas en la que el robot adopta o bien una postura totalmente extendidao bien totalmente retraída. Estas singularidades no son “peligrosas” ya que sonevitables no llevando el manipulador a los extremos de su espacio de trabajoalcanzable.

Singularidades Internas

Se producen en el interior del espacio de trabajo accesible y son generalmentecausada por la alineación de dos o más ejes de movimiento, o bien porla consecución de determinadas configuraciones del efector final.A diferencia de las de contorno, estas singularidades constituyen un problemagrave, ya que pueden ser encontradas en cualquier lugar del espacio de trabajoaccesible.

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6.6 La Jacobiana como herramienta de análisis

Singularidades de contorno 6.6.1 Singularidades

Si l id d i tSingularidad interna


6.6 La Jacobiana como herramienta de análisis6.6.1 Singularidades

EJEMPLO:Ali ióAlineaciónde ejesHombroCodo

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Matemáticamente los puntos de singularidad se reflejan porque:6.6.1 Singularidades

Al ser matemáticamente complejo, se plantea un desacoplo aprovechando el punto de muñeca presente en muchos robots:

Singularidades del brazo:

Singularidades de muñeca:



Considere que el vector de velocidad articular cumple con:

6.6.2 Manipulabilidad

Esta ecuación describe los puntos de una esfera en el espacio de lasvelocidades articulares.Sería muy útil poder describir los puntos de velocidad cartesiana alcanzable

por el manipulador cuando las velocidades articulares son puntos de dichaesfera.

( ) 1T T 1−

=v JJ v

Entonces:

Elipsoide

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Para ilustrarlo, en dos dimensiones:

6.6.2 Manipulabilidad

•Para el punto del espacio determinado, es posible lograr una elevada velocidad en la dirección del eje y mientras que en el sentido de las x, las articulaciones tienen menos efecto.

•En dos dimensiones la hyperesfera es un círculo y el hyperelipsoide una elipse.


6.6 La Jacobiana como herramienta de análisisEl elipsoide de manipulabilidad es una medida de cuán lejos estamos de una singularidad y cuánta amplitud de movimiento es posible realizar desde una postura.

Gran amplitud de movimientoGran amplitud de movimiento

Baja amplitud de movimiento

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6.6 La Jacobiana como herramienta de análisisEl radio mayor y menor del elipsoide de manipulabilidad está determinado por el mayor y menor autovalor de la matriz respectivamente, dado que viene determinado por la inversa de los autovalores, pero

TJJ·)(/1)( 1 AA ii λλ =−

Si es el mayor autovalor y el menor, se define el número de condición del elipsoide a la relación siguiente:

1v2v1λ

2λ

1λ nλ

n

kλλ1=

Cuando más próximo sea este valor a la unidad, más isotrópico es el elipsoide, esto es:

Elipsoide ISOTROPICO Elipsoide NO ISOTROPICO


6.6 La Jacobiana como herramienta de análisisSe define la manipulabilidad de un robot como:

( ) ( ) ( )( )Tm q det q q= J J

m(q) es conocido como índice de Yoshikawa. m(q) está dada por el producto de los valores propios absolutos de la matriz J.m(q) toma valores cercanos a cero cuando el robot se aproxima a una

l

Algunas particularidades …..

singularidad.m(q) es maximizado en configuraciones isotrópicas.m(q) es una medida del volumen del elipsoide

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6.6 La Jacobiana como herramienta de análisisElipsoide de Manipulabilidad de Fuerzas:

Considere ahora que los pares articulares están dados por: τSe define una esfera en el espacio articular del siguiente modo:

Por otro lado sabemos que:

Sustituyendo,

T 1=τ τ

( )TT T 1=J F J F

T=τ J F

O bien:

( )

( )T T 1=F JJ F

Elispoide de manipulabilidad de fuerzas


6.6 La Jacobiana como herramienta de análisisLos ejes principales del elipsoide de manipulabilidad de fuerzas están dados por los autovalores y autovectores de la matriz:

( ) 1T −JJ

Los autovectores de son los mismos que los de

Sin embargo los autovalores recíprocos son inversos, es decir:

( )TJJ

( ) 1T −JJ ( )TJJ

vfi λλ 1

=

Por lo tanto el eje mayor del elipsoide de velocidad será el eje menor del elipsoide de fuerza:

iλ

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Elipsoide de Velocidad

Elipsoide de Fuerza

Esto se conoce como relación dual fuerza / velocidad

• Es posible aplicar los mayores esfuerzos en la misma dirección que su velocidad es menor

• Es posible obtener la mayor velocidad en la dirección en la que sólo se pueden aplicar las más pequeñas fuerzas.

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