“análisis cinemático y simulación de un mecanismo...

MEMORIAS DEL XXIII CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 20 al 22 DE SEPTIEMBRE DE 2017 CUERNAVACA, MORELOS, MÉXICO

Tema A3b Mecanismos y Robótica:

“Análisis cinemático y simulación de un mecanismo para rehabilitación de miembro inferior”.

Muñoz-Reina José Saúla, Corona-Ramírez Leonel Germánb, Villarreal-Cervantes Miguel Gabrielc a,c Centro de Innovación y Desarrollo Tecnológico en Cómputo, Instituto Politécnico Nacional, Av."Juan de Dios Bátiz" s/n esq. Miguel Othón de Mendizábal, Col. Nueva Industrial Vallejo, Del. Gustavo A. Madero, Ciudad de México, C.P. 07700. b Unidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniería y Tecnologías Avanzadas, Instituto Politécnico Nacional, Avenida Instituto Politécnico Nacional No. 2580, Col Barrio la Laguna Ticomán, Gustavo A. Madero, Ciudad de México, C.P. 07340. a [email protected]; b [email protected]; c [email protected];

R E S U M E N

El desarrollo de técnicas de rehabilitación más eficientes es un punto clave para potenciar al máximo las capacidades de vivir normalmente y reforzar la independencia de una persona discapacitada. El empleo de mecanismos que proporcionen un movimiento repetitivo en la extremidad afectada está siendo una alternativa de bajo costo para la rehabilitación en el hogar. Sin embargo, para desarrollar la síntesis óptima del mecanismo de rehabilitación de miembro inferior requiere primeramente modelar el comportamiento del mecanismo. Por tal motivo, en este trabajo se muestra el desarrollo teórico desde un punto de vista cinemático de la propuesta de un mecanismo de 8 eslabones, el cual realiza trayectorias similares a las presentes en el tobillo durante la marcha y que servirá como un medio para rehabilitar el miembro inferior. Palabras Clave: Análisis cinemático, Mecanismo de rehabilitación, Marcha humana.

A B S T R A C T

The development of more efficient rehabilitation techniques is a key point to maximize the abilities to live normally and to reinforce the independence of the disabled person. The use of mechanisms that provide repetitive movement in the affected limb is being a low-cost alternative for home rehabilitation. However, to develop the optimal synthesis of the lower limb rehabilitation mechanism, requires firstly modeling the behavior of the mechanism. For this reason, this paper shows the theoretical development from a kinematic point of view of the proposal of a mechanism of 8 links which makes trajectories similar to those present in the ankle during the march and that will serve as a means to rehabilitate the lower limb.

Keywords: Kinematic analysis, Mechanism of rehabilitation, Human march.

1. Introducción

Accidentes de tráfico, lesiones deportivas, envejecimiento, enfermedades degenerativas y estilo de vida pueden causar alguna discapacidad. Datos de la Encuesta Nacional de la Dinámica Demográfica 2014 [1], informan que en México viven cerca de 16 millones de personas que presentan dificultades para realizar actividades como caminar y subir o bajar escaleras usando sus piernas.

Con el fin de apoyar a las personas que tiene dificultades para caminar, se han realizado estudios, los cuales mencionan que el movimiento repetitivo de marcha es útil para fortalecer y evitar daños mayores al aparato locomotor, sin embargo, no siempre es posible ejercitar la parte afectada, debido a que el paciente discapacitado es dependiente de otra persona para que lo supervise y apoye en su proceso de recuperación [2]. La rehabilitación apoyada de la robótica resulta ser una alternativa para la independencia del paciente en su tratamiento, debido a que éste tipo de dispositivos otorgan

ISSN 2448-5551 DM 17 Derechos Reservados © 2017, SOMIM


un tratamiento integral al paciente, ofreciéndole rutinas de recuperación que minimicen el tiempo de recuperación y prepararen al musculo a un mejor trabajo activo [3]. En la actualidad existe una gran variedad de sistemas de rehabilitación los cuales se diferencian de acuerdo al área corporal que rehabiliten. Entre los sistemas de rehabilitación de extremidades inferiores de tipo comercial destaca el robot Lokomat [4], creado en 2001 por Gery Colombo, permite reproducir la marcha por medio de dos piernas robóticas, una banda sin fin y un sistema de soporte parcial de peso. Sin embargo, este sistema es grande y costosos [5], y sólo algunos centros de salud pública y clínicas privadas prestan sus servicios, lo que limita a una gran parte de la población padeciente a recibir su tratamiento. En los últimos años, se han propuesto sistemas de un grado de libertad que otorguen a los pacientes una alternativa de rehabilitación en sus hogares como son los dispositivos de “movimiento pasivo continuo”, entre éstos se encuentran las maquinas comerciales LKJ01[6] y Pedalier Mobifit [7] que realizan su proceso de rehabilitación por medio de movimientos de flexión y extensión de pierna y muslo, de forma automática y repetitiva, pero se ven limitados a desempeñar ejercicios simples [8]. Con el fin de diseñar un sistema de rehabilitación que otorgue una rutina adecuada de entrenamiento a bajo costo se opta por un sistema de movimiento pasivo continuo de un grado de liberad que permita simular el movimiento presente en la locomoción del miembro inferior. Para el diseño se considera un mecanismo de 8 eslabones, el cual pretende ser diseñado a partir de un proceso de optimización en el cual se tiene como objetivo definir parámetros característicos de los eslabones y simular la trayectoria presente en el tobillo. La trayectoria del mecanismo será definida en consideración con movimientos principales de los miembros inferiores es decir los presentes en el plano sagital [9], por otra parte, se parte de la premisa de simular una rutina que simule la marcha a partir de condicionar el movimiento del tobillo. El diseño de mecanismos que reproduzcan la marcha no es una tarea sencilla debido a que se requiere generar trayectorias en el espacio cartesiano con sólo un grado de libertad. En [10] se realiza la síntesis dimensional de un mecanismo de 8 eslabones, con el propósito de diseñar una extremidad de un robot bípedo, la cual reproduce el movimiento de macha bípeda en el plano sagital, por lo tanto, es de interés estudiar a detalle éste mecanismo ya que representa una opción para la obtención de un sistema de rehabilitación que ayude a reproducir la marcha. En el presente trabajo se presenta el análisis analítico de posición, velocidad y aceleración de un mecanismo de ocho eslabones con fin de obtener ecuaciones que permitan plantear un problema de optimización. Como metodología de análisis del mecanismo se opta por descomponerlo en submecanismos más simples con el fin de obtener una forma

simpe y sistemática de estudio. Posteriormente obtenido el modelo analítico se verifica, a partir de la obtención de resultados comparativos entre el modelo cinemático y una simulación realizada por medio de un programa de diseño asistido por computadora.

2. Análisis cinemático.

Figura 1 – Mecanismo de 8 eslabones. El mecanismo de la Fig.1, se propone como un sistema de rehabilitación de un grado de libertad, el cual en su efector reproducirá la trayectoria presente en el tobillo durante la marcha. Para la obtención de los parámetros cinemáticos se considera que están determinadas las longitudes 𝑙𝑙𝑖𝑖 ∀ 𝑖𝑖 =1,2 … , 14, los ángulos internos de los eslabones ternarios 𝜃𝜃𝚥𝚥,� ∀ 𝑗𝑗 = 1, 2. . . , 6, los ángulos 𝜃𝜃1 y 𝜃𝜃5 y el ángulo variable 𝜃𝜃2 con respecto al eje coordenado X-Y. Debido a la complejidad del mecanismo, para la obtención de los parámetros cinemáticos se analizará separándolo en tres mecanismos, dos de ellos son de cuatro eslabones conformados por 𝑀𝑀1 = {𝑙𝑙1, 𝑙𝑙2, 𝑙𝑙3, 𝑙𝑙4} y 𝑀𝑀2 = {𝑙𝑙5, 𝑙𝑙6, 𝑙𝑙7, 𝑙𝑙8} y un mecanismo de cinco eslabones conformado por 𝑀𝑀3 ={𝑙𝑙8, 𝑙𝑙9, 𝑙𝑙11, 𝑙𝑙13, 𝑙𝑙15}.



2.1. Análisis de posición para los mecanismos de 4 eslabones.

Para el análisis de los mecanismos de cuatro eslabones se propone estudiarlo de forma vectorial, como se muestra en la Fig.2. Las direcciones de los vectores de posición se eligen de modo que definan sus ángulos donde se desea medirlos.

Figura 2 – Lazo vectorial para el mecanismo de 4 eslabones 𝑴𝑴𝟏𝟏.

La ecuación de lazo vectorial para el mecanismo 𝑀𝑀1 está definida por los puntos 𝑂𝑂1 y 𝑃𝑃1 que conforman al vector 𝑂𝑂1𝑃𝑃1��⃗ . De acuerdo a la Fig.2. el vector 𝑂𝑂1𝑃𝑃1��⃗ se obtiene de dos formas, por la suma vectorial de 𝑙𝑙2��⃗ y 𝑙𝑙3��⃗ y por la suma de 𝑙𝑙1��⃗ y 𝑙𝑙4��⃗ , por lo que la ecuación de lazo vectorial que representa al mecanismo está dada por la ec.(1).

2 3 1 4 0l l l l+ − − =

(1)

De la ec. (1) es de interés definir por completo los ángulos de los vectores involucrados por lo que se opta por representarla en notación compleja como se muestra en ec. (2).

32 4 12 3 4 1 0jj j jl e l e l e l eθθ θ θ+ − − = (2)

Analizando la ec. (2) se tiene como datos las longitudes de los eslabones 𝑙𝑙1, 𝑙𝑙2, 𝑙𝑙3 y 𝑙𝑙4 y los ángulos 𝜃𝜃1 y 𝜃𝜃2 , y como incógnitas los ángulos 𝜃𝜃3 y 𝜃𝜃4 , por lo tanto se necesitan expresiones algebraicas que describan a los ángulos faltantes, el método para la obtención de éstas se describe en [10], de tal forma que se obtiene la ec. (3) y (4).

2 2 21 1 1 1

41 1

2 2B B A C

atanC A

θ − ± + − = −

(3)

donde: 1 1 4 1 2 4 2

1 1 4 1 2 4 22 2 2 2

1 1 2 3 4 1 2 1 2

2 ( ) 2 ( )2 ( ) 2 ( )

2 ( )

A l l cos l l cosB l l sin l l sinC l l l l l l cos

θ θθ θ

θ θ

= −= −

= + − + − −

2 2 22 2 2 2

32 2

2 2B B A C

atanC A

θ − + − = −

(4)

donde:

2 1 3 1 2 3 2

2 1 3 1 2 3 22 2 2 2

2 1 2 3 4 1 2 1 2

2 ( ) 2 ( )2 ( ) 2 ( )

2 ( )


θ θθ θ

θ θ

= − += − +

= + + − − −

Las ecs. (3) y (4) están dadas para el mecanismo 𝑀𝑀1, para determinar las incógnitas del mecanismo 𝑀𝑀2 se analiza de forma similar a 𝑀𝑀1, pero en éste caso se considera como parámetros definidos las longitudes de eslabones 𝑙𝑙5, 𝑙𝑙6, 𝑙𝑙7 y 𝑙𝑙8, el ángulo 𝜃𝜃5 y 𝜃𝜃6 siendo 𝜃𝜃6 igual al ángulo 𝜃𝜃2, debido a que el vector 𝑙𝑙6��⃗ tiene la misma dirección que 𝑙𝑙2��⃗ , como parámetros incógnita se tienen los ángulos 𝜃𝜃8 y 𝜃𝜃7 y sus soluciones están expresadas por la ec. (5) y (6)

2 2 23 3 3 3

83 3

2 2B B A C

atanC A

θ − ± + − = −

(5)

donde:

3 5 8 5 6 8

3 5

2

8 5 6 82 2 2 2

3 5 6 7 8 5 6 5

2

2

2 ( ) 2 ( )2 ( ) 2 ( )

2 ( )


θ θθ θ

θ θ

= −= −

= + − + − −

2 2 24 4 4 4

74 4

2 2B B A C

atanC A

θ − + − = −

(6)

donde:

4 5 7 5 6 7

4 5 7 5 6 72 2 2 2

4 5 6

2

7 8 5 6

2

25

2 ( ) 2 ( )2 ( ) 2 ( )

2 ( )


θ θθ θ

θ θ

= − += − +

= + + − − −

Las ecs. (3-6) cuentan con dos soluciones, la primera solución define al mecanismo con codo abajo y la segunda codo arriba. Es importante señalar que las soluciones de las ecuaciones deben de ser reales, ya que en caso de ser complejas significa que los eslabones no se conectan con el ángulo 𝜃𝜃2 proporcionado .



2.2. Análisis de posición del mecanismo de 5 eslabones.

Para el análisis de los mecanismos de cinco eslabones 𝑀𝑀3, se propone estudiarlo de forma vectorial como se muestra en la Fig.3.

Figura 3 – Lazo vectorial para el mecanismo de 5 eslabones

La ecuación de lazo vectorial del mecanismo está determinada por los puntos 𝑂𝑂2 y 𝑃𝑃2 que conforman al vector 𝑂𝑂2𝑃𝑃2��⃗ . De acuerdo a la Fig.3 el vector 𝑂𝑂2𝑃𝑃2��⃗ está definido por la suma vectorial de 𝑙𝑙9��⃗ y 𝑙𝑙11��⃗ y por la suma de 𝑙𝑙15��⃗ , 𝑙𝑙8��⃗ y 𝑙𝑙12��⃗ por lo que la ecuación que representa al mecanismo está dada por la ec.(7).

9 11 12 8 15 0l l l ll + − − − =

(7)

De la ec. (7) es de interés definir por completo los ángulos de los vectores involucrados por lo que se representa en notación compleja como se muestra en ec. (8), ésta transformación se realiza con el fin de determinar las variables incógnita.

9 8 1511 129 11 12 8 15 0j j jj jl e l e l e l e l eθ θ θθ θ+ − − − = (8)

Es importante notar que en la ec. (8) se tienen solo dos incógnitas 𝜃𝜃12 y 𝜃𝜃11, debido a que los vectores 𝑙𝑙8��⃗ , 𝑙𝑙9��⃗ , y 𝑙𝑙15��⃗ ya están definidos. El vector 𝑙𝑙8��⃗ se definió en el análisis del mecanismo 𝑀𝑀2, 𝑙𝑙9��⃗ se define a partir del valor de 𝜃𝜃4 como se muestra en la ec.(9), y el vector 𝑙𝑙15��⃗ es un valor conocido. Por lo tanto, para obtener las incógnitas se emplea el método descrito en [10], resultando como soluciones las ecuaciones (10) y (11).

9 4 1θ θ θ= − (9)

2 2 23 3 3 3

123 3

2 2B B A C

atanC A

θ − ± + − = −

(10)

donde: 3 12 15 15 9 12 9 8 12 8

3 12 15 15 9 12 9 8 12 82 2 2 2 2

3 8 9 12 15 11 8 15 8 15

8 9 8 9 9 15 9 15

2 2 22 2 2

2 ( )2 ( ) 2 ( )

A l l cos l l cos l l cosB l l sin l l sin l l sinC l l l l l l l cos

l l cos l l cos

θ θ θθ θ θ

θ θθ θ θ θ

= − += − +

= + + + − + − −− − −

2 2 24 4 4 4

114 4

2 2B B A C

atanC A

θ − ± + − = −

(11)

donde:

4 8 11 8 9 11 9 11 15 15

4 8 11 8 9 11 9 11 15 152 2 2 2 2

4 8 9 11 15 12 8 9 8 9

8 15 8 15 9 15 9 15

2 2 22 2 2

2 ( )2 ( ) 2 ( )

A l l cos l l cos l l cosB l l sin l l sin l l sinC l l l l l l l cos

l l cos l l cos

θ θ θθ θ θ

θ θθ θ θ θ

= − + −= − + −

= + + + − − − +− − −

2.3. Análisis de velocidad para los mecanismos de 4 eslabones.

En este apartado se obtendrán las velocidades presentes en los mecanismos 𝑀𝑀1 y 𝑀𝑀2 , para la obtención de éstas recordemos que los eslabones de un mecanismo presentan velocidades angulares (𝜔𝜔) y lineales (𝑉𝑉�⃗ ). Para el análisis del mecanismo 𝑀𝑀1 se considera una distribución de velocidades como se muestra en la Fig.4.

Para la obtención de las velocidades presentes en el mecanismo se deriva con respecto al tiempo la ec. (2) de donde se obtiene la ec. (12) que es la ecuación de velocidades en lazo vectorial, es importante observar que el vector 𝑙𝑙1��⃗ se considera fijo por tal motivo ya no aparece ecuación de velocidades.

Figura 4 – Velocidades presentes en un mecanismo de 4 eslabones.



32 42 2 3 3 4 4 0jj jjl e jl e jl eθθ θω ω ω+ − = (12)

La ec. (12) también se puede expresar como una ecuación de diferencia de velocidad como se muestra en la ec. (13), y ésta corresponde a las velocidades lineales presentes en el mecanismo como se muestran en la Fig. 4.

0A BA BV V V+ − =

(13)

donde VA��⃗ es el vector de velocidad lineal del punto A, VBA��⃗ es el vector de velocidad relativa medida desde el punto A al punto B y VB��⃗ es el vector de velocidad lineal del punto B. Sus respectivos valores representados en notación compleja se definen como:

2

3

4

2 2

3 3

4 4

jA

jBA

jB

jl e

jlV e

j e

V

V l

θ

θ

θ

ω

ω

ω

=

=

=

Analizando la ec.(12) los parámetros que se conocen son las longitudes 𝑙𝑙2, 𝑙𝑙3 y 𝑙𝑙4, los ángulos 𝜃𝜃2,𝜃𝜃3 y 𝜃𝜃4 y la velocidad angular de entrada 𝜔𝜔2 que está definida por el diseñador, por lo tanto los parámetros a calcular son 𝜔𝜔3 y 𝜔𝜔4. Para la obtención de las velocidades faltantes se aplica la identidad de Euler en la ec. (12) y se separa la ecuación en parte real y parte compleja resultando la ec. (14).

2 2 2 3 3 3 4 4 4

2 2 2 3 3 3 4 4 4

sin sin sin 0cos cos cos 0l l l

l l lθ ω θ ω θ ωθ ω θ ω θ ω

− =+ −

+=

− (14)

De ec. (14) se tiene un sistema de ecuaciones de dos ecuaciones, con dos incógnitas y resolviendo para 𝜔𝜔3 y 𝜔𝜔4 resultan las ecs. (15) y (16).

2 2 2 43

3 3 4

( )( )

l sinl sinω θ θω

θ θ−

= −−

(15)

2 2 2 34

3 3 4

( )( )


θ θ−

= −−

(16)

Para el análisis de velocidad del mecanismo 𝑀𝑀2 se realiza de forma similar al 𝑀𝑀1 , considerando que se conocen las longitudes 𝑙𝑙6, 𝑙𝑙7 y 𝑙𝑙8, los ángulos 𝜃𝜃6,𝜃𝜃7 y 𝜃𝜃8 y la velocidad angular de entada 𝜔𝜔6 que es igual a 𝜔𝜔2, como incógnitas se tienen las velocidades 𝜔𝜔7 y 𝜔𝜔8 y empleando la metodología de solución antes descrita se obtienen las ecs. (17) y (18).

27

3

6 8

7 8

2 ( )( )


θ θ−

= −−

(17)

28

3

6 7

7 8

2 ( )( )


θ θ−

= −−

(18)

2.4. Análisis de velocidad del mecanismo de 5 eslabones.

Para la obtención de las velocidades presentes en el mecanismo 𝑀𝑀3 se deriva con respecto al tiempo la ec. (8) obteniendo la ec. (19) que es la ecuación de velocidad en lazo vectorial del mecanismo, en el proceso de derivación se considera que el vector 𝑙𝑙15��⃗ es fijo por tal motivo ya no aparece ecuación de velocidades.

9 811 129 9 11 11 12 12 8 8 0j jj jj l e j l e j l e j l eθ θθ θω ω ω ω+ − − = (19)

La ec. (19) también se expresa como una ecuación de diferencia de velocidad como se muestra en la ec. (20), y ésta corresponde a las velocidades lineales presentes en el mecanismo como se muestran en la Fig. 5.

0C BC BA AV VV V+ − − =

(20)

donde 𝑉𝑉𝐶𝐶��⃗ es el vector de velocidad lineal del punto C, 𝑉𝑉𝐵𝐵𝐶𝐶��⃗ es el vector de velocidad relativa medida desde el punto C al punto B , 𝑉𝑉𝐵𝐵𝐵𝐵��⃗ es el vector de velocidad relativa medida desde el punto A al punto B y 𝑉𝑉𝐵𝐵��⃗ es el vector de velocidad lineal del punto A. Sus respectivos valores representados en notación compleja se definen como:

9

11

12

8

9 9

11 11

12 12

8 8

jC

jBC

jBA

jA

V

V

V

j l e

j l e

j e

V

l

j l e

θ

θ

θ

θ

ω

ω

ω

ω

=

=

=

=

Figura 5 – Velocidades presentes en un mecanismo de 5 eslabones



Analizando la ec.(19), los parámetros que se conocen son las longitudes 𝑙𝑙8, 𝑙𝑙9, 𝑙𝑙11 y 𝑙𝑙12, los ángulos 𝜃𝜃8,𝜃𝜃9, 𝜃𝜃11 y 𝜃𝜃12, la velocidad angular de entada 𝜔𝜔8 y 𝜔𝜔9 que es igual a 𝜔𝜔4, por lo tanto las incógnitas a determinar son 𝜔𝜔11 y 𝜔𝜔12 . Para obtener las velocidades faltantes se aplica la identidad de Euler en la ec. (19) y separando parte real y parte imaginaria se obtiene la ec. (21).

9 9 4 11 11 11 12 12 12 8 8 8

9 9 4 11 11 11 12 12 12 8 8 8

sin sin sin sin 0cos cos cos cos 0l l l l

l l l lθ ω θ ω θ ω θ ωθ ω θ ω θ ω θ ω

− =+ −−

−+

=+ (21)

De la ec. (21) se tiene un sistema de ecuaciones, de dos ecuaciones con dos incógnitas, resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene como resultado las ecs. (22) y (23) que describen el comportamiento de 𝜔𝜔11 y 𝜔𝜔12.

9 4 9 12 8 8 8 1211

11 11 12

( ) ( )( )

l sin l sinl sin

ω θ θ ω θ θωθ θ

− − −= −

− (22)

9 4 9 11 8 8 8 1112

11 11 12

( ) ( )( )

l sin l sinl sin

ω θ θ ω θ θωθ θ

− − −= −

− (23)

2.5. Análisis de aceleración para los mecanismos de 4 eslabones.

Realizado el análisis de velocidad de los mecanismos de cuatro y cinco eslabones, el paso restante es conocer las aceleraciones presentes en cada uno cada uno de los eslabones, recordemos que las aceleraciones en un mecanismo están definidas como la tasa de cambio de velocidad con respecto al tiempo y que las aceleraciones existentes en un eslabón son de dos tipos, angulares(𝛼𝛼) y lineales(A), en el caso de las aceleraciones lineales están conformadas por dos tipos, aceleraciones normal (𝐴𝐴𝑛𝑛) y tangencial (𝐴𝐴𝑇𝑇).

Para la obtención de las aceleraciones presentes en el mecanismo 𝑀𝑀1 se deriva con respecto al tiempo la ec. (12) resultando la ec. (24) que es la ecuación de aceleraciones en lazo vectorial del mecanismo.

3 32 2 4

4

2 2 22 2 2 2 3 3 3 3 4 4

4 4 0

j jj j j

j

l e l je l e l je l e

l je

θ θθ θ θ

θ

ω α ω α ω

α

− + − + −

=

+ (24)

La ec. (24) también se expresa como una ecuación de diferencia de aceleración como se muestra en la ec. (25), y ésta corresponde a las aceleraciones lineales presentes en el mecanismo como se muestran en la Fig. 6.

0A BA BA A A+ − =

(25)

donde 𝐴𝐴𝐵𝐵��⃗ es el vector de aceleración lineal del punto A, 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵��⃗ es el vector de aceleración relativa medida desde el punto A al punto B y 𝐴𝐴𝐵𝐵��⃗ es el vector de aceleración lineal del punto B. Sus respectivos valores representados en notación compleja se definen como:

2 2

3 3

4 4

22 2 2 2

23 3 3 3

24 4 4 4

( )

( )

( )

j jT nA A A

j jT nBA BA BA

j jnB BT

A

A A l e l je

A A

A

A

A

l e l je

A A l e l je

θ θ

θ θ

θ θ

ω α

ω α

ω α

= + = − +

= + = − +

= + = − +

Figura 6 – Aceleraciones presentes en un mecanismo de 4 eslabones

Analizando la ec.(24) los parámetros que se conocen son las longitudes 𝑙𝑙2, 𝑙𝑙3 y 𝑙𝑙4 , los ángulos 𝜃𝜃2, 𝜃𝜃3 y 𝜃𝜃4 , las velocidades angulares 𝜔𝜔2, 𝜔𝜔3 y 𝜔𝜔4, la aceleración angular 𝛼𝛼2 y como incógnitas se tienen las aceleraciones angulares 𝛼𝛼3 y 𝛼𝛼4, para conocer las aceleraciones faltantes se aplica la identidad de Euler en ec. (24), separando parte real y parte imaginaria se obtiene la ec. (26)

2 22 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3

24 4 4 4 4 4

2 22 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3

24 4 4 4 4 4

0

0

l cos l sin l cos l sinl cos l sin

l sin l cos l sin l cosl sin l cos

ω θ α θ ω θ α θ

ω θ α θ


ω θ α θ

− − +

−

− −

+ =

+ − +

− =

+

(26)

De la ec. (26) se tiene un sistema de ecuaciones con dos ecuaciones y dos incógnitas, resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene como resultado las ecs. (27) y (28).

2 2 22 2 4 2 3 3 4 3 4 4 2 2 2 4

33 3 4

( ) ( ) ( )( )

l cos l cos l l senl sen

θ θ ω θ θ ω ω α θ θαθ θ

− + − − + −= −

− (27)

2 2 22 2 3 2 3 3 4 3 4 4 2 2 2 3

44 3 4

( ) ( ) ( )( )

l cos l l cos l senl sen

θ θ ω ω θ θ ω α θ θαθ θ

− + − − + −= −

− (28)

Para el análisis de aceleración del mecanismo 𝑀𝑀2 se realiza de forma similar al 𝑀𝑀1, considerando que, se conocen son las longitudes 𝑙𝑙6, 𝑙𝑙7 y 𝑙𝑙8 , los ángulos 𝜃𝜃6, 𝜃𝜃7 y 𝜃𝜃8 , la velocidades angulares 𝜔𝜔7, 𝜔𝜔8 y 𝜔𝜔6, la aceleración angular 𝛼𝛼6 y como parámetros incógnita 𝛼𝛼7 y 𝛼𝛼8 , empleando la metodología de solución antes descrita se obtienen las ecs. (29) y (30).

2 26 6 8 7 7 8 7 8 8 6 6 8

77 7 8

22 2( ) ( ) ( )

( )l cos l cos l l sin

l sinθ θ ω θ θ ω ω α θ θα

θ θ− + − − + −

= −−

(29)



6 62 2 2

7 7 7 8 7 8 8 6 6 78

8

2

7

2

4

( ) ( ) ( )( )

l cos l l cos l sinl sin

θ θ ω ω θ θ ω α θ θαθ θ

− + − − + −= −

− (30)

2.6. Análisis de aceleración del mecanismo de 5 eslabones.

Para la obtención de las aceleraciones presentes en el mecanismo 𝑀𝑀3 se deriva con respecto al tiempo la ec. (19) resultando la ec. (31), que es la ecuación de aceleraciones en lazo vectorial del mecanismo.

9 9 11 11

8 812 12

2 29 9 9 9 11 11 11 11

2 212 12 12 12 8 8 8 8 0

j j j j

j jj j

l e l je l e l je

l e l je l e l je

θ θ θ θ

θ θθ θ

ω α ω α

ω α ω α

− + − +

+ + − =− (31)

La ec. (31) también se expresa como una ecuación de diferencia de aceleración como se muestra en la ec. (32), y ésta corresponde a las aceleraciones lineales presentes en el mecanismo como se observa en la Fig. 7.

0C BC BA AA AA A+ − − =

(32)

donde 𝐴𝐴𝐶𝐶��⃗ es el vector de aceleración lineal del punto C, 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶��⃗ es el vector de aceleración relativa medida desde el punto C al punto B , 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵��⃗ es el vector de aceleración relativa medida desde el punto A al punto B y 𝐴𝐴𝐵𝐵��⃗ es el vector de aceleración lineal del punto A. Sus respectivos valores representados en notación compleja se definen como:

9 9

11 11

12 12

8 8

29 9 9 9

211 11 11 11

212 12 12 12

28 8 8 8

( )

( )

( )

( )

j jT nC C C

j jT nBC BC BC

j jT nBA BA BA

j jT nA A A

A

A

A

A A l e l je

A A l e l je

A A l e l je

A A l e l jeA

θ θ

θ θ

θ θ

θ θ

ω α

ω α

ω α

ω α

= + = − +

= + = − +

= + = − +

= + = − +

Figura 7 – Aceleraciones presentes en un mecanismo de 5 eslabones

Analizando la ec.(31), los parámetros que se conocen son las longitudes 𝑙𝑙8, 𝑙𝑙9, 𝑙𝑙11 y 𝑙𝑙12, los ángulos 𝜃𝜃8, 𝜃𝜃9, 𝜃𝜃11 y 𝜃𝜃12, la velocidades angulares 𝜔𝜔8 , 𝜔𝜔9 , 𝜔𝜔11 y 𝜔𝜔12 y las aceleraciones 𝛼𝛼8 y 𝛼𝛼9, y como incógnitas las aceleraciones angulares 𝛼𝛼11 y 𝛼𝛼12. Para obtener las aceleraciones faltantes se aplica la identidad de Euler en la ec. (31) y separando la parte real y la parte imaginaria se tiene la ec. (33).

2 29 9 9 9 9 9 11 11 11 11 11 11

2 212 12 12 12 12 12 8 8 8 8 8 8

2 29 9 9 9 9 9 11 11 11 11 11 11

2 212 12 12 12 12 12 8 8 8 8 8 8

0

0

l cos l sin l cos l sinl cos l sin l cos l sin

l sin l cos l sin l cosl sin l cos l sin l cos





− − +

+ =

− + − +

+ − + −

−

+ +

=

− (33)

De la ec. (33) se tiene un sistema de ecuaciones, con dos ecuaciones y dos incógnitas, resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene como resultado las ecs. (34) y (35).

2 2 28 8 12 8 9 9 12 9 11 11 12 11

1111 11 12

212 12 8 8 8 12 9 9 9 12

11 11 12

cos( ) cos( ) cos( )sin( )

sin( ) sin( ) sin( )

l l ll

l l ll

θ θ ω θ θ ω θ θ ωαθ θ

ω α θ θ α θ θθ θ

− − − − −= +

−

+ − − −−

(34)

2 2 29 9 11 9 8 8 11 8 11 11

1212 11 12

212 11 12 12 8 8 8 11 9 9 9 11

12 11 12

cos( ) cos( )sin( )

cos( ) sin( ) sin( ) sin( )

l l ll

l l ll

θ θ ω θ θ ω ωαθ θ

θ θ ω α θ θ α θ θθ θ

− − − += − −

−

− − − − + −−

(35)

2.7. Obtención de ángulos internos de eslabones ternarios.

Para la obtención de los ángulos internos 𝜃𝜃1� , 𝜃𝜃2� y 𝜃𝜃3� definidos por las longitudes 𝑙𝑙4 , 𝑙𝑙9 y 𝑙𝑙10 , se calcula 𝜃𝜃�1 empleando la ley de cosenos como se muestra en la ec.(36), posteriormente se calcula 𝜃𝜃2� con la ley senos como se muestra en la ec. (37) y el valor de 𝜃𝜃3� se determina satisfaciendo la propiedad de ángulos internos del triángulo, por lo que resulta la ec.(38).

2 2 21 10 9 4

14 9

ˆ cos2

l l ll l

θ − − + +=

(36)

1

02

4 1

1

ˆsinˆ sin llθθ −

=

(37)

3 1 2ˆ ˆ ˆ( )θ π θ θ= − + (38)

De forma similar se calculan los ángulos internos 𝜃𝜃�4, 𝜃𝜃5� y 𝜃𝜃6� determinados por las longitudes del 𝑙𝑙12 , 𝑙𝑙13 y 𝑙𝑙14 , se calcula 𝜃𝜃�4 por medio de la ley de cosenos como se muestra en la ec.(39), para 𝜃𝜃�5 se emplea la ley de senos como se muestra en la ec.(40) y 𝜃𝜃6� se determina satisfaciendo la propiedad de ángulos internos del triángulo, por lo que se tiene la ec.(41).



2 2

14 124

1

1

2 1

213

3

ˆ cos2

l l ll l

θ − − + +=

(39)

1 13 45

14

ˆsinˆ sin llθθ −

=

(40)

6 4 5ˆ ˆ ˆ( )θ π θ θ= − + (41)

3. Validación numérica.

En el presente capítulo se describe el proceso de validación del modelo cinemático para el mecanismo de 8 eslabones. Antes de empezar el proceso de simulación se debe definir los parámetros de longitud 𝑙𝑙𝑖𝑖 ,∀ 𝑖𝑖 = 1,2 … ,14, y los ángulos 𝜃𝜃1 y 𝜃𝜃5, en éste trabajo se emplean los parámetros mostrados en la Tabla 1.

Tabla 1 – Tabla de parámetros de simulación.

Parámetro Valor Unidades Parámetro Valor Unidades

𝑙𝑙1 0.2 m 𝑙𝑙2 0.08 m

𝑙𝑙3 0.1684 m 𝑙𝑙4 0.1344 m

𝑙𝑙5 0.1726 m 𝑙𝑙6 0.0235 m

𝑙𝑙7 0.0933 m 𝑙𝑙8 0.1997 m

𝑙𝑙9 0.1861 m 𝑙𝑙10 0.1659 m

𝑙𝑙11 0.1867 m 𝑙𝑙12 0.1788 m

𝑙𝑙13 0.2 m 𝑙𝑙14 0.2 m

𝜃𝜃1 5.7712 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝜃𝜃5 3.3936 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟

Definidos los parámetros de simulación se emplea la herramienta de análisis de movimiento de Solidworks®, el cual aproxima la cinemática del mecanismo empleando un método de integración desarrollado por C. W. Gear para sistemas rígidos (GSTIFF). Como condiciones de simulación adicionales a las presentadas en la Tabla 1, se consideran dos experimentos, para el primero se considera una variación lineal de ángulo de manivela 𝜃𝜃2 =2πt ∀ 𝑡𝑡 𝜖𝜖 [0,1] , para el segundo experimento se considera una variación oscilante de 𝜃𝜃2=-π/2cos(2πt)+π/2 ∀ 𝑡𝑡 𝜖𝜖 [0,1].

Los datos obtenidos por el programa Solidworks® tras la simulación, se utilizan para compararlos con los calculados a través del método analítico, considerando en el método analítico los mismos parámetros de rotación, velocidad y aceleración de la manivela. Posteriormente se analizan las curvas obtenidas por ambos métodos de forma visual (Fig.8-10) y por medio del cálculo del error entre ellas (Tabla 2 y 3).

Es importante señalar que, para la obtención de los datos, en ambos casos se considera un tiempo de muestreo de 1ms, con el fin de obtener con mayor precisión los datos otorgados por el programa de análisis. A continuación, se presentan algunos graficas comparativas del experimento 1.

Figura 8 – Gráfica comparativa de posición angular del eslabón 12,

experimento 1.

En la Fig. 8 se muestra la curva de desplazamiento angular del eslabón 12, este eslabón se considera el elemento más importante en la verificación de resultados, debido a que su posición es condicionada por la combinación de todos los eslabones.

Figura 9 – Gráfica comparativa de velocidad angular del eslabón 12, experimento 1.

En la Fig. 9 se muestra el comportamiento de velocidad angular del eslabón 12, en el modelo analítico se considera que la velocidad ω2 = 2𝜋𝜋 la cual es definida por la derivada con respecto al tiempo de 𝜃𝜃2. En la Fig. 10 se muestran las curvas obtenidas de aceleración angular, para éste caso en el modelo analítico se considera 𝛼𝛼2 = 0 resultado obtenido al derivar con respecto al tiempo ω2.

Como se observa en las gráficas de simulación obtenidas, se puede estudiar el comportamiento del mecanismo con solo un ciclo de 𝜃𝜃2, ya que para los demás se obtendrán curvas iguales.

0 1 2 3 4 5 6

Ángulo 2 (rad)

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

Ángu

lo

12 (r

ad)

Analítica

SolidWorks

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Tiempo(s)

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Velo

cida

d 12

(rad

/s)

Analítica

SolidWorks



Figura 10 – Gráfica comparativa de aceleración angular del eslabón 12, experimento 1.

El experimento 2 tiene la finalidad de mostrar la respuesta del modelo analítico con otra señal de entrada, para esto, se introduce una señal oscilante 𝜃𝜃2, con una amplitud de 0 a 𝜋𝜋 y una frecuencia de 1Hz , ésta señal es expresada en la ec (42).

𝜃𝜃2 = −𝜋𝜋/2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(2𝜋𝜋𝑡𝑡) + 𝜋𝜋/2. (42)

Para implementar la señal de entrada en el modelo analítico es necesario conocer su velocidad y aceleración con respecto al tiempo, para el caso de la velocidad se deriva respecto al tiempo la ec. (42) obteniendo la ec. (43), en el caso de la aceleración se deriva respecto al tiempo la ec. (43) obteniendo la ec. (44). 𝜔𝜔2 = 𝜋𝜋2𝑐𝑐𝑖𝑖𝑠𝑠(2𝜋𝜋𝑡𝑡) (43) 𝛼𝛼2 = 2𝜋𝜋3𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 (2𝜋𝜋𝑡𝑡) (44)

En las Fig. 11, 12 y 13 se muestran las gráficas comparativas entre el método analítico y Solidworks, en éstas graficas podemos observar que la trayectoria angular, velocidad y aceleración del eslabón 12, tienden a tener el mismo comportamiento entre ambos métodos de simulación.

Figura 11 – Gráfica comparativa de posición angular del eslabón 12, experimento 2

Figura 12 – Gráfica comparativa de velocidad angular del eslabón 12, experimento 2

Figura 13 – Gráfica comparativa de aceleración angular del eslabón 12, experimento 2.

4. Resultados.

En ésta sección se presenta el análisis de resultados obtenidos en la validación de las ecuaciones analíticas, con respecto al programa de simulación. En la Tabla 2 se presentan los errores del experimento 1 entre las curvas de posición, velocidad y aceleración de los eslabones principales ya que de ellos se obtienen todos los parámetros cinemáticos del mecanismo. Para cuantificar el grado de diferencia existente entre trayectorias se calcula la media del error y su desviación estándar.

De los datos de la Tabla 2, se observa que las curvas obtenidas en el proceso de simulación presentan comportamientos similares ya que los errores existentes entre ellas son menores a 1.56e-4 y para fines prácticos se pueden considerar despreciables.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Tiempo(s)

-30

-20

-10

0

10

20

30

Acle

raci

ón

12 (r

ad/s

2)

Analítica

SolidWorks

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Tiempo(s)

-0.5

-0.45

-0.4

-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

Ángu

lo

12 (r

ad)

Analítica

SolidWorks

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Tiempo(s)

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Velo

cida

d 12

(rad

/s)

Analítica

SolidWorks

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Tiempo(s)

-10

-5

0

5

10

15

20

Acle

raci

ón

12 (r

ad/s

2)

Analítica

SolidWorks



Tabla 2 – Tabla de errores con entrada 𝜽𝜽𝟐𝟐 =2πt.

Parámetro Prom.

(error)

Dev. Std

(error)

Parámetro Prom.

(error)

Dev. Std

(error)

𝜃𝜃3 9.43e-5 3.51e-5 𝜃𝜃4 9.42e-5 4.37e-5

𝜔𝜔3 2.28e-7 3.25e-4 𝜔𝜔4 3.24e-7 2.68e-4

𝛼𝛼3 9.73e-6 3.50e-3 𝛼𝛼4 9.37e-7 3.10e-3

𝜃𝜃7 1.56e-4 3.33e-5 𝜃𝜃8 1.56e-4 1.56e-5

𝜔𝜔7 6.62e-7 2.14e-4 𝜔𝜔8 9.53e-9 1.02e-4

𝛼𝛼7 1.77e-6 1.50e-3 𝛼𝛼8 1.03e-6 7.81e-4

𝜃𝜃11 1.25e-4 6.69e-5 𝜃𝜃12 6.44e-5 1.25e-5

𝜔𝜔11 8.44e-7 2.99e-4 𝜔𝜔12 9.76e-7 1.43e-4

𝛼𝛼11 7.68e-6 2.5e-3 𝛼𝛼12 4.73e-8 2.3e-3

En la Tabla 3 se presentan los errores obtenidos entre las curvas de los eslabones principales del mecanismo, en ésta tabla podemos observar que los errores son menores a 15.3e-4 y analizando los errores de los experimentos realizados se puede afirmar que el modelo cinemático obtenido es correcto.

Tabla 3 – Tabla de errores con entrada 𝜽𝜽𝟐𝟐 = −𝝅𝝅𝟐𝟐𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝟐𝟐𝝅𝝅𝟐𝟐) + 𝝅𝝅

𝟐𝟐.

Parámetro Prom.

(error)

Dev.std

(error)

Parámetro Prom.

(error)

Dev.std

(error)

𝜃𝜃3 9.55e-5 3.07e-5 𝜃𝜃4 6.59e-5 2.18e-5

𝜔𝜔3 6.05e-16 2.78e-4 𝜔𝜔4 4.78e-14 2.03e-4

𝛼𝛼3 2.62e-5 1.90e-3 𝛼𝛼4 1.22e-6 3.70e-3

𝜃𝜃7 1.34e-4 1.70e-5 𝜃𝜃8 1.53e-4 1.53e-5

𝜔𝜔7 8.17e-18 1.99e-4 𝜔𝜔8 6.69e-18 9.82e-5

𝛼𝛼7 2.78e-6 2.50e-3 𝛼𝛼8 6.19e-7 7.49e-4

𝜃𝜃11 9.49e-5 5.41e-5 𝜃𝜃12 5.98e-5 6.54e-6

𝜔𝜔11 2.62e-14 2.92e-4 𝜔𝜔12 2.52e-14 9.17e-5

𝛼𝛼11 2.35e-5 3.80e-3 𝛼𝛼12 2.87e-6 2.00e-3

5. Conclusiones.

En el presente trabajo se obtuvo el modelo cinemático del mecanismo de un mecanismo de 8 eslabones y se ha verificado el modelo con respecto a un programa de simulación, el cual corrobora que el modelo matemático es correcto. Es importante considerar que en el proceso de simulación se contempló una frecuencia de muestreo de 1KHz debido a que para frecuencias menores el simulador de Solidworks® obtiene resultados que difieren de los reales. Para un trabajo futuro se plantea diseñar un sistema de rehabilitación a partir del planteamiento un problema de optimización. Como parámetros del problema se plantea incluir el modelo dinámico y cinemático del mecanismo con

el fin de satisfacer objetivos como son, obtener una trayectoria similar a la presente en el tobillo durante la marcha, minimizar el par en el actuador del mecanismo con el fin de disminuir el consumo de energía y analizar fuerzas internas del mecanismo con el fin de elegir el material de fabricación más adecuado.

REFERENCIAS

[1] INEGI. (2015). “Estadísticas A Propósito Del Día Internacional De Las Personas Con Discapacidad (3 de diciembre 2015). Encuesta nacional de la dinámica demográfica 2014, 1, 17. 16 de enero 2017 De http://www.inegi.org.mx/saladeprensa/aproposito/2015/discapacidad0.pdf.

[2] Willems, P. A., Schepens, B., & Detrembleur, C. (2012). Marcha normal. EMC-Kinesiterapia-Medicina Física, 33(2), 1-29.

[3] Araujo, P., Díaz-Rodríguez, M., Mata, V., Page, À., & Valero, A. (2016). Análisis Cinemático Inverso De Un Robot Paralelo Rpu+ 3ups Para La Rehabilitación De Extremidades Inferiores.

[4] Jezernik, S., Colombo, G., Keller, T., Frueh, H., & Morari, M. (2003). Robotic orthosis lokomat: A rehabilitation and research tool. Neuromodulation: Technology at the neural interface, 6(2), 108-115.

[5] Díaz, I., Gil, J. J., & Sánchez, E. (2011). Lower-limb robotic rehabilitation: literature review and challenges. Journal of Robotics, 2011.

[6] Rehabmedical. (2016). Knee CPM Continuous Passive Motion Machines-LKJ01. 19 de febrero 2017, de Rehabmedical Sitio web: www.rehabmedicalequipments.com

[7] Movilidad B&B Iberia S.L. (2011). Pedalier eléctrico Mobifit. 19 de febrero 2017, de Farmacia Iibaiondo Sitio web: https://farmaciaibaiondo.com/tienda/pedalier-electrico-mobifit-pro

[9] Francisco Pérez Marcial. (15 de diciembre de 2011). El cuerpo humano Extremidades inferiores. En Diseño, Análisis y Modelado Cinemático de un Exoesqueleto Pasivo de Extremidad Inferior con Propósito de Rehabilitación (109). Departamento de Computación, Electrónica y Mecatrónica. Escuela de Ingeniería: Universidad de las Américas Puebla

[8] Valdivia, C. G., Ortega, A. B., Salazar, M. O., & Escobedo, J. C. (2013). Análisis cinemático de un robots terapéutico para la rehabilitación de miembros inferiores. Revista de la Ingeniería Industrial, 7(1), 21-30.

[10] Pantoja-García, J. S., Villarreal-Cervantes, M. G., González-Robles, J. C., & Cervantes, G. S. (2016). Síntesis óptima de un mecanismo para la marcha bípeda utilizando evolución diferencial. Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería.


“análisis cinemático y simulación de un mecanismo...

Documents