robótica tema 4. modelo cinemático directo · tema: modelo cinemático fecha: profesor: m....

ASIGNATURA: RobóticaTEMA: Modelo CinemáticoFECHA:Profesor: M. Hernando & C. García

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Titulación: Grado en Ingeniería Electrónica y Automática

Área: Ingeniería de Sistemas y AutomáticaDepartamento de Electrónica Automática e Informática IndustrialEscuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRIDE.U.I.T. Industrial

RobóticaTema 4. Modelo Cinemático Directo


2

Resumen

Se pretende obtener la descripción matemática de la localización espacial del robot conociendo las posiciones articulares del mismo. Para ello se empleará una metodología cerrada conocida como Método de Denavit-Hartenberg.


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Objetivos

1. Conocer los métodos matemáticos para la obtención del modelo cinemático directo de un robot seria.

2. Adquirir destreza en la obtención de dicho modelo.


4

Contenido4.1. Justificación

4.2. El problema cinemático directo4.2.1 Método Geométrico

4.2.2 Matrices de Transformación homogénea

4.3. Método de Denavit – Hartenberg (DH)

Bibliografía recomendada:

[1] Robótica: Control, Visión, Detección e Inteligencia. Fu, Gonzales y Lee.Mc-Grow Hill.[2] Fundamentos de Robótica. Barrientos, Peñín, Balaguer, Aracil.[3] Robótica: Manipuladores y Robots Móviles. A. Olleros. Ed. Macombo

4.3. 1 Ejemplos


En este tema se aplicarán las herramientas matemáticas anteriores al área de la robótica. Tenemos dos objetivos:

4.1. Justificación

Obtener un modelo geométrico de la estructura que permita relacionar los grados de libertad (las variables/coordenadas generalizadas) con las coordenadas cartesianas de todos y cada uno de los puntos que constituyen el robot.

Objetivo 1

Cinemática directa Solución única para la mayor parte de los robots seriales

Posicionar al robot. Esto es dadas las posiciones cartesianas como valores de entrada hallar los valores de las coordenadas generalizadas.

Objetivo 2

Cinemática inversa Puede haber 0, 1, 2…o infinitas soluciones.


La cinemática del robot estudia el movimiento del mismo con respecto a un sistema de referencia.

La cinemática se interesa por la descripción analítica del movimiento espacial del robot como una función del tiempo, y en particular por las relaciones entre la posición y orientación del extremo final del robot y los valores que toman sus coordenadas articulares.

Definición

4.1. Justificación


7

Contenido4.1. Justificación






4.3. 1 Ejemplos


La cinemática directa consiste en obtener la posición en el espacio de la estructura a partir de los valores de las coordenadas generalizadas (q).

4.2. El Problema Cinemático Directo

Éstas están asociadas a las articulaciones y definen sus “propiedades” de movimiento, por lo que para las articulaciones de revolución la variable generalizada será un ángulo, y para las prismáticas un desplazamiento.


4.2.1 Método Geométrico

Obtenemos la posición y orientación del extremo del robot apoyándonos en las relaciones geométricas:

• No es un método sistemático.• Es usado cuando tenemos pocos grados de libertad.

( ) ( )( ) ( )

1 1 2 1 2

1 1 2 1 2

cos cos

sin sin

x l q l q q

y l q l q q

= + +

= + +



4.2.2 Matrices de Transformación homogénea• A cada eslabón se le asocia un sistema de referencia solidario.

• Es posible representar las traslaciones y rotaciones relativas entre los distintos eslabones.

• La matriz i-1Ai representa la posición y orientación relativa entre los sistemas asociados a dos eslabones consecutivos del robot.

• Representación total o parcial de la cadena cinemática del robot:0A3 = 0A1

1A2 2A3

T = 0A6 = 0A1 1A2

2A3 3A4

4A5 5A6

• Existen métodos sistemáticos para situar los sistemas de coordenadas asociados a cada eslabón y obtener la cadena cinemática del robot. Método de Denavit-Hartenberg (D-H)



11

Contenido

4.1. Justificación






4.3. 1 Ejemplos


4.3. Método de Denavit - Hartenberg

• Permite el paso de un eslabón al siguiente mediante 4 transformacionesbásicas, que dependen exclusivamente de las características constructivasdel robot.

• Las transformaciones básicas que relacionan el sistema de referencia delelemento i con el sistema del elemento son:

1. Rotación θi alrededor del eje zi-12. Traslación di a lo largo del eje zi-13. Traslación ai a lo largo del eje xi4. Rotación αi alrededor del eje xi

( ) ( ) ( ) ( )1 , 0,0, ,0,0 ,ii i i i iz d a xθ α− =A T T T T

1

00 0 0 1

i i i i i i i

i i i i i i iii

i i i

c c s s s a cs c c s c a s

s c d

θ α θ α θ θθ α θ α θ θ

α α−

− − =

A


1) Numerar los eslabones comenzando con 1 (primer eslabón móvil de la cadena) y acabando con n (último eslabón móvil). Se numerará como eslabón 0 a la base fija del robot.

2) Numerar cada articulación comenzando por 1 (la correspondiente al primer grado de libertad) y acabando en n.

3) Localizar el eje de cada articulación. Si ésta es rotativa, el eje será su propio eje de giro. Si es prismática, será el eje a lo largo del cual se produce el desplazamiento.

4) Para i de 0 a n-1 situar el eje zi sobre el eje de la articulación i+1.

5) Situar el origen del sistema de la base {S0} en cualquier punto del eje z0. Los ejes x0 e y0 se situarán de modo que formen un sistema dextrógiro con z0.

6) Para i de 1 a n-1, situar el sistema {Si} (solidario al eslabón i) en la intersección del eje zi con la línea normal común a zi-1 y zi. Si ambos ejes se cortasen se situaría {Si} en el punto de corte. Si fuesen paralelos {Si} se situaría en la articulación i+1.



7) Para i de 1 a n-1, situar xi en la línea normal común a zi-1 y zi.

8) Para i de 1 a n-1, situar yi de modo que forme un sistema dextrógiro con xi y zi.

9) Situar el sistema {Sn} en el extremo del robot de modo que zn coincida con la dirección de zn-1 y xn sea normal a zn-1 y zn.

10) Obtener θi como el ángulo que hay que girar en torno a zi-1 para que xi-1 y xiqueden paralelos.

11) Obtener di como la distancia, medida a lo largo de zi-1, que habría que desplazar {Si-1} para que xi y xi-1 quedasen alineados.

12) Obtener ai como la distancia medida a lo largo de xi, que ahora coincidiría con xi-1, que habría que desplazar el nuevo {Si-1} para que su origen coincidiese con {Si}.

13) Obtener αi como el ángulo que habría que girar en torno a xi, que ahora coincidiría con xi-1, para que el nuevo {Si-1} coincidiese totalmente con {Si}.



14) Obtener las matrices de transformación i-1Ai.

15) Obtener la matriz de transformación que relaciona el sistema de la base con el del extremo del robot:

T = 0A11A2 ... n-1An

16) La matriz T define la orientación (submatriz de rotación) y posición (submatrizde traslación) del extremo referidas a la base en función de las n coordenadas articulares.



16

Contenido

4.1. Justificación



4.3. Método de Denvit – Hartenberg (DH)



4.3. 1 Ejemplos


0

1

2 3

4

DH-1) Numerar los eslabones comenzando con 1 (primer eslabón móvil de la cadena) y acabando con n (último eslabón móvil). Se numerará como eslabón 0 a la base fija del robot.


0

1

2 3

4

1θ

2d

3d

4θ

DH-2) Numerar cada articulación comenzando por 1 (la correspondiente al primer grado de libertad) y acabando en n.

El robot tiene 4 d.o.f. por lo tanto n=4


0

1

2 3

41θ

2d

3d

4θ

DH-3) Localizar el eje de cada articulación. Si ésta es rotativa, el eje será su propio eje de giro. Si es prismática, será el eje a lo largo del cual se produce el desplazamiento

4l

1l


0

1

2 3

41θ

2d

3d

4θ

DH-4) Para i de 0 a n-1 situar el eje zi sobre el eje de la articulación i+1.

4l

1l

=

3210

i

0z

1z

2z3z


0

1

2 3

41θ

2d

3d

4θ

DH-5) Situar el origen del sistema de la base {S0} en cualquier punto del eje z0. Los ejes x0e y0 se situarán de modo que formen un sistema dextrógiro con z0.

4l

1l

=

3210

i0z

1z

2z3z

0x

0y


0

1

2 3

4

1θ

2d

3d

4θ

DH-6) Para i de 1 a n-1, situar el sistema {Si} (solidario al eslabón i) en la intersección del eje zicon la línea normal común a zi-1 y zi. Si ambos ejes se cortasen se situaría {Si} en el punto de corte. Si fuesen paralelos {Si} se situaría en la articulación i+1.

4l

1l

=

321

i

0z

1z

2z3z

0x

0y


0

1

2 3

41θ

2d

3d

4θ

DH-7) Para i de 1 a n-1, situar xi en la línea normal común a zi-1 y zi.

4l

1l

=

321

i

0z

1z

2z3z

0x

0y1x

2x3x

3z3x


0

1

2 3

41θ

2d

3d

4θ

DH-8) Para i de 1 a n-1, situar yi de modo que forme un sistema dextrógiro con xi y zi.

4l

1l

=

321

i

0z

1z

2z3z

0x

0y1x

2x3x

3z3x

1y

2y3y


0

1

2 3

41θ

2d

3d

4θ

DH-9) Situar el sistema {Sn} en el extremo del robot de modo que zn coincida con la dirección de zn-1 y xn sea normal a zn-1 y zn.

4l

1l

=

321

i

0z

1z

2z3z

4z

0x

0y1x

2x3x

3z3x

4x

1y

2y3y

4y


0

1

2 3

41θ

2d

3d

4θ

DH-10) Obtener θi como el ángulo que hay que girar en torno a zi-1 para que xi-1 y xiqueden paralelos.

4l

1l0z

1z

2z3z

4z

0x

0y1x

2x3x

3z3x

4x

1y

2y3y

4y


0

1

2 3

41θ

2d

3d

4θ

DH-11) Obtener di como la distancia, medida a lo largo de zi-1, que habría que desplazar {Si-1} para que xi y xi-1 quedasen alineados.

4l

1l0z

1z

2z3z

4z

0x

0y1x

2x3x

3z3x

4x

1y

2y3y

4y


0

1

2 3

41θ

2d

3d

4θ

DH-12) Obtener ai como la distancia medida a lo largo de xi, que ahora coincidiría con xi-1, que habría que desplazar el nuevo {Si-1} para que su origen coincidiese con {Si}.

4l

1l0z

1z

2z3z

4z

0x

0y1x

2x3x

3z3x

4x

1y

2y3y

4y


0

1

2 3

41θ

2d

3d

4θ

DH-13) Obtener αi como el ángulo que habría que girar en torno a xi, que ahora coincidiría con xi-1, para que el nuevo {Si-1} coincidiese totalmente con {Si}.

4l

1l0z

1z

2z3z

4z

0x

0y1x

2x3x

3z3x

4x

1y

2y3y

4y


DH-14) Obtener las matrices de transformación i-1Ai.

=

1000010

00010100

22

1d

A

−

=

1000100

0000

1

11

11

10

lCqSqSqCq

A

−

−

=−

10000

1iii

iiiiiii

iiiiiii

ii

dCSSaCSCCSCaSSSCC

Aαα

θθαθαθθθαθαθ

=

1000100

00100001

33

2d

A

−

=

1000100

0000

4

44

44

43

lCqSqSqCq

A


DH-15) Obtener la matriz de transformación que relaciona el sistema de la base con el del extremo del robot: T = 0A1

1A2 ... n-1An

=

1000010

00010100

22

1d

A

−

=

1000100

0000

1

11

11

10

lCqSqSqCq

A

−

−

=−

10000

1iii

iiiiiii

iiiiiii

ii

dCSSaCSCCSCaSSSCC

Aαα

θθαθαθθθαθαθ

=

1000100

00100001

33

2d

A

−

=

1000100

0000

4

44

44

43

lCqSqSqCq

A

43

32

21

10 AAAAT=

( )( )

+++−

=

10001 1244

43114141

43114141

ldCqSqldSqSqSqCqCqCqldCqCqSqSqCqSq

T


DH-1) Numerar los eslabones comenzando con 1 (primer eslabón móvil de la cadena) y acabando con n (último eslabón móvil). Se numerará como eslabón 0 a la base fija del robot.

3

2

1

0

DH-2) Numerar cada articulación comenzando por 1 (la correspondiente al primer grado de libertad) y acabando en n.

1θ

2d

3θ

DH-3) Localizar el eje de cada articulación. Si ésta es rotativa, el eje será su propio eje de giro. Si es prismática, será el eje a lo largo del cual se produce el desplazamiento


1θ

2d3θ

DH-4) Para i de 0 a n-1 situar el eje zi sobre el eje de la articulación i+1.

0i 1

2

=

0z

1z 2z

l

DH-5) Situar el origen del sistema de la base {S0} en cualquier punto del eje z0. Los ejes x0e y0 se situarán de modo que formen un sistema dextrógiro con z0.

0x

DH-6) Para i de 1 a n-1, situar el sistema {Si} (solidario al eslabón i) en la intersección del eje zi con la línea normal común a zi-1 y zi. Si ambos ejes se cortasen se situaría {Si} en el punto de corte. Si fuesen paralelos {Si} se situaría en la articulación i+1.


1θ

2d3θ

0z

1z 2z

1l0x

DH-7) Para i de 1 a n-1, situar xi en la línea normal común a zi-1 y zi.

1x2x

DH-8) Para i de 1 a n-1, situar yi de modo que forme un sistema dextrógiro con xi y zi.

0y

1y 2y

DH-9) Situar el sistema {Sn} en el extremo del robot de modo que zn coincida con la dirección de zn-1 y xn sea normal a zn-1 y zn.

3x

3z

3y


1θ

2d3θ

0z

1z 2z

1l0x1x

2x

DH-10) Obtener θi como el ángulo que hay que girar en torno a zi-1 para que xi-1 y xiqueden paralelos.DH-11) Obtener di como la distancia, medida a lo largo de zi-1, que habría que desplazar {Si-

1} para que xi y xi-1 quedasen alineados.

DH-12) Obtener ai como la distancia medida a lo largo de xi, que ahora coincidiría con xi-1, que habría que desplazar el nuevo {Si-1} para que su origen coincidiese con {Si}.

DH-13) Obtener αi como el ángulo que habría que girar en torno a xi, que ahora coincidiría con xi-1, para que el nuevo {Si-1} coincidiese totalmente con {Si}.

robótica tema 4. modelo cinemático directo · tema: modelo cinemático fecha: profesor: m....

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