robótica tema 3. introducción al modelo cinemático · asignatura: robótica tema:...

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ASIGNATURA: RobóticaTEMA: 3-Introducción al modelo cinemáticoFECHA: Marzo de 2017Profesores: Cecilia García & Miguel Hernando

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Titulación:Grado enIngenieríaElectrónicayAutomática

Área:IngenieríadeSistemasyAutomáticaDepartamento deElectrónicaAutomáticaeInformáticaIndustrial

UNIVERSIDADPOLITÉCNICADEMADRIDE.T.S.deIngenieríayDiseñoIndustrial

RobóticaTema 3. Introducción al Modelo Cinemático

ASIGNATURA: RobóticaTEMA: 3-Introducción al modelo CinemáticoFECHA: Marzo de 2017Profesores: Cecilia García & Miguel Hernando

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Objetivos

1. Conocer los distintos sistemas de localización espacial.

2. Familiarizarse con las operaciones matriciales necesarias para modelar cinemáticamente un robot.

3. Conocer la nomenclatura utilizada en robótica para la localizacióneespacial.

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Contenido

3.1 Introducción al modelo cinemático

3.2 Representación de la orientación

3.3 Matrices de Transformación Homogénea.

3.4 Composición de transformaciones.

3.5 Ejemplos y problemas

Bibliografía recomendada:Fundamentos de Robótica. (2ª Edición)Barrientos A, Peñin L. F., Balaguer C., Aracil R. Ed. McGraw‐Hill 1997. ISBN: 84‐267‐1313‐0


Justificación

Manipulación de piezas

Localización del extremo y

de la pieza

Descripción matemática de la

localización

3.1 Introducción al modelo Cinemático

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Justificación


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A B Toma una plancha de metal del palet.

B C, Ajusta el efector final.

C D, Pone la plancha en la prensa.

D E, Dobla la plancha.

E F, La sitúa en el contenedor.

F G, Coge la plancha por el lado contrario.

G H, La lleva a la prensa.

H I, Dobla la plancha.

I J, Sitúa la plancha en el palet.



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Operaciones típicas que requieren del modelo


Katib: curso Stanford

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Representación de la posición

Vector de posición

2D Cartesianas y polares

3D Cartesianas, cilíndrica y esfericas



Ejes perpendiculares con origen definido

2DOY

OX3D

OXOYOZ

vector p(x,y)

Coordenadas cartesianas

vector p(x,y,z)

Coordenadas cartesianas

Representación de la posición (II)

Coordenadas Cartesianas


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Matrices de Rotación 2D

El punto p se puede describir en el sistema OXY o en el sistema OUV

v

u

y

x

p

p

p

pR

vyuy

vxux

jjij

jiiiR

3.2 Representación de la Orientación


Particularidades de las matrices R

Matrices de orientación

R Matriz de rotación o Matriz de cosenos directores

R es ortonormal ‐> TRR 1

R es una matriz columna

IR 0


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Matrices de rotación 3D

El punto p se puede describir en el sistema OXYZ o en el sistema OUVW

Las propiedades de R vistas para 2D se conservan en 3D



Matrices Básicas (I)



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, ,, ,, zyx RRR Matrices BASICAS de rotación

Matrices Básicas (II)




Las matrices de rotación pueden componerse para expresar la aplicación continua de varias rotaciones:

• Rotación α en OX

• Rotación Φ en OY

• Rotación θ en OZ

Composición de rotaciones



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Ángulos de Euler

Definición: Todo sistema OUVW móvil, puede definirse con respecto al sistema OXYZ inercial a través de tres ángulos Φ, θ, , denominados ángulos de Euler .

Es una de las representaciones más habituales entre las que realizan los giros sobre ejes previamente girados. Se le suele asociar con los movimientos básicos de un giróscopo. Si se parte de los sistemas OXYZ y OUVW, inicialmente coincidentes, se puede colocar al sistema OUVW en cualquier orientación siguiendo los siguientes pasos.

Ángulos de Euler ZXZ (313)



Angulos de Euler ZXZ (313) (cont.)

1. Girar OUVW un ángulo Φ con respecto al eje OZ OU’V’W’.

2. Girar OU’V’W’ un ángulo θ con respecto al eje OU’, convirtiéndose así en el OU’’V’’W’’.

3. Girar el sistema OU’’V’’W’’ un ángulo

con respecto al eje OW’’ convirtiéndose finalmente en el OU’’’V’’’W’’’.


Ángulos de Euler

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Angulos de Euler XYZ ‐ Roll, Pitch, Yaw

Se trata de la representación utilizada generalmente en aeronáutica.

Es también la más habitual de entre las que se aplican a los giros sobre los ejes del sistema fijo denominándose entonces como ángulos de Cardan.

1. Girar el sistema OUVW un ángulo Φcon respecto al eje OZ. Es el denominado Yaw o guiñada.

2. Girar el sistema OUVW un ángulo θ con respecto al eje OV. Es el denominado Pitch o cabeceo.

3. Girar el sistema OUVW un ángulo con respecto al eje OU. Es el denominado Roll o alabeo.


Ángulos de Euler


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Angulos de Euler XYZ ‐ Roll, Pitch, Yaw

Visto desde el punto de vista de la robótica:

Es también la más habitual de entre las que se aplican a los giros sobre los ejes del sistema fijo denominándose entonces como ángulos de Cardan.

1. Girar el sistema OUVW un ángulo Φ con respecto al eje OX. Es el denominado Roll.

2. Girar el sistema OUVW un ángulo θ con respecto al eje OV. Es el denominado Pitch.

3. Girar el sistema OUVW un ángulo con respecto al eje OW. Es el denominado Yaw.


Ángulos de Euler

1. Girar el sistema OUVW un ángulo con respecto al eje OZ. Es el denominado Yaw.

2. Girar el sistema OUVW un ángulo θ con respecto al eje OY. Es el denominado Pitch.

3. Girar el sistema OUVW un ángulo Φ con respecto al eje OX. Es el denominado Roll.

R=Rot(x,roll)Rot(y,pitch)Rot(z,yaw)


Otras representaciones

Par de rotación

Quaternios

zyx kkkk

v,/ 32103210 sQkqjqiqeqqqqqQ

2sin,2cos, kk RotQ


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Par de Rotación

Definición: La representación de la orientación de un sistema OUVW con respecto al sistema de referencia OXYZ también puede realizarse mediante la definición de un vector y un ángulo:

zyx kkkk

tal que el sistema OUVW corresponde al sistema OXYZ girado un ángulo θsobre el eje k. El eje k ha de pasar por el origen O de ambos sistemas.

Al par (k, θ) se le denomina par de rotación y es único.

cos1sincos, pkpkppkRot

3.3 Cuaternios


Concepto

El conjunto R, C, Q forman un campo.

Sea C el conjunto de números complejos tal que:

1

,/2

i

babiaC

Definición: Un campo F consiste de un conjunto con dos operaciones (suma y producto) en el que se demuestran las propiedades de cerradura, conmutatividad, neutro, asociatividad, inverso y distributividad.

Definición: Los cuaternios se definen como el conjunto de números de la forma:

1

,,,/222

IJKKJI

dcbadKcJbIaH

3.3 Cuaternios

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Concepto

i

i

i

i

0

0

0

0

01

10KJI

Si

Se define el cuaternio:

diacib

cibdiahHh /

Este conjunto de cuaternios cumple todas las propiedades de un campo excepto al conmutatividad.Por lo tanto recibe el nombre de anillo.

Propiedades:

h

hh

hhhh

dKcJbIah

dcbah

1

2222

2

3.3 Cuaternios


v,/ 32103210 sQkqjqiqeqqqqqQ

Concepto

En robótica, los cuaternios se utilizan para la localización espacial de un cuerpo sólido aunque con un ligero cambio de notación:

s: representa la parte escalar

v: representa la parte vectorial

Operaciones Algebraicas

o e i j k

e e i j k

i i -e k -j

j j -k -e i

k k J -i -e

Ley de composición interna

3.3 Cuaternios

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Operaciones Algebraicas

Productos de cuaternios NO es conmutativo

Suma de cuaternios

Producto escalar

Norma: 23

22

21

20 q q q qQ

Inverso:

3.3 Cuaternios


De esta asociación arbitraria y gracias a las propiedades de los cuaternios, se obtiene una importante herramienta analítica para el tratamiento de giros y cambios de orientación.

2sin,2cos, kk RotQ

Utilización de los cuaternios

Giro θº sobre un eje k

Rotación del cuaternio Q a un vector r

*,0 QQ r

3.3 Cuaternios

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Composición de rotaciones

213 QQQ

El resultado de rotar según el cuaternio Q1, para posteriormente rotar según Q2, es el mismo que el de rotar según Q3. Es importante tener en cuenta que el producto de cuaternios no es conmutativo.

1221 QQQQ

3.3 Cuaternios



Rotación y traslación

prr ,0,0,0 * QQ UVWXYZ

El resultado de aplicar una traslación p al vector r seguida de una rotación Q al sistema OXYZ, es un nuevo sistema OUVW, tal que las coordenadas de un vector r en el sistema OXYZ, conocidas en OUVW, serán:

Si se mantiene el sistema OXYZ fijo y se traslada el vector r según p y luego se le rota según Q se obtendrá el vector r’ de coordenadas:

*' ,0,0 QQ prr

3.3 Cuaternios


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Coordenadas Homogéneas

Localización: representación conjunta de la posición y la orientación

La representación mediante coordenadas homogéneas de la localización de sólidos en un espacio n‐dimensional se realiza a través de coordenadas de un espacio (n+1)dimensional.

Coordenadas homogéneas Aumentan la dimensión en 1

wwwwzyx zyx pp

w tiene un valor arbitrario y representa un factor de escala

3.3 Matrices de Transformación Homogénea

De forma general, un punto p = ai+bj+ck, se representa en coordenadas homogéneas mediante el vector columna:


Definición

Se define como matriz de transformación homogénea T a una matriz dedimensión 4x4 que representa la transformación de un vector de coordenadashomogéneas de un sistema de coordenadas a otro:

En robótica interesa conocer el valor de R3x3 y de p3x1, considerándose las componentes de f nulas y la de w=1.


Matriz Homogénea

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En robótica, la matriz T tiene la forma:

T representa la orientación y posición de un sistema O’UVW rotado y trasladado con respecto al sistema de referencia OXYZ.

Dado un vector r= [ru, rv, rw] en el sistema OUVW, se puede conocer su localización ( r= [rx, ry, rz] ) en el sistema OXYZ a través de T:


Matriz Homogénea

Matrices homogéneas en robótica


1. Representar la posición y orientación de un sistema girado y trasladado O’UVW con respecto a un sistema fijo de referencia OXYZ, que es lo mismo que representar una rotación y traslación realizada sobre un sistema de referencia.

2. Transformar un vector expresado en coordenadas con respecto a un sistema O’UVW, a su expresión en coordenadas del sistema de referencia OXYZ.

3. Rotar y trasladar un vector con respecto a un sistema de referencia fijo OXYZ

Una matriz de transformación homogénea se puede aplicar para:


Matriz Homogénea

Significados posibles

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Matriz homogénea de Traslación

Supóngase que el sistema O’UVW únicamente se encuentra trasladado un vector p con respecto al sistema OXYZ.

k p j p i p zyx p

La matriz T entonces corresponderá a una matriz homogénea de traslación:

1000

100

010

001

z

y

x

p

p

p

T

Matriz Básica de Traslación



Un vector cualquiera r, representado en el sistema O’UVW por ruvw, tendrá como componentes del vector con respecto al sistema OXYZ:

111000

100

010

001

wz

vy

ux

w

v

u

z

y

x

rp

rp

rp

r

r

r

p

p

p

T

Y a su vez, un vector rxyz desplazado según T tendrá como componentes r’xyz:

111000

100

010

001

zz

yy

xx

z

y

x

z

y

x

rp

rp

rp

r

r

r

p

p

p

T


Matriz homogénea de Traslación

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Matriz homogénea de Rotación

Supóngase que el sistema O’UVW únicamente se encuentra rotado un ángulo con respecto al sistema OXYZ.

Matrices Básicas de Rotación

Rotación de α respecto a OX

Rotación de Φ respecto a OY

Rotación de θ respecto a OZ



Dado un vector r= [ru, rv, rw] en el sistema OUVW, se puede conocer su localización ( r= [rx, ry, rz] ) en el sistema OXYZ a través de T:


Aplicación

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Traslación + Rotación

La principal ventaja de las matrices homogéneas reside en su capacidad de representación conjunta de posición y orientación.

Para ello se utiliza la matriz de rotación R3x3 y el vector de traslación p3x1

en una matriz de transformación homogénea al mismo tiempo.

Es por tanto la aplicación conjunta de lo visto en los dos apartados anteriores.


Transformaciones compuestas


La rotación y traslación son operaciones no conmutativas

Se parte de un sistema OUVW coincidente con OXYZ al que se va a aplicar una traslación según un vector px,y,z y una rotación de 180° alrededor del eje OZ.

Si primero se rota y después se traslada se obtiene un sistema final O’U’V’W’. Si primero se traslada y después se rota se obtiene un sistema final O’’U’’V’’W’’



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Rotación seguida de Traslación




Traslación seguida de Rotación



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Significado geométrico

Donde n,o,a es una terna ortonormal que representa la orientación y p es un vector que representa la posición.



Robotica Industrial-H i t

44

-1

x y zT

x y zT

x y zT

0 0 0 1

T

n p

o p

a p

n n n

o o o

a a a

-1xyz uvwT r rxyz uvwr T r

Inversa de la matriz de transformación homogénea


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• Una transformación compleja puede descomponerse en la aplicación consecutiva de transformaciones simples (giros básicos y traslaciones)

• Una matriz que representa un giro de un ángulo a sobre el eje OX, seguido de un giro de ángulo f sobre el eje OY y de un giro de un ángulo q sobre el eje OZ, puede obtenerse por la composición de las matrices básicas de rotación

T T z T y T x

( , ) ( , ) ( , )

C S 0 0

S C 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

C 0 S 0

0 1 0 0

S 0 C 0

0 0 0 1

1 0 0 0

0 C S 0

0 S C 0

0 0 0 1

C C S C C S S S S C S C 0

S C C C S S S C S S S C 0

S C S C C 0

0 0 0 1

Composición de transformaciones

3.4 Composición de transformaciones


1. Si el sistema fijo OXYZ y el sistema transformado O'UVW son coincidentes, la matriz homogénea de transformación será la matriz 4 x 4 unidad, I4

2. Si el sistema O'UVW se obtiene mediante rotaciones y traslaciones definidas con respecto al sistema fijo OXYZ, la matriz homogénea que representa cada transformación se deberá premultiplicar sobre las matrices de las transformaciones previas.

3. Si el sistema O'UVW se obtiene mediante rotaciones y traslaciones definidas con respecto al sistema móvil, la matriz homogénea que representa cada transformación se deberá postmultiplicar sobre las matrices de las transformaciones previas.

Criterios de composición de matrices homogéneas


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PREMULTIPLICACIÓN

Obtener la matriz de transformación que representa al sistema O'UVW obtenido a partir del sistema OXYZ mediante un giro de ángulo ‐90º alrededor del eje OX, de una traslación de vector pxyz(5,5,10) y un giro de 90º sobre el eje OZ

T T z T p T x

( ,90 ) ( ) ( ,-90 )

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 5

0 1 0 5

0 0 1 10

0 0 0 1

1 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 1 5

1 0 0 5

0 1 0 10

0 0 0 1

o o

Ejemplo


POSMULTIPLICACIÓN

Obtener la matriz de transformación que representa las siguientes transformaciones sobre un sistena OXYZ fijo de referencia: traslación de un vector pxyz(‐3,10,10); giro de ‐90º sobre el eje O'U del sistema trasladado y giro de 90º sobre el eje O'V del sistema girado

T T p T u T v

( ) ( ,-90 ) ( ,90 )

1 0 0 3

0 1 0 10

0 0 1 10

0 0 0 1

1 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 3

1 0 0 10

0 1 0 10

0 0 0 1

º º

Ejemplo


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Gráficos de transformación

Es frecuente encontrar situaciones en las que la localización espacial de un objeto o de su sistema de referencia asociado, pueda realizarse a través de la composición de diversas transformaciones distintas.



M R E M OR E H O HT T T T T

Gráficos de transformación


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Método Ventajas Inconvenientes

Matrices detransformaciónhomogénea

Posición y orientaciónde forma conjunta

Comodidad

Alto nivel de redundancia(12 compon. para 6 gdl)

Coste computacional

Angulos deEuler

Notación compacta Sólo orientaciónDificultad de manejo

para composición

Par derotación

Notación compacta Sólo orientaciónDificultad de manejo

para composición

Cuaternios Composición simple yeficiente de rotaciones ytraslaciones

Sólo orientación relativa

Comparativa entre métodos de localización


Notaciones

Representación Significado

{A} Sistema de Coordenadas A

AP Vector P en coordenadas de A

Versores de los ejes X,Y,Z del sistema B

Versores de {B} expresado en coordenas de {A}

Sistema {B} en términos de {A}

Equivalente a la anterior (Barrientos).

BBB ZYX ˆ,ˆ,ˆ

BA

BA

BA ZYX ˆ,ˆ,ˆ

]ˆˆˆ[ BA

BA

BAA

B ZYXR

]ˆˆˆ[ BA

BA

BA

BA ZYXR

robótica tema 3. introducción al modelo cinemático · asignatura: robótica tema:...

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