TALLER NO.1 – AJUSTE POLINOMIAL DE CURVAS

Nombre: Camila Andrea Maldonado Borda Código: 20091005015

Inteligencia Artificial - Redes Neuronales

FACULTAD DE INGENIERIA – INGENIERIA ELECTRONICA

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS

1. Los datos poly1 fueron generados con la siguiente función:

( ) ( )

Por medio de MATLAB R2013 se obtuvieron los polinomios de orden n que minimiza el error

cuadrado sobre el conjunto de datos poly1. Se calcularon los coeficientes de los polinomios por

medio de la función polyfit de MATLAB para n de 1 a 15.

Esta función guarda en un vector los coeficientes del vector luego de esto se evalúa la función

polinomial obtenida para el rango de [0,1] con el propósito de luego obtener los valores de

errores entre las funciones. Haciendo uso de la función polyval.

Las funciones estimadas por medio de MATLAB se listan en la TABLA 1 que puede revisar en

los anexos de este documento en la cual también se registraron los errores calculados, el error de

entrenamiento evaluando los puntos o datos de poly1 y los valores obtenidos en esos puntos

para la función estimada y el error entre funciones que compara la función original con la

función estimada evaluada en el intervalo [0,1].

Por otra parte, las gráficas de las funciones estimadas para los polinomios impares, que puede

consultar en los anexos FIGURA 1, detallan y permiten hacer una comparación visual de las

funciones estimadas y la función original. Permitiendo con esto lograr primeros planteamientos

con el fin de llegar a concluir acerca del comportamiento de este método de ajuste de curvas.

Además, se graficó los resultados de los errores calculados para cada polinomio encontrado o

función estimada que fueron registrados en la TABLA1 para poder observar su comportamiento

de acuerdo al aumento en el orden del polinomio estimado, diríjase a la FIGURA 2 en los

anexos.

De acuerdo a los resultados obtenidos y registrados en la TABLA 1 es que el ajuste polinomial

permite llegar al valor exacto de los coeficientes de la función original para el polinomio de

grado n=4, después de este orden el coeficiente que acompaña a la variable de mayor exponente

es muy cercana a cero por lo tanto no tiene gran trascendencia en el comportamiento de la

gráfica y debido a esto el valor del error se mantiene estable a medida que se aumenta el orden

de polinomio como se puede corroborar en la tabla la cual registra valores muy pequeños de

error tanto de entrenamiento como el error entre las funciones. De la FIGURA 1 podemos

concluir que la curva de la función estimada se encuentra totalmente superpuesta en la gráfica

de la función original a partir del polinomio de orden n=5, y así se mantiene al aumentar el

grado del polinomio encontrado. Por último, la FIGURA 3 nos permite analizar y comparar el

comportamiento del valor de los errores calculados y para el caso los errores tanto de

entrenamiento como el error entre funciones tiende a comenzar en un valor considerable y luego

del polinomio de grado 4 baja abruptamente a valores muy pequeños cercanos a cero.

2. Los datos poly2 fueron generados con la función (1) sin embargo estos datos fueron

contaminados con ruido blanco con σ=0.05.

Para obtener las funciones estimadas de orden n se realizó el mismo procedimiento que en el

punto anterior evaluando esta vez sobre los datos de poly2. Los resultados de este

procedimiento se registraron en la TABLA 2 que puede consultar en los anexos, en la cual se

registraron las funciones estimadas de orden 1 al 15 así como los errores calculados para los

puntos y la diferencia entre la función estimada y la función original.

También puede realizarse un análisis grafico de los resultados de las funciones estimadas para

polinomios de orden impar contra la función original y el efecto que tiene la presencia de ruido

blanco en los datos bajo los que se estimaron las funciones, poly2, todo esto a partir de las

gráficas contenidas en la FIGURA 3.

Por último y para completar las herramientas para realizar el análisis de los datos obtenidos en

el taller, se graficaron los valores de los errores para cada polinomio con el cual permite

evidenciar de forma más clara la diferencia que hay entre los resultados obtenidos en cuanto a la

forma en que calculamos el error, ver FIGURA 4 en los anexos.

Se logra un claro ejemplo del comportamiento del ajuste polinomial de curvas para el caso en el

que los datos están contaminados con ruido blanco. Empezaremos nuestro análisis con los datos

registrados en la TABLA 2 de los cuales podemos decir que los polinomios cambian con cada

aumento del grado del polinomio encontrado no presenta unos valores fijos como se presentaba

en el caso anterior. En cuanto a el resultado del error de entrenamiento y el error entre las

funciones podemos ver que tiene un comportamiento inverso, en el caso del error d

entrenamiento; su valor se hace cada vez más pequeño a medida que se aumenta el grado del

polinomio. Por otro lado, el error entre funciones va aumentando su valor a media que aumenta

el grado del polinomio. En cuanto a la FIGURA 3 se observa claramente que la gráfica de la

función estimada se acerca mucho a la gráfica de la función original para el polinomio de orden

n=5 pero al aumentar el orden del polinomio encontrado podemos observar que la función

estimada se aleja cada vez más de la función original pero sigue pasando por los puntos de los

datos poly2, cosa que se esperaba de acuerdo a os datos que registran el valor del error en la

TABLA 2.

A partir de la FIGURA 3, queda totalmente claro el comportamiento del error tanto de

entrenamiento como entre funciones, confirmamos así el planteamiento realizado anteriormente

en el cual se tiene que el error de entrenamiento tiende a cero mientras que el error entre

funciones tiende a crecer a valores muy grandes.

CONCLUSIONES

Se logró demostrar el efecto que tiene el hecho de que los datos sobre los cuales trabajamos

en particular para el ajuste polinomial de curvas este contaminados con ruido, ya que esto

afecta los resultados de forma importante, el ruido que contamino los datos de poly2

causaron que el ajuste obtuviera una muy buena aproximación en el polinomio de orden 4

pero al aumentar el orden la función estimada se modificaba y se alejaba cada vez más de la

función original cosa contraria a lo que ocurría con los resultados de poly1.

Lo cual establece que cuando estamos trabajando con la técnica de ajuste polinomial de

curvas uno de los aspectos más importantes a tener en cuenta es que los datos sobre los que

vamos a trabajar deben estar en lo posible libres de todo ruido para lograr obtener una buena

aproximación a la función que estamos buscando.

De acuerdo a los resultados de los errores obtenidos se mostró que en el caso de poly1 los

errores tienen un comportamiento muy similar y ambos tienden a cero, por el contrario los

errores obtenidos con poly2 se comportan de forma contraria mientras el error de

entrenamiento se acerca a cero el error entre funciones se hace cada vez más grande.

Por tanto, en caso de tener datos contaminados con ruido el error de entrenamiento no es

una buena de saber forma de saber cuándo nos estamos acercando a la función original ya

que a pesar de que las funciones pasen por los puntos conocidos pueden estar alejándose de

la función original como vimos en este documento.

ANEXOS TABLA 1 - POLINOMIOS DE ORDEN n QUE MINIMIZA EL ERROR CUADRADO SOBRE EL CONJUNTO DE DATOS POLY1

*ee1: hace referencia al error de entrenamiento e(n)=sum((xi-poly1(:,2)).^2)*100; *ee2: hace referencia al error cuadrático medio de entrenamiento ecm(n)=sqrt(sum((xi-poly1(:,2)).^2)/n)*100; *ef1: hace referencia al error entre funciones et(n)=sum((y-yn).^2)*100;

∫ ( ) ( )

*ef2: hace referencia al error cuadrático medio entre funciones ecmt(n)=sqrt(sum((y-yn).^2)/length(y))*100;

√

∫ ( ) ( )

n Polinomio Encontrado Error Entrenamiento Error entre funciones ee1 (%)* ee2 (%)* ef3 (%)* ef4 (%)*

1 87,78 24,19 87,7825 28,0534

2 8,19 7,39 8,1936 8,7267

3 2,68 4,23 2,6867 6,2268

4 4,30·10-27

1,69·10-13

4,30·10-27

1,67·10-13

5 2,67·10-27

1,33·10-13

2,67·10-27

1,09·10-13

6 2,18·10

-27 1,20·10

-13 2,18·10

-27 1,02·10

-13

7 3,74·10-27

1,58·10-13

3,74·10-27

2,20·10-13

8 2,09·10-27

3,73·10-13

2,09·10-27

6,80·10-13

9 8,08·10-27

2,32·10-13

8,08·10-27

2,25·10-12

10

8,99·10

-27 2,44·10

-13 8,99·10

-27 9,25·10

-13

11

4,07·10

-27 1,64·10

-13 4,07·10

-27 5,03·10

-12

12

1,06·10-26

2,66·10-13

1,06·10-26

1,21·10-11

13

9,57·10

-27 2,52·10

-13 9,57·10

-27 2,20·10

-11

14

4,15·10

-27 1,66·10

-13 4,15·10

-27 2,66·10

-10

15

1,16·10-26

2,78·10-13

1,16·10-26

2,33·10-10

FIGURA 1 – GRAFICAS DE LAS FUNCIONES OBTENIDAS PARA POLY1 DE GRADO n IMPAR (Verde) Y LA FUNCION ORIGINAL (Rojo)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1.5

-1

-0.5

Grafica Original y Puntos Conocidos

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1.5

-1

-0.5

Polinomio Grado 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1.5

-1

-0.5

Polinomio Grado 3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1.5

-1

-0.5

Polinomio Grado 5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1.5

-1

-0.5

Polinomio Grado 7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1.5

-1

-0.5

Polinomio Grado 9

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1.5

-1

-0.5

Polinomio Grado 11

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1.5

-1

-0.5

Polinomio Grado 13

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1.5

-1

-0.5

Polinomio Grado 15

FIGURA 2 – COMPARACION ENTRE LOS ERRORES OBTENIDOS POR LOS DATOS DE POLY1 (derecha) Y LAS FUNCIONES (izquierda)

0 5 10 150

10

20

30

40

50

60Error de Entrenamiento

0 5 10 150

10

20

30

40

50

60Error entre Funciones

TABLA 2 - POLINOMIOS DE ORDEN n QUE MINIMIZA EL ERROR CUADRADO SOBRE EL CONJUNTO DE DATOS POLY2 CON RUIDO σ=0.05

n Polinomio Encontrado ErrorEntrenamiento ErrorFunciones

ee1 ee2 ef3 ef4

1 105,3057 26,496 165,317 28,057

2 14,2187 9,736 15,718 8,651

3 10,5779 8,397 8,377 6,315 4 5,7874 6,211 2,486 3,441

5 5,7614 6,197 1,7872 2,917

6 5,4906 6,050 10,595 7,103

7 5,3280 5,959 36,235 13,135

8 5,2860 5,936 16,233 8,792

9 5,2859 5,936 17,436 9,112

10

4,5224 5,490 998,056 68,939

11

2,8259 4,340 2,456·x

4 342,028

12

2,0765 3,720 1,549·x

5 858,956

13

2,0649 3,710 1,242·x5 769,106

14

8,449·x

-8 0,75·x

-3 6,473·x

7 1,755·x

4

15

3,196·x-8

0,461·x-3

5,703·x7 1,648·x

4

FIGURA 3 – GRAFICAS DE LAS FUNCIONES OBTENIDAS PARA POLY2 DE GRADO n IMPAR (Verde) Y LA FUNCION ORIGINAL (Rojo)

FIGURA 2 – COMPARACION ENTRE LOS ERRORES OBTENIDOS POR LOS DATOS DE POLY2 (derecha) Y LAS FUNCIONES (izquierda)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1.5

-1

-0.5

Grafica Original y Puntos Conocidos

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1.5

-1

-0.5

Polinomio Grado 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1.5

-1

-0.5

Polinomio Grado 3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1.5

-1

-0.5

Polinomio Grado 5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1.5

-1

-0.5

Polinomio Grado 7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1.5

-1

-0.5

Polinomio Grado 9

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1.5

-1

-0.5

Polinomio Grado 11

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1.5

-1

-0.5

Polinomio Grado 13

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1.5

-1

-0.5

Polinomio Grado 15

0 5 10 150

10

20

30

40

50

60Error de Entrenamiento

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200Error entre Funciones