rmat cap 1 v2008

8/7/2019 RMAT Cap 1 v2008

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Universidad de La Serena

Facultad de Ingeniería

Departamento de Ingeniería en Obras Civiles

Curso de Resistencia de Materiales, Apuntes de Clase

Profesor MSc. Ing. Jaime Campbell Barraza

1-1

1. TENSIONES Y DEFORMACIONES

1.1. Introducción

Elasticidad:

Propiedad que tiene un sólido para recuperar su forma inicial al retirar las cargas que se

le han aplicado, siempre que éstas no sobrepasen un cierto límite.

En este curso se considera sólo el análisis de sólidos linealmente elásticos.

Consideraciones generales de la Resistencia de Materiales:

El material se considera linealmente elástico.

El material se considera continuo.

El material se considera homogéneo.

El material se considera isotrópico.Se considera que las deformaciones son pequeñas y que en general no hacen variar de

manera importante la geometría general del problema.

Las fuerzas internas que preceden a las cargas son nulas (condiciones iniciales nulas).

Es válido el Principio de Superposición.

Es válido el Principio de Saint Venant.

Principio de Superposición:

“El estado de equilibrio debido a varias acciones externas es igual a la superposición de

las soluciones que corresponden a cada uno de los estados si cada uno actuara

independientemente”.

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1-2

Principio de Saint Venant:

“El valor de los esfuerzos internos en los puntos de un sólido situado a una distancia

suficiente de los lugares de aplicación de la carga dependen muy poco del modo de aplicación

de ésta”.

1.2. Tensión o Fatiga

Se define tensión o fatiga como el cuociente entre la carga aplicada y el área en donde

ésta se distribuye. Si la dirección de la carga aplicada es perpendicular al área en donde ésta se

distribuye, entonces la tensión es de tipo axial o normal (σ ) y si la dirección de la carga

aplicada es paralela al área en donde ésta se distribuye, entonces la tensión es de tipo cortante

o cizalle (τ ).

En el caso de la tensión axial:

A

F

dA

dF

Área

Fuerza===σ

De acuerdo al convenio de Mecánica, si la fuerza es de tracción (saliendo de la barra)

se considera positiva, entonces “σ ” también se considera de tracción y viceversa.

Figura Nº1: Tensiones axiales en el interior de una barra prismática.

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1-3

1.3. Tracción y Compresión en Barras Prismáticas

Se tiene una barra prismática de largo “ ℓ ” y área de sección transversal “ A” cargada

axialmente con una fuerza “ F ”. Si se realiza un corte al interior de la barra de forma

transversal al eje longitudinal de la barra, la tensión interna será:

A

F =σ

Figura Nº2: Barra prismática cargada axialmente.

Si en vez de realizar un corte en sentido perpendicular el corte se realiza en dirección

oblicua:

Figura Nº3: Barra prismática cargada axialmente. Corte oblicuo.

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A

F =0σ ϕ ϕ ·cos A A =

ϕ ·cos F N = ϕ ·sin F T =

La tensión normal a la dirección del corte es:ϕ

ϕ σ A

N =

La tensión paralela a la dirección del corte es:ϕ

ϕ τ A

T =

ϕ σ ϕ ϕ

ϕ σ

ϕ

ϕ

2

0

2 ·coscoscos /

·cos====

A

F

A

F

A

N

)2·sin(2

·cossincos /

·sin 0 ϕ σ

ϕ ϕ ϕ

ϕ τ

ϕ

ϕ ==== A

F

A

F

A

T

1.4. Ensayo de Tracción y Ley de Hooke

Se define Deformación Unitaria (ε) como:

l

lΔ=ε

Donde “ Δℓ ” es el alargamiento de la barra en un ensayo de tracción simple y “ ℓ ” es el

largo original de la barra.

Figura Nº4: Deformación Unitaria.

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1-5

Diagrama de Tensión-Deformación

En el Diagrama de Tensión-Deformación se grafica la deformación unitaria (en

abscisas) y las tensiones axiales (en ordenadas) que se obtienen de un ensayo de tracción

simple realizado a una barra prismática de largo “ ℓ ”, área de sección transversal “ A” y

sometida a una carga axial “ F ”.

Por ejemplo, para acero la curva es aproximadamente como la que se muestra en la

figura:

Figura Nº5: Curva Tensión-Deformación del acero.

Como se puede ver, en esta curva se distinguen varias zonas, las que están definidas

por los valores que a continuación se indican.

σ p: Límite de proporcionalidad

σ f : Esfuerzo de fluencia

σ u: Esfuerzo último

σ r : Esfuerzo de rotura

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1-6

La zona entre el origen y σ p se denomina “zona elástica lineal”. En esta zona se cumple

que:

ε σ · E =

Esta ecuación es la Ley de Hooke e indica que en la zona elástica lineal las tensiones

axiales son proporcionales a las deformaciones unitarias.

Todos los análisis de este curso considerarán a los sólidos trabajando en esta zona y

por lo tanto su comportamiento en tensión-deformación estará gobernado por esta ecuación.

En la Ley de Hooke “ E ” es el Módulo de Elasticidad (longitudinal) del Material o

Módulo de Young. Este módulo caracteriza la capacidad del material de oponerse a las

deformaciones. Por ejemplo:

Para Acero: 26 . / .101,2 cmkg E ×=

Para Hormigón: 25 . / .100,3 cmkg E ×=

De las definiciones anteriores se tiene:

ε σ · E = ;l

lΔ=ε ;

A

F =σ

De lo que se deduce que: A E

F

·

·ll =Δ

Si se asimila una barra prismática cargada axialmente a un resorte, se deduce que la

rigidez de la barra es:

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l

A E k

·=

Figura Nº6: Analogía entre una barra prismática y un resorte.

1.5. Deformaciones Transversales

Como ya se ha indicado, cuando a un sólido se le aplica una fuerza en una dirección

ésta produce una deformación en esa misma dirección, de acuerdo a la Ley de Hooke. Al

mismo tiempo, el sólido sufre una deformación transversal a la dirección de la fuerza, cuya

magnitud está definida por el Módulo de Poisson y que se define a continuación.

Figura Nº7: Módulo de Poisson.

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l

ll

Δ=ε ;

d

d t

Δ=ε

lε μ ε ·−=⇒ t

Donde “ μ” es el Módulo de Poisson. Este módulo tiene valores definidos en el

intervalo 5,00 ≤< μ .

Para acero: 25,0=μ

Para hormigón: 20,0=μ

El intervalo de valores que puede tomar el Módulo de Poisson se demuestra a

continuación.

Suponiendo que el sólido es un cilindro de diámetro “d ” y largo “ ℓ ”, el aumento de

volumen que se produce si se le aplica una fuerza de tracción “ F ” en dirección longitudinal es:

i f V V V −=Δ

l4

· 2d V f

π = y )(

4

)·( 2

ll Δ+Δ−

=d d

V f π

Desarrollando la expresión de V f y despreciando términos de segundo orden:

))(··2(4

22ll Δ+Δ+Δ−= d d d d V f

π

)···2···2··(4

22llll ΔΔ−Δ−Δ+= d d d d d d V f

π

)···2··(4

22lll d d d d V f Δ−Δ+=

π

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1-9

⇒ )···2·(4

2ll d d d V Δ−Δ=Δ

π

Incorporandol

l

ΔΔ= ·d d μ , entonces:

)···2·(4

22ll Δ−Δ=Δ d d V μ

π

)·21(·4

2 μ π

−Δ=Δ ld V

Pero como 0≥ΔV ⇒ 0)·21( ≥− μ ⇒ 50,0≤μ

1.6. Consideraciones para el Análisis de Cuerpos Deformables

Para resolver cualquier problema de Mecánica de Sólidos es necesario tener en cuenta

las siguientes consideraciones:

1.- Estudiar las fuerzas del sistema para mantener las condiciones de equilibrio estático.

2.- Estudiar las deformaciones del sistema para definir las condiciones de la o las

compatibilidades geométricas.

3.- Aplicar la relación Tensión-Deformación del o los materiales (Ley de Hooke).

La diferencia entre un problema de Resistencia de Materiales y uno de Mecánica radica

en dos aspectos:

- Los problemas de Resistencia de Materiales usualmente son hiperestáticos, es decir, no

es posible resolverlos usando solamente las ecuaciones de equilibrio estático.

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1-10

- En los problemas de Resistencia de Materiales los cuerpos son deformables y por lo

tanto es necesario tener en cuenta las compatibilidades geométricas cuando el sólido se

encuentra bajo la acción de las cargas.

Para entender mejor estas consideraciones, a continuación se muestra un ejemplo.

Ejemplo Nº1:

Determinar las fuerzas en las barras del sistema estructural de la figura debido a la

fuerza “ F ”. Datos: F , ℓ , E , A, φ.

Figura Nº8: Ejemplo Nº1.

Condiciones de equilibrio

∑ = 0h F

0·sin·sin 31 =− ϕ ϕ S S 31 S S =⇒ (1)

∑ = 0v F

F S S S =++ ϕ ϕ ·cos·cos 321

F S S =+ 21·cos·2 ϕ (2)

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Deformaciones y compatibilidad geométrica

Se considera que las deformaciones son pequeñas en comparación con las dimensiones

de los elementos. Esto implica que la geometría inicial se considera aproximadamente igual a

la geometría deformada, es decir, las longitudes y los ángulos son invariantes frente a las

deformaciones debidas a las cargas aplicadas.

Compatibilidad:

δ ϕ =Δ

·cos (3)

Tensión-Deformación (Ley de Hooke)

Para la barra 2: A E

S

·

·2 l=Δ (4)

Para las barras 1 y 3: A E

S

·

cos / ·1 ϕ δ

l= (5)

Reemplazando (4) y (5) en (3): A E

S

A E

S

·

cos / ·cos

·

· 12 ϕ ϕ

ll=

ϕ 2

21 ·cosS S =⇒

Con este último resultado en (2): F S S =+ 2

3

2 ·cos·2 ϕ

1·cos2 32+

=⇒ϕ

F S

1·cos2

·cos3

2

31+

==⇒ϕ

ϕ F S S

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1-12

Es interesante notar que en este tipo de problemas (hiperestáticos), la distribución de

las fuerzas en las barras varía en la medida que cambian las características mecánicas de los

materiales y geométricas del problema.

1.7. Tensiones por temperatura

En Resistencia de Materiales, además de considerar que los cuerpos sufren

deformaciones debido a la aplicación de cargas, se podrá considerar en algunas ocasiones que

sufrirán deformaciones debido a los cambios de temperatura. En el caso de una barra de largo

“ ℓ ” sometida a un cambio de temperatura “ ΔTº ”:

Figura Nº9: Deformaciones por temperatura.

La deformación unitaria por temperatura es: º· T T T Δ=α ε

Donde “αT ” es el Coeficiente de Dilatación Térmica del material, cuyas unidades son

(1/ºC ).

De la definición de Deformación Unitaria:l

lΔ=ε

Entonces: ll º·· T T Δ=Δ α

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1-13

Que es el alargamiento longitudinal de una barra sometida a un cambio de temperatura.

En general, en un problema de Resistencia de Materiales cuando una barra está

sometida a un cambio de temperatura, al mismo tiempo se encuentra sometida a una tensión

debida a la restricción de deformación que le imponen las restantes barras del problema. Por

ejemplo:

Figura Nº10: Barra bi-empotrada sometida a un cambio de temperatura.

En este caso, el alargamiento total debe ser cero (la barra no se puede alargar ni

acortar), por lo tanto, si el cambio de temperatura es un aumento, la barra estará sometida a

una compresión “ F ” igual a:

A E T F T ·º··Δ−= α

Ejemplo Nº2:

Determinar las fuerzas en las barras del sistema estructural de la figura debido a un

aumento de temperatura en la barra 2. Datos: ℓ , E , A, φ, ΔTº , αT .

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Condiciones de equilibrio

∑ = 0h F

0·sin·sin 31 =− ϕ ϕ S S 31 S S =⇒ (1)

∑ = 0v F

0·cos·2 21 =− S S ϕ (2)

Deformaciones y compatibilidad geométrica

Igual que en el ejemplo anterior: δ ϕ =Δ·cos (3)

Tensión-Deformación (Ley de Hooke)

Para la barra 2: A E

S T T ·

·º·· 2 ll −Δ=Δ α (4)

Para las barras 1 y 3: A E

S

·

cos / ·1 ϕ δ

l= (5)

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Reemplazando (4) y (5) en (3): A E

S

A E

S T T

·

cos / ·cos

·

·º·· 12 ϕ

ϕ α ll

l =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−Δ (*)

De la ecuación (2): ϕ ·cos·2 12 S S =

Con este último resultado en (*):1·cos2

·cos·º···23

3

2+

Δ=⇒

ϕ

ϕ α A E T S T

1·cos2

·cos·º··3

2

31+

Δ==⇒

ϕ

ϕ α A E T S S T

1.8. Estado Plano de Tensiones

Esfuerzo Uniaxial

Se tiene una barra de área de sección “ A” sometida a la acción de una fuerza axial de

tracción “ F ” y se le realiza un corte transversal (perpendicular a su eje longitudinal). El estado

tensional interno en el lugar del corte es:

A

F x =σ

Si el corte transversal se realiza en una dirección distinta de la perpendicular al eje

longitudinal:

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1-16

Figura Nº12: Estado tensional interno en una barra sometida a tracción simple (sección

transversal oblicua con respecto al eje longitudinal).

En este caso las tensiones internas se determinan de la forma que se muestra a

continuación.

Verificando la suma de fuerzas sobre la cuña en dirección perpendicular y paralela al

corte realizado:

∑ = 0σ F ⇒ ϕ ϕ σ σ ϕ ϕ ϕ ·cos·cos·· A A x=

ϕ σ σ ϕ 2·cos x=

∑ = 0τ F ⇒ ϕ ϕ σ τ ϕ ϕ ϕ ·sin·cos·· A A x−=

ϕ ϕ σ τ ϕ ·sin·cos x−=

Procediendo de la misma forma pero con una cuña que contenga la otra cara del

elemento de tensiones se llega a lo siguiente:

ϕ σ σ π ϕ

2

2 / ·sin x=+

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ϕ ϕ σ τ π ϕ ·sin·cos2 / x=+

Con los resultados obtenidos se puede demostrar que:

1) xσ σ σ π ϕ ϕ =+ + 2 /

2) 2 / π ϕ ϕ τ τ +−=

Esfuerzo Biaxial

Si en vez de tener un estado de tensiones inicial uniaxial se tiene uno biaxial, entonces

las ecuaciones que gobiernan el estado tensional para cualquier ángulo de giro son definidas

de la siguiente forma:

Figura Nº13: Estado tensional biaxial.


corte realizado:

∑ = 0σ F ⇒ ϕ ϕ σ ϕ ϕ σ σ ϕ ·sin·sin··cos·cos·· A A A y x +=

ϕ σ ϕ σ σ ϕ 22 ·sin·cos y x +=

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1-18

∑ = 0τ F ⇒ ϕ ϕ σ ϕ ϕ σ τ ϕ ·cos·sin··sin·cos·· A A A y x +−=

ϕ ϕ σ σ τ ϕ ·cos)·sin( y x −−=



ϕ σ ϕ σ σ π ϕ

22

2 / ·cos·sin y x +=+

ϕ ϕ σ σ τ π ϕ ·cos)·sin(2 / y x −=+

Nuevamente, con los resultados obtenidos se puede demostrar que:

1) y x σ σ σ σ π ϕ ϕ +=+ + 2 /

2) 2 / π ϕ ϕ τ τ +−=

Si se consideran las siguientes identidades trigonométricas:

[ ])2cos(121cos2 ϕ ϕ +=

[ ])2cos(12

1sin 2 ϕ ϕ −=

)2sin(2

1·cossin ϕ ϕ ϕ =

Las ecuaciones anteriores se pueden reescribir de la siguiente forma:

)2)·cos((2

1)(

2

1ϕ σ σ σ σ σ ϕ y x y x −++=

)2)·cos((2

1)(

2

12 / ϕ σ σ σ σ σ π ϕ y x y x −−+=+

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)2)·sin((2

1ϕ σ σ τ ϕ y x −−=

)2)·sin((

2

12 / ϕ σ σ τ π ϕ y x −=+

Estado Plano de Tensiones

Si en el estado inicial de tensiones se tienen todas las tensiones, entonces:

Figura Nº14: Estado plano de tensiones.


corte realizado:

∑ = 0σ F ⇒

ϕ ϕ τ ϕ ϕ τ ϕ ϕ σ ϕ ϕ σ σ ϕ ·cos·sin··sin·cos··sin·sin··cos·cos·· A A A A A yx xy y x +++=

ϕ ϕ τ ϕ σ ϕ σ σ ϕ ·cos·sin·2·sin·cos 22

xy y x ++=

)2·sin()2)·cos((2

1)(

2

1ϕ τ ϕ σ σ σ σ σ ϕ xy y x y x +−++=

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∑ = 0τ F ⇒

ϕ ϕ τ ϕ ϕ τ ϕ ϕ σ ϕ ϕ σ τ ϕ ·sin·sin··cos·cos··cos·sin··sin·cos·· A A A A A yx xy y x −++−=

)sin·(cos·cos)·sin(

22

ϕ ϕ τ ϕ ϕ σ σ τ ϕ −+−−=

xy y x

)2·cos()2)·sin((2

1ϕ τ ϕ σ σ τ ϕ xy y x +−−=



)2·sin()2)·cos((2

1

)(2

12 / ϕ τ ϕ σ σ σ σ σ π ϕ xy y x y x −−−+=+

)2·cos()2)·sin((2

12 / ϕ τ ϕ σ σ τ π ϕ xy y x −−=+

De nuevo, con los resultados obtenidos se puede demostrar que:

1) y x σ σ σ σ π ϕ ϕ +=+ + 2 /

2) 2 / π ϕ ϕ τ τ +−=

Por lo tanto, en estado plano de tensiones, la suma de las tensiones axiales de las caras

perpendiculares es siempre constante y las tensiones de corte son siempre iguales y opuestas.

Esfuerzos Principales

Al variar el ángulo “φ” entre 0º y 360º, varían también los valores de los esfuerzos σ φ yτ φ. Los valores extremos (máximo y mínimo) de σ φ se denominan Esfuerzos Principales. Estos

Esfuerzos Principales actúan en planos definidos por:

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1-21

)(

·2)2tan( 0

y x

xy

σ σ

τ ϕ

−=

Esta fórmula se define a partir del despeje de la derivada de σ φ con respecto a “φ”

igualada a cero (valor máximo o mínimo de la función σ φ) o del despeje directo de τ φ igual a

cero (τ φ=0 es una condición de los Esfuerzos Principales).

En esta fórmula “φ0” es el ángulo que define los planos principales de esfuerzos en el

punto.

De la ecuación anterior se puede definir un triángulo rectángulo tal que:

S y x )(

)2cos( 0

σ σ ϕ

−±=

S xyτ

ϕ ·2

)2sin( 0 ±=

Donde “S ” es la hipotenusa del triángulo: ( ) 22·4 xy y xS τ σ σ +−=

Sustituyendo estas expresiones en la correspondiente a “σ φ”, se tiene:

2

2

2,12

)(2

1 xy

y x y x τ

σ σ σ σ σ +⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −±+=

Donde σ 1 y σ 2 representan los esfuerzos principales máximo y mínimo

respectivamente. Adicionalmente se cumple que en las direcciones principales τ =0.

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1-22

Estado de Corte Máximo

Junto al Estado de Tensiones Principales se define un Estado de Cortante Máximo. En

este estado, las tensiones de corte “τ ” son máximas y las tensiones axiales “σ ” son iguales al

promedio. El ángulo que define este estado es:

xy

y xS

τ

σ σ ϕ

·2

)()2tan(

−−= o º450 ±= ϕ ϕ S

2

2

)(

2

1 xy y xmáx τ σ σ τ +⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−= )(

2

1 y xmedio σ σ σ +=

1.9. Círculo de Mohr para el giro de esfuerzos planos

El estado plano de tensiones puede ser resuelto de manera alternativa usando la

metodología gráfica definida por el Círculo de Mohr. De las ecuaciones de σ φ y τ φ mostradas

anteriormente:

22

)2·sin()2)·cos((2

1)(

2

1⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+− ϕ τ ϕ σ σ σ σ σ ϕ xy y x y x

[ ]2

2)2·cos()2)·sin((

2

1⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−= ϕ τ ϕ σ σ τ ϕ xy y x

Sumando ambas ecuaciones:

2

2

2

2

)(2

1)(

2

1 xy y x y x τ σ σ τ σ σ σ ϕ ϕ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

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1-23

[ ] 222 Rmedio =+− ϕ ϕ τ σ σ

Donde: )(21 y xmedio σ σ σ += y 2

2

)(21 xy y x R τ σ σ +⎥⎦⎤⎢⎣⎡ −=

La ecuación definida representa una circunferencia en coordenadas σ φ y τ φ, cuyo radio

corresponde a “ R” y su centro “C ” se ubica en las coordenadas σ =σ medio y τ =0.

El círculo se construye ubicando en el plano “σ , τ ” los puntos A=( σ x , τ xy) y B=( σ y , -

τ xy). Al unir estos dos puntos iniciales con una recta se obtiene el diámetro del círculo y la

ubicación del centro en la intersección con el eje horizontal.

Figura Nº15: Círculo de Mohr.

Ejemplo Nº3:

Para el estado tensional dado se pide determinar y dibujar:

a) Los esfuerzos y planos principales

b) Los esfuerzos en un elemento girado 45º

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1-24

c) El estado de esfuerzo de corte máximo


Usando las ecuaciones de giro de esfuerzos:

1120= xσ

420= yσ

280= xyτ

a) 8,0)4201120(

280·2)2tan( 0 =

−=ϕ º33,190 =⇒ ϕ

2

2

1 2802

4201120)4201120(

2

1+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −++=σ 22,12181 =⇒ σ

2

2

2 2802

4201120)4201120(

2

1+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−+=σ 78,3212 =⇒ σ

b) 1050)º45·2·sin(280)º45·2)·cos(4201120(2

1)4201120(

2

1º45 =+−++==ϕ σ

490)º135·2·sin(280)º135·2)·cos(4201120(2

1)4201120(

2

1º135 =+−++==ϕ σ

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1-25

350)º45·2·cos(280)º45·2)·sin(4201120(2

1º45 −=+−−==ϕ τ

c) º33,64º45º33,19 =+=S ϕ

770)4201120(2

1=+=σ

21,448280)4201120(2

1 2

2

±=+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=máxτ

Usando el Círculo de Mohr:

)280,1120(= A )280,420( −= B

Figura Nº17: Círculo de Mohr para el Ejemplo Nº3.

De la figura: 770)4201120(

2

1=+=medioσ

21,448280)4201120(2

1 2

2

=+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−= R

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1-26

a) 8,0350

280)2tan( 0 ==ϕ º33,190 =⇒ϕ

22,12181 =+= RC σ

78,3212 =−= RC σ

b) º35,51·2º90·2 0 =−= ϕ β

105093,1049)2·cos( ≈=+= β σ ϕ RC

49006,490)2·cos(2 / ≈=−=+ β σ π ϕ Rc

35004,350)2·sin( ≈== β τ ϕ R

c) º33,64º45º33,19 =+=S ϕ

770== C σ

21,448±== Rmáxτ

Las gráficas de los estados tensionales son:

Figura Nº18: Estados tensionales del Ejemplo Nº3.

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1-27

1.10. Tensiones en Estanques de Pared Delgada

En este apartado se analiza el estado tensional en la pared de un estanque sometido a

presiones internas. Este estado se considera plano debido al espesor pequeño de la pared.

Estanques Cilíndricos

Si el análisis se realiza a un estanque de forma cilíndrica de radio “ R” y espesor “t ”

sometido a una presión interna “ P i”, se tendrán dos tensiones en la superficie de la pared: una

tensión “σ ℓ ” (en la dirección longitudinal del cilindro) y una tensión “σ t ” (en la dirección

tangencial a la circunferencia del cilindro).

Realizando un corte longitudinal en el cilindro:

Figura Nº19: Corte transversal en un Estanque de Pared Delgada Cilíndrico.

Y equilibrando fuerzas una de las mitades:

∑ ⇒= 0 F ll ··2····2 R P t it =σ t

R P it

·=⇒ σ

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1-28

De la misma forma, realizando un corte transversal en el cilindro:

Figura Nº20: Corte longitudinal en un Estanque de Pared Delgada Cilíndrico.


∑ ⇒= 0 F 2·····2· R P t R i π π σ =l

t

R P it

·2

·=⇒ σ

Como es evidente, las tensiones transversales son mayores (el doble) que las tensiones

longitudinales, lo que explica que la falla ocurre como una rajadura en sentido longitudinal.

Estanques Esféricos

Si el análisis se realiza a un estanque de forma esférica de radio “ R” y espesor “t ”

sometido a una presión interna “ P i”, se tendrá sólo una tensión en la superficie de la pared.

Esta tensión es análoga a la tensión “σ t ” del estanque cilíndrico.

Igual que en los casos anteriores, realizando un corte transversal en la esfera:

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1-29

Figura Nº21: Corte en un Estanque de Pared Delgada Esférico.


∑ ⇒= 0 F 2·····2· R P t R i π π σ =l

t

R P it

·2

·=⇒ σ

Es claro que en un estanque esféricos las tensiones son iguales en cualquier dirección.

Ejemplo Nº4:

Un estanque cilíndrico de acero de 6 mm. de espesor tiene un diámetro de 1,25 m. Se

pide calcular el aumento de diámetro si se tiene una presión interna de 10 kg./cm.2. Se debe

despreciar el efecto de las tapas y considerar un módulo de elasticidad del acero de 2,1·106

kg./cm.2.

En este caso la tensión que se debe usar est R P it ·=σ , que es la que produce el

aumento de diámetro.

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1-30

Si el cilindro se abre en sentido longitudinal, se tendrá una franja de largo “2·π ·R”

sometida a una tensión “σ t ”. Esta franja se alargará:

R R R Ri f Δ=−Δ+=−=Δ ··2··2)·(·2 π π π lll

Y la deformación unitaria: R

RΔ=

Δ=

l

lε

Además, se sabe que: E

σ ε =

Igualando las dos últimas expresiones: E R

R σ ε =

Δ= E

R R

·σ

=Δ⇒

Reemplazando el valor det

R P it

·=σ en esta última expresión:

E t

R P R i

·

· 2

=Δ⇒

Con los valores del problema, se obtiene: .031,0 cm R =Δ⇒

.062,0 cm D =Δ⇒

Estanques de Superficie Curva y Pared Delgada

El caso de un estanque de superficie curva y pared delgada se resuelve de la siguiente

forma:

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1-31

Figura Nº22: Superficie curva de pared delgada.

La superficie curva de pared delgada de espesor “t ” queda definida por dos radios de

curvatura R1 y R2.

Planteando el equilibrio de fuerzas en dirección perpendicular del elemento diferencial

de superficie curva mostrado en la figura:

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ Ψ+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ Ψ=

2····2

2····2·· 221121

d sendS t

d sendS t dS dS p σ σ

Pero: Ψ= d RdS ·11 , Ψ= d RdS ·22 y22

Ψ≈⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ Ψ d d sen

Reemplazando en la ecuación de equilibrio:

221121 ······ Rt Rt R R p σ σ +=

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1-32

Por lo tanto:1

2

2

1

R Rt

p σ σ +=

Considerando el caso del estanque cilíndrico:

R R =1 , ∞=2 R ,l

σ σ =1 , t σ σ =2

Entonces:t

R p·2 =σ

Para el caso esférico:

R R =1 , R R =

2 , σ σ =1 , σ σ =

2

Entonces:t

R p

·2

·=σ

1.11. Estado Plano de Deformaciones

Tensión Uniaxial

En este caso: 0≠ xσ y 0= yσ

Figura Nº23: Estado de deformaciones para el caso de tensión uniaxial.

E x

x

σ ε =

E x

y

σ μ ε −=

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1-34

Deformaciones por Cortante Puro

Cuando el estado tensional es de cortante puro, las deformaciones son:

Figura Nº25: Estado de deformaciones para el caso de tensión cortante pura.

G xy

xy

τ γ = y

G yx

yx

τ γ =

Donde “G” es el Módulo de Elasticidad Transversal o de Corte o Módulo de Cizalle.

Los esfuerzos de corte sólo producen deformaciones de corte o angulares en su plano

de aplicación. Además, los esfuerzos de corte producen deformaciones que no influyen sobre

las tensiones y deformaciones debidas a esfuerzos normales.

Módulo de Elasticidad Transversal

A continuación se demuestra la relación existente entre el Módulo de Elasticidad

Longitudinal de un material, su Módulo de Poisson y su Módulo de Elasticidad Transversal.

Se tiene un elemento de tensiones tal que girado a 45º se transforma a un estado de

tensiones de cortante puro:

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1-35

Figura Nº26: Estado de tensiones para la demostración de las entre los módulos característicos

de un material.

En este caso: 021 σ τ σ σ ===

Considerando el estado deformado de este elemento:

Figura Nº27: Estado de deformaciones de la demostración.

Con yx xy γ γ γ +=

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1-36

)1()·(1 0

211 μ σ

σ μ σ ε +=−=Δ

= E E l

l

1

1

11

/ 1 / 1

2 / 2 / 2 / 2 /

42tan

ε ε π γ

−+=

Δ−Δ+=

Δ−Δ+=

Δ−Δ+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

ll

ll

ll

ll

ll

ll

De la trigonometría: [ ] β α

β α β α

·tantan1

tantantan

−

+=+

Entonces:1

1

1

1

)2 / tan(1

)2 / tan(1

24tan

ε

ε

γ

γ γ π

−

+=

−

+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

Por lo tanto: 12

tan ε γ

=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

Y como “γ” es pequeño:22

tanγ γ

≈⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

Por lo que: 12

ε γ = o )1(

2

0 μ σ γ

+= E

Además:

GG

0σ τ γ ==

Con lo que finalmente: )1(1

·2

1μ +=

E G

)1·(2 μ +=⇒

E G

Fórmulas para el giro de deformaciones planas (Roseta de Deformaciones)

Una roseta de deformaciones es un dispositivo que permite determinar las

deformaciones unitarias en el lugar en que están colocados. Usualmente estos dispositivos se

conforman en base a tres medidores de deformación (“strain gauges” o “galgas

extensométricas”) que se adhieren a la superficie de un sólido con el objetivo de determinar

las deformaciones unitarias en esas tres direcciones. Las direcciones en que se disponen los

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1-37

“strain gauges” es arbitraria aunque existen formaciones típicas que se usan con mayor

frecuencia. Los “strain gauges” son pequeñas resistencias eléctricas que al sufrir

deformaciones cambian de resistividad y por lo tanto entregan un parámetro numérico a partir

del cual se puede determinar la deformación unitaria en ese lugar y dirección.

Figura Nº28: Strain Gauge y Roseta de Deformaciones.

Como se puede deducir, teniendo el valor de las deformaciones unitarias en un

determinado punto del sólido, se pueden determinar las tensiones a través del siguiente

arreglo:

)·(1

y x x E σ μ σ ε −=

)·(1

x y y E σ μ σ ε −=

De estas ecuaciones, despejando “σ x” y “σ y”, se tiene:

)·()1( 2 y x x

E ε μ ε

μ σ +

−=

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1-38

)·()1( 2 x y y

E ε μ ε

μ σ +

−=

Por otra parte:G xy

xyτ

γ = xy xy xy E G γ

μ γ τ

)1(2·

+==⇒

Las fórmulas para definir el giro de deformaciones son las siguientes:

)2·sin(2

1)2)·cos((

2

1)(

2

1ϕ γ ϕ ε ε ε ε ε ϕ xy y x y x +−++=

)2·cos(2

1)2)·sin((2

1

2 ϕ γ ϕ ε ε

γ ϕ xy y x +−−=

En algunas ocasiones puede ser que en las fórmulas indicadas se encuentre el término

“ε xy”. Este término tiene relación con “γ xy” de acuerdo a lo siguiente:

2

xy xy

γ ε =

En deformaciones también se define un ángulo principal:

)()2tan( 0

y x

xy

ε ε

γ ϕ

−=

Y unas deformaciones principales:

22

2,122

)(2

1⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −±+=

xy y x y x

γ ε ε ε ε ε

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1-39

Además, la deformación angular máxima es:

22

222 ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

xy y xmáxγ ε ε γ

Ejemplo Nº5

En un determinado punto de un sólido se miden las siguientes deformaciones unitarias

a través de una roseta adherida: 004,0=aε ; 003,0=bε y 002,0−=cε . La orientación de la

roseta es la indicada en la figura. Si se sabe que el material tiene las siguientes características

mecánicas: E=2,1·106 kg./cm.2 y μ=0,25; se pide determinar las tensiones principales y el

esfuerzo de corte máximo en el punto.

Figura Nº29: Roseta de Deformaciones del Ejemplo Nº5.

A partir de las orientaciones indicadas:

004,0== a x ε ε y 002,0−== c y ε ε

Y con la fórmula de giro de deformaciones para εb en 45º:

003,0)º90·sin(2

1)º90)·cos(002,0004,0(

2

1)002,0004,0(

2

1=+++−= xyb γ ε

004,0=⇒ xyγ

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Por lo tanto el estado de deformaciones plano está definido por:

004,0= xε

002,0−= yε

004,0= xyγ

Usando las ecuaciones que permiten determinar las tensiones a partir de las

deformaciones:

2

2

6

. / .7840)002,0·25,0004,0()25,01(

10·1,2cmkg x =−

−=σ

2

2

6

. / .2240)004,0·25,0004,0()25,01(

10·1,2cmkg y −=+−

−=σ

26

. / .3360004,0)25,01(2

10·1,2cmkg xy =

+=τ

Las tensiones principales son:

2

2

2,1 33602

22407840)22407840(

2

1+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +±−=σ

2

1 . / .3,8857 cmkg =σ

2

2 . / .3,3257 cmkg −=σ

Y la tensión de corte máxima:

22

2

. / .3,60573360)22407840(2

1cmkg máx ±=+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=τ

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