Apuntes de Econometría EMI – Ingeniería Comercial

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REPASO DE MATRICES Mediante el uso del álgebra matricial, los resultados fundamentales en econometría se presentan de manera compacta y clara.

Una matriz es una colección de números ordenados rectangularmente,

[ ] [ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

===

nknn

k

k

ikik

aaa

aaaaaa

AaA

...............

...

...

21

22221

11211

Un vector es un conjunto ordenado de números dispuestos en una fila o en una columna.

Una matriz puede ser también interpretada como un conjunto de vectores columna. La dimensión de una matriz indica el número de filas y el número de columnas que contiene: “A es una matriz nxk”, que indica que A tiene n filas y k columnas. Si n es igual a k, entonces A es una matriz cuadrada.

Una matriz simétrica A, es aquella en la cual kiik aa = , para todo i.

Una matriz diagonal, es una matriz cuadrada cuyos únicos elementos distintos de cero, aparecen en su diagonal principal.

Una matriz escalar es una matriz diagonal, con el mismo valor en todos los elementos de la diagonal.

Una matriz identidad es una matriz escalar con unos en la diagonal.

Una matriz triangular es aquella que contiene ceros encima, o bien debajo de la diagonal principal.

1. OPERACIONES CON MATRICES.-

Igualdad: ikbaBA ikik ∀=⇔=

Transpuesta: ikabAB kiik ∀=⇔= '

)''(AA =

Suma: ][ ikik baBAC +=±=

Conmutativa: ABBA +=+

'')'( BABA +=+

Asociativa: )()( CBACBA ++=++

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Producto: De dos vectores es un escalar.

nTkTnk CBAABC ⇒⇔=

BAAB ≠ No es conmutativa

)()( BCACAB = Asociativa

ACABCBA +=+ )( Distributiva

'')'( ABAB = Transpuesta.

2. SUMA DE ELEMENTOS:

i matriz escalar de “1”.

iXxxxx ni =+++=∑ ...21

Si axi = : naiiaaii === )'()('

Xaiaxi '=∑

Si na 1= : xXix nin === ∑ '11

xnXixi ==∑ '

Suma de cuadrados de los elementos de un vector:

xxxi '2 =∑

Suma de los productos de los vectores X e Y:

yxyx ii '=∑

Matriz idempotente.-

Es la que se emplea para transformar datos en desviaciones de la media.

xiin

xinix

nxi '1'11

=== donde '1 iin es nxn con cada elemento n1

Entonces,

][ xix − = ]'[ 1 xiix n− y puesto que Ixx =

= xMxiiIxiiIx onn =−=− ]'[]'[ 11

Todos los elementos de la diagonal de Mº son n11− y los demás son n

1− .

Suma de desviaciones respecto a la media:

0'0]º[')( ===−∑ xxMixxi

Suma de desviaciones al cuadrado:

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xMxxMMxxMxMxixxixxxi º'º'º')º()'º()()'()( 2 ===−−=−∑

Dado que Mº es una matriz idempotente.

Suma de cuadrados y productos cruzados de desviaciones respecto a las medias:

∑ =−− )º)(º())(( yMxMyyxx ii

Pero si zMxyZ º][ ⇒=

Producto escalar: un escalar múltiplo de un vector “a” es otro vector “a” cuyas coordenadas son el múltiplo escalar de las coordenadas de “a”. Cualquier escalar múltiplo de a es un segmento de esta línea.

Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si cualquiera de los vectores en el conjunto puede ser escrito como una combinación lineal de los otros.

Un conjunto de vectores es linealmente independiente si y solo si, la única solución a la ecuación 0...2211 =+++ kkaxaxax es: 0...21 ==== kxxx

El rango columna de una matriz es la dimensión del vector espacio generados por sus columnas:

Rango de una Matriz: )º,ºmin()'()( columnasNfilasNArAr ≤=

Para cualquier matriz, )'()'()( AArAArAr ==

Dos vectores a y b son ortogonales, si 0'' == abba “ ba ⊥ ”

Un sistema de ecuaciones es homogéneo si adopta la forma Ax=0.

Un sistema de ecuaciones es No Homogéneo si Ax=b. Donde b es un vector no nulo y A debe tener rango completo.

Una matriz cuya inversa existe es No singular.

La traza de una matriz cuadrada kxk es la suma de los elementos de la diagonal principal. Todas las matrices simétricas idempotentes, excepto I, son singulares.