1

ANUALIDADES O RENTAS

DEFINICION Cuotas periódicas o series de pagos o depósitos , erogados con el propósito de pagar o reducir una deuda o formar capitales (ahorrar). Se usan para cálculo de cuotas de diferentes tipos de créditos , generalmente a largo plazo, y para el cálculo de cuotas de ahorro.

Las anualidades o rentas constituyen una sucesión o serie de pagos o depósitos periódicos iguales, con sus respectivos intereses por período y se las puede expresar gráficamente así:

Aquí aparecen 5 períodos y sus

correspondientes 5 pagos o depósitos

0

R

1 2 3 4 5

R R R R

CONCEPTOS

•  Período de pago o período de la anualidad : tiempo que se fija entre dos pagos sucesivos; estos pagos pueden ser diario,quincenal,mensual,bimestral,trimestral,semestral,anual,etc.

•  Tiempo o plazo de una anualidad : intervalo de tiempo que transcurre entre el comienzo del primer período de pago y el final del último.

•  Tasa de una anualidad: tipo de interés que se fija para el pago de la anualidad o renta. Puede ser efectiva o nominal

•  Renta : valor del pago o depósito periódico.

•  Renta anual : suma de los pagos o depósitos efectuados en un año

•  Rentas perpetuas : serie de pagos que han de efectuarse indefinidamente

TIPOS DE ANUALIDADES SEGÚN EL TIEMPO

•  Anualidades eventuales o contingentes: aquellas en que el comienzo o el fin de la ser ie de pagos depende de a lgún acontecimiento externo. Ejemplo: los seguros de vida.

•  Anualidades ciertas: aquellas en que sus fechas inicial y terminal se conocen por estar establecidas en forma concreta. Ejemplo: las cuota de un préstamo.

TIPOS DE ANUALIDADES SEGÚN LA FORMA DE PAGO

•  Anualidades Ordinarias o Vencidas: aquellas en que el pago o renta y la liquidación de intereses se realiza al final de cada período

1 3 2 4 0

R R R R

•  Anualidades Anticipadas: son aquellas en que el pago o depósito y la liquidación de intereses se hacen al comienzo de cada período.

R R R R

0 2 1 3 4

•  Anualidades Diferidas : son aquellas cuyo plazo comienza después de transcurrido un determinado intervalo de tiempo establecido. Ejemplo: préstamos con un período de gracia

1 2 3 4 5 6 7 8 0

R R R R R R

•  Anualidades Simples: son aquellas cuyo período de pago co inc ide con e l per íodo de capitalización. Ejemplo : si la capitalización es semestral, el pago será semestral.

•  Anualidades Generales :son aquellas cuyo período de pago o de ahorro y de capitalización no coinciden. Por ejemplo: cuando se hace una serie de depósitos trimestrales y la capitalización es semestral

ANUALIDADES VENCIDAS •  Anualidades vencidas simples: aquellas

que vencen al final de cada período y cuyo período de pago coincide con el período de capitalización

•  El valor de una anualidad calculada a su término es el MONTO de ella

•  El valor de una anualidad calculada al inicio es su VALOR ACTUAL

•  MONTO de una anualidad : es la suma de los montos compuestos de los distintos depósitos , cada uno acumulado hasta el término del plazo

•  El VALOR ACTUAL de una anualidad : es la suma de los valores actuales de los distintos pagos cada uno descontado al principio del período

•  Deducción de la fórmula del MONTO de una anualidad.

Sea una anualidad o renta de $ 10.000 al final de cada 6 meses durante 3 años al 12% anual capitalizable semestralmente (anualidad vencida)

1 2 3 0

$ 10.000 $ 10.000 $ 10.000 $ 10.000 $ 10.000 $ 10.000

•  Entonces: n= 6 i= 0,12 /2 = 0,06 Cada renta ganará intereses durante los

períodos que falten hasta el término de la anualidad o hasta el último depósito o renta.

Por lo tanto se puede sumar S = 10.000(1+0,06) + 10.000(1+0,06) + 10.000(1+0,06) + 10.000(1+0,06) + 10.000(1+0,06) + 10.000

2

3 4 5

•  Factorizamos (sacamos factor común) y ordenamos en forma ascendente:

•  S=10.000[ 1+ (1,06) +(1,06)+(1,06)+(1,06)+(1,06) ]

•  Resulta que esta es una PG cuya razón (r) es (1,06)

•  S=

•  en donde a=1 r = 0,6 y n= 6

15

4 5 3 2

(a r – a)

r - 1

n

•  Entonces,

•  S= 10.000 [ ] = 10.000(6,9753180)

•  S = $ 69.753,183

•  Generalizando

•  R= 10.000 i=0.06 S=Monto n=6

16

(1,06) - 1 1,06 - 1

6

FORMULA DEL MONTO DE UNA ANUALIDAD VENCIDA SIMPLE

S = R[ ]

17

(1 + i ) - 1 n

i

ACTIVIDADES DE EJERCITACION

•  Una persona deposita $ 100.000 cada trimestre durante 6 anos y 9 meses a una tasa del 18% anual capitalizable trimestralmente. Cuanto habrá ahorrado en ese período?

Tenemos: R= $ 100.000 i= 18% n = [(6)(12) + 9] / 3= 27 trimestres

18

•  Aplicando la fórmula

S= 100.000 [(1+0,18/4) – 1] / 0,18/4 S = $ 5.071.132,361

19

27

•  Al nacer su hijo, un padre empieza a realizar una serie de depósitos mensuales de $ 200.000 en una libreta de ahorro que le otorga una tasa de interés del 15% anual capitalizable mensualmente .

Cuanto dinero se habrá acumulado cuando su hijo cumpla 18 anos ?

R= $ 200.000 i=15% /12 n=18x12= 216 meses

20

•  Aplicando la fórmula

•  S= 200.000 [ (1+0,0125) – 1] / 0,0125

•  S = $ 218.124.000

•  Calcule los intereses ganados en esta operación

21

216

•  Cálculo de los intereses

•  I= S – (n)(R)

•  I = $ 218.124.000 – (216)(200.000)

•  I = $ 218.124.0000 - $ 43.200.000

•  I = $ 174.924.000.

22

•  Una empresa necesita acumular un fondo para reponer sus maquinarias mediante depósitos de $ 900.000 trimestrales durante 10 anos en un banco que le otorga una tasa de interés del 21% anual capitalizable trimestralmente.

•  Calcule cuanto habrá acumulado al final de los 10 anos

•  R=$ 900.000 i= 0,21/4 •  n = [(10)(12)] / 3 = 40 trimestres

23

•  S = 900.000 [(1+0,0525) – 1] / 0,0525

•  S = $ 115.586.620,83

24

40

VALOR ACTUAL DE UNA ANUALIDAD

•  El Valor Actual (A) de la misma anualidad se puede calcular tomando como fecha focal el inicio de la anualidad

25

1 2 3 0

10.000 10.000 10.000 10.000 10.000 10.000 A=? S= $ 69.753,183

•  Recordemos que esta era una serie de pagos semestrales de $ 10.000 durante 3 anos capitalizable semestralmente a una tasa del 12% anual

•  A = 10.000(1+0,06) + 10.000(1+0,06) + 10.000(1+0,06) +10.000(1+0,06) + 10.000(1+0,06) + 10.000(1+0,06)

•  Factorizando

•  A = 10.000 [(1,06) + (1,06) +(1,06) + (1,06) + (1,06) + (1,06) ]

26

-1 -3 -2

-5 -4 -6

-1 -2 -3 -4 -5 -6

•  Resulta una PG cuya razón es (1,06) < 1

La Suma de la PG cuya r <1 es : S = Entonces : A= R * S

A = 10.000 [ ]

27

-1

(a – ar ) n

1 – r

(1,06) – (1,06) [(1,06) ]

1 – [(1,06) ]

-1 -1 -1

-1

6

•  Despejamos

•  A = 10.000 [ ]

•  A = 10.000 [ ] = $ 49.173, 24

28

1,06 1

1,06 1

(1,06) -6

1,06 - 1 1,06

1 – 0,6 -6

0,06

Generalizando

•  A = R [ ]

29

1 – ( 1 + i ) - n

i

•  Ejemplo Calcular el monto (S) y el Valor Actual (A) de una

a n u a l i d a d d e $ 1 0 . 0 0 0 d e p o s i t a d a trimestralmente durante 5 anos y 6 meses i nve r t i da a l 12% anua l cap i ta l i zab le trimestralmente.

•  R = $ 10.000 •  n = [(5)4 +2] = 22 rentas •  i = 0,12/ 4 = 3%= 0,03 •  S= ? •  A= ?

30

•  Solución gráfica de S

•  Solución gráfica de A

31

0 6 1 3 2 4 5

s

anos

0 1 2 3 4 5 6 anos

A

•  Calculamos el monto (S)

•  S= R[ ] •  Aplicamos la fórmula

•  S= 10.000[ ]

32

(1 + i ) n - 1

i

( 1 + 0,03) - 1 22

0,03

•  S= 10.000 [ ] •  S = 10.000(30,536780)

•  S = $ 305.367,80

•  LOS INTERESES CRECEN EN FUNCION DEL TIEMPO Y SE ACUMULAN AL CAPITAL

33

1,916103 - 1

0,03

•  Ahora calculamos el Valor Actual (A). Se toma como fecha focal inicial el inicio de la anualidad y se aplica la fórmula

•  A = R [ ]

•  A = 10.000 [ ]

•  A = $ 159.369,17

34

1 - (1 +i) -n

i

1 – ( 0,03) 0,03

- 22

Ejercicios

•  Un cliente solicita un crédito bancario e indica que su capacidad de pago es de $ 70.000 mensuales. Calcule el valor del préstamos a 5 anos que el banco le otorgaría si le cobra una tasa de interés del 24% anual capitalizable mensualmente

•  R = $ 70.000 i= 0,24/12= 0,02 •  n=(5)(12)= 60 meses

35

•  A = 70.000 [ 1- ( 1+ 0,02) ] •  A = $ 2.433.262.- (crédito al que puede optar)

•  Los intereses a pagar serían

•  I= S - (n)(R)($70.000x60 cuotas)

•  I = $ 4.200.000 - $ 2.433.262 = $ 1.766.738.

36

-60

0,02

CALCULO DE LA RENTA O PAGO PERIODICO

•  El pago periódico o renta de una determinada cantidad , sea deuda o fondo por acumularse – como es el caso de las cuotas periódica para pagar una deuda o el valor que debe depositarse en una cuenta para constituir un capital – puede calcularse sobre la base de las dos fórmulas anteriores: la del monto (S) y la del Valor Actual (A)

37

•  A partir de S la fórmula de R es:

•  R =

•  A partir de la fórmula del Valor Actual

•  R =

38

S ( 1 + i ) - 1 n

i

A

1 – ( 1 + i ) -n

i

EJERCICIOS

•  Calcule el valor de un depósito mensual que debe hacer una persona en el banco que paga el 14,4% capitalizable mensualmente a fin de obtener $ 640.000. en 6 anos. Calcule también los intereses que ganará (L)

•  Calcule el valor de la cuota semestral que debe pagar una empresa que tiene una deuda de $ 4.000.000 a 8 anos plazo con una tasa de interés del 18% capitalizable semestralmente (L)

39

•  Ud. Recibe un préstamo de $ 35.000.000 a 10 anos plazo para la compra de un departamento en cómodas cuotas mensuales a una tasa del 27% anual capitalizable mensualmente. Calcule el valor de la cuota mensual

•  A= $ 35.000.000.- •  i = 0,27/12= 0,0225 •  n = (10)(12) = 120 meses

40

•  R =

•  R = $ 846.105 Los intereses pagados serían

•  I = (n)(R)-A = (120)(846.105) – 35.000.000 •  I = $ 66.532.659.-

41

35.000.000

1 - ( 1 + 0,0225 ) - 120

0,0225

CALCULO DEL NUMERO DE PERIODOS

DE PAGO

Conocido el Monto (S o A) de una anualidad, la renta (R) y la tasa de interés (i), se puede calcular el numero de períodos de pago(n)

42

Si tenemos que : S = R Si aplicamos log

log ( ) log

43

(1 + i) n

- 1

i

R =

Si

(1 + i) + 1 n

R + 1 = n (1 + i)

Entonces la fórmula para calcular el tiempo en función del Monto(S) de una anualidad será:

n

44

= log

Si R

+ 1

log ( 1 + i)

Si partimos de la fórmula del Valor Actual (A) A = R Entonces:

45

1 – (1 + i) -n

i

-n = log

log

( ) 1 - A i R

( 1 + i )

Ejemplo: caso de acumulación de fondos o valor futuro

Cuántos depósitos de $ 25.000 debe hacer una

empresa cada trimestre para obtener $ 750.000 considerando una tasa de interés del 15% anual con capitalizaciones trimestrales?

Aplicamos la fórmula del Monto (S)

46

R = $ 25.000 ; S = $ 750.000 ; i= 0,15/ 4= 0,0375 n = ? n= log(Si/R + 1) / log ( 1+i)

n= log( 750.000(0.0375) / 25.000 +1) / log(1 + 0,0375)

n= 20,47516 depósitos

47

OBSERVE!! Se hacen 20 depósitos de $ 25.000 y un último

depósito menor. Cual es la valor de este último depósito? Se puede calcular en el caso que se realice conjuntamente con el vigésimo depósito

750.000= 25.000 + X X = $ 24.565,34 Entonces, son 20 depósitos de $ 25.000 y uno

de $ 24.565,34

48

(1+0,0375) 20

0,0375

- 1

En caso que el pago se haga un trimestre después, el valor será:

750.000 = 25.000 + X

750.000= $ 752.638,46 + x Si transcurre un trimestre adicional al vigésimo, no es

necesario realizar ningún depósito puesto que el Monto acumulado excede los $ 750.000

49

(1+0,0375)

0,0375

- 1 20

(1+0,0375)

Ejemplo: Cuántos pagos de $ 12.000 debe hacer una persona cada mes para cancelar una deuda de $ 690.000 considerando un tasa de interés del 18% capitalizable mensualmente?

R= $ 12.000 A= $ 690.000 i = 0,18/12= 0,015 n= ?

50

n= n= n = = 133,4206 meses (pagos) Son 133 pagos $ 12.000 y un pago menor que se

calcula así: a) Si se paga junto con el último pago 690.000=12.000[ 1- (1+0,015) /0,015]+X(1,015) X = $ 3.150,39

51

log ( 1 - Ai / R)

log ( 1+ i)

log ( 1 – 690.000 (0,015) / 12.000

log 1 + 0,015

log (0,1375)

log 1,015

-133 -133

b) Si se paga un mes después del último pago 690.000 = 12.000[ 1- (1+ 0,015) / 0,015]+

X(1+0,015) X = $ 3.197,78

52

-133

-134

CALCULO DE LA TASA DE INTERÉS El cálculo de la tasa de interés (i), se puede

calcular a partir de la fórmula del Monto (S) ó a partir de la fórmula del Valor Actual (A)

a) A partir de S S Fórmula para calcular la tasa de interés en

función del Monto 53

R =

( 1 + i ) - 1 n

i

b) A partir del Valor Actual (A) A Fórmula para calcular la tasa de interés en

función del Valor Actual de una anualidad

54

R =

1 – ( 1 + i )

-n

i

Ejemplo: A qué tasa de interés capitalizable trimestralmente , una serie de depósitos de

$ 30.000 efectuados al final de cada trimestre podrá constituir un fondo de $ 800.000 al cabo de 5 anos?

Entonces: R= $ 30.000.- n = (5)(4)= 20 trimestres S = $ 800.000.-

55

•  S/R = [ (1 + i) - 1 ] / i

•  800.000/30.000 = [ (1 +i ) - 1 ] / i

•  26,6667 = [ ( 1 + i ) - 1 ] / i

•  Utilizando las tablas de [ ( 1 + i ) - 1] / i

•  Se busca i cuando n = 20

56

n

20

20

n

57

Valor  de  i Valor  en  tablas0,030 26,870374 26,66667 se  resta  del  valor  menor0,025 25,544657 25,544660,005 1,325716 1,122009

0,005 1,325716X 1,122009

X=  0,004231

Entonces

i  =  0,025  +  0,004231  =  0,029231i  =  2,92%

Regla  de  tres

i  =  0,029231  x  (4)  =  11,6926  %  anual  capitalizable  trimestralmente  

AMORTIZACION

“Amortizar es el proceso de cancelar una deuda y sus intereses mediante pagos periódicos generalmente iguales hechos en intervalos de tiempo, generalmente iguales”

Generalmente utilizamos el término amortizar

como el proceso de extinción de una deuda.

58

CALCULO DE LA CUOTA O RENTA En la amortización, cada pago sirve para cubrir

los intereses y reducir el capital. O sea, cada pago está compuesto de dos

partes: intereses y capital Aunque el pago es en cuotas iguales, su

composición varía con el tiempo: mientras aumenta el número de pagos, disminuirá el interés implícito en la cuota y aumentará el aporte al pago del capital.

59

60

R R R R R

intereses capital

0 1 n-2 2 n n-1

GRAFICAMENTE

Para el calculo de la cuota, se utiliza la fórmula de la renta en función del valor actual de una anualidad vencida

R =

61

A

1 - (1 + i ) -n

i

Ejemplo: Una empresa consigue un préstamo por

$3.000.000 al 14% de interés anual capitalizable semestralmente ,el cual será amortizado en cuotas iguales en forma semestral durante 3 anos y 6 meses. Calcular el valor del pago semestral

62

R = A / 1- (1+i) R = 3.000.000 / 1 – ( 1+0,14/2) R = $ 556.659,66

63

i

-n

-7

0,07

CAPITAL o SALDO INSOLUTO

Capital o Saldo Insoluto: parte de la deuda no pagada en una fecha determinada…es el valor actual de todos los pagos que aún faltan por hacerse

64

TABLA DE AMORTIZACION

65

Período Capital   Interés Cuota  o Capital Saldo  deudaInsoluto Vencido renta pagado  por  cuota al  final  del  período

1 3.000.000,00$         210.000,00$         556.659,66$               346.659,66$                       2.653.340,34$                      2 2.653.340,34$         185.733,82$         556.659,66$               370.925,84$                       2.282.414,50$                      3 2.282.414,50$         159.769,01$         556.659,66$               396.890,65$                       1.885.523,85$                      4 1.885.523,85$         131.986,67$         556.659,66$               424.672,99$                       1.460.850,86$                      5 1.460.850,86$         102.259,56$         556.659,66$               454.400,10$                       1.006.450,76$                      6 1.006.450,76$         70.451,56$             556.659,66$               486.208,10$                       520.242,66$                              7 520.242,66$                 36.416,99$             556.659,66$               520.242,67$                       0,01-­‐$                                                      

896.617,61$         3.896.617,62$         3.000.000,01$                

Capital insoluto : al comienzo del período Interés vencido : al final del período Capital pagado por cuota : al final de cada período

FORMA DE ELABORAR LA TABLA DE AMORTIZACION

El interés vencido al final del primer período es I = Cit = $ 3.000.000 (0,07)(1)= $ 210.000 entonces , en la primera cuota el capital pagado será Cuota – Interés = $ 556.659,66 - $ 210.000 = $ 346.659,66 El capital insoluto para el segundo período será: CI = $ 3.000.000 - $ 346.659,66 = $ 2.653.340,34

66

El interés vencido al final del segundo período será

I= $ 2.653.340(0,07)(1) = $ 185.733,82 el capital pagado será $ 556.659,66 - $ 185.733,82 = $ 370.925,84 y el capital insoluto será: $ 2.653.340,34 - $ 370.925,84 = $ 2.282.414,20 y así sucesivamente…

67

Ejemplo Una deuda de $ 4.500.000 se amortizará en 3

anos mediante pagos semestrales vencidos, a una tasa del 12% anual capi tal izable semestralmente. Calcular la cuota semestral y elaborar la tabla de amortización con intereses sobre saldos deudores

n=(3)(12)/6 = 6; i= 0,12/2=0,06 ; A= 4.500.000

68

R= A / 1-(1+i) / i R = 4.500.000 R = $ 915.131,83

69

-n

1 – (1 + 0,06) -6

0,06

70

Período Capital   Interés Cuota  o Capital Saldo  deudaInsoluto Vencido renta pagado  por  cuota al  final  del  período

1 4.500.000,00$         270.000,00$               915.131,83$               645.131,83$                       3.854.868,17$                      2 3.854.868,17$         231.292,09$               915.131,83$               683.839,74$                       3.171.028,43$                      3 3.171.028,43$         190.261,71$               915.131,83$               724.870,12$                       2.446.158,31$                      4 2.446.158,31$         146.769,50$               915.131,83$               768.362,33$                       1.677.795,98$                      5 1.677.795,98$         100.667,76$               915.131,83$               814.464,07$                       863.331,91$                              6 863.331,91$                 51.799,92$                   915.131,83$               863.331,91$                       -­‐$                                                          

990.790,98$               5.490.790,98$         4.500.000,00$                

Tabla de amortización

Calcular el saldo insoluto inmediatamente después del pago 4

P = 915.131,83 [ 1- (1- 0,06) / 0,06] P = $ 1.677.795,98 saldo insoluto

71

4

-2

PERIODO DE GRACIA Período de gracia de un préstamo en

cuotas es el período en que no se pagan cuotas

Ejemplo: Una empresa obtiene un préstamo por $ 20.000.000 a 10 años plazo con 2 años de gracia con una tasa del 9,5% anual capitalizable semestralmente para ser pagado en cuotas semestrales iguales. La primera cuota deberá pagarse un semestre después del período de gracia. Calcular la cuota y el saldo insoluto después de pagada la quinta cuota

72

73

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 cuotas saldo insoluto

Período de gracia

Período total de pago= (8)(2)= 16 cuotas

a)  Calculo de la cuota

R = 20.000.000 R = $ 1.812.706,18

74

1- ( 1+ 0,0475) -16

0,0475

b) Calculo del saldo insoluto después de pagar la 5 cuota

P = $ 1.812.706,18 P = $ 15.256.752,17 saldo insoluto de capital sin pagar (excluido intereses)

75

1- ( 1+ 0,0475) -11

0,0475 5

5

ANUALIDADES ANTICIPADAS Una anualidad anticipada es una sucesión de

pagos o rentas que se efectúan o vencen al principio del período de pago

76

R R R R

O 1 2 3 4

MONTO DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA

77

0 1 n-­‐1   n  

RR R

Fórmula del Monto (S) de una anualidad anticipada

S = R ( 1+i) [ ]

78

(1 + i) - 1 n

i

Ejemplo: Una persona deposita al comienzo de cada trimestre $ 50.000 a una tasa de interés del 12% anual. Calcular cuanto habrá acumulado en 5 años

S = ? R = $ 50.000 i = 0,12 / 4 = 0,03 n = (5) (4) = 20 trimestres

79

Aplicando la fórmula: S = R (1+i) [ (1 + i ) - 1 ] / i S = 50.000(1+0,03)[(1+0,03) - 1] / 0,03 S= $ 1.383.824,29

80

n

20

VALOR ACTUAL DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA

Para el cálculo del valor actual, se toma como fecha focal el inicio de una anualidad

81

n-1 n 0 1 2

R R R R

n-2

R

Si R= renta ; i = interés ; n= número de períodos, el Valor Actual (A) será:

A= R + R(1+i) + R(1+i) + R(1+i)…+ R(1+i) Generalizando

A = R [ 1 + ]

Fórmula del Valor Actual (A) de una anualidad anticipada

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-2 -3 -4 -n

1 - (1 + i ) - n+1

i

Ejemplo: Una persona realiza pagos al comienzo de cada mes por $ 18.000 a una tasa de interés del 15% anual capitalizable mensualmente Cuánto habrá pagado de capital en 7 años? (valor de la deuda original)

A=? R= $ 18.000 i=0,15/12 n= 7(12) = 84 A = 18.000[ 1 + ] A = $ 944.459,33

83

1 – (1.0125) - 84 + 1

0,0125