Relaciones de equivalencia

DefinicinSea A un conjunto no vaco en el conjunto Universal U.Una relacin binaria R sobre A, es una relacin de equivalencia si R satisface las tres propiedades: R es reflexiva R es simtrica R es transitiva

Relaciones de equivalencia

EjemplosRelaciones de equivalenciaLa relacin R sobre Z definida por: a R b a b es mltiplo de 3.Sea k, la relacin R sobre Z: a R b a b es mltiplo de k.Dado un conjunto D U, la relacin: A R B A D = B DSobre los nmeros reales , la relacin R: x R y x y ZLa relacin R sobre 2 definida por: (x,y) R (a,b) x.y = a.bLa relacin R sobre Z2 definida por: (m,n) R (p,q) m+q = n+pUna relacin de equivalencia identifica los elementos de un conjunto que satisfacen una misma propiedad y los llama elementos equivalentes.

Particin de un conjuntoDefinicin:Ejemplos:Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} una particin P de A, con 3 celdas, es P = { {1,3}, {4}, {2,5} }, donde A1={1,3}, A2={4}, A3={2,5}. En efecto {1,3} {4}= {1,3} {2,5}= {4} {2,5}=. Adems {1,3} {4} {2,5} = {1, 2, 3, 4, 5} = A

Particin de un conjuntoEjemplos:2) Sea A = {1, 2, 3, 4} una particin P de A con 2 celdas es P = { {1}, {2,3,4} }, donde A1={1}, A2={2,3,4}. En efecto {2,3.4} {1} = {1} {2,3,4} = {1, 2, 3, 4} = A

EjerciciosEjercicio 1:Determine todas las particiones posibles para el conjunto A = {1, 2, 3}Ejercicio 2:Determine el nmero de particiones distintas para el conjunto A = {1, 2, 3, 4} con exactamente dos celdas. Para pensar:Cuente todas las particiones distintas del conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}.

Clase de equivalenciaDefinicin:Sea R una relacin de equivalencia en un conjunto A no vaco.Sea a A, llamaremos clase de equivalencia de a y la escribiremos por [a] al conjunto de todos los elementos que estn relacionados con a, es decir [a] = { x A / x R a }Ejemplo:La relacin R sobre Z : a R b a b es mltiplo de 2.Hay dos clases de equivalencia distintas, la del 0 y la del 1:

[0] = { 0, 2, 4, 4, } y [1] = { 1, 3, 5, }

EjerciciosEjercicio 3:En el conjunto A = {1, 2, 3, 4} se define la siguiente relacin R = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,2), (2,1)}

Determine [1], [2] y [4]

Clase de equivalenciaDefinicin:Sea R una relacin de equivalencia en A. El conjunto de las clases de equivalencia se llama conjunto cociente de A por R.

El conjunto cociente es una particin de A En efecto, Las clases de equivalencia son disjuntas dos a dos. La unin de todas las celdas coincide con el conjunto A.

Clase de equivalenciaDemostracin:1) Sean x, y A [x]= [y] [x] [y] =

i) Si x R y [x]= [y]; sea z [x] z R x x R y z R y (transitividad) z [y], de donde [x] [y]. Razonando de manera similar se prueba que [y] [x]. Por lo tanto, [x] = [y].

ii) Si (x,y) R entonces [x] [y] = . En efecto, si existiera z [x] [y] entonces z R x z R y por lo tanto, x R y, lo cual es un absurdo.

Clase de equivalenciaDemostracin:2) Veamos que

En efecto, si x A, como R es reflexiva, x R x x [x] Por otro lado, sea z tal que

Clase de equivalencia

Toda relacin de equivalencia sobre A genera una particin en A.Toda particin sobre el conjunto A, genera una relacin de equivalencia

EjerciciosEjercicio 5:Definimos en Z, la relacin R:

x R y x2 y2 = x y

Encuentre las clases de equivalencia de algunos nmeros, por ejemplo 0, 5 y 8En 2, la relacin R definida por: (x,y) R (a,b) x.y = a.bDetermine las clases de equivalencia y dibjelas en el planoEjercicio 6:

SolucionesSolucin 1:Como A tiene 3 elementos solo podemos tener particiones con 3 celdas, 2 celdas y 1 celda, es decir, como A=3, el nmero 3 puede escribirse como3 = 3 (particin con una celda de 3 elementos). Hay 13=2+1 (particin con dos celdas de 1 y 2 elementos). Hay 3=1+1+1 (particin con tres celdas de 1 elemento). Hay 1Hay 5 particiones de distintas de A P1 ={ {1, 2, 3}} P2 = {{1, 2}, {3}}, P3 = {{1, 3}, {2}}, P4 = {{2, 3}, {1}} P5 = {{1}, {2}, {3}}