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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE HIDALGO
INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA
ÁREA ACADÉMICA DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA
MAESTRÍA EN CIENCIAS EN MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA
“Relación entre el sentido numérico y pensamiento alge-
braico en el bachillerato”
Presenta:
Juan Luis Téllez López
Dirigido Por:
Dr. Fernando Barrera Mora
Dr. Aarón Reyes Rodríguez
Mineral De La Reforma, Hidalgo; diciembre de 2019.
Dedicatorias
A mis padres,
Gracias por su amor, trabajo y sacrificio en todos estos años. Gracias a ustedes he logrado llegar
hasta aquí́ y convertirme en lo que soy. Gracias por su apoyo en todas las decisiones que he
tomado a lo largo de mi vida y por darme la libertad de desenvolverme como ser humano.
A mis hermanos,
Diego, Jesús, Rogelio y Daniela, quienes han puesto su confianza en mí y son una fuente de
inspiración para lograr cada una de mis metas, aspiro ser un ejemplo para ustedes, espero verlos
crecer y lograr todos objetivos.
A mis directores de tesis,
Agradezco su paciencia, regaños, pero sobre todo por compartir conmigo un poco de su
conocimiento, han inspirado mi vida profesional y son un ejemplo muy grande para mí. Adquiero
el compromiso de seguir preparándome y continuar aplicando sus enseñanzas.
A mis alumnos,
Quienes participaron de este proyecto de manera desinteresada y entusiasta. Gracias por
apoyarme con su talento, por sus interrogantes y su paciencia. Sin ustedes sencillamente este
trabajo no hubiera sido posible.
Norma, Marlen y Viridiana,
Infinitas gracias por su tiempo, fueron parte esencial de este proyecto. Sin su ayuda no hubiera
sido posible realizarlo, gracias además por estar conmigo en momentos difíciles en los que
sencillamente solo necesitaba un abrazo.
En memoria de Araceli,
Fuiste quien en más de una ocasión me animó a estudiar, tu ejemplo me mantuvo fuerte y
soñando cuando quise rendirme. Nos vemos pronto.
Resumen
El desarrollo del pensamiento algebraico es a menudo un desafío, ya que requiere construir
habilidades para representar números y operaciones de una manera general. Particularmente, la
generalización es difícil para muchos estudiantes, debido a que implica identificar regularidades y
establecer relaciones, es decir, identificar estructuras. En este sentido, un antecedente importante
para promover el pensamiento algebraico consiste en el desarrollo del sentido numérico, debido a
que este es esencial para que los estudiantes den significado a los números y a las operaciones
que realizan con estos.
Este trabajo tiene como objetivo documentar la influencia del sentido numérico en el desarrollo
del pensamiento algebraico, para lo cual se proponen tareas de identificación y generalización de
patrones, diseñadas tomando como referencia el Ciclo para observar el desarrollo del
entendimiento matemático y el enfoque de aprendizaje vía resolución de problemas. Las tareas
fueron diseñadas con la finalidad de ayudar a los estudiantes a explorar diferentes formas de
razonar, cuantificar, generalizar, simbolizar y, a su vez, que favorezcan los procesos de reflexión
y comunicación de ideas.
Para realizar este trabajo se aplicaron tres tareas a 10 estudiantes de bachillerato, quienes al
momento de participar se encontraban inscritos en primer semestre en una preparatoria pública.
Los resultados de la investigación documentan la forma en que los estudiantes hacen avances al
resolver problemas, mostrando con esto el desarrollo de su capacidad para realizar cálculos con
números, establecer relaciones y escoger entre los procedimientos el que mejor se adapta para
solucionar una tarea.
Abstract
The development of algebraic thinking es often a challenge, since it requires building skills to
represent numbers and operations in a general way. Particularly, generalization is difficult for
many students, since it involves identifying regularities and establishing relationships, that is,
identifying structures. In this sense, an important antecedent to promote algebraic thinking
consists in the development of number sense, because this is essential for the students to give
meaning to numbers and operations that they perform with numbers.
The aim of this work is to document the influence of number sense in the development of
algebraic thinking, for which tasks of identification and generalization of patterns are proposed,
designed by taking into account the Cycle to observe learning with understanding and the
learning approach via resolution of problems. The tasks were designed in order to help students
explore different ways of reasoning, quantifying, generalizing, symbolizing and, in turn, favoring
the processes of reflection and communication of ideas.
To carry out this work, three tasks were applied to 10 high school students, who at the time of
participation were enrolled in the first semester in a public high school. The results of the
research document the way in which students make progress in solving problems, thereby
showing the development of their ability to perform calculations with numbers, establishing
relationships and selecting among the procedures, the one that best suits to solve a task.
ÍNDICE
1. EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN ............................................................................. 12
1.1. Introducción .................................................................................................................... 12
1.2. Justificación .................................................................................................................... 13
1.3. Revisión de la literatura .................................................................................................. 14
1.4. Planteamiento del problema ............................................................................................ 17
2. MARCO CONCEPTUAL ..................................................................................................... 19
2.1. Introducción .................................................................................................................... 19
2.2. Dimensión Ontológica .................................................................................................... 20
2.2.1. Concepción de las matemáticas ............................................................................... 20
2.2.2. Aprendizaje de las matemáticas .............................................................................. 21
2.2.3. Sentido numérico ..................................................................................................... 22
2.2.4. Pensamiento algebraico ........................................................................................... 23
2.3. Dimensión Epistemológica ............................................................................................. 24
2.4. Dimensión Didáctica ....................................................................................................... 25
2.4.1. Aprendizaje con entendimiento ............................................................................... 26
2.4.2. Ciclo para observar el desarrollo del entendimiento matemático............................ 26
3. METODOLOGÍA .................................................................................................................. 28
3.1. Introducción .................................................................................................................... 28
3.2. Participantes .................................................................................................................... 28
3.3. Tareas y escenarios de instrucción .................................................................................. 29
3.4. Descripción de las tareas ................................................................................................. 29
3.4.1. Diseño de las tareas ................................................................................................. 29
3.4.2. Tarea “Alan el impaciente” ...................................................................................... 30
3.4.3. Tarea “El depósito de agua” .................................................................................... 33
3.4.4. Tarea “La tira de papel”. .......................................................................................... 35
3.5. Recolección de la información y análisis de datos ......................................................... 39
4. RESULTADOS ...................................................................................................................... 43
4.1. Introducción .................................................................................................................... 43
4.2. Resultados de la tarea “Alan el impaciente” ................................................................... 43
4.2.1. Equipo 1 ................................................................................................................... 43
4.2.2. Equipo 2 ................................................................................................................... 49
4.3. Resultados de la tarea “El depósito de agua”.................................................................. 53
4.3.1. Equipo 1 ................................................................................................................... 53
4.3.2. Equipo 2 ................................................................................................................... 55
4.4. Resultados de la tarea “La tira de papel” ........................................................................ 58
4.4.1. Equipo 1 ................................................................................................................... 58
4.4.2. Equipo 2 ................................................................................................................... 61
5. DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES ....................................................................................... 64
5.1. Introducción .................................................................................................................... 64
5.2. Respuesta a las preguntas de investigación .................................................................... 64
5.3. Reflexiones finales .......................................................................................................... 73
5.4. Limitaciones y recomendaciones .................................................................................... 74
6. Referencias ............................................................................................................................ 75
Apéndice A: Oficio de autorización para que los estudiantes participaran en el proyecto de
investigación. ................................................................................................................................. 81
Apéndice B: Hojas de trabajo tarea uno ........................................................................................ 82
Apéndice C: Hojas de trabajo tarea dos......................................................................................... 97
Apéndice D: Hojas de trabajo tarea tres ...................................................................................... 109
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 2.1 Ciclo para observar el desarrollo del entendimiento matemático . ............................. 27
Figura 3.1 Captura de la animación del problema ........................................................................ 33
Figura 4.1 Primera tabulación realizada tarea 1 (E1) ................................................................... 44
Figura 4.2 Segunda tabulación realizada tarea 1 (E1) .................................................................. 44
Figura 4.3 Primer fragmento de trascripción tarea 1 (E1) ............................................................ 45
Figura 4.4 Operación personas atendidas antes que él. ................................................................ 45
Figura 4.5 Tercer tabulación realizada tarea 1 (E1) ...................................................................... 46
Figura 4.6 Cuarta tabulación realizada tarea 1 (E1) ..................................................................... 46
Figura 4.7 Segundo fragmento de trascripción tarea 1 (E1) ......................................................... 47
Figura 4.8 Primera fórmula tarea 1 (E1) ...................................................................................... 47
Figura 4.9 Segunda fórmula obtenida tarea 1 (E1)....................................................................... 49
Figura 4.10 Tercer fórmula obtenida tarea 1 (E1) ........................................................................ 49
Figura 4.11 Primera tabulación realizada tarea 1 (E2) ................................................................. 49
Figura 4.12 Primer fragmento de trascripción tarea 1 (E2) .......................................................... 50
Figura 4.13 Segundo fragmento de trascripción tarea 1 (E2) ....................................................... 51
Figura 4.14 Segunda tabulación realizada tarea 1 (E2) ................................................................ 52
Figura 4.15 Primeras fórmulas propuestas tarea 1 (E2) ............................................................... 52
Figura 4.16 Segunda fórmula propuesta tarea 1 (E2) ................................................................... 52
Figura 4.17 Primer tabulación realizada tarea 2 (E1) ................................................................... 54
Figura 4.18 Operaciones con fracciones tarea 2 (E1)................................................................... 55
Figura 4.19 Operaciones con fracciones tarea 2 (E2).................................................................. 56
Figura 4.20 Primer tabulación tarea 2 (E2) .................................................................................. 56
Figura 4.21 Primer tabulación realizada tarea 3 (E1) ................................................................... 58
Figura 4.22 Conjetura obtenida tarea 3 (E1) ................................................................................ 59
Figura 4.23 Segunda tabulación obtenida “modificación” tarea 3 (E1) ....................................... 60
Figura 4.24 Primera tabulación obtenida tarea 3 (E2) .................................................................. 61
Figura 4.25 Descomposición de números en primos tarea 3 (E2) ................................................ 62
Figura 4.26 Primera fórmula tarea 3 (E2) .................................................................................... 62
Figura 4.27 Segunda fórmula obtenida “modificación” tarea 3 (E2) ........................................... 63
Figura 5.1 Divisiones realizadas para representar los números en forma decimal. ..................... 68
Figura 5.2 Descomposición en primos ......................................................................................... 69
Figura 5.3 Explicación de los elementos de la expresión algebraica ........................................... 69
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla 3.1 Indicadores de reconocimiento de sentido numérico .................................................... 41
Tabla 3.2 Indicadores de reconocimiento de pensamiento algebraico. ......................................... 42
Tabla 5.1 Resumen de hallazgos encontrados en la solución de la tarea 1 de ambos equipos. .... 65
Tabla 5.2 Resumen de hallazgos encontrados en la solución de la tarea 2 de ambos equipos. .... 66
Tabla 5.3 Resumen de hallazgos encontrados en la solución de la tarea 3 de ambos equipos. .... 67
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1. EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
1.1. Introducción
El sentido numérico y el pensamiento algebraico están estrechamente ligados y por ello, las
problemáticas de aprendizaje de ambos comparten ciertas similitudes. En cuanto al sentido
numérico, éste comienza a desarrollarse al abordar tareas que involucran operaciones aritméticas
básicas y se extiende hasta la teoría de números (Rico, Castro, Castro, y Coriat, 1997). Algunos
aspectos importantes del pensamiento algebraico consisten en identificar regularidades, así como
expresar y generalizar relaciones, verbalmente y simbólicamente. Por otra parte, el estudio de las
funciones es central en el aprendizaje del pensamiento algebraico, así como sus antecedentes
fundamentales que son el razonamiento proporcional, la variación y los procesos de
generalización (Butto y Rojano, 2010).
El pensamiento algebraico es importante en la formación matemática de los estudiantes, ya que es
un antecedente indispensable para comprender otras áreas de la disciplina y otras ciencias y se
encuentra estrechamente ligado con la capacidad de entender conceptos y las relaciones entre
ellos, pero sobre sobre todo con la capacidad de utilizarlos de manera flexible para resolver
problemas (NCTM, 2000). En este contexto, la investigación en educación matemática ha
identificado que una de las mayores dificultades para profundizar en la comprensión del
pensamiento algebraico es la falta de habilidades propias del sentido numérico, las cuáles son
esenciales al resolver problemas, puesto que es necesario comprender las relaciones entre
cantidades variables, al establecer proporciones y al realizar operaciones útiles para resolver una
situación problemática con herramientas matemáticas (Castro, 2012). Particularmente, entre estas
habilidades resulta esencial el entendimiento de la igualdad como signo de relación, por
mencionar solo un ejemplo (Faulkner, 2009).
En algunas propuestas curriculares, de carácter internacional, como los Principios y Estándares
para la Matemática Escolar (NCTM, 2010), se considera que gran parte del énfasis simbólico y
estructural del álgebra se puede construir a partir de la experiencia extensiva que los estudiantes
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tienen con los números. Esto es un indicador de que el sentido numérico tiene relación estrecha
con el pensamiento algebraico.
1.2. Justificación
Aprender matemáticas implica entender conceptos, ideas y procesos de la disciplina, ya que el
entendimiento de los conceptos matemáticos es necesario para modelar fenómenos y tomar
decisiones fundamentadas. En este contexto, el aprendizaje de las matemáticas requiere que los
estudiantes “hagan matemáticas” y no solo apliquen procedimientos rutinarios o algoritmos, es
decir, la instrucción escolarizada debiera equilibrar la comprensión conceptual y las habilidades
procedimentales para operar con expresiones algebraicas (Schoenfeld, 1992; Barrera & Reyes,
2016). Sin embargo, tradicionalmente se prioriza que los estudiantes adquieran destreza para
realizar procedimientos rutinarios, los cuales en gran medida se encuentran desvinculados de las
situaciones problemáticas que los originan, ocasionando dificultades de comprensión conceptual
(Castro, 2012) y en dificultades para desarrollar un pensamiento algebraico (Papini, 2003).
La falta de comprensión conceptual en álgebra se ha evidenciado a través de los resultados de
PISA1, prueba en la cual México ocupa uno de los últimos lugares entre los países miembros de
la OCDE. Según los últimos resultados de PISA 2015, México obtuvo un promedio de 408
puntos en matemáticas el cuál es comparable con lo obtenido en esta misma prueba en el año
2006, que fue de 406 puntos, por lo que no se observan mejoras en la formación matemática de
los estudiantes mexicanos evaluados, además México se sitúa por debajo del promedio de la
OCDE (493 puntos) (Márquez, 2017; Poy, 2016; OECD, 2016). Esta problemática destaca la
necesidad de hacer cambios en las formas en cómo se aprende matemáticas. Uno de estos
cambios consistiría en fomentar el aprendizaje con entendimiento en lugar de centrar la atención
en únicamente en el desarrollo de fluidez procedimental, ya que de acuerdo con Hiebert et al.
1 La prueba PISA (Programme for International Student Assessment) es un estudio realizado por la Organización
para la Cooperación y el Desarrollo Económicos (OCDE). Esta prueba “tiene por objeto evaluar hasta qué punto los
alumnos cercanos al final de la educación obligatoria han adquirido algunos de los conocimientos y habilidades
necesarios para la participación plena en la sociedad del saber” (https://www.oecd.org/pisa/pisaenespaol.htm).
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(1997), el entendimiento es importante porque cuando se entiende algo, ese algo se puede utilizar
para resolver problemas o generar nuevo conocimiento. Así, promover el entendimiento de los
números y sus operaciones resulta esencial para desarrollar formas algebraicas de pensar, ya que
poseer sentido numérico implica entender las cantidades, relacionarlas y operar con ellas
flexiblemente (NCTM, 2010).
Por lo anterior, este trabajo tiene como objetivo explorar y analizar la relación entre el sentido
numérico y el pensamiento algebraico, mediante la implementación de tareas de identificación y
generalización de patrones, bajo la hipótesis de que el conocimiento de los números y su
conceptualización influye en la estructuración del pensamiento algebraico.
1.3. Revisión de la literatura
Diversos estudios en educación matemática han analizado la relación entre el conocimiento de los
estudiantes sobre números, operaciones y el desarrollo del pensamiento algebraico. Por ejemplo,
Filloy y Rojano (1989) analizaron respuestas de estudiantes de segundo año de secundaria
(octavo grado) quienes se iniciaban en el aprendizaje del álgebra. En dicho estudio se analizaron
las estrategias y métodos que los estudiantes implementan para resolver ecuaciones lineales,
centrando la atención en operaciones con números representados por variables. Los resultados
indican que los errores cometidos por los estudiantes cuando operan con los modelos algebraicos,
no pueden corregirse dentro del propio contexto algebraico, sino que se debe poner atención en
cómo los estudiantes interpretan los problemas y cómo utilizan los procedimientos algebraicos.
Así, se tiene la posibilidad de buscar estrategias didácticas que permitan al estudiante corregir sus
errores, ya que a menudo las expresiones algebraicas se operan mediante reglas, pero sin
referencia directa con algún significado.
Herscovics y Linchevski (1994) trabajaron con estudiantes de séptimo grado (primer grado de
secundaria en México) para observar los procesos de solución de ecuaciones lineales con una
incógnita. Se propuso a los estudiantes resolver la ecuación 3𝑛 + 12 = 36. Los datos mostraron
que los estudiantes tuvieron dificultades para realizar operaciones inversas y el despeje de
variables. Aunque se identificaron errores de procedimiento, el índice de aciertos al resolver la
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ecuación fue alto. Cabe señalar que en varios casos las respuestas se obtuvieron intuitivamente.
Los autores consideran que los errores cometidos por los estudiantes son producto de una ruptura
entre el álgebra y la aritmética. Sin embargo, estas no son ramas aisladas, sino que el álgebra
generaliza a la aritmética. Por lo que el objeto de estudio de ambas son las propiedades de los
números y relaciones numéricas. Entonces, no tiene sentido tratarlas como si fueran dos cosas
distintas y más bien lo que los autores señalan como ruptura es la dificultad para generalizar.
Por otra parte, Booker y Windsor (2010) realizaron una investigación cualitativa, basada en una
metodología de diseño de investigación (design research), con estudiantes de séptimo grado,
pertenecientes a una comunidad de nivel socioeconómico bajo, el trabajo consistió en identificar
si la resolución de problemas puede ayudar a desarrollar el pensamiento algebraico. Se
propusieron tareas en donde se requería calcular perímetros, áreas y, posteriormente, identificar y
generalizar patrones. Para la solución de las tareas los estudiantes utilizaron diversas formas de
representación: diagramas, tablas y gráficos, lo que les permitió observar patrones y formular
conjeturas; así como observar regularidades que más tarde utilizaron para generalizar resultados.
De esta manera, se promovió el pensamiento algebraico al dotar de significados a los procesos
simbólicos que suelen abordarse de forma algorítmica.
Molina, Ambrose, y Castro (2004) realizaron una investigación con dos grupos de estudiantes,
uno de tercero, y otro en el que participaron estudiantes de quinto y sexto grado de primaria. Las
tareas se integraron por diversas expresiones numéricas de valor faltante que los estudiantes
debían equilibrar, con el propósito de identificar las nociones acerca del signo igual, además de la
forma en que los estudiantes interpretaban las expresiones numéricas para saber si podrían
establecer alguna relación entre los términos de la igualdad. El estudio indicó que existen
dificultades de uso y comprensión del signo igual, ya que, normalmente, éste se opera de manera
unidireccional, lo cual ocasiona problemas cuando el estudiante se inicia en operar con
expresiones algebraicas, ya que esta conceptualización limita la capacidad de los estudiantes para
usar identidades. Los autores proponen favorecer el análisis de relaciones entre cantidades desde
una edad temprana, y de esta manera propiciar una comprensión correcta del signo igual, lo que,
a su vez, contribuirá a un uso adecuado y entendimiento del signo igual durante el proceso de
aprendizaje del álgebra.
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Por otra parte, Olmedo, Galíndez, Peralta, y Di Bárbaro (2015) mencionan que los estudiantes
que terminan la educación media han adquirido cierta habilidad para manipular expresiones
algebraicas de manera descontextualizada. Bajo este supuesto, realizaron una investigación con
profesores de matemáticas en formación, a quienes propusieron realizar despejes de ecuaciones y
operaciones con expresiones algebraicas. Los errores más comunes fueron confusiones de signos,
al determinar la jerarquía de operaciones, o al aplicar leyes de exponentes; uso inadecuado del
signo igual, entre otros. Los futuros profesores muestran dificultades, tanto en el uso del lenguaje
algebraico como del natural, que impiden el desarrollo de flexibilidad para interpretar símbolos,
así como para darles significado, y desarrollar fluidez procedimental.
En contraste Guzmán (2013) señala que es posible plantear actividades que permitan potenciar la
observación, reconocimiento de regularidades y patrones, que se describen en lenguaje común,
con el objetivo de que un estudiante de primaria, cree, desarrolle y argumente soluciones de
tareas, y así estimular el pensamiento matemático. La investigación enfatiza que el pensamiento
algebraico es una habilidad que debe introducirse desde una edad temprana, para que el
estudiante desarrolle progresivamente formas de pensar y razonar, basadas en realizar
abstracciones y generalizaciones. En esta investigación se propusieron cuatro tareas, (i) triángulos
de Sierpinsky, (ii) diagonales en polígonos, (iii) salto de la rana y (iv) misioneros y caníbales.
Por último, Arce (2018) realizó una investigación con estudiantes de bachillerato, que cursaban la
asignatura de álgebra, a quienes les propuso tareas de reconocimiento y generalización de
patrones. Durante el desarrollo de las tareas se promovió el uso de diferentes formas de
representación para generalizar patrones. Se identificó que el desarrollo del pensamiento
algebraico debiera partir de elementos concretos para entender lo abstracto, además de que la
interacción con objetos o situaciones cotidianas son cruciales para interpretar las aplicaciones de
la asignatura en contextos diversos y, por otro lado, que la comunicación de resultados juega un
papel importante para desarrollar un pensamiento algebraico.
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1.4. Planteamiento del problema
Con base en la literatura revisada se identificó que la mayoría de los estudios centran la atención
en el aspecto operacional del álgebra, específicamente en la resolución de ecuaciones, es decir, se
enfatiza la aplicación de reglas algebraicas y el dominio de las técnicas de manipulación
simbólica. Por otro lado, algunos trabajos analizan el aprendizaje del álgebra desde su aplicación
en contextos reales. Otros resultados indican que los estudiantes muestran dificultades para
justificar y comunicar resultados. Hay casos donde se utilizan tareas con patrones con la finalidad
de desarrollar el pensamiento matemático y apoyar la comprensión del concepto de función.
La mayoría de los trabajos consultados no analizan la relación entre el sentido numérico y el
pensamiento algebraico. Por otro lado, la investigación en educación matemática ha obtenido
evidencia de que conocer conceptos no es garantía de que estos se puedan aplicar para resolver
problemas, por lo tanto, se debe promover el desarrollo de habilidades que permitan una
construcción gradual del sentido numérico, como resultado de explorar y relacionar números, al
resolver problemas en una amplia variedad de contextos (Greeno, 1991). Cabe señalar que para
apoyar el desarrollo del pensamiento algebraico es necesario entender la relación entre el
pensamiento algebraico y el sentido numérico, particularmente el uso del signo de igualdad como
símbolo de relación. La capacidad de llevar a cabo flexiblemente cálculos mentales, estimación
numérica y razonamiento cuantitativo son aspectos fundamentales del pensamiento numérico.
Pensar algebraicamente, por otra parte, implica un cambio respecto del pensamiento numérico ya
que el nivel de abstracción es mayor, considerando que esta forma de pensamiento parte de
identificar, generalizar y representar patrones simbólicamente (Papini, 2003).
De acuerdo con la literatura revisada, los estudiantes tienen dificultades para resolver problemas
que involucran variables, y esto a su vez, se debe a una carencia de significado para los números
y operaciones; además de falta de habilidad para utilizar la evidencia numérica en la formulación
de conjeturas y el desarrollo de estrategias de resolución de problemas. De igual forma, se
resaltan las dificultades de los estudiantes para generalizar patrones numéricos y geométricos, lo
cual representa un obstáculo para el desarrollo de un pensamiento algebraico. Así, en este trabajo
se busca identificar y analizar algunos elementos que aportan las tareas de generalización de
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patrones para el desarrollo del sentido numérico y pensamiento algebraico en estudiantes de
bachillerato. Específicamente, las preguntas de investigación son: ¿De qué manera influye el
sentido numérico en el desarrollo del pensamiento algebraico? ¿Qué elementos aportan las tareas
que involucran identificar y generalizar patrones en secuencias figúrales, para apoyar el
desarrollo del pensamiento algebraico en estudiantes de primer semestre de un bachillerato
público en el estado de Hidalgo?
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2. MARCO CONCEPTUAL
2.1. Introducción
En todo proceso de investigación es importante explicitar aquellas ideas, principios y acuerdos
con base en los cuales se analiza e interpretan las unidades de observación (Lester, 2005). Todas
las ideas, conceptos o abstracciones incluidas en el marco servirán como justificación de los
aspectos metodológicos considerados como relevantes en una investigación. Es decir, mediante el
marco se vincula el problema con la metodología, con el proceso de análisis de datos y los
mecanismos para obtener conclusiones. Existen tres principales tipos de marco de investigación:
teórico, práctico o conceptual.
De acuerdo con Eisenhart (1991) un marco teórico está integrado por conceptos, ideas o puntos
de vista de una teoría formal, como la epistemología genética de Piaget o la teoría sociocultural
de Vygotsky. Por otra parte, un marco práctico orienta la investigación de acuerdo con la
experiencia del investigador y “lo que funciona”, según su práctica profesional. Mientras tanto,
un marco conceptual es una estructura de conceptos, ideas o puntos de vista que orientan la
investigación, además de establecer relaciones entre los conceptos elegidos para determinar su
influencia en el análisis e interpretación de un problema. Un elemento central de todo marco
conceptual lo constituyen las justificaciones de por qué los conceptos seleccionados, así como sus
relaciones, son relevantes para entender el problema de investigación.
En este trabajo se utiliza un marco conceptual, estructurado en torno a tres dimensiones:
ontológica, epistemológica y didáctica. La dimensión ontológica incluye adoptar una posición
respecto de lo que son las matemáticas y el aprendizaje de estas. La dimensión epistemológica
explica cuál es la postura particular respecto de cómo se aprende y, por último, la dimensión
didáctica permite establecer cuáles son las características del conocimiento o aprendizaje, que
construyen los estudiantes, consideradas como deseables, así como los mecanismos y las
estrategias que permiten lograr estas características.
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2.2. Dimensión Ontológica
Esta dimensión es importante ya que se establece la conceptualización de matemáticas y del
aprendizaje que orientó el diseño e implementación de las tareas. Existen diversas perspectivas
acerca de lo que son las matemáticas. Por un lado, algunos consideran a la disciplina como una
ciencia exacta y acabada; otros, por el contrario, afirman que es una ciencia en constante cambio
y que hacer matemáticas consiste en analizar el entorno para encontrar regularidades susceptibles
de ser estudiadas mediante herramientas y un lenguaje matemático (Steen, 1988).
2.2.1. Concepción de las matemáticas
Es importante considerar la relevancia histórica y social a las matemáticas, ya que estas son parte
importante de nuestra cultura. La matemática es una ciencia en continua evolución y crecimiento,
cuya aplicación en la vida cotidiana permite reconocer patrones, interpretar fenómenos y tomar
decisiones fundamentadas (Godino, Batanero, y Font, 2003). La matemática, está integrada por
ideas y técnicas que permiten analizar situaciones o fenómenos reales y, por ende, resolver
problemas. En este contexto, consideramos que aprender matemáticas consiste en desarrollar
formas matemáticas de pensar; esto es, ver el mundo a través de los lentes de un matemático
(Schoenfeld, 1992). En resumen, en este trabajo consideramos que se aprende matemáticas al
resolver problemas que representan un reto intelectual para los estudiantes y no únicamente
dificultades procedimentales o de cálculo (Gabardo, 2010; Polya, 1985).
Las características específicas de las matemáticas la hacen diferir de otras ciencias, debido a que
sus objetos de estudios son entes abstractos. Por otra parte, muchas disciplinas toman a la
matemática como herramienta para modelar fenómenos naturales o sociales, ya que mediante
conceptos matemáticos como las funciones es posible describirlos y analizarlos con la finalidad
de tomar decisiones (Lluis-Puebla, 2006). Mediante el uso de herramientas matemáticas es
posible entender diversos fenómenos del mundo que nos rodea, los cambios y estructuras de éste.
En esencia, la actividad matemática consiste en buscar regularidades y/o patrones, establecer
conjeturas que son susceptibles de formalizarse como teoremas. Bajo esta concepción, en este
trabajo consideraremos a las matemáticas como la ciencia de los patrones (Steen, 1988). En este
contexto, encontrar regularidades en fenómenos que ocurren a nuestro alrededor es parte
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fundamental de la actividad matemática. Por otro, lado, el interrelacionar ideas matemáticas con
situaciones reales o hipotéticas puede apoyar la construcción de un aprendizaje con
entendimiento.
2.2.2. Aprendizaje de las matemáticas
Aprender matemáticas a menudo se relaciona con la aplicación de conceptos, procedimientos
rutinarios y algoritmos en la resolución de problemas. No obstante, desde una perspectiva de
resolución de problemas, es importante que los estudiantes hagan matemáticas en contextos
variados, de forma que puedan aplicar sus conocimientos previos de maneras flexibles y
novedosas, lo cual a su vez puede, despertar el interés por aprender. En este sentido el aprendizaje
vía resolución de problemas se centra en los procesos de pensamiento y no en los resultados, por
lo que el aprender, mediante este enfoque, significa establecer una conexión entre lo que ya se
sabe y el nuevo conocimiento (Aninat, 2004).
En el aprendizaje de las matemáticas, la solución de problemas es un aspecto crucial en el
proceso de enseñanza y aprendizaje, ya que permite potenciar el desarrollo de las capacidades de
cada estudiante, dado que la construcción de conexiones entre los conocimientos previos y el
nuevo conocimiento es el eje central del aprendizaje y no la ejecución de procedimientos
rutinarios o algoritmos carentes de significado. En este sentido, todo problema debe ser un
desafío, cuya solución pueda encontrarse utilizando métodos diversos y no únicamente de forma
operacional o algorítmica. Al respecto, tareas de reconocimiento de patrones pueden permitir a
los estudiantes utilizar formas diversas de representar la información, así como explicar cómo un
cambio en una cantidad provoca un cambio en otra cantidad. En otras palabras, los problemas con
patrones son útiles para promover las capacidades, destrezas y habilidades de los estudiantes para
identificar regularidades, así como abstraer esas regularidades y generalizarlas (Alonso &
Martínez, 2003; Polya, 1985; Schoenfeld, 1992).
El desarrollo de un pensamiento matemático requiere que el entorno social en el que se aprende
promueva la construcción de significados, tal como hacen los matemáticos al crear nuevo
conocimiento disciplinar. La actividad matemática involucra experimentar, con el fin de
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determinar regularidades y elaborar modelos del mundo real (Lesh & Doerr, 2003). Es decir que
aprender a pensar matemáticamente significa ver el mundo a través del lente de un matemático
(Schoenfeld, 1992). De ahí que el proceso de instrucción, desde una perspectiva de resolución de
problemas, debiera orientarse a proponer tareas no rutinarias, que involucren la identificación de
patrones. La identificación de patrones permitirá a los estudiantes analizar casos particulares y, a
partir de estos, obtener el término general, llevando a cabo procesos de abstracción,
generalización y simbolización. Es decir, las tareas con patrones favorecen el entendimiento de
relaciones entre objetos matemáticos y la identificación de estructuras (Merino, 2013).
2.2.3. Sentido numérico
La comprensión que un estudiante tiene sobre los números y las operaciones, así como la fluidez
y flexibilidad para utilizarlos en la solución de problemas se conoce como sentido numérico. El
sentido numérico también incluye la habilidad para realizar cálculos mentales, capacidad para
determinar magnitudes y estimar resultados (Greeno, 1991). El sentido numérico puede
describirse como intuición numérica, que se identifica cuando los estudiantes establecen con
facilidad relaciones numéricas y se conoce el efecto relativo de operar con números (Reys B. J.,
1994). Según El Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas de los Estados Unidos (NCTM,
2010) es posible caracterizar al sentido numérico por cinco componentes principales: (i) el
significado del número, (ii) relaciones numéricas, (iii) tamaño de los números, (iv) operaciones
con los números y (v) cantidades.
En el aspecto didáctico, las tareas para desarrollar sentido numérico deben permitir que los
estudiantes interpreten, comuniquen y procesen información al usar números y operar con ellos.
No obstante, esta habilidad no es algo que se enseñe en un apartado o momento específico, ya
que el sentido numérico es complejo y multifacético, además de que se desarrolla y madura con
la experiencia (Reys B. J., 1994) . El sentido numérico es una forma de pensar que debe estar
presente en todos los momentos de la formación matemática de los individuos (Berch, 2005).
En contraste, en la educación escolarizada, los aspectos relacionados con enseñanza de
procedimientos y algoritmos aritméticos se consideran de gran relevancia, en consecuencia, las
dificultades para resolver problemas que requieren de la realización de operaciones aritméticas
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son comunes en sectores amplios de la población adulta (Barrera y Reyes, 2013). No obstante, la
habilidad para operar con fracciones o números enteros no es evidencia de un sentido numérico,
sino más bien de habilidad para aplicar procedimientos algorítmicos, los cuales muchas veces
carecen de significado. La falta de sentido numérico se hace evidente cuando un estudiante no es
capaz de argumentar por qué ciertos resultados, o las operaciones utilizadas para obtenerlos, son
razonables (Reys & Der-Ching, 1998; Mcintosh, Reys, & Reys, 1992). Así, un ambiente de
instrucción propicio para desarrollar sentido numérico requiere de condiciones que permitan a los
estudiantes realizar exploraciones; contrastar, discutir y comunicar ideas, así como desarrollar
formas matemáticas de pensar y de razonar, así como fomentar el pensamiento crítico y el
razonamiento numérico (Yang, 2003). Aunado a esto, es crucial entender que la intuición para
manejar los números y sus relaciones es una habilidad que se adquiere de manera gradual, como
consecuencia de resolver problemas, visualizar cantidades en contextos diversos y de realizar
flexiblemente operaciones con números (Barrera & Reyes, 2013; Reys B. J., 1994).
En este contexto, los estudiantes comenzarán a adquirir sentido numérico a medida que participen
en actividades que requieran pensar en términos numéricos y establecer relaciones con
información cuantitativa de su vida cotidiana ya que la habilidad numérica no se origina por
casualidad, sino que se desarrolla y madura con la experiencia (Reys B. J., 1994).
2.2.4. Pensamiento algebraico
Los componentes esenciales del pensamiento algebraico son tres: (i) brindar un sentido de
indeterminación de los objetos matemáticos como incógnitas, variables y parámetros (Generalizar
ideas matemáticas); (ii) operar analíticamente con objetos indeterminados, lo cual significa que se
trabaja con las ecuaciones como si se conociera la solución de un problema, con la finalidad de
obtener las condiciones que debe satisfacer dicha solución, en caso de existir; y (iii) representar y
resolver problemas. Es decir, que la habilidad de generalizar a partir de las observaciones sobre
los números y operaciones es la base del pensamiento algebraico. Ahora bien, a pesar de que la
generalización es el eje central del pensamiento algebraico, los casos particulares suponen una
primera instancia para comprender el comportamiento de los números y sus relaciones lo cual
permitirá a partir de casos concretos abstraer regularidades y generalizarlas. Es por esto que el
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pensamiento algebraico supone una manera particular de pensar acerca de los objetos
matemáticos y las relaciones entre ellos (Butto & Rojano, 2010).
Es común, que en la educación escolarizada se inicie el aprendizaje del álgebra a partir de
actividades de naturaleza algorítmica, donde se introduce simbología y reglas operacionales de
las representaciones algebraicas, las cuales parecen distintas de aquellas que se aplican a los
números naturales, enteros o racionales. Es decir se hace una distinción entre la aritmética y
álgebra lo cual provoca una separación artificial entre estas disciplinas, omitiendo el hecho de
que en ambos casos se aplican las mismas reglas para operar con números específicos o números
indeterminados representados por literales (Barrera & Reyes, 2016; Molina, Ambrose, & Castro,
2004). En este sentido, el pensamiento algebraico constituye una forma particular de entender las
matemáticas y de extender su conocimiento hacia la generalidad de fenómenos tal como lo hacen
los matemáticos (Windsor, 2010; Schoenfeld, 1992). De acuerdo con la NTCM (2010) el
pensamiento algebraico se relaciona con identificar patrones, relaciones y funciones, las cuales
proporcionan la base para el desarrollo de habilidades para que los estudiantes entiendan,
describan y, analicen los fenómenos de su entorno.
La población en general sostiene una concepción restringida en la que entender algebra consiste
en manipular variables o realizar operaciones con expresiones simbólicas. Un docente que
sostiene esta concepción desconoce que este tipo de instrucción fomentará un estudio
descontextualizado, abrupto, disfuncional, tardío, y superficial del álgebra escolar. Es por esto
que se necesita entender que el desarrollo del pensamiento algebraico requiere tiempo para
desarrollarse y sobre todo que se propongan tareas que fomenten la observación de las relaciones
numéricas, justificar procedimientos, modelar problemas, describir patrones y representar
simbólicamente la generalidad (Kaput y Blanton, 2000).
2.3. Dimensión Epistemológica
Las concepciones epistemológicas que sostiene un profesor inciden directamente en la actividad
que desarrolla en el aula y, por lo tanto, en los resultados de aprendizaje de los estudiantes. Una
de las principales funciones de un docente es tomar decisiones respecto del tipo de tareas y las
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características del escenario de instrucción y estas, a su vez, son guiadas por los antecedentes
teóricos, enfoques interpretativos y juicios del docente (Barrón, 2015).
En este trabajo se ha adoptado una postura socio constructivista, asumiendo que cada individuo
construye su propio conocimiento de forma activa, es decir que el estudiante es quien da sentido a
la información que procesa y genera ideas las cuales, a su vez, utiliza para construir nuevo
conocimiento. Por esta razón, el conocimiento no debe considerarse como una copia de la
realidad externa, sino una construcción individual que ocurre mediante una modificación de los
esquemas (conocimientos previos) que cada individuo posee. Así, aprender es un proceso que
consiste en formar estructuras conceptuales cada vez más robustas, integrando o conectando
conocimientos previos con nuevos conocimientos (Lerman, 2014). Otros aspectos importantes
para considerar son los aspectos cognitivos, sociales y afectivos de una persona, puesto que
cuando un individuo interactúa con otros en una comunidad de aprendizaje, el conocimiento se
reestructura y reorganiza como resultado de esta interacción social. Por lo anterior, la
participación de los estudiantes en procesos de reflexión y comunicación de ideas es crucial para
que construyan nuevo conocimiento, ya que este no es recibido pasivamente, sino que es
procesado y construido activamente (Ernest, 2010).
2.4. Dimensión Didáctica
La didáctica es la disciplina que se encarga de estudiar la forma en cómo se enseña, de tal manera
que engloba todo un conjunto de medios y procedimientos involucrados en el proceso de
instrucción. Por ello, la didáctica es necesaria en la educación debido a que se refiere a la
enseñanza. En este sentido, el objetivo principal del aprendizaje de las matemáticas debiera ser
construir significados para los conceptos o ideas matemáticas (Serrano, 1993). La enseñanza
debiera tener como objetivo principal que los estudiantes entiendan conceptos, ideas y procesos
centrales de la disciplina y no que únicamente desarrollen habilidad para ejecutar algoritmos. Es
decir, se debe promover el razonamiento matemático mediante actividades que permitan analizar
patrones y regularidades, con la finalidad de promover la habilidad de pensar y razonar
matemáticamente (Barrera y Reyes, 2016).
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Es importante que las tareas a las que se enfrentan los estudiantes les permitan plantear
preguntas, usar diversos recursos y estrategias de solución de manera tal que se establezcan
conexiones entre los conocimientos previos y los nuevos conocimientos, apoyadas por el
contexto en el que las tareas son presentadas (Barrera-Mora y Santos-Trigo, 2000). Lo anterior
con la finalidad de que los estudiantes desarrollen hábitos para encontrar sentido o significado a
los conceptos y por ende desarrollar entendimiento (Schoenfeld, 1992).
2.4.1. Aprendizaje con entendimiento
Desde la concepción constructivista del aprendizaje de las matemáticas la resolución de
problemas es fundamental para que los estudiantes puedan desarrollar un entendimiento de los
conceptos y procedimientos matemáticos (Godino, Batanero, & Font, 2003), ya que de otra
manera se limita la capacidad de los estudiantes para aplicar los contenidos con flexibilidad
(Schoenfeld, 1992). Cuando un estudiante entiende algo, está en posibilidad de movilizar ese
conocimiento para resolver problemas, lo cual, a su vez favorece la interrelación de los
conocimientos previos con los nuevos (entendimiento). En el desarrollo de entendimiento la
conexión entre ideas y concepto es crucial. Por otra parte, los procesos que intervienen en esta
construcción de entendimiento son: (i) la reflexión que posibilita que se establezcan conexiones
nuevas a partir de las establecidas previamente (ii) la comunicación permite socializar el
conocimiento, contrastar las ideas de otros, reflexionar sobre ellas, mejorarlas y construir ideas
propias (Hiebert et al., 1997).
2.4.2. Ciclo para observar el desarrollo del entendimiento matemático.
El proceso de construcción de entendimiento implica utilizar conocimientos relacionados entre sí,
por ello el aprendizaje con entendimiento no se desarrolla de manera repentina, sino mediante
ciclos sucesivos donde se involucra la acción, observación, formulación de conjeturas y
justificación de resultados (Barrera y Reyes, 2016). El entendimiento se desarrolla de manera
gradual, a medida que se reflexiona y discute en torno a ideas matemáticas y sus relaciones. El
ciclo de aprendizaje con entendimiento (Figura 2.1), refleja la necesidad de poner en práctica
todos los elementos del pensamiento matemático durante el proceso de instrucción. En la fase de
acción los estudiantes representan la información e identifican los datos del problema. En la fase
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de observación se identifican las relaciones entre los datos del problema y las incógnitas, lo que
implica un proceso de reflexión acerca de lo observado. En la fase de plantear conjeturas los
estudiantes, a partir de la observación de regularidades, buscan encontrar patrones que puedan
generalizar. Por último, en la fase de justificación de resultados los estudiantes deben comunicar
sus conjeturas para reflexionar sobre ellas y mejorarlas por lo que se debe tener una actitud
inquisitiva y de ser necesario volver a pasar por todas las fases anteriores.
Figura 2.1 Ciclo para observar el desarrollo del entendimiento matemático (Adaptado de Barrera
y Reyes, 2016).
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3. METODOLOGÍA
3.1. Introducción
La metodología empleada en el desarrollo de esta investigación es cualitativa, debido a que los
objetivos que se han planteado están relacionados con la comprensión de significados
relacionados con el aprendizaje del álgebra, así como factores que influyen en este.
Específicamente, se busca determinar cómo el sentido numérico influye en el desarrollo del
pensamiento algebraico. Es decir, identificar las diferentes formas de pensar y razonar de los
estudiantes al resolver tareas de identificación y generalización de patrones (Salgado, 2007;
Martinez, 2006).
3.2. Participantes
Como ya se expuso anteriormente, se adoptó el enfoque socio-constructivista para orientar el
diseño e implementación de las tareas. El trabajo en equipo se fomentó ya que la participación en
una comunidad de práctica (Wenger, McDermott y Snyder, 2002) es fundamental para promover
la construcción de significados considerados como compartidos. Así mismo, se promovió la
reflexión y comunicación de ideas para favorecer el desarrollo de entendimiento matemático. Por
otra parte, el papel del docente consistió en formular preguntas y realizar sugerencias para
afrontar las problemáticas que surgieron durante el proceso de implementación de las tareas
(Barrón, 2015; Ernest, 2010; Lerman, 2014).
Las tareas de instrucción se implementaron en una Escuela Preparatoria pública, ubicada en la
zona metropolitana de la ciudad de Pachuca de Soto, Hidalgo. Los participantes se eligieron de
un grupo del que el investigador era profesor titular del grupo. Las tareas se aplicaron a 10
estudiantes de la asignatura de álgebra, elegidos al azar de un total de 39. Los estudiantes al
momento del estudio se encontraban cursando el primer semestre de bachillerato y algunos de
ellos había reprobado la asignatura, otros más habían dejado de estudiar cuando menos un
periodo. Durante la implementación de las tareas se formaron dos grupos, cada uno con cinco
estudiantes, con la finalidad de fomentar el intercambio de ideas y la comunicación de resultados.
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Los estudiantes en cada grupo se asignaron al azar para tener una composición no intencional y
mixta de los grupos, en cuanto a género y nivel de conocimientos.
3.3. Tareas y escenarios de instrucción
Las tareas que se utilizaron en este trabajo de investigación se diseñaron de forma que el
estudiante transitara por cada una de las fases del ciclo de aprendizaje con entendimiento (Barrera
& Reyes, 2016). Se buscó que las tareas permitieran a los estudiantes dar significado a los
procesos matemáticos al trabajar en contextos variados y utilizar diversos métodos para dar
solución al problema (Schoenfeld, 1992; Aninat, 2004; Polya, 1985; Alonso & Martínez, 2003).
Cada tarea se diseñó con la intención de que el estudiante trabajara con cantidades y
estimaciones, además de que desarrollara procesos de abstracción, generalización y
simbolización.
3.4. Descripción de las tareas
3.4.1. Diseño de las tareas
Las tareas se diseñaron como juegos lúdicos donde se busca la participación activa de los
estudiantes para abordar los problemas planteados en situaciones que pudiesen explorar,
reflexionar y compartir experiencias, que les permitan identificar patrones numéricos de una
secuencia figural. Uno de los elementos metodológicos importantes en el presente trabajo se basa
en las etapas del Ciclo para observar el desarrollo del entendimiento matemático descrito en el
capítulo anterior. Por lo que, cada una de las tareas permitieron:
• Identificar, representar información: Para esto cada una de las tareas requirió de material
concreto (Imágenes, hojas de colores, animaciones etc.) para representar la situación que
se les propuso en cada una de las tareas, lo que posteriormente daría pauta para registrar
dicha información en tablas o gráficas.
• Resolver casos particulares: Para esto, el proceso inquisitivo es fue importancia, por lo
que se propusieron una serie de preguntas en cada una de las tareas para que los
estudiantes resolvieran algunos casos particulares y pudieran analizar la información.
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• Formular conjeturas: Una vez que el estudiante resolvió casos particulares se planteó en
cada una de las tareas una serie de preguntas que permitieran la reflexión acerca de las
regularidades observadas para que el estudiante pueda generalizar los patrones.
• Justificar y comunicar resultados: En este punto resultó crucial que las tareas se
desarrollaran en equipo ya que el discutir las ideas permitió que los estudiantes tuvieran
una postura inquisitiva y pudieran aceptar o rechazar las conjeturas planteadas.
Cabe señalar que las tareas se diseñaron de forma tal que los estudiantes tuvieran un problema
inicial que resolver y se propusieron una serie de preguntas que el aplicador realizaba cuando ser
observaban dificultades al contestar para guiar al entendimiento del problema y su
generalización.
3.4.2. Tarea “Alan el impaciente”
El enunciado del problema y la pregunta uno, se entregó en una hoja de trabajo a partir de la
pregunta dos plantearon al equipo según lo que los estudiantes realizaban y de acuerdo a sus
dudas.
Alan es un estudiante que está formado en la fila de control escolar y se encuentra al final de una
fila de estudiantes esperando para ser atendido. Hay 50 alumnos delante de él. Pero como es muy
impaciente, cada vez que es atendido el que está hasta el frente, Alan se escabulle dos lugares
hacia adelante, excepto cuando solo queda una persona delante del él, sólo se escabulle un lugar y
queda al frente de la fila.
1. ¿Cuántos estudiantes serán atendidos antes de Alan? Intente dar una respuesta
mentalmente.
Se pidió a los participantes, en primera instancia, que trataran de estimar intuitivamente la
respuesta, después se permitió que reflexionaran sobre cómo diseñar una estrategia para encontrar
la solución del problema. Cuando los estudiantes tuvieron dificultades para responder, se les
sugirió considerar un caso más sencillo. Así, se les orientó para que resolvieran casos particulares
y, de acuerdo con el ciclo de aprendizaje con entendimiento, se promovió la reflexión,
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observación y comunicación de ideas para apoyar el proceso de generalización. Por ejemplo, se
les sugirió:
2. Si solo hay 3 estudiantes delante de Alan ¿Cuántos
estudiantes serán atendidos antes?
3. Si son 6 los que están antes ¿Cuántos
estudiantes serán atendidos antes que él?
Para representar el problema pudieron utilizar figuras. Además, se sugirió registrar la información
en una tabla. Se pretendía que esta forma de organizar la información sirviera como base para
poder contestar preguntas tales como las siguientes:
4. ¿Puedes predecir cuantos estudiantes serán atendidos antes que él cuando hay 50
estudiantes delante de él?
5. ¿Qué estrategias utilizaste para dar la respuesta?
6. ¿Cómo podías predecir la respuesta para cualquier número de estudiantes en la fila?
7. ¿Pueden explicar el significado de la fórmula encontrada y su relación con el problema
planteado?
Las preguntas anteriores sirvieron como base para el desarrollo de la actividad, no obstante, el
docente realizó otros cuestionamientos a los estudiantes con el fin de apoyar el proceso de
reflexión y por consiguiente el estudiante pudiera plantear sus conjeturas, generalizar, comunicar
y justificar resultados. También se pidió que los participantes justificaran la validez de la regla o
conjeturas a las que llegaban. Al respecto, el docente planteó preguntas tales como:
8. Si atendieron a 13 estudiantes antes que Alan ¿Cuántos estaban formados en la fila?
9. Si atendieron a 21 estudiantes antes que Alan ¿Cuántos estaban formados en la fila?
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10. Si había 296 estudiantes formados delante de Alan ¿Cuántos fueron atendidos antes? ¿Y si
había 7695?
Una vez que se logró comprender el problema, se propuso un cambio al problema como sigue:
Alan, conforme pasa el tiempo, se vuelve más impaciente. Vea cómo cambia la regla si Alan se
pasa tres lugares cada vez. Recuerda que Alan llegará al frente de la fila, aunque al último pase
menos de tres estudiantes. Si el estudiante ha comprendió cómo funciona la regla que
previamente encontró, debería poder explicar los casos siguientes:
11. ¿Qué pasa si avanza 4 lugares?
12. ¿Qué pasa si avanza 10 lugares?
Para terminar la actividad se pidió a los estudiantes explicar sus resultados, con la finalidad de
fomentar el proceso de comunicación de ideas.
Tabla 1. Características relevantes de la tarea “Alan el impaciente”.
Contenidos matemáticos
importantes en el proceso
de solución
Operaciones con números reales, función y ecuación lineal.
Procesos matemáticos Identificación y representación de información, resolución de casos
particulares, formular conjeturas, justificar y comunicar resultados.
Condiciones de aplicación La tarea fue diseñada para realizarse en equipo de 2 a 5 estudiantes. El
tiempo para abordar la tarea fue dos horas.
Material Se usaron de 21 figuras que representen a los estudiantes del problema,
hojas de trabajo y es permitido el uso de calculadoras o graficadoras
Rol del docente Guía vía formulación de preguntas.
Fuente: Elaboración propia.
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3.4.3. Tarea “El depósito de agua”
El enunciado del problema y la pregunta uno, se entregó en una hoja de trabajo a partir de la
pregunta dos plantearon al equipo según lo que los estudiantes realizaban y de acuerdo a sus
dudas.
Si se tiene un depósito de agua, el cual tiene una llave, que al abrirla lo llena en 30 minutos, y
otra llave más que tarda en llenarlo 15 minutos.
Figura 3.1 Captura de la animación del problema
1. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse el depósito si se abren las dos llaves al mismo tiempo?
Se pidió a los participantes, en primera instancia, responder a la pregunta sin hacer cálculos y
luego se observó la estrategia que siguieron para encontrar la solución del problema. Cuando se
identificó que tenían dificultades para responder, se les hicieron preguntas como las siguientes:
2. ¿Qué parte del depósito se habrá llenado después de trascurrir un minuto?
3. ¿Qué parte del depósito se habrá llenado al trascurrir 5 minutos después de abrir solo una
de las llaves?
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Con lo anterior se guio a la resolución de casos particulares y se fomentó la observación y
reflexión, además el estudiante pudo utilizar la animación interactiva (elaborada en GeoGebra)
para comprobar sus resultados (Figura 3.1). Se pidió, además, que justificaran sus conjeturas y
una vez que comprendieron el problema se solicitó generalizar el resultado, preguntando:
4. ¿Existe alguna fórmula que permita calcular el tiempo de llenado de un recipiente para un
tiempo de llenado (𝑡1) de la primera llave y un tiempo de llenado (𝑡2) para la segunda
llave?
Otra versión del problema sería plantear que pasaría, si se tiene una tercera llave que llena el
depósito en 10 minutos y preguntar a los estudiantes:
5. ¿En cuánto tiempo se llenará él depósito si se abren las tres llaves de manera simultánea?
6. ¿Hay algún cambio en la fórmula? ¿Cuál?
Si el estudiante comprendió el problema debería responder estos últimos planteamientos, además
de justificar sus conjeturas.
Tabla 2. Características relevantes de la tarea “El depósito de agua”.
Contenidos matemáticos
importantes en el proceso
de solución
Función y ecuación lineal, proporción directa e inversa, mínimo común múltiplo,
máximo común divisor y operaciones con números reales.
Procesos matemáticos Identificación y representación de información, resolución de casos particulares,
formular conjeturas, justificar y comunicar resultados.
Condiciones de aplicación La tarea fue diseñada para realizarse en equipo de 2 a 5 estudiantes. El tiempo
para abordar la tarea fue dos horas.
Material Se usó una animación elaborada en GeoGebra y hojas de trabajo.
Rol del docente Guía vía formulación de preguntas.
Página | 35
Fuente: Elaboración propia.
3.4.4. Tarea “La tira de papel”.
El enunciado del problema, la pregunta dos a la cuatro, se entregó en una hoja de trabajo, así
como la tabla a partir de la pregunta cinco se plantearon al equipo según lo que los estudiantes
realizaban y de acuerdo a sus dudas. Es importante señalar que cuando se pregunta por las líneas
observadas se hace referencia a los dobleces observados al desdoblar la tira.
Toma una hoja de papel y corta a la mitad por la parte más angosta de la hoja. Toma una mitad y
la otra guárdala. Dobla una de las tiras a la mitad, por la parte más larga, y luego desdobla.
1. ¿Cuántas partes se observan en la tira al desdoblarse?
2. ¿Cuántas líneas se observan a lo largo de la tira al ser desdoblada?
Dobla nuevamente la tira a la mitad. Ahora repita la operación de manera que ha realizado dos
dobleces sobre la tira.
3. ¿Cuántas partes se observan en la tira desdoblada?
4. ¿Cuántas líneas se observan a lo largo de la tira desdoblada?
Página | 36
Repite este proceso y completa la siguiente tabla:
Número de veces que se
dobla la tira
Partes que se observan al des-
doblar la tira.
Líneas que se observan al
desdoblar la tira.
1
2
3
4
5
10
15
Se permitió que los estudiantes exploraran el problema, y el docente observó las estrategias que
utilizaron para dar respuesta a los cuestionamientos. Una vez que reflexionaron y plantearon sus
conjeturas se les pidió que contestaran los siguientes cuestionamientos: Si se observan 128 partes
en la tira al desdoblarla:
5. ¿Cuántas veces se dobló?
6. ¿En cuántas partes está dividida una tira en la que se observan 255 líneas?
7. ¿Cuántas partes se ven en la tira cuando la misma se ha doblado n veces?
8. ¿Cuántas líneas se ven en la tira cuando la misma se ha doblado n veces?
Una vez que los estudiantes respondieron las preguntas anteriores. Se les pidió que justificaran
sus conjeturas y explicaran el funcionamiento de su expresión.
Después se planteó una modificación del problema inicial el cuál se entregó en una hoja de
trabajo que se les entregó, con las preguntas 9 a la 12 y la tabla.
Página | 37
Toma la tira que te sobró al inicio y dobla en tres partes iguales
9. ¿Cuántas partes se observan en la tira desdoblada?
10. ¿Cuántas líneas se observan a lo largo de la tira desdoblada?
Dobla de nuevo en partes iguales y sin desdoblar, dobla la tira a la mitad. Contesta lo siguiente:
11. ¿Cuántas partes se observan en la tira desdoblada?
12. ¿Cuántas líneas se observan a lo largo de la tira desdoblada?
Si se realizó los dobleces de manera correcta la tira deberá observarse como la siguiente imagen:
Vuelve a doblar la tira como se tenía y luego sin desdoblar dobla a la mitad cada vez, completa la
siguiente tabla:
Número de veces que se do-
bla la tira
Partes que se observan al des-
doblar la tira.
Líneas que se observan al
desdoblar la tira.
1
2
3
4
5
10
15
Página | 38
Una vez que los estudiantes comprendieron el problema se les preguntó lo siguiente:
Si se observan 192 partes en la tira al desdoblarse
13. ¿Cuántas veces se ha doblado?
14. ¿Cuántas partes se ven en la tira cuando se ha doblado k veces?
15. ¿Cuántas líneas se ven en la tira cuando se ha doblado k veces?
Se pidió a los estudiantes que explicaran cual es la diferencia entre la expresión de la versión A y
la versión B del problema, además que explicaran las regularidades observadas en el proceso de
doblado.
Tabla 3. Características relevantes de la tarea “La tira de papel”.
Contenidos matemáticos
importantes en el proceso
de solución
Función exponencial, leyes de exponentes, operaciones con números reales.
Procesos matemáticos Identificación y representación de información, resolución de casos particulares,
formular conjeturas, justificar y comunicar resultados.
Condiciones de aplicación La tarea fue diseñada para realizarse en equipo de 2 a 5 estudiantes. El tiempo
para abordar la tarea fue dos horas.
Material Se usaron hojas de colores, hojas de trabajo, tijeras, regla y usar calculadora o
graficadora está permitido.
Rol del docente Guía vía formulación de preguntas.
Fuente: Elaboración propia.
Página | 39
3.5. Recolección de la información y análisis de datos
La recopilación de la información se llevó a cabo mediante grabaciones de video, las anotaciones
que realizó el docente durante la implementación de las tareas, y las hojas de trabajo de cada uno
de los estudiantes que participaron en la actividad. La información obtenida fue cualitativa, es
decir información en forma de palabras, íconos o imágenes para interpretar la forma de pensar y
razonar de los estudiantes, la cual fue de utilidad para determinar la posible influencia del sentido
numérico sobre aspectos esenciales del pensamiento algebraico.
Como se expuso anteriormente, el sentido numérico es la capacidad que un estudiante tiene para
establecer relaciones, dotar de significados y operar con números, además entender las
cantidades, magnitudes, estimar resultados y argumentar acerca de estos (Greeno, 1991; NCTM,
2010; Reys & Der-Ching, 1998; Mcintosh, Reys, & Reys, 1992). Con base a lo anterior se
determinaron indicadores que sirvieron para evaluar los argumentos y acciones que los
estudiantes realizaron para dar solución a las tareas.
Los indicadores que se presentan en la tabla 3.1 fueron diseñados para obtener evidencia de
aspectos que caracterizan al sentido numérico mostrado por los estudiantes, como grupo; por lo
tanto, los mismos pueden no ser de utilidad para evaluar de manera individual a los estudiantes.
Cabe mencionar que las tareas no tuvieron el propósito de demostrar el dominio del sentido
numérico, sino que se pretendió obtener evidencia indirecta de este y conocer cómo el sentido
numérico puede influir en el aprendizaje del algebra.
En este trabajo se adoptó la postura de que las matemáticas son la ciencia de los patrones y para
el desarrollo del pensamiento algebraico esta idea es fundamental, ya que el entendimiento de la
estructura profunda de los problemas (Santos-Trigo, 2012) permitió a los estudiantes generalizar
y simbolizar las regularidades observadas. Además, otros aspectos que se tomaron en cuenta para
identificar si los estudiantes habían desarrollado un pensamiento algebraico incluyeron: el
análisis de patrones, análisis del cambio, entendimiento de las relaciones, funciones y el uso de
símbolos algebraicos para representar generalidades y establecer modelos (NCTM, 2010; Butto
& Rojano, 2010; Schoenfeld, 1992).
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Con los indicadores presentados en la tabla 3.2 se analizaron, de manera general, las ideas
presentadas por los estudiantes y su contribución con las ideas que se generaron producto de sus
observaciones. Por lo que puede no ser útil para evaluar el desempeño individual de los
estudiantes. Estos indicadores servirán como base para establecer más tarde la relación existente
entre sus argumentos y los modelos algebraicos presentados. Los indicadores aquí presentados
están basados en las ideas obtenidas producto de la revisión de la literatura y fungieron como
referentes para guiar la discusión de las evidencias presentadas por los estudiantes, además de
servir como referencia para entender los argumentos expuestos en el capítulo siguiente.
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Tabla 3.1 Indicadores de reconocimiento de sentido numérico
Nivel Descripción
Deficiente
El argumento o la evidencia escrita indican una mala interpretación de la información
numérica obtenido en tablas o gráficas. Los números pueden presentarse, pero no están
relacionados en el argumento. Puede incluir adjetivos tales como: "muchas", "pocas",
"la mayoría", etc. Hace afirmaciones no apoyadas en el significado causal del evento,
los números aparecen sin comparaciones que apoyen al significado, los números pre-
sentados no los utiliza para dar un argumento coherente.
Suficiente
En el argumento o la evidencia escrita hay ocasiones en que la información no es con-
creta o se utiliza de manera incorrecta. Presenta los números de manera efectiva, pero
carecen de sustento sobre el significado causal del evento. Hace malas interpretaciones
tales como de comparación, relaciones causa efecto etc.
Bueno
El argumento o la evidencia escrita se basa en una certeza numérica sólida y coherente,
solo ocasionalmente hace referencias poco concretas. Explica los métodos usados, hace
comparaciones o relaciones causa efecto, es capaz de estimar resultados. Puede que no
se exploren todos los aspectos posibles de un hecho.
Excelente
El argumento o la evidencia escrita es de alta calidad, la interpretación numérica es
completa, considera toda la información disponible, realiza operaciones de manera
correcta, explora completamente los métodos y se explican correctamente. No hay
errores en la interpretación ni de relación causa efecto.
Elaboración basada en: Greeno, 1991; NCTM, 2010; Reys & Der-Ching, 1998; Mcintosh,
Reys, & Reys, 1992.
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Tabla 3.2 Indicadores de reconocimiento de pensamiento algebraico.
Nivel Descripción
Deficiente
Pueden tener una mala interpretación del problema que además impide dar una explica-
ción al mismo. Los estudiantes realizan cálculos y ponen especial atención en las reali-
zaciones de operaciones y la obtención de resultado numérico. El razonamiento ma-
yormente orientado a resolución de casos particulares.
Suficiente
Justifica en términos de casos particulares, explican la estructura de cada método en
términos numérico - aritmético. Utiliza una explicación verbal y muestra evidencia de
entendimiento de las relaciones. Muestra poca habilidad para generalizar los objetos
matemáticos.
Bueno
Se justifica de modo general el funcionamiento del fenómeno en ocasiones pude omitir
información, logra generalizar los objetos matemáticos de completa o parte del fenó-
meno mediante una función o relación. Utiliza símbolos algebraicos para representar
números y es capaz de operar con ellos. Justifica de manera verbal y usa algunos argu-
mentos matemáticos para explicar el fenómeno.
Excelente
Logra entender de manera completa el fenómeno sin omitir información, generaliza los
objetos matemáticos, establece relación entre ellas y precisa un modelo mediante una
función. Es capaz de operar con las variables y de modificar el modelo establecido a
partir de condiciones nuevas. El entendimiento del problema es tal que es capaz de
argumentar matemáticamente.
Elaboración basada en: NCTM, 2010; Butto & Rojano, 2010; Schoenfeld, 1992.
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4. RESULTADOS
4.1. Introducción
En este capítulo se detallan los hallazgos encontrados al momento de implementar las tareas
propuestas en el presente trabajo. Durante el proceso de implementación se realizaron
cuestionamientos específicos a los estudiantes, en función de las observaciones que el docente
realizó sobre el trabajo de cada uno de ellos, o en apoyo al entendimiento de la actividad. Es
importante señalar que la participación de los estudiantes fue voluntaria y se les informó que se
trataba de una investigación para la realización de una tesis de maestría.
El análisis se realizó por cada tarea, en lo consiguiente la tarea uno (T1) se refiere a la tarea
“Alan el impaciente”, la tarea dos (T2) “El depósito de agua” y la tarea tres (T3) a “La tira de
papel”. Así mismo el desarrollo de cada tarea será analizado por cada equipo lo cuales serán
nombrados Equipo 1 (E1) y Equipo 2 (E2) respectivamente. Los nombres de los estudiantes
fueron remplazados por pseudónimos como Estudiante 1, 2, 3, …10, respectivamente, con el fin
de proteger la identidad de los participantes. En lo subsecuente, nos referiremos a la evidencia de
sentido numérico y pensamiento algebraico con los indicadores: deficiente, suficiente, bueno o
excelente, acorde a lo descrito en la tabla 3.1 y 3.2 incluidas en el capítulo 3.
4.2. Resultados de la tarea “Alan el impaciente”
Para la primera actividad se entregó a los estudiantes una hoja de trabajo y los equipos se
colocaron alrededor de una mesa de trabajo. Se les proporcionaron hojas blancas para realizar
notas, y se les indicó que no borraran sus anotaciones. Durante la actividad hubo además una
persona que grabó en video el desarrollo de la actividad.
4.2.1. Equipo 1
Cuando se les pidió a los estudiantes que dieran una respuesta intuitiva a la pregunta ¿Cuántos
estudiantes fueron atendidos antes que él? No respondieron en primera instancia al
cuestionamiento, no obstante, después de proporcionar el material y pedir que registraran lo que
observaban, comenzaron a realizar algunas anotaciones. Cuando a los estudiantes se les pidió que
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pensaran en un problema más simple comenzaron a registrar los datos en una tabla (Figura 4.1),
no obstante, uno de los integrantes argumentó que ese registro no serviría ya que siempre se
obtenía el mismo resultado, lo que los llevó a tener una segunda versión de la tabla (Figura 4.2) y
esto les permitió da una primera respuesta, se les preguntó ¿Ya saben cómo se comporta? La
respuesta fue que eran 20 las personas atendidas.
Figura 4.1 Primera tabulación realizada tarea 1 (E1)
Figura 4.2 Segunda tabulación realizada tarea 1 (E1)
En este caso, la respuesta proporcionada por los estudiantes es producto de una mala
interpretación del problema, en la figura 4.3 se puede observar que los estudiantes realizan una
multiplicación, ya que ellos sostenían que, dado que cuando hay 10 personas en la fila, cuatro de
ellas son atendidas antes que Alan, entonces 5 veces el 4 da 20. Con lo anterior, la evidencia de
sentido numérico puede categorizarse como “deficiente”. Así mismo la evidencia de pensamiento
algebraico también es “deficiente” debido a que su respuesta está basada en la realización de
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operaciones aritméticas, acerca de las cuales no son capaces de argumentar su pertinencia, tal
como se puede observar en la siguiente trascripción (Figura 4.3).
Profesor: ¿Ya vieron cómo se comporta?
Estudiante 1: Atiende a 20 personas [antes de Alan].
Profesor: ¿y cómo le hizo para saber?
Estudiante 3: Jugamos el de 10 y lo fuimos pasando y después nos dios un resultado de 4 per-
sonas y lo multiplicamos, cuatro por cinco.
Profesor: ¿Y cómo sabe que así se comporta? ¿Cómo sabía que multiplicar por cinco? O ¿Có-
mo asegura que eso ayuda a resolver el problema?
Estudiante 2: es que eso nos daba.
Estudiante 3: Entonces hay que jugarlo más.
Estudiante 5: Ponlo de 20 muñecos.
Figura 4.3 Primer fragmento de trascripción tarea 1 (E1)
Figura 4.4 Operación personas atendidas antes que él.
Posteriormente se sugirió a los estudiantes que no perdieran de vista las preguntas en la hoja de
trabajo y que fueran cuidadosos al realizar el análisis del problema, debido a que los registros de
la tabla (Figura 4.5) parecían no tener sentido. Consideramos que la tabla se completó mediante
un razonamiento intuitivo, el cual los estudiantes no pudieron justificar. Con base en lo
expresado, se les pidió abordar un caso más sencillo y entonces surgió una segunda versión de la
tabla (Figura 4.6), a partir de la cual identificaron una regularidad, que describieron como “cada
tres hay uno más” y entonces se les preguntó a ¿Cuántos se atendían antes si había 50 en la fila?
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Figura 4.5 Tercer tabulación realizada tarea 1 (E1)
Figura 4.6 Cuarta tabulación realizada tarea 1 (E1)
Para este caso los estudiantes daban una explicación verbal difícil de interpretar. Su argumento se
sustentó en que al ver la tabulación de la figura 4.6 en bloques de 3, por cada bloque se atendía a
un mismo número de estudiantes. No obstante, sin proporcionar más argumentos aseveraban que
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el número de estudiantes atendidos eran 16 y pedían que el docente les dijera si su resultado era
correcto, pero se les indicó que ellos debían comprobar o justificar el resultado (Figura 4.7).
Profesor: ¿Y si sabe eso entonces cuantos serían atendidos si son 50 entonces?
Estudiante 5: 16
Profesor: ¿Por qué?
Estudiante: Por lo que les estoy diciendo, si a la fila le sumas 3 atienden a uno más. Los saltos
de Juan, o no sé cómo se llame, no los conté porque no los pedía.
Figura 4.7 Segundo fragmento de trascripción tarea 1 (E1)
En este caso, la evidencia de sentido numérico es apenas “suficiente” ya que a pesar de encontrar
una regularidad numérica los estudiantes no utilizaron argumentos para justificar el
procedimiento de solución, Además, las operaciones aritméticas están desconectadas del
problema pese a que pueden operar numéricamente. En general este equipo tuvo dificultades para
elaborar argumentos y en ocasiones se interpretó de manera incorrecta la información. La
evidencia de pensamiento algebraico puede calificarse como “deficiente” ya que únicamente
pueden argumentar en base a los casos particulares y no logran sustentar una explicación basada
en la evidencia numérica.
Figura 4.8 Primera fórmula tarea 1 (E1)
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Cuando se les pidió a los participantes que, si podían predecir el número de estudiantes que eran
atendidos antes que Alan para cualquier cantidad de personas en la fila, comenzaron a explorar su
argumento anterior, logrando deducir que debían dividir entre 3 para encontrar el número de
estudiantes atendidos antes que Alan. No obstante, notaron que para algunos casos la división no
era exacta y argumentaban que no se debía tomar en cuenta los decimales a lo que se les preguntó
¿Por qué razón? Y no fueron capaces de argumentar. La sugerencia fue que redondearan y
probaran para casos particulares con el fin de comprobar si lo obtenido era correcto. El principal
obstáculo, observado es que dudaron como redondear correctamente los números, utilizaban la
palabra infinito para referirse a una cifra periódica, aunque tenían la concepción correcta. Dichos
errores llevaron a obtener un primer acercamiento a la fórmula (Figura 4.8) la cuál descartaron
después de probarla. Se observó poca habilidad para relacionar números con literales ya que
dicha expresión es igualada a 1 y los estudiantes no son capaces de explicarla.
Para encontrar la fórmula una discusión llevada a cabo entre los estudiantes hacía referencia a
restar o sumar uno argumentando que quitaban o agregaban a Alan, eso los llevó a obtener la
fórmula de la figura 4.9. No obstante, pese a funcionar para algunos casos fue descartada por
ellos mismos luego de comprobar con algunos casos particulares. Algunas ocasiones sustituían
N= 51 0 N=49 con un argumento poco claro, tampoco pudieron justificar porque sumaban 1 o lo
restaban. Después de discutir lograron concretar las ideas hasta generalizar en la fórmula que se
observa en la figura 4.10. Es importante señalar que la discusión generada en el equipo fue
determinante para concretar la solución al problema ya que cada uno de ellos tenía aportes que
iban siendo aceptados a descartados por los demás integrantes del equipo. La evidencia de
sentido numérico puede clasificarse como “suficiente” ya que el argumento está basado en
evidencia numérica y logran explicar correctamente los hechos que llevan a concluir en la
fórmula presentada, no obstante, no exploraron de manera profunda el significado del dividir
entre 3 o sumar 1 y su explicación está basada en los casos particulares representados en la tabla.
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Figura 4.9 Segunda fórmula obtenida tarea 1
(E1)
Figura 4.10 Tercer fórmula obtenida tarea 1 (E1)
En cuanto al pensamiento algebraico puede categorizarse como “suficiente” ya que los
estudiantes logran establecer la relación entre variables y son capaces de utilizar dicha expresión,
además explican que dividen entre 3 porque observan que así cambia en la tabla construida y
suman 1 porque consideran a Alan que también está formado en la fila. Lo cual da evidencia que
pueden justificar de manera verbal el funcionamiento de su fórmula y utilizando algunos
argumentos matemáticos. Cabe mencionar que los estudiantes no lograron terminar la actividad
en el tiempo establecido y lograron encontrar una sola fórmula y tampoco lograron generalizar
para una cantidad k de brincos y n de alumnos formados.
4.2.2. Equipo 2
Cuando se les pidió a los estudiantes que dieran una respuesta
intuitiva a la pregunta ¿Cuántos estudiantes fueron atendidos
antes que él? Los estudiantes luego de pensar un momento
argumentaron que podían ser 24 o 25. Después de resolver
casos particulares los estudiantes obtuvieron la tabla que se
muestra en la figura 4.11. Cuando se preguntó a los
participantes si podían decir ¿Cuántos estudiantes estaban
formados? refirieron que estaban calculándolo, no obstante,
revisando las videograbaciones los estudiantes ya había
descubierto que en la tabla se observa que cada múltiplo de 3 Figura 4.11 Primera tabulación
realizada tarea 1 (E2)
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se atendía una persona más y en ese momento los estudiantes comienzan en buscar una fórmula
para contestar el cuestionamiento antes incluso de darles la instrucción de generalizar. Sin
embargo, cuando se les preguntó si podría decir ¿Cuantos eran atendidos si eran 50? ellos
utilizaron un argumento similar al Equipo 1 ya que al observar su tabla y ver que cuando eran 10
se atendían 4 personas ellos refirieron que era posible multiplicar 4 * 5 y su respuesta fue 20.
Profesor: ¿Ya podrían saber? ¿Cuántas personas fueron atendidas si son 50?
Estudiante 6: Ya sacamos patrones nada más nos falta poner la fórmula.
Profesor; ah ya se adelantaron a sacar una fórmula. Y ¿Cuántos serían entonces si son 50?
Estudiante 7: No falta la fórmula.
Profesor: Aunque no tengan la fórmula.
Estudiantes: Ah ok.
Estudiante 6: Si de 10 son 4 personas atendidas.
Estudiante 7: Multiplicamos eso por 5.
Estudiante 8: Ajá, son 20. Cuatro 4 * 5 = 20.
Profesor: Y ¿Cómo asegura que es eso?
Estudiante 6: ¿Contamos? Es que va a ser mucho.
Estudiante 9: Si.
Estudiante 7: sí es mucho. Y es que podemos hacerlo, sacar de 25 y multiplicarlo por dos y llegar a la
misma conclusión. Pero yo siento que necesariamente tendríamos que sacar una fórmula.
Profesor: Sí ya tienen una tabla y ya tienen casos prueben con esos, prueben con esa hipótesis. Y vean si
para estos que ya tienen se cumple. Si se cumple para esos entonces, puede ser.
Figura 4.12 Primer fragmento de trascripción tarea 1 (E2)
Como se puede leer en la Figura 4.12 los estudiantes basándose en parte de lo que han observado
en la tabla contestaban la pregunta, no obstante, pese a que habían hecho un registro eficiente, y
referían que habían encontrado patrones debido a que habían observado un comportamiento en la
tabla, aunque no utilizan ese supuesto para explicar su respuesta, por lo que esta carece de un
argumento que establezca relación entre la regularidad observada y su respuesta. Por lo tanto, la
evidencia de sentido numérico en este caso puede categorizarse como “deficiente”, así mismo el
pensamiento algebraico es categorizado como “deficiente” debido a que argumenta bajo casos
particulares y la explicación verbal carente de sustento basado en evidencia numérica.
Después de sugerir a los estudiantes que revisaran lo observado en su tabla lograron contestar de
manera correcta que eran 17 personas las que se atendían, bajo el argumento que cada 3 personas
se atendía una persona más, por lo que los estudiantes dedujeron que para poder encontrar el
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número de personas que eran atendidas había que dividir el número de personas formadas en la
fila entre 3. Con la finalidad de ver si habían comprendido el problema se les preguntó lo
siguiente: ¿Cuántas personas estaban formadas en la fila si habían sido atendidos 21 estudiantes
antes que Alan? La Figura 4.13 muestra el fragmento de la trascripción.
Profesor: ¿Cuántos fueron atendidos antes si estaban 50?
Estudiante 6: 17
Profesor: Ok muy bien. Y entonces ¿Cuántas personas estaban formadas si los que se atendie-
ron fueron 21?
Estudiante 6: Ok.
Estudiante 9: Mmm
Estudiante 7: 21 entre 3 = 7.
Estudiante 9: ¡No! 21 por 3
Estudiante 7: ¡No! 21 entre 3
Profesor: No pasaron 21.
Estudiante 9: Ah había 21 personas o fueron atendidas.
Profesor: Fueron atendidas 21 personas.
Estudiante 6: Tenemos que sacar cuantas estaban formadas.
Estudiante 9: 63.
Profesor: ¿63?
Estudiante 9: Ajá.
Profesor: ¿Cómo le hizo para eso?
Estudiante 9: Porque multiplico esto por 3.
Estudiante 7: Ósea haciendo la operación inversa para sacar el número de personas.
Figura 4.13 Segundo fragmento de trascripción tarea 1 (E2)
El argumento presentado por los estudiantes en este caso está sustentado en lo observado y utiliza
esa información para contestar, además parece entender la relación entre cantidades, ya que
cuando se les pregunta por el número de personas formadas, saben que pueden hacer la operación
contraria. Pero su respuesta no contempla todos los casos posibles ya que, de acuerdo con lo que
observaron, podrían estar formadas 61, 62 o 63 estudiantes. Con base en los indicadores
establecidos, el sentido numérico puede categorizarse como “Bueno” ya que pese a que no
explorar todas las opciones posibles tiene claro parte del comportamiento del problema. A su vez
el pensamiento algebraico puede categorizarse como “Suficiente” ya que tiene un entendimiento
del problema y de la relación entre cantidades a pesar de que no logran modelar una función.
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Figura 4.15 Primeras fórmulas propuestas tarea 1 (E2)
Cuando a los estudiantes se les pidió que encontraran
alguna fórmula o regla para cualquier número de
estudiantes que estuvieran formados los estudiantes
tenían claro el concepto de redondear, pero no sabían
cómo incluirlo en su fórmula ya que para los registros
de la tabla que se observa en la figura 4.11 ellos
dividían entre 3 y al tratar de redondear no arrojaba los
resultados para todos sus casos. Al sugerirles que
incluyeran a Alan dentro de su análisis, ellos generaron
la tabla que se observa en la Figura 4.14 no obstante,
ellos argumentaban que necesitaban obtener números
exactos lo que los hizo desistir de su idea.
Después, los estudiantes propusieron expresiones
algebraicas para evitar que la fórmula arrojara números decimales (Figura 4.15); no obstante, se
percataron que no funcionaban al probar con casos particulares, también es de hacer notar que los
integrantes del equipo habían encontrado la expresión que se puede observar en la figura 4.16 la
cuál solucionaba el problema acorde a la tabla de la figura 4.14, no obstante, no la argumentan ya
que sostenían que la expresión no podía arrojar números decimales.
Figura 4.16 Segunda fórmula
propuesta tarea 1 (E2)
En esta última etapa de la actividad el sentido numérico puede categorizarse como “bueno” ya
que sin problema logran establecer la relación numérica entre el problema y el resultado de hecho
son capaces de predecir resultados para casos particulares. No obstante, no logran generalizar
Figura 4.14 Segunda tabulación
realizada tarea 1 (E2)
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debido a que piensan que una fórmula debe arrojar, necesariamente, resultados enteros. Los
estudiantes consideran que, dado que el problema trata de personas, entonces la fórmula debe
arrojar solo resultados enteros, lo cual es parcialmente correcto, ya que están considerando que es
una variable discreta, con esto podemos categorizar el pensamiento algebraico como “Suficiente”
ya que, aunque lograron encontrar la expresión algebraica que representa el patrón, no fueron
capaces de argumentar y describir su funcionamiento de manera verbal.
4.3. Resultados de la tarea “El depósito de agua”
Para la segunda actividad se les entregó una hoja de trabajo a los estudiantes, de acuerdo con lo
establecido en la metodología. También, previo a la implementación de la actividad, se pidió a los
estudiantes instalar el programa GeoGebra ya que ahí sería donde podrían manipular la
animación. Para una mejor interacción de los estudiantes se colocaron en círculos. Se les
proporcionaron hojas blancas para realizar anotaciones de sus procedimientos, si así lo requerían,
y se les indico que no borraran sus anotaciones. Durante la actividad hubo además una persona
que grabó en video el desarrollo de la actividad.
4.3.1. Equipo 1
Para esta tarea los estudiantes al leer el problema y analizarlo no pudieron llegar a un acuerdo
para poder decir el tiempo de llenado del recipiente. Algunos, aseguraban que había que dividir el
tiempo a la mitad de cada llave y luego sumarlo, por ejemplo:
15
2+
30
2= 7.5 + 15 = 22.5
Por otra parte, otros más sugerían sumar el tiempo de cada llave y dividirlo entre 3, por ejemplo:
15 + 30 = 45 Y luego 45
3=15
En ninguno de los casos anteriores lo estudiantes pudieron argumentar su respuesta por lo que
hacen una mala interpretación del problema y no dan lo significados a los tiempos presentados
por lo que ninguno de los dos razonamientos es un argumento coherente con esto la evidencia de
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sentido numérico pude categorizarse como “deficiente”. El pensamiento algebraico también
puede categorizarse como “deficiente” ya que se enfocan en la solución de casos particulares
además que el entendimiento del problema no es correcto.
Después a los estudiantes se les pidió que abrieran la aplicación para correr la animación, lo que
les permitiría comprobar si su resultado era correcto. Se les preguntó de nuevo en cuanto tiempo
se llenaba el tanque. Al ver la animación observaron que eran 10 minutos, entonces se les pidió
que explicaran porque eran 10 minutos. No obstante, en esta fase se notó que los estudiantes
tenían problemas para poder justificar dicho resultado; por ello, se les sugirió que pensaran que
parte del tanque llenaban por separado cada una de las llaves y lo registraran. Con lo anterior
propusieron una tabla como la que se muestra en la figura 4.17.
Figura 4.17 Primer tabulación realizada tarea 2 (E1)
Pero, pese a tener los registros de la tabla los estudiantes tuvieron problemas para argumentar la
respuesta, en gran medida se observa que los estudiantes tenían dificultades para hacer
operaciones con números racionales en la figura 4.18 se pueden observan algunas de las
operaciones que los estudiantes realizaron y como se puede observar en la operación 1
15+
1
30=
2+1
30=
3
30= 7.5 pese a tener el resultado correcto en forma racional, los estudiantes buscan
obtener una expresión decimal y es donde comenten errores. Es decir, los estudiantes no perciben
la fracción como un número sino como una operación que deben realizar.
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Figura 4.18 Operaciones con fracciones tarea 2 (E1)
Es importante mencionar que debido a que se observó que tenían dificultades para hacer las
sumas se les propuso que lo representaran de manera pictórica, lo cual en parte ayudó a que
avanzaran para argumentar de manera verbal que eran 10 minutos. Con lo anterior se evidencia
que el no saber operar números racionales representó un obstáculo para poder justificar
matemáticamente el resultado. Por lo tanto, la evidencia que el sentido numérico es “deficiente”
para este argumento ya que los estudiantes tuvieron dificultades para explicar la solución del
problema. Por lo tanto, el pensamiento algebraico también es “deficiente” y lo anterior influyó en
que los estudiantes no pudieran concluir con la tarea.
4.3.2. Equipo 2
Los estudiantes al leer el problema tuvieron dos ideas para decidir el tiempo de llenado del
recipiente, primero consideraban que había que dividir el tiempo a la mitad de cada llave y luego
sumarlo, no obstante, se percataron que el resultado obtenido no era coherente con lo que el
problema indicaba, lo cual no sucedió en primera instancia con el primer equipo. Segundo, los
estudiantes argumentaban que el tiempo de llenado tenía que ser menor que 15 minutos puesto
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que la llave que llenaba más rápido lo hacía en ese tiempo y la otra llave contribuía también al
llenado, lo que los llevó a concluir que el tiempo tenía que estar entre 7.5 minutos (por ser la
mitad del tiempo que la llave más rápida) y a su vez el tiempo tenía que ser menor que 15
minutos.
La evidencia de sentido numérico puede categorizarse como “suficiente” ya que el argumento
está basado en la naturaleza del problema y se pude notar que los estudiantes logran comprender
de primera instancia el comportamiento del fenómeno. Además, dan una explicación verbal
coherente que los lleva a concluir entre que intervalos de tiempo estará el resultado para el
cuestionamiento. No obstante, no exploran todas las posibilidades y su argumentación llega a ser
solamente verbal, no logran construir un modelo que represente al problema por lo que la
evidencia de pensamiento algebraico es “deficiente”.
Posteriormente, a los estudiantes se les pidió que abrieran la aplicación para que comprobaran si
su suposición era correcta, al verificar se dieron cuenta que estaban cerca de la solución. Se les
solicitó que justificaran el porqué, para esto se les sugirió que analizaran que parte llenaba de
manera independiente cada llave y luego las dos juntas. Los estudiantes realizaron una tabla
como la que se muestra en la figura 4.20, cabe destacarse que tuvieron en un inicio problemas
para poder hacer la suma de la fracción del tanque que se llenaba con cada llave, alguno de los
Figura 4.20 Operaciones con
fracciones tarea 2 (E2)
Figura 4.19 Primer tabulación tarea 2 (E2)
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errores que cometían se observan en la figura 4.19, por lo anterior se les sugirió utilizar una
representación pictórica como hacer dicha operación lo que les permitió generar la tabla.
Como se observa los estudiantes no tenían problema en responder para casos particulares, sin
embargo, mostraron deficiencias para generalizar. Se observó que en medida dicha deficiencia
correspondía a problemas de tipo operacional y falta de conocimiento de hacer relaciones de
proporciones. Como se puede ver la figura 4.19 los estudiantes mostraban dificultades para
relacionar las variables cuando se les preguntaba ¿Por qué lo relacionaban así? tenían dificultades
para justificarlo. En este caso los estudiantes de nueva cuenta muestran que son capaces de
analizar los casos particulares, pero presentan problemas para generalizar. Por lo que de nueva
cuenta el pensamiento numérico puede categorizarse como “Bueno” y el pensamiento algebraico
como “Suficiente”.
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4.4. Resultados de la tarea “La tira de papel”
Para la tercera actividad se les entregó una hoja de trabajo a los estudiantes que contenía las
instrucciones, así como una serie de preguntas tal como se describe en la metodología, además se
les proporcionaron hojas de colores para poder representar el problema. Una vez que cada equipo
terminó la actividad se les proporcionaron las hojas de trabajo de la segunda parte de la tarea.
4.4.1. Equipo 1
Los estudiantes, al inicio de la actividad, no tuvieron problema para contestar las preguntas
iniciales ni para el llenado de la tabla (Figura 4.21). Según sus observaciones preliminares se
debían multiplicar la cantidad de partes dobladas anterior por 2 para obtener el número de partes
al desdoblar la tira y a esa cantidad restarle 1 para ver las líneas que se obtenían con los dobleces.
Figura 4.21 Primer tabulación realizada tarea 3 (E1)
Además, cuando llenan para el quinto doblez se dan cuenta que el hacerlo es complicado, no
obstante, con sus observaciones logran contestar la tabla, pero, para el 10° y 15° doblez los
estudiantes, pese a mencionar que es 25 , 210 y 215 , no lo escriben como respuesta, sino que
desarrollan las potencias para expresar su resultado. También a los estudiantes se les plantearon
dos preguntas ¿Cuántas veces se dobló una hoja que al desdoblarse se observan 128 partes? Ellos
responden que 7 veces y ¿Cuántas veces se dobló una tira que al desdoblarse se observan 255
líneas? Y ellos responden que 8. Lo cual respondieron sin problema ya que habían hecho las
multiplicaciones del 2 hasta 15 veces. Después, al pedirles que encontraran una fórmula para
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poder calcular el número de partes que se observan al desdoblar la tira y las líneas que se
observan ellos no tienen problemas para argumentar que la fórmula es 2𝑛 y que si se le restan 1
obtendrían el número de líneas. Además, son capaces de argumentar que es un dos porque es el
número de veces que se dobla al inicio y n representa el número de veces que se dobla la tira.
Con lo anterior se pude decir que el sentido numérico es “Bueno” ya que los estudiantes logran
utilizar la información obtenida producto de las observaciones, identifican patrones y
posteriormente argumentar sus respuestas en base a lo observado, sin embargo, no utilizan
diferentes representaciones de los números para dar sus respuestas, por ejemplo, cuando dice que
es 210 en lugar de contestar de esa forma multiplican la base 10 veces. Por otra parte, el
pensamiento algebraico también puede categorizarse como “Bueno” ya que los estudiantes logran
establecer un modelo matemático correcto, relacionando correctamente las variables e incluso
justifican verbalmente su resultado, sin embargo, su conjetura escrita no es clara pese a haberlo
explicado bien verbalmente al momento de escribir se torna confusa. Por ejemplo, ellos
mencionan: “El exponente se multiplica con el número dos” en lugar de decir que el dos se
multiplica tantas veces como dice el exponente. La conjetura puede leerse en la figura 4.22
Figura 4.22 Conjetura obtenida tarea 3 (E1)
Cuando a los estudiantes se les pide que lean la segunda parte del problema en donde tienen que
comenzar por doblar en tres partes la hoja, no tienen problemas para contestar los casos
particulares, identifican como operar para poder llenar la tabla que se les pide. Sin embargo, los
estudiantes tienen problemas para generalizar pese a que parte del problema es similar al anterior
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de hecho basta con modificar la fórmula que ellos habían obtenido. Pero, presentan problemas
debido a que no tienen conocimiento de que cualquier número elevado a la potencia cero da uno
como resultado, no asocian lo que han hecho antes con la información nueva además para los
casos de los dobleces 10 y 15 hacen las operaciones como ellos han intuido, pero comenten
errores, de nuevo no utilizan la notación exponencial como se puede apreciar en la figura 4.23.
Figura 4.23 Segunda tabulación obtenida “modificación” tarea 3 (E1)
Cabe mencionar que la intervención del docente para terminar esta parte de la actividad fue
esencial ya que no lograban asociar la información nueva con la anterior y además se les sugirió
que descompusieran en factores multiplicativos con la finalidad que identificaran como se
comportaban los números. Los estudiantes logran encontrar la fórmula y la enuncian como
2𝑛−1(3) sin embargo no terminan de conjeturar al respecto.
La evidencia de sentido numérico puede categorizarse como “bueno” resuelven los casos
particulares, pero optan por desarrollar las multiplicaciones en lugar de utilizar otra
representación numérica que les permita ahorrar tiempo. El pensamiento algebraico puede
categorizarse como “bueno” ya que pese a haber encontrado la regularidad en el problema
presentaron problemas para generalizar y hace modificaciones a la fórmula que anteriormente
habían ya encontrado.
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4.4.2. Equipo 2
Al igual que el primer equipo los estudiantes no presentaron problemas con el entendimiento de
la actividad y logran contestar sin problemas las preguntas que se les pide el problema y logran
identificar un patrón de comportamiento numérico que les permite llenar la tabla que se les pide
sin necesidad de hacer todos los casos particulares, ellos utilizan dos formas para representar los
números de manera tal que expresan el resultado haciendo todas las multiplicaciones y en
términos del resultado anterior esto puede observarse en la Figura 4.24. Cuando ellos observan
que hay que multiplicar el resultado anterior por 2 hacen referencia a este comportamiento como
“Lineal” lo que, de acuerdo con la evidencia presentada en video se refiere a que siempre
multiplican por la misma cantidad no obstante el comportamiento en realidad es exponencial.
Figura 4.24 Primera tabulación obtenida tarea 3 (E2)
Cuando a los estudiantes se les pregunta ¿Cuántas veces se dobló una hoja que al desdoblarse se
observan 128 partes? Ellos responden que 7 veces y ¿Cuántas veces se dobló una tira que al
desdoblarse se observan 255 líneas? Y ellos responden que 8. Se observa que los estudiantes
habían hecho estos casos particulares para poder llenar la tabla y recurren a ellos para dar su
respuesta.
A diferencia del equipo anterior este equipo no había identificado de primera instancia que existía
un comportamiento exponencial, a los estudiantes se les sugiere que expresen de otra forma los
números y lo hacen en término de sus factores primos como se observa en la figura 4.25 y esto
les permitió encontrar la fórmula, y, logran conjeturar verbalmente y en términos del significado
de los elementos de la fórmula como se observa en la figura 4.26.
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Figura 4.25 Descomposición de números en primos tarea 3 (E2)
Figura 4.26 Primera fórmula tarea 3 (E2)
El sentido numérico puede categorizarse como “Bueno” ya que los estudiantes logran utilizar la
información obtenida producto de las observaciones, identifican patrones pese a las dificultades
iniciales, sin embargo, recurren a hacer todas las multiplicaciones para presentar su resultado en
lugar de usar otra notación que les demande menos tiempo. Por otra parte, el pensamiento
algebraico también puede categorizarse como “Bueno” ya que los estudiantes logran establecer
un modelo matemático correcto, en el cuál explican correctamente el funcionamiento de la
fórmula y establecen una relación clara entre variables, además describen esa relación en
términos de la fórmula que encuentran, sin embargo, al momento de sustituir en ella recurren a
realizar todas las multiplicaciones en lugar de dejar indicado su resultado.
Para la segunda parte de la tarea en donde tenían que comenzar por doblar en tres partes iguales
los estudiantes no tienen problema por contestar la tabla que se les pide. Cuando a los estudiantes
se les pide que busquen una fórmula para encontrar el número de partes y las líneas los
estudiantes comienzan sacando las diferencias, pero se dan cuenta que esa estrategia no los
funciona. Por lo que recurren a descomponer en factores primos los números y con esto se dan
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cuenta que solo necesitan modificar la fórmula. Por lo que no tardan en darse cuenta de que la
fórmula es (3)2𝑛−1 y para encontrar el número de líneas solo deben restar uno.
Con lo anterior se puede clasificar la evidencia de sentido numérico como “excelente” ya que los
estudiantes identifican el comportamiento numérico del problema, son capaces de estimar los
resultados para los casos particulares que se les presentan, además utilizan estrategias como la
descomposición en primos para encontrar la particularidad del problema, pese a realizar todas las
multiplicaciones para presentar sus resultados muestran un buen manejo de los números y
demuestran un buen entendimiento del problema. El pensamiento algebraico por su parte puede
categorizarse como “excelente” ya que los estudiantes pueden modificar la fórmula que
previamente habían encontrado, con la información nueva, además son capaces de describir cada
una de las partes que la componen y operar con ella como se observa en la figura 4.27.
Figura 4.27 Segunda fórmula obtenida “modificación” tarea 3 (E2)
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5. DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES
5.1. Introducción
En este capítulo se presentan una discusión de los resultados detallados en el capítulo anterior,
también se presentan las concusiones de la investigación en función de los objetivos de este
proyecto para dar respuesta a las preguntas de investigación. Además, se contrastan los resultados
obtenidos en este trabajo con los aquellos trabajos revisados además de hacer una reflexión de los
alcances de este trabajo. El análisis se centró en determinar la influencia del sentido numérico en
el aprendizaje del algebra donde se resumieron algunos aspectos revisados en marco conceptual
de manera tal que se pueda establecer una relación entre el sentido numérico y el pensamiento
algebraico.
5.2. Respuesta a las preguntas de investigación
1) ¿De qué manera influye el sentido numérico en el desarrollo del pensamiento algebraico?
Para responder a esta pregunta y para apoyar a la discusión se han resumido en tablas los
principales hallazgos encontrados, esta información se presentan por tarea, se muestran las
principales fortalezas y, áreas de oportunidad mostradas en las estudiantes basadas en la
evidencia de sentido numérico y pensamiento algebraico.
En la realización de la tarea uno “Alan el impaciente” (sección 4.2) se pudo observar que los
estudiantes tuvieron problemas para comunicar algunas ideas matemáticas, tales como llamar
número infinito a un número decimal con cifras periódicas. También, mostraban dificultades para
redondear números, esto representó los principales obstáculos para poder terminar la tarea. Sin
embargo, se observó que a medida que los estudiantes resolvían casos particulares comprendían
la forma correcta en cómo debía realizar esos procedimientos e incluso lograron encontrar una
expresión algebraica que les permitía calcular lo que se les indicaba en la tarea, además a medida
que resolvían la actividad eran capaces de dar argumentos acerca de la solución de la tarea. En la
tabla 5.1 se resumen los hallazgos encontrados al resolver la tarea uno.
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Principales Hallazgos: Tarea uno “Sentido numérico” “Pensamiento algebraico”
FO
RT
AL
EZ
AS
• Los estudiantes no muestran dificultades
para contar o construir casos particulares.
• Mostraron tener cierta habilidad para reali-
zar operaciones con números.
• Logran generalizar pese a tener algunos
problemas al inicio para operar con las can-
tidades.
• Muestran cierta habilidad para usar varia-
bles.
• Son capaces de explicar verbalmente el
funcionamiento de su fórmula.
• Pueden hacer algunas operaciones con la
expresión encontrada.
DE
FIC
IEN
CIA
S
• Mostraron problemas para estimar resulta-
dos y recurrían a menudo a resolver casos
particulares.
• Mostraban dificultades para redondear.
• Uso incorrecto del signo igual, en ocasiones
lo utilizaban como continuación de un paso
a otro.
• Uso incorrecto del lenguaje para referirse a
una cifra periódica como infinita.
• A menudo buscan generalizar sin tomar en
cuenta toda la evidencia numérica.
• Muestran poca habilidad para dar sentido
de interminación a sus operaciones.
• Tienen problemas para modificar su fórmu-
la cuando se presentan modificaciones al
problema.
Tabla 5.1 Resumen de hallazgos encontrados en la solución de la tarea 1 de ambos equipos.
En la realización de la tarea dos “El depósito de agua” (sección 4.3) los estudiantes mostraron
dificultades en general para comprender el problema y solucionar el mismo. Después de
experimentar con la aplicación diseñada en GeoGebra los estudiantes comprendía que tenían que
hacer algunas operaciones con números racionales, no obstante, manifestaban que no podían
resolver el problema ya que desconocían como hacer la suma de fracciones. Aunado a esto,
tuvieron dificultades para hacer la relación de proporciones siendo estas las principales
dificultades para solucionar la tarea.
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Cabe destacar que, pese a desconocer algunos tópicos necesarios para dar solución a la tarea,
gracias al intercambio de ideas que tuvieron con sus compañeros de equipo, les permitió
desarrollar una estrategia para sumar las fracciones que consistía en convertir las fracciones a un
equivalente de manera tal que todas tuvieran el mismo denominador, lo cual fue posible gracias a
la resolución de casos particulares. Siendo esta la tarea que tenía un grado de dificultad mayor,
las contribuciones realizadas por los estudiantes fueron importantes. Ya que, pese a manifestar
desconocer cómo efectuar suma de fracciones, lograron desarrollar una estrategia que les
permitió superar esta dificultad. En la tabla 5.2 se presenta un resumen de los hallazgos
encontrados en la solución de esta tarea.
Principales Hallazgos: Tarea dos
“Sentido numérico” “Pensamiento algebraico”
FO
RT
AL
EZ
AS
• Los estudiantes no muestran dificultades
para contar o construir casos particulares.
• Mediante la experimentación los estudian-
tes desarrollan una estrategia para poder
hacer suma de fracciones.
• Pese a presentar problemas para hacer su-
mas con fracciones logran entender parte
del problema.
DE
FIC
IEN
CIA
S
• Los estudiantes inicialmente dicen no saber
hacer sumas con fracciones.
• Desconocen cómo utilizar proporciones.
• Muestran poca habilidad para operar y re-
presentar números racionales.
• Presentan dificultades para entender el pro-
blema lo cual les impide generalizar.
Tabla 5.2 Resumen de hallazgos encontrados en la solución de la tarea 2 de ambos equipos.
Respecto a la tarea tres “La tira de papel” (sección 4.4) los estudiantes mostraron desarrollo de
habilidades numéricas importantes como la descomposición en primos de los números, lo que
contribuyó a que pudieran hacer la representación exponencial de los números, pese a no utilizar
esta representación para contestar las preguntas y optar por hacer todas las multiplicaciones. No
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obstante, esto les permitió la comprensión del concepto de exponente y ayudó a encontrar una
forma generalizada de sus ideas matemáticas, además mostraron habilidad para modificar su
expresión algebraica cuando se cambiaban datos del problema además que lograban comunicar
de manera correcta la relación entre las variables.
Principales Hallazgos: Tarea tres
“Sentido numérico” “Pensamiento algebraico”
FO
RT
AL
EZ
AS
• Los estudiantes no tienen problemas
para contar o resolver casos particu-
lares.
• Comprenden el comportamiento
numérico y son capaces de predecir
resultados.
• Descomponen en factores primos
los números.
• Demuestran que son capaces de re-
presentar números como potencias.
• Al descomponer en primos los nú-
meros les permite darse cuenta de
que pueden representar esas opera-
ciones como potencias y logran ge-
neralizar.
• En general muestran cierta habilidad
para operar con la forma generaliza-
da.
• Logran modificar su expresión alge-
braica cuando se les proponen en
cambios al problema.
• Son capaces de explicar el funcio-
namiento de sus expresiones.
DE
FIC
IEN
CIA
S
• En algunas ocasiones pese a saber
cuál es la representación del número
en forma de potencia no lo presen-
tan como resultado y optan por
desarrollar la potencia.
• En algunas ocasiones mostraban al-
gunos errores al realizar las opera-
ciones con su expresión.
Tabla 5.3 Resumen de hallazgos encontrados en la solución de la tarea 3 de ambos equipos.
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Tras la investigación realizada y de acuerdo con las categorías establecidas en las rúbricas (Tabla
3.1 y 3.2) para el análisis se encontró una relación estrecha entre los diferentes niveles de
dominio del sentido numérico y el pensamiento algebraico. En donde se observó que cuando se
califica el sentido numérico como deficiente o suficiente, el pensamiento algebraico se encuentra
en las mismas categorías. Por ejemplo, en la solución de la tarea dos los estudiantes al recurrir a
expresar los números en su representación decimal figura 5.1, esto les llevaba mucho tiempo y no
lograban encontrar el patrón de comportamiento, lo anterior representó una dificultad para
generalizar sus ideas matemáticas.
Figura 5.1 Divisiones realizadas para representar los números en forma decimal.
Sin embargo, en la realización de la tarea tres donde los estudiantes mostraron mayor dominio de
los números, relaciones, operaciones y representaciones los estudiantes, el sentido numérico se
calificó como bueno o excelente y el pensamiento algebraico se calificó en las mismas categorías.
Como la descomposición en primos de la figura 5.2 realizando esto la generalización de sus ideas
matemáticas fue relativamente sencilla, incluso lograron explicar la contribución de cado uno de
los elementos del problema en la expresión algebraica que presentaba figura 5.3.
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Figura 5.2 Descomposición en primos
Figura 5.3 Explicación de los elementos de la expresión algebraica
En consecuencia, el sentido numérico y el pensamiento algebraico tienen una relación estrecha ya
que como se ha discutido, las deficiencias como desconocimiento de redondeo, suma de
fracciones o establecer proporciones, fueron algunas de las principales razones los estudiantes no
lograron generalizar. Sin embargo, se observó que en una misma tarea los estudiantes
modificaban su pensamiento producto de la interacción con sus compañeros y de las preguntas
que se les realizaban, es decir que, pese a presentar deficiencias lograron resolver parte del
problema que se les presentaban, incluso desarrollar estrategias para redondear, sumar fracciones
o relacionar cantidades.
Por lo anterior, un estudiante que no conoce un algoritmo, procedimiento o tiene problemas para
operar con números no está imposibilitado para desarrollar su pensamiento algebraico, ya que a
partir de su experimentación e interacción en el ámbito concreto puede ir desarrollando su
razonamiento matemático y en consecuencia el sentido numérico se mejore, esto coincide con las
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ideas de Ernest (2010) donde manifiesta que el conocimiento no se recibe de manera pasiva sino
que se construye activamente. Entonces, el pensamiento algebraico es desarrollado a partir de las
experiencias producto de las tareas y de la interacción con otros estudiantes, estos pueden ir
asociando los cálculos a significados explícitos y no como tradicionalmente se pide que los
estudiantes operen con reglas carentes de sentido para ellos.
2) ¿Qué elementos aportan las tareas que involucran identificar y generalizar patrones en
secuencias figúrales, para apoyar el desarrollo del pensamiento algebraico en estudiantes
de primer semestre de un bachillerato público en el estado de Hidalgo?
Las tareas aplicadas en el presente trabajo de investigación fueron diseñadas de forma tal que los
estudiantes transitaran por cada una de las fases del Ciclo para observar el desarrollo del
entendimiento matemático adaptado de Barrera y Reyes (2016). Se observó que en el desarrollo
de las tareas surgieron de manera intuitiva el conteo, las comparaciones, estimaciones numéricas,
incluso cuando los estudiantes manifestaban no conocer cómo hacer una suma de fracciones o un
redondeo estos lograban deducirlo, producto de la observación de los casos particulares y la
manipulación de los materiales proporcionados.
Al comenzar a trabajar con las actividades, los estudiantes mostraban poca habilidad para
generalizar sus ideas matemáticas, operar con objetos indeterminados, hacer comparaciones y
relacionar variables. No obstante, a medida que discutían las regularidades observadas y
manipulaban los materiales proporcionados, la comprensión del problema era más clara y de
manera intuitiva surgieron estrategias como la descomposición de un número entero como
producto de números primos, que a su vez les permitió comprender el significado de exponente y
esto ayudó a encontrar una expresión para generalizar el comportamiento del problema que
resolvían.
Justamente por lo anterior, las actividades de reconocimiento de patrones al permitir el tránsito
por cada una de las fases del ciclo de aprendizaje con entendimiento y trabajar con elementos
concretos ayudan a dotar al estudiante de significados y derivado de su experiencia con los
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números se mejora el sentido numérico, así como también de manera paulatina el pensamiento
algebraico.
De lo anterior, podemos decir que el sentido numérico no debiera abordarse como un tópico o de
manera algorítmica, sino que su estudio debe estar implícito en las tareas, discusiones generadas
en el aula y emerger como producto de la asociación de significados, lo que permitirá a los
estudiantes ir construyendo un sentido de internalización de los números, variables y operaciones.
Las tareas que involucran patrones tienen en común que no son algorítmicas, por lo que no
existen pasos a seguir o reglas específicas para su solución, sino que requieren desarrollar
procesos que involucran los diversos elementos del pensamiento matemático, de forma tal que
permita identificar regularidades y comportamientos de un fenómeno o secuencia numérica. Por
esto, el esfuerzo mental requerido es considerable, no obstante, son flexibles a las respuestas que
los estudiantes puedan brindar e invitan a explorar, cuestionar, verificar resultados lo cual
coincide con algunos trabajos revisados (Arce, 2019; Booker y Windsor, 2010; Guzmán, 2013;).
En contraste, en los trabajos revisados de Molina, Ambrose, y Castro (2004); Herscovics y
Linchevski (1994); Filloy y Rojano, (1989) las tareas propuestas fueron de tipo algorítmicas y los
trabajos coinciden en que se identifica una ruptura entre la aritmética y el álgebra que no puede
corregirse desde contextos abstractos y que debe ser corregida en contexto que sean significativos
para los estudiantes. En nuestro caso, el entender la aritmética y el álgebra como dos disciplinas
separadas resulta ser un error ya que, en ambas, las propiedades aritméticas son las mismas y, el
objeto de estudio son los números y sus operaciones. A diferencia de que, en el álgebra, a los
números se les representa con símbolos que permiten representar patrones y generalizar
resultados.
Esta separación artificial que a menudo se hace de estas disciplinas resulta en una confusión para
los estudiantes, Estas consideraciones se toman como punto de partida para sustentar la propuesta
de implementar tareas que permitan a los estudiantes poner en práctica el cálculo mental, realizar
estimaciones y dar significado a los números, es decir, que desarrollen su sentido numérico. Y
que producto de la comprensión del problema pueda generalizar los fenómenos, es decir que
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desarrolle el pensamiento algebraico de la comprensión del problema y de los significados que
atribuya a los números.
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5.3. Reflexiones finales
Una creencia que a menudo se tiene respecto del aprendizaje de las matemáticas es que se
requiere de algún talento específico para aprenderlas. Muchas veces esta idea lleva a los
estudiantes a considerar que su aprendizaje está reservado a unos cuantos. Como profesores, un
reto radica en diseñar tareas que brinden oportunidades a todos los estudiantes para desarrollar el
pensamiento algebraico de los estudiantes y no dar por hecho que es únicamente del dominio de
estudiantes “Talentosos” en matemáticas, sino más bien que es perfectible a medida que los
estudiantes den significados a los números y sus operaciones.
Con el desarrollo de este trabajo tuve la oportunidad de observar cómo al resolver tareas que
involucran patrones se pueden aplicar una gran cantidad de conocimientos, que a su vez permiten
desarrollar nuevos razonamientos a través de los retos que presentan las tareas; esto difícilmente
podría lograrse con el enfoque tradicional, en el que las tareas tienen directrices totalmente
algorítmicas.
Entonces el desarrollo del pensamiento algebraico debería desarrollarse como producto de la
experiencia con ambientes concretos y no por medio de planteamientos descontextualizados. Los
cuales muchas veces resultan ser escasamente motivadores y limitan la posibilidad de enfrentarse
con desafíos en los que se planten interrogantes.
Por lo anterior, los profesores de matemáticas debemos proponer actividades que permitan que
los estudiantes desarrollen un conocimiento integral de la asignatura que se estudia y a partir de
la solución de problemas de su mundo puedan plantear conjeturas que más tarde les permite el
tránsito hacia una representación simbólica y por lo tanto evitar problemas que solo involucren
algorítmicos, memorización de procedimientos rutinarios o reglas.
Por último, la información de esta investigación puede ser útil para el diseño de un proyecto de
innovación curricular. Ya que, aunque el plan curricular actual requiere en enseñen nociones
algebraicas pocas veces se menciona como hacerlo. En consecuencia, esta investigación podría
ser una base teórica y práctica interesante sobre la cual extraer tareas, materiales y actividades
para promover el desarrollo del sentido numérico y pensamiento algebraico en los estudiantes.
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5.4. Limitaciones y recomendaciones
El periodo de aplicación de las tareas es una limitante para obtener conclusiones más amplias
acerca de la influencia del sentido numérico en el desarrollo del pensamiento algebraico. Por otra
parte, las características de los estudiantes con los que se experimentó, son débiles debido a que
varios de ellos habían reprobado la asignatura. Una posible forma de robustecer las conclusiones
de este trabajo podría basarse en:
(a) Ampliar el tamaño del grupo de estudiantes, así como el periodo de aplicación de las
tareas para observar y analizar el desarrollo del sentido numérico y del pensamiento
algebraico.
(b) Analizar la influencia de la actividad del profesor durante el desarrollo de las tareas
concernientes al pensamiento algebraico y sentido numérico.
(c) Identificar los elementos que permitan diseñar tareas, utilizando tecnologías digitales,
para fomentar el desarrollo del pensamiento numérico y algebraico.
(d) Identificar características de tareas, con patrones, para propiciar el desarrollo del
pensamiento numérico y algebraico, en otros niveles educativos.
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Apéndice A: Oficio de autorización para que los estudiantes participaran
en el proyecto de investigación.
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Apéndice B: Hojas de trabajo tarea uno
Estudiante 1
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Estudiante 2
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Estudiante 3
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Estudiante 3
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Estudiante 4
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Estudiante 4
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Estudiante 5
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Estudiante 5
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Estudiante 6
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Estudiante 7
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Estudiante 8
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Estudiante 8
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Estudiante 9
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Estudiante 9
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Estudiante 10
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Apéndice C: Hojas de trabajo tarea dos
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Estudiante 1
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Estudiante 3
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Estudiante 3
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Estudiante 4
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Estudiante 5
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Estudiante 9
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Apéndice D: Hojas de trabajo tarea tres
Estudiante 1
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Estudiante 3
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