Fórmulas DEFórmulas DE DERIVACIÓNDERIVACIÓN

INTEGRACIÓNINTEGRACIÓN EE

IDENTIDADESIDENTIDADES TRIGONOMÉTRITRIGONOMÉTRI

CASCAS

REGLAS DE DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES ELEMENTALES

ddx

(c) ¿ 0 ddx

(x) ¿1

ddx

(u + v - w) ¿ddx

(u) + ddx

(v )− ddx

(w) ddx

(c v) ¿ cddx

(v )

ddx

(u . v )=¿ uddx

(v )+v ddx

(u ) ddx

(vc

) ¿ 1c

ddx

(v )

ddx

(uv

) ¿vddx

(u )−uddx

(v )

v2ddx

(cv¿ ¿ −¿

c

v2ddx

( v )

ddx

(vn¿ ₌ n vn−1 ddx

(v )

DERIVADAS DE FUNCIONES TRASCENDENTALES (EXPONENCIALES Y

LOGARÍTMICAS)

ddx

(uv) ¿ v uv−1 ddx

(u) + uv ln uddx

(v) ddx

(ev ¿=¿ ev ddx

(v)

ddx

(av) ¿ avlnaddx

(v ) ddx

(ln v) ¿ 1v

ddx

(v )

ddx

(log v )= log ev

ddx

(v ) ddx

(log a v) ¿ 1

vlnaddx

(v )

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

ddx

( senv )=cosv ddx

(v ) ddx

(cosv )=¿₋ senvddx

(v)

ddx

(tg v ) ¿ sec2 v ddx

(v ) ddx

(ctg v )=¿ ₋ csc2v ddx

(v )

ddx

( sec v )=secv tagvddx

(v ) ddx

(csc v )=¿₋ csc vctg vddx

(v )

DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

ddx

(arc senv )=¿ 1

√1−v2ddx

( v ) ddx (arc cos v) ¿−¿ 1

√1−v2ddx

(v )

ddx

(arc tg v)=¿ 1

1+v2ddx

( v ) ddx (arc ctg v) ¿ −¿ 1

1+v2ddx

(v )

ddx

(arc sec v)=¿ 1

v √v2−1ddx

( v ) ddx (arc csc v) ¿−¿ 1

v √v2−1ddx

(v )

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS

ddx

( senh−1 v )= 1

√v2+1ddx

(v ) ddx

(cosh−1 v )= 1

√v2−1ddx

(v )⇒u>1

ddx

(tgh−1 v )= 1

1−v2ddx

(v )⇒u2<1 ddx

(ctgh−1 v )= 1

1−v2ddx

( v )⇒u2>1

ddx

( sech−1 v )= −1v √1−v2

ddx

( v )⇒ 0<u≤1 ddx

(csch−1 v )= −1v √v2+1

ddx

(v )⇒u=0

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS

ddx

( senhv )=cosh v ddx

( v ) ddx

(cosh v )=senh vddx

(v )

ddx

(tgh v )=sech2 vddx

(v ) ddx

(ctgh v )=−csch2 vddx

(v )

ddx

( sechv )=−sech v .tgh vddx

(v ) ddx

(csch v )=−csch v .ctgh vddx

(v )

FUNCIONES HIPERBÓLICAS

senhu= eu−e−u

2cosh u= eu+e−u

2sech¿ 2

eu+e−u

tghu= eu−e−u

eu+e−u ctgh=eu+e−u

eu−e−u csch ¿ 2eu−e−u

FUNCIONESHIPERBÓLICAS INVERSAS

senh−1u=ln (u+√u2+1 )⇒Para todos los valores de u cosh−1u=ln (u+√u2−1 )⇒u≥1 tgh−1=1

2ln( 1+u1−u )⇒u2<1

c tgh−1=12ln( u+1u−1 )⇒ u2>1 sech−1u=ln 1+√1−u2

u⇒ 0<u≤1

csch−1u=ln( 1u + √1+u2u )⇒ u≠0

REGLAS DE INTEGRACIÓN DE FUNCIONES ELEMENTALES

∫ dv ¿ v + c ∫ adv ¿ a ∫ dv + c∫ (dv+dw−dz )=¿∫dv ¿ + ∫ dw - ∫ dz + c ∫ vndv ¿ vn+1

n+1 + c

∫ dvv

=ln v+c ∫ evdv=ev+c

∫ av dv ¿ av

ln a + c

INTEGRALES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

∫ senv dv ¿ −¿cos v + c ∫ cosv dv ¿ sen v + c∫ tg v dv=ln sec v+c=−¿ ln cos v + c ∫ ctgv dv=¿ ln sen v + c∫ sec v dv=ln (sec v+ctg v )+¿c¿ ∫ csc v dv=ln (csc v−ctg v )+c ∫ sec2 v dv=tg v+c∫ csc2 v dv ¿−¿ ctg v + c ∫ sec v tg v dv=sec v+c∫csc v ctg vdv ¿ −¿ csc v + c

∫ dvsenvcosv

lntgv=2∫csc 2vdv+c∫ dv

cosv2sen

v2

¿2∫ cscvdv+ c ∫ cscvdv=lntgv2+c

∫ secvdv=ln {tg( v2+❑4 )}+c

INTEGRALES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS HIPERBÓLICAS

∫ senh vdv=cosh+c ∫cosh vdv=senh+c

∫ tgh v dv=ln cosh v+c ∫ ctghv dv=ln senh v+c

∫ sech2v dv=tghv+c ∫ csch2 v dv=−ctgh v+c

∫ sech v tgh v dv=−sech v+c ∫ cschv ctgh v dv=−cschv+c

Casos de Trinomios1ercaso 2do caso3ercaso 4¿ casox2+ x+c x2+bx+c ax2+x+c ax2+bx+c

( 12 )2

( b2 )2

( 12 )2

( 1a )( b2 )2

( 1a )

INTEGRALES DE LA FORMA a2 y v2

∫ dv

√a2−v2=arc sen

va+c ∫ dv

a2+v2=1aarc tg

va+c

∫ dv

a2−v2=¿ 12aln( a+va−v )+c ¿ ∫ dv

v2−a2 ¿ 12a

ln( v−av+a )+ c

∫ dv

v √v2−a2 ¿ 1

aarc sec

va+ c ∫ dv

√v2±a2 ¿ln(v+√v2±a2 )+c∫√a2−v2dv ¿ v

2√a2−v2+ a2

2arcsen

va+c

∫√v2±a2dv ¿ v2 √v2±a2± a22

ln(v+√v2±a2 )

CAMBIOS DE VARIABLES O SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICAS

№ PARA HACER EL CAMBIO PARA OBTENER

1 √a2+u2 u=a tg z a secz

2 √a2−u2 u=asenz acosz

3 √u2−a2 u=asecz a tg z

INTEGRACIÓN POR PARTES

∫udv=u . v−∫ vdu

INTEGRALES POR DIVERSOS CAMBIOS DE VARIABLES

RacionalesCASO I: FACTORES LINEALES DISTINTOSx+3

(X+1 ) (2 X−5 )= AX+1

+ B2 X−5

CASO II: FACTORES LINEALES IGUALESx2+3

( x+5 )3= A

x+5+ B

( x+5 )2+ C

( x+5 )3CASO III: FACTORES CUADRÁTICOS DISTINTOS2x−5

(x2+3 ) ( x2−x−1 )= Ax+B

x2+3+ Cx+Dx2−x−1

CASO IV: FACTORES CUADRÁTICOS IGUALES4 x2+3(x2+5 )3

= Ax+Bx2+5

+ Cx+D

( x2+5 )2+ Ex+F

(x2+5 )3

Irracionales№ PARA HACER EL CAMBIO PARA OBTENER

1 n√au+b n√au+b=¿ z au+b=zn

2 √q+ pu+u2 √q+ pu+u2=z−u q+pu+u2=( z−u )2

3 √q+ pu−u2=√ (α+u ) (β−u )

√q+ pu−u2=z (α+u )

√q+ pu−u2=z (β−u )

q+pu−u2 ¿ z2 (α+u )2

q+pu−u2=z2 (β−u )2

DIFERENCIALES BINOMIAS

xm (a+b xn )pdx

Caso№1 Caso№2

m+1n

=numeroentero ocerom+1n

+ rs=numero enteroocero

a+b xn=zs a+b xn=zs xn

TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

∫ dx5+4 senx

x=2arc tg z

z=tgx2

dx= 2

1+z2dz senx= 2 z

1+ z2cosx=1−z2

1+z2

∫ dx

a sen2 x+bcos2 xx=arc tg z

z=tg xdx= dz

1+z2senx= z

√1+z2cosx= 1

√1+z2

FORMULAS PARA HALLAR EL FACTOR INTEGRANTE EN LAS ECUACIONES

DIFERENCIALES NO EXACTAS

f ( x )⇒ dlnudx

=

dMdy

−dNdx

NF ( y )⇒ dlnu

dy=

dMdy

−dNdx

−M

f (x+ y2 )⇒ dlnudz

=

dMdy

−dNdx

N−2YMf (x2+ y2 )⇒ dlnu

dz=

dMdy

−dNdx

2 XN−2YM

f ()⇒dlnudz

=

dMdy

−dNdx

NY−MXf ()⇒ dlnu

dz=

( dMdy −dNdx ) x

XN−YM

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

senx. cscx = 1 cosx. secx = 1 sen2 x + cos2 x = 1cos x = 1

secxsec x = 1

cosx tg x = 1ctgxsen x = 1

cscx ctg x = 1tgx csc x = 1senx

tg x = senxcosx ctg x = cosxsenxcos2 x=1

2+ 12cos2x

1 + cos x = 2cos2(12 x)

1 – cos x = 2sen2( 12 x) sen2 x=12−12cos 2x

cos2 x = 1 - sen2 x tg2 x=sec2 x−1 sen2 x = 1 - cos2 xsec2 x=tg2 x+1 csc2x = ctg2 x+1 ctg

2x=csc2x - 1

sen x cos x = 12sen 2x

1+sen2 x=cos2 x+2 sen2 x 1+cos2 x=sen2 x+2cos2 x

sen2x = 2sen x cos x cos2x = cos2 x -sen2 x cos2x = 1 - 2sen2 x

1+ cos 3x = 2cos2

32x

Cos2x ¿ 2cos2 x−1sen4 x+cos4 x=2−sen22 x

2

tg2x= 2 tg x1−tg2 x

ctg2x¿ ctg2 x−12ctg x

2sen212x=1−cos x

2cos2 12x=1+cos x tg

12x=1−cos x

sen xctg

12x=1+cos x

sen x

sen( x+ y ) = cos x sen y + cos y sen x cos( x+ y )= cos x cos y –sen x sen ysen( x− y )= sen x cos y – cos x sen y cos( x− y )= cos x cos y + sen x sen y

sen x + sen y = 2sen12

( x+ y )cos 12

( x− y )sen x – sen y = 2 cos1

2( x+ y )

sen12

( x− y )

cos x + cos y = 2cos12

( x+ y )cos 12

( x− y )cos x – cos y = 2 sen1

2( x+ y )sen

12

( x− y )

cos( x+ y ) cos( x− y ) = cos2 x−sen2 y cos( x+ y ) cos( x− y ) = cos2 y−sen2 x

sen( x+ y ) sen( x− y ) = sen2 x−sen2 y sen( x+ y ) sen ( x− y )= cos2 y−cos2 x1 ± sen x = 1 ± cos ( 12−x) sen x cos y = 1

2[sen ( x− y )+sen (x+ y ) ]

cos x sen y = 12

[sen ( x+ y )−sen (x− y ) ]sen x sen y = 1

2[cos ( x− y )−cos ( x+ y ) ]

cos x cos y = 12

[cos ( x− y )+cos ( x+ y ) ]tg ( x+ y )= tg x+tg y

1−tg xtg y

tg( x− y )= tg x−tg y1+tg x tg y ctg( x+ y )= ctg x ctg y−1

ctg y+ctg x

ctg( x− y )= ctg x ctg y+1ctg y – ctg x

sen3x = 3senx - 4sen3 xcos3x = 4cos3x – 3cosx sen x = 2 sen x

2 cos x

2

tg3x = 3tgx−tg3 x1−3 tg2 x

sen x2=±√ 1−cos x2

cos x2=±√ 1+cos x2

tg x2

= ±√ 1−cos x1+cosx

ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES

y=¿ e λx

y '=¿ λeλx

y ' '=¿ λ2e λx

RAICES DE ECUACIÓNCARACTERISTICAS

BASE DE SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN

SOLUCIÓN GENERAL DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL

DIFERENCIAL

1Raíces reales diferentes

λ1 y λ2

y1=eλ1 x

y2=eλ2 xy ( x )=C1 y1 ( x )+C2 y2(x )

2

Raíz real doble

λ=−12

α

y1=eλx

y2=x eλxy ( x )=C1 e

λx+C2 xeλx

3

Raíces complejas conjugadas

λ1=−12

α+ωi

λ2=−12

α−ωi

y1=e−12

αxcosωx

y2=e−12

αxsenωx

y ( x )=C1 e−12

αxcosωx+C2 e

−12

αxsenωx

ECUACIONES DIFERENCIALES EULER - GAUCHY (x2)

y=¿ xm

y '=¿ mxm−1

y ' '=¿ m(m−1) xm−2

RAICES DE ECUACIÓNCARACTERISTICAS

BASE DE SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN

DIFERENCIAL

SOLUCIÓN GENERAL DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL

1

Raíces reales diferentesm1 y m2

y1=xm1

y2=xm2

y ( x )=C1 y1 ( x )+C2 y2(x )

2

Raíz real doble

m=−12

αy1=xm

y2=xm ln xy ( x )=C1 x

m+C2 xm ln x

3

Raíces complejas conjugadas

m1=u+ωi

m2=u−ωi

y1=xu cos(ω ln x)

y2=xu sen (ω ln x )y ( x )=C1 x

ucos (ω ln x )+C2 xu sen(ω ln x)

ECUACIONES DIFERENCIALES NO HOMOGENEAS

y ( x )= yh (x )+ y p( x)

REGLAS PARA EL ESCOGITAMIENTO DE LA SOLUCIÓN PARTICULAR

Términos r(x) Elección de y p

k e λx C eλx

k xn (n=0 ,1 ,2 ,…….) Cn xn+Cn−1 x

n−1+ ..… ..+C1 x+C0

k cosωxk senωx

K cosωx+M senωx

k eαx cosωxk eαx senωx

K eαxcosωx+M eαx senωx

METODO DE VARIACIÓN DE PARAMETROS

Yp ( x )=Y 1 ( x )∫ ω1 ( x )ω ( x )

r ( x )dx+Y 2 ( x )∫ ω2 ( x )ω ( x )

r ( x )dx+…+Y n ( x )∫ ωn ( x )ω ( x )

r ( x )dx

ω ( x )=| y1 y2 y3y1 'y1 ' '

y2 ' y3 'y2 ' ' y3 ' '

| ω1(x)=|0 y2 y301

y2 ' y3 'y2 ' ' y3 ' '

|ω2(x)=| y1 0 y3

y1 'y1 ' '

0 y3 '1 y3 ' '

| ω3(x)=| y1 y2 0y1 'y1 ' '

y2 ' 0y2 ' ' 1|

ECUACIONES NO RESUELTAS CON RESPECTO A LA DERVIDA

Ecuación cuadrática

y '=−b±√b2−4ac2a

Paramétricas

Reducción del orden Cuando no hay y '

y '=p y '=dydx

y ' '=p=d2 yd x2

dydx

=p y '=p=dydx

y ' '=dpdx

dy=pdx y ' '=dpdx

=dpdy

=pdpdy

Casos№

INTEGRALES DE DIFERENCIALES TRIGONOMÉTRICASINTEGRALES DE LA FORMA CONDICIÓN IDENTIDADES CONCLUSIÓNI ∫ senmu .cosnudu Sea m o n un número entero positivo impar. sen2 x + cos2 x = 1

cos2 x = 1 - sen2 xsen2 x = 1 - cos2 x ∫ vndv ₌ v

n+1

n+1 + c

II ∫ tgmu .du

∫ ctgmu .duSea m un número entero positivo par o impar. sec2 x=tg2 x+1

csc2x = ctg2 x+1 ∫ vndv ₌ vn+1

n+1 + c

III ∫ secmudu

∫ cscmu duSea m un número entero positivo par. sec2 x=tg2 x+1

csc2x = ctg2 x+1 ∫ vndv ₌ vn+1

n+1 + c

IV ∫ secmu .tgnu .du

∫ cscmu . c tgnu .duSea m un número entero positivo par se procede como en el caso anterior.

sec2 x=tg2 x+1csc2x = ctg2 x+1 ∫ vndv ₌ v

n+1

n+1 + c

V ∫ senmu . c osnu .du Sea m y n un número positivo par. cos2 x=12+ 12cos2x

sen2 x=12−12cos 2x sen2x = 2sen x cos x

∫ vndv ₌ vn+1

n+1 + c

VI ∫ senmx❑ . c osnx❑ .dx

∫ senmx❑ . sen nx❑ . dx

∫cosmx❑ . cos nx❑ . dx

Cuando m ≠ n No existe identidad Aplicación directa