capitulo v - integración y diferenciación numérica 2

INTEGRACIÓN Y DIFERENCIACIÓN NUMÉRICAINTEGRACIÓN Y DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA

5.1 INTRODUCCIÓN

La integración numérica consiste en encontrar el área bajo la curva de

una función analítica o tabular usando diversas técnicas de aproximación al valor

“verdadero” o valor real de la función.

La diferenciación numérica es una técnica que permite encontrar la

derivada de una función tabular en algún punto base o en un punto intermedio

cualquiera.

Objetivos:

Al finalizar esta unidad, a partir de la interpretación de los fenómenos físicos y

químicos o un conjunto de datos experimentales de laboratorio, el estudiante

estará en la capacidad de determinar un polinomio de ajuste y realizar la

diferenciación e integración numérica, así como elaborar la programación del

algoritmo en Excel y en MatLab.

Contenidos Conceptuales

Contenidos Procedimentales

Contenidos Actitudinales

Métodos de Newton Cotes

Método de Simpson. Método trapezoidal.-

Simples y compuestos Integrales Múltiples Diferenciación numérica

Identifica los métodos de integración.

Resuelve ecuaciones específicas utilizando los métodos de Integración y diferenciación numérica

Trabaja en equipo. Respeta las

opiniones de sus compañeros

Comparte sus resultados y experiencias.

5.2 INTEGRACIÓN NUMÉRICA

Los métodos de integración se pueden clasificar en dos grupos: los que emplean

valores dados de la función en abscisas equidistantes (fórmulas de Newton

Cotes) y aquellos que utilizan valores de en abscisas desigualmente

espaciadas (fórmulas de Cuadratura Gaussiana).

5.3 MÉTODOS DE NEWTON COTES

1

Las fórmulas de integración de Newton-Cotes son los esquemas de integración

numérica más comunes. Se basan en la estrategia de reemplazar una función

complicada con datos aproximados que sean fáciles de integrar.

…(5.1)

Donde: pn (x) =

“n” es el grado del polinomio

Si “n” es el número de subintervalos iguales en los que se divide el intervalo

Entonces la integración va desde:

Los valores de la integral variarán dependiendo del número de subintervalos, es

decir de los valores que tome “n”.

A. MÉTODO TRAPEZOIDAL COMPUESTO

En la integral definida , al intervalo [a,b] se divide en n -

subintervalos cada uno de longitud , dando n+1 puntos ( , ,

,…, ,…, , ).

Luego a la integral expresamos como la suma de n integrales

definidas:

…(5.2)

Figura 45: Integración por el método trapezoidal compuesto

El resultado de la integral (5.2) es la medida del área de la región acotada por el

eje X,

las rectas , y la porción de la curva . Luego a la integral definida

2

se puede aproximar por la medida del trapecio formado por las

rectas , , y el eje X, donde la medida de este trapecio es

,

en forma similar para las otras integrales, pueden aproximarse por la medida del

área de un trapecio:

…(5.3)

Por lo que al extender la ecuación (5.3) para cada uno de los trapecios formados

en el intervalo [a,b] se obtiene una nueva expresión:

La misma que en forma sintética puede expresarse como la ecuación (5.4) que

considera la sumatoria de todos los (n-1) trapecios formados entre los límites de

la integral definida:

…(5.4)

Ejemplo de Aplicación 5.1

Evalúe la siguiente integral:

Solución :

Resolveremos este ejemplo con distintos números de intervalos para n:

a) Con , ; entonces:

b) Con , ; entonces:

c) Con , ; entonces:

3

Se tiene el siguiente resumen:

Tabla 13: Método Trapezoidal a diferentes intervalos de “n”

n 1 2 4 10 20 50

I 0 0,785398 0,948059 0,991762 0,997943 0,999671

Del cuadro se puede observar que a medida que el número de sub-intervalos “n”

aumenta la integral converge a 1, que es el valor analítico respectivo.

Figura 46: Interfaz Gráfica del método trapezoidal compuesto para n= 4

B. MÉTODO DE SIMPSON 1/3 COMPUESTO

También conocida con el nombre de la regla parabólica, al calcular la integral

definida , los puntos sucesivos son conectados por segmentos

parabólicos. Consideremos una función continua en el intervalo cerrado

de n sub-intervalos (n es un número par, cada intervalo usa 3 puntos sucesivos)

donde la longitud de cada sub-intervalo está dado por: .

Figura 47: Integración por el método de Simpson 1/3 compuesto

4

Aproximemos el segmento de la curva por el segmento parabólico con su

eje a través de y ; la medida del área de la región acotada por esta

parábola, es: ó y en forma análoga para

cada una de estas regiones aproxima el área de la región acotada a la integral

utilizando 3 puntos sucesivos:

…(5.6)



Solución :



c) Con , ; entonces


Tabla 14: Método de Simpson 1/3 a diferentes intervalos de “n”

n 2 4 8 20 30 40

I 2,29575 2,40136 2,43762 2,45198 2,45416 2,45554

5

Del cuadro se puede observa que a medida que el número de sub-intervalos “n”

aumenta la integral converge a 2,45674; que es el valor analítico respectivo.

Figura 48: Interfaz Gráfica del método de Simpson 1/3 compuesto para n= 2

C. MÉTODO DE SIMPSON 3/8 COMPUESTO

Se obtiene al integrar una fórmula de interpolación de un polinomio de

tercer grado, tiene el mismo orden de precisión que la regla de 1/3 con la única

condición de que “n” sea múltiplo de tres.

…(5.7)



Solución :



6

c) Con , ; entonces


Tabla 15: Método de Simpson 3/8 a diferentes intervalos de “n”

n 3 6 9 12 15 30

I 0,68706 0,682852 0,68272 0,682699 0,682693 0,682690

Del cuadro se puede observa que a medida que el número de sub-intervalos “n”

aumenta la integral converge a 0,682689; que es el valor analítico respectivo. El

número de intervalos que se escogerá dependerá de la precisión que se quiere

en el resultado.

Figura 49: Interfaz Gráfica del método de Simpson 3/8 compuesto para n= 2

5.4 DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA

En el capítulo IV a partir de una función tabulada, se aproximaba esta

función a un polinomio de ajuste. Entonces en la diferenciación numérica se

procederá de la misma forma ya que sólo se tiene que derivar el polinomio

encontrado por uno de lo métodos de aproximación funcional.


7

Obtenga la segunda derivada evaluada en para la función que se

da enseguida:

Puntos 0 1 2 3 4 5

x 1 1,8 3 4,2 5 6,5

f(x) 3 4,34536 6,57735 8,88725 10,44721 13,39223

Utilice un polinomio de Newton en diferencias divididas para aproximar f(x):

Solución :

Para una primera aproximación se utilizará un polinomio de grado 2; entonces

los puntos 2, 3 y 4 son los más aconsejables porque se encuentran rodeando al

valor . La tabla de diferencias divididas es la siguiente:

i x f(x)Diferencias Divididas

Primera Segunda

0,012517

Y prosiguiendo con el método se obtiene:

A este polinomio derivamos dos veces:

Este resultado nos indica que la segunda derivada de la función tabular es una

constante, entonces:

La dificultad en la diferenciación será en elegir el método y el grado del polinomio

de ajuste, aunque la bibliografía recomienda el uso del método de Newton en

diferencias divididas y el de Lagrange por su estrecha relación con las derivadas,

el error de truncamiento suele ser alto en algunas aplicaciones.

8

Figura 49: Interfaz Gráfica del método de Newton en diferencias divididas para la

segunda derivada

5.5 Integración y Diferenciación Numérica en Ingeniería Química

Problema de Aplicación 5.5.1

Cátedras: Cálculo, Análisis Matemático

Calcular el volumen del sólido generado haciendo girar alrededor del eje X, la

superficie limitada por la curva , y las rectas

Solución :

Las respectivas gráficas en el plano xy para la curva y las rectas son:

Entonces el radio de giro está dado por:

Entonces el volumen generado:

Empleamos el método trapezoidal con n = 10, 20, 30, 50 y 100 para la resolución

de esta integral, obteniéndose el siguiente resumen:

9

n I

10 142,006

20 120,068

30 114,513

50 110,704

100 108,492

200 107,686

Resolviendo analíticamente el resultado para esta integral es 107,233; el error

cometido por el método es de:

El algoritmo del problema anterior es presentado en un archivo m. en el Matlab:

clc,clear,syms x disp(' Problema de Aplicación 5.1 ') disp(' -------------------------- ') f='pi*(sqrt(8)-sqrt(x))^4'; a=0;b=8;n=200;x=a;s=0; h=(b-a)/n; if n~=1 I=1; while I<=n-1; x=x+h; s=s+eval(f); I=I+1; end A=(pi*(sqrt(8)-sqrt(a))^4); B=(pi*(sqrt(8)-sqrt(b))^4); area=(h/2)*(A+2*s+B); else A=(pi*(sqrt(8)-sqrt(a))^4); B=(pi*(sqrt(8)-sqrt(b))^4); area=(h/2)*(A+2*s+B); end disp(' ') disp(' Solución: ') fprintf(' La integral aproximada es: %f \n',single(area))


Cátedras: Termodinámica de los Procesos Químicos, Fisicoquímica

Fugacidad es un término usado por los ingenieros para describir el trabajo

disponible en un proceso isotérmico. Para un gas ideal, la fugacidad f es igual a

su presión p, pero para gases reales:

Donde z es el factor de compresibilidad determinado

experimentalmente. Para el metano, algunos valores de z son:

P (atm) z P (atm) z

10

1 0,9940 80 0,3420

10 0,9370 120 0,4250

20 0,8683 160 0,5252

40 0,7043 250 0,7468

60 0,4515 400 1,0980

Calcule la fugacidad correspondiente a cada presión. El valor de z tiende a 1

cuando p tiende a 0.

Solución :

Haciendo un ajuste a partir de los datos de la tabla con el método de mínimos

cuadrados, pero se observa que a partir de 80 atm, z empieza a crecer entonces

se obtendrá dos ajustes:

Reemplazando estos polinomios en la integral:

Resolviendo estas 2 integrales con el método de Simpson 1/3 compuesto con n

= 20 para cada presión tenemos los siguientes resultados:

p f p f

1 0 1 80 -0,604465 43,7093

10 -0,057025 9,44570 120 -0,250680 93,3926

20 -0,112749 17,8675 160 -0,402277 107,007

40 -0,256647 30,9457 250 -0,569222 141,491

60 -0,429115 39,0651 400 -0,60908 217,540


11

clc,clear,syms x disp(' Problema de Aplicación 5.2 ') disp(' -------------------------- ') f=(0.199266+0.001463*x+4.51481*10^(-6)*x^2-6.3889*10^(-9)*x^3-1)/x; a=80;b=400;n=20;s1=0;s2=0;x=a;h=(b-a)/n; if n~=2 I=1; while I<=n/2-1; x=x+h;s1=s1+subs(f,x);x=x+h;s2=s2+subs(f,x); I=I+1; end x=x+h;s1=s1+subs(f,x); A=subs(f,a);B=subs(f,b); area=(h/3)*(A+4*s1+2*s2+B); else x=x+h;s1=s1+subs(f,x); A=subs(f,a);B=subs(f,b); area=(h/3)*(A+4*s1+2*s2+B); end disp(' ') disp(' Solución: ') fprintf(' La integral aproximada es: %f \n',single(area))


Cátedras: Física

(Problema Propuesto 6.26 – Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería - A.

Nieves)

Una partícula de masa m se mueve a través de un fluido sujeta a una resistencia

R que es función de la velocidad v y de m. La relación entre la resistencia R, la

velocidad v y el tiempo t está dada por la ecuación:

Supóngase que para un fluido particular. Si kg y

m/s, aproxime el tiempo requerido para que la partícula reduzca su

velocidad a m/s.

Solución :

Reemplazando los datos en la ecuación:

Esta integral se resolverá con el método de Simpson 3/8 a

diferentes intervalos:

n I = t

3 2,62537

6 2,62020

9 2,61983

15 2,61975

21 2,61974

12

Entonces el tiempo requerido es:


clc,clear,syms x disp(' Problema de Aplicación 5.3 ') disp(' -------------------------- ') f=10/(-x*sqrt(x)+0.0001); a=10;b=5;n=21;h=(b-a)/n;x=a:h:b;fx=subs(f,x); suma1=fx(1)+fx(n+1); suma2=3*sum(fx(2:3:n-1)); suma3=3*sum(fx(3:3:n)); suma4=2*sum(fx(4:3:n-2)); suma=suma1+suma2+suma3+suma4; area=(3/8)*h*suma; disp(' ') disp(' Solución: ') fprintf(' La integral aproximada es: %f \n',area)


Cátedras: Fundamentos de Ingeniería Química


Nieves)

En el gaseoducto Cactus, Tab. a Reynosa, Tamps. se determina el gasto W

(kg/min) y su contenido de azufre S (%) periódicamente durante el día.

Los resultados se presentan en la tabla:

t (h) 0 4 8 12 15 20 22 24

W

(kg/min)20 22 19,5 23 21 20 20,5 20,8

S (%) 0,30 0,45 0,38 0,35 0,30 0,43 0,41 0,40

a) ¿Cuál es el gasto promedio?

b) ¿Qué cantidad de gas se bombean en 24 horas?

c) ¿Cuál es el contenido de azufre (%) promedio diario?

d) ¿Qué cantidad de azufre se bombea en 24 horas?

Solución :

a) Cálculo del gasto promedio:

...(1)

Los datos tabulados de 0 a 12 y de 20 y 24 se pueden resolver con los métodos

de Simpson 3/8 y Simpson 1/3 respectivamente, ya que son equidistantes, para

el intervalo de 12 a 20 se realizará un ajuste de segundo grado con el método de

Lagrange luego se integrará en sus respectivos límites.

13

…(2)

Integración en el intervalo 0 -12:

Integración en el intervalo 12 – 20: (Ajuste de curva con el método de Lagrange)

Integración en el intervalo 20 – 24:

Reemplazando estos valores en (2):

b) Cálculo de gas que se bombean en 24 horas

c) Cálculo del contenido de azufre (%) promedio diario

…(3)

Se procede de forma similar que en el inciso a):

…(4)

Integración en el intervalo 0 -12:

14

Integración en el intervalo 12 – 20: (Ajuste de curva con el método de Lagrange)

Integración en el intervalo 20 – 24:

Reemplazando estos valores en (4):

d) Cálculo de la cantidad de azufre que se bombea en 24 horas


Cátedras: Termodinámica de los procesos Químicos, Fisicoquímica


Nieves)

La ecuación de Redlich Kwong es:

Donde a = 17,19344 y b = 0,02211413 para el oxígeno molecular, si T =

373,15K; se obtiene la siguiente tabla de valores:

Puntos 0 1 2 3

P (atm) 30,43853 27,68355 25,38623 23,44122

V (L

/molg)1,0 1,1 1,2 1,3

15

a) Calcule cuando V = 1,05 L / molg utilizando la ecuaciones 6.40 y

6.41 y compárelo con el valor de la derivada analítica.

b) Proceda como en el inciso anterior, pero ahora aplique la ecuación 6.51

con n = 1 y n = 2.

Solución :

a) La expresión 6.40 (del texto referido) exige de un punto inicial

y un punto final y se reemplaza en la

expresión 6.40:

Resolviendo la derivada aproximadamente toma un valor de -27,5498.

Para la expresión 6.41 utilizaremos los puntos 0 ,1 y 2:

Obteniendo la derivada aproximadamente igual a -27,5498.

Sacando la derivada respectiva analíticamente:

La derivada analítica cuando V = 1,05L es aproximadamente -27,5054.

b) La expresión 6.51 (del texto referido) se refiere a los polinomios de

Lagrange y se tiene para n = 1:

Evaluando los puntos 0 y 1 se tiene como valor aproximado -27,5498.

Para n = 2 se tiene:

Evaluando los punto 0, 1, 2 y x = 1,05 se obtiene - 24,5498.


16

clc,clear,syms x disp(' Problema de Aplicación 5.5 ') disp(' -------------------------- ') X=[1.0 1.1];F=[30.43853 27.68355];FX=0;I=1; while I<=2; L=1;J=1; while J<=3; if I~=J L=L*(x-X(1,J))/(X(1,I)-X(1,J)); end J=J+1; end FX=FX+L*F(1,I);I=I+1; end n=1;in=1.05; dp=subs(diff(FX,n),in); disp(' ') disp(' Solución: ') fprintf(' El valor aproximado de la derivada es: %f \n',dp)


Cátedras: Termodinámica de los procesos Químicos, Fisicoquímica

La descomposición de una sustancia se lleva a cabo de acuerdo a la reacción:

; en un reactor batch, cuyos datos de la presión

total del sistema en función del tiempo, ha sido reportado a 200

ºC:

t (s) 0 5 10 15 20

PT (mmHg) 7,5 12,5 15,8 17,9 19,4

a) Encuentre la expresión que permita la obtención de la ley de

velocidad en función de la presión total, PT:

b) Encuentre el valor del orden de reacción y la constante de velocidad

específica de reacción:

Solución :

a) La ley de velocidad estará dada por:

…(1)

Hacemos un balance de materia, denotando a x como la conversión:

…(2)

Del problema cuando t = 0 ; :

17

…(3)

Reemplazando (3) en la primera ecuación de (2):

…(4)

Derivando (4) con respecto al tiempo t, obtenemos:

…(5)

Reemplazando (4) y (5) en (1):

…(6)

Tomando logaritmos a (6):

…(7)

b) A partir de (7) y los datos tabulados (valores equidistantes en t) del

problema se hace una regresión lineal con el método de mínimos cuadrados,

pero previamente se necesita los valores de las derivadas en cada punto.

Estos se consiguen utilizando método de Newton en diferencias finitas hacia

adelante en diferenciación con una aproximación polinomial de 4º grado y pivote

:

18

Figura 50: Interfaz Gráfica como ejemplo de cálculo para la derivada en t = 10 s.

En resumen se tiene:

t

(s)

PT

(mmHg)

0 7,5 1,1983 0,1809 2,0149

5 12,5 0,8150 -0,2046 1,6094

10 15,8 0,5217 -0,6507 1,2090

15 17,9 0,3383 -1,0838 0,8329

20 19,4 0,2850 -1,2553 0,4383

Aproximando a una línea recta la ecuación (7) con

:


19

clc,clear,syms x disp(' Problema de Aplicación 5.6 ') disp(' -------------------------- ') X=[0 5 10 15 20];F=[7.5 12.5 15.8 17.9 19.4];FX=0;I=1;in=10; for l=0:length(X)-2;F=diff(F);T(1:length(X)-(l+1),l+1)=F; end disp([T]);h=X(2)-X(1);xo=0;s=(x-xo)/h;so=s; for I=1:length(X); if X(I)==xo; break end end p=FX(I)+s*T(I,1); for l=1:3;s=s*(so-l);p=p+s*T(I,1+l)/prod(1:l+1); end dp=single(subs(diff(p,1),in)); disp(' ') disp(' Solución: ') fprintf(' El valor aproximado de la derivada es: %f \n',dp)

Figura 50: Interfaz Gráfica para el ajuste lineal del problema 5.6.

5.6 EJERCICIOS PROPUESTOS

5.6.1 La probabilidad de encontrar un porcentaje de hierro comprendido entre a

y b, en una muestra de mineral en cierta región geográfica, viene dada por:

20

Como se muestra en la figura. ¿Cuál es la

probabilidad de que una muestra contenga entre

a) 0% y 25%

b) 50% Y 100%

5.6.2 Obtenga la primera y segunda derivadas evaluadas en x = 1 para la

siguiente función tabulada

Puntos 0 1 2 3 4

x -1 0 2 5 10

f(x) 11 3 23 143 583

5.6.3 Utilizando el método de trapecios integre la función:

5.7 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

CARRASCO, Luis – “METODOS NUMERICOS, Aplicados a la

Ingeniería”. Segunda Edición, Ediciones RFG, pag. 173 - 280, Perú

2007.

DELORES, Etter - “SOLUCION DE PROBLEMAS DE INGENIERIA

CON MATLAB”. Segunda Edición, Editorial Prentice Hall, pag. 185 - 201,

México 1997.

ESPINOZA RAMOS, Eduardo – “ANÁLISIS MATEMÁTICO II”. Cuarta

Edición, Editorial Servicios Gráficos J. J., pag. 269 - 460, Lima - Perú

2004

FELDER, Richard - ROUSSEAU Ronald – “PRINCIPIOS BÁSICOS DE

LOS PROCESOS QUÍMICOS”. Primera Edición, Editorial El Manual

Moderno, pag. 536 - 542, México 1981.

MORALES, Herón - ”MATLAB 7, Métodos numéricos”. Primera

Edición, Editorial Megabyte, pag. 273 - 305, Lima – Perú 2005.

NIEVES, Antonio - “METODOS NUMERICOS, Aplicados a la

Ingeniería”. Primera Edición, Editorial CECSA, pag. 393 - 465, México

1996.

21

capitulo v - integración y diferenciación numérica 2

Documents