diferenciación e integración numéricas

8/9/2019 Diferenciación e Integración Numéricas

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Computación II



Errores en los cálculos numéricos

Raíces de ecuaciones no-lineales

Sistemas de ecuaciones lineales

Interpolación y ajuste de curvas

Diferenciación e integración

Ecuaciones diferenciales ordinarias



Generalidades: uso de interpoladores

Diferenciación numérica:

con datos discretos con datos continuos

Integración numérica:

fórmulas de Newton-Cotes

reglas compuestas



1. Interpolamos en el intervalo de interés



1. Interpolamos en el intervalo de interés

2. Calculamos la derivada del polinomiointerpolante



Ejemplo:

tenemos x 0, x 1, x 2

y sus correspondientes f 0, f 1, f 2



Construimos el polinomio de Lagrange:

))((

))(( ))(()(

102

201

2102

x x x xa

x x x xa x x x xa x P

!



Construimos el polinomio de Lagrange:

21202

10

1

2101

20

02010

212

))((

))((

))((

))((

))(())(()(

f x x x x

x x x x

f

x x x x

x x x x

f x x x x

x x x x x

!



Derivamos el polinomio de Lagrange:

21202

10

1

2101

20

02010

212

))((

2

))((

2

))((2)(

f x x x x

x x x

f

x x x x

x x x

f x x x x

x x x x

!d



Derivamos el polinomio de Lagrange:

... y ya podemos evaluar la derivada!!!

21202

10

1

2101

20

02010

212

))((

2

))((

2

))((2)(

f x x x x

x x x

f

x x x x

x x x

f x x x x

x x x x P

!



¿Q ué ventaja tenemos ahora?



¿Q ué ventaja tenemos ahora?

Podemos evaluar la función enlos puntos que queramos



... y restando ambas ecuaciones:

con un h pequeña podemos eliminar la sumatoria

j

j

j

h j

x f

h

h x f h x f x f 2

1

0)12(

)!12(

)(

2

)()()( §

g

!

!d



h

h x f h x f x f

2

)()()( 00

0!d



¿Q ué sucede si h no es suficientemente pequeño?



¿Q ué sucede si h no es suficientemente pequeño?

¿Y los errores numéricos para cuandoelegimos un h muy pequeño?



Al igual que antes...



Al igual que antes...

1. Interpolamos mediante un polinomio

2. Calculamos la integral sobre el polinomio



Con polinomios de orden 1:

método trapezoidal


regla de Simpson

...


regla de Milne



Aproximamos:

´´ ¼½

»¬-

«}

1

0

1

0

)()()(1

01

0

0

10

1

x

x

x

x

dx x f x x

x x x f

x x

x xdx x f



Resolviendo:

? A)()()( x f x f x x

dx x f

x

x

}´



Resolviendo:

? A)()(2

)( 10

1

0

x f x f h

d x x f

x

x

}´



Tomamos un punto intermedio y aprox.:

d x x f x x x x

x x x x

x f x x x x

x x x x

x f x x x x

x x x xd x x f

x

x

x

x

¼

½

»

¬-

«} ´´

)())((

))((

)())((

))((

)())((

))(()(

2

1202

10

12101

20

02010

212

0

2

0



De forma similar, dividiendo el intervalo en 4partes pero utilizando solo algunas:

? A)(2)()(23

4)( 321

4

0

x f x f x f h

d x x f

x

x

}´



Al evaluar más puntos de la función en elintervalo dado, podemos obtener mayor exactitud




Pero los polinomios de alto orden nos traenproblemas numéricos...




Pero los polinomios de alto orden nos traenproblemas numéricos...

¿Y si integramos un polinomio de bajoorden por cada segmento?



Elegimos n puntos en el intervalo e integramos mediante:

d x x f d x x f d x x f d x x f n

n

n x

x

x

x

x

x

x

x

´´´´

!

1

2

1

1

00

)()()()( .



Elegimos n puntos en el intervalo e integramos mediante:

¿Cómo resolvemos estas integrales?

d x x f d x x f d x x f d x x f n

n

n x

x

x

x

x

x

x

x

´´´´

!

1

2

1

1

00

)()()()( .



Cada segmento se integra por trapecios:

? A

? A

? A)()(

2

)()(

2

)()(2

)(

1

21

10

0

nn

x

x

x f x f h

x f x f h

x f x f hd x x f

n

´

/



Simplificando:

? A)()(2)(2)(2

)( 110

0

nn

x

x

x f x f x f x f h

d x x f n

} ´ .



De forma similar a trapecios por segmento:

?

A)()(4)(2

)(2)(4)(3

)(

12

210

0

nnn

x

x

x f x f x f

x f x f x f h

d x x f n

}

´

.

.

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