diferenciaciÓn e integraciÓn numÉrica integrantes del equipo: omar edrei castillo medina jezrael...
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DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICA
INTEGRANTES DEL EQUIPO:
•Omar Edrei Castillo Medina•Jezrael Alejandro Vázquez Puente•Fernando Piña López•Víctor Hugo Villicaña Duarte•Jairo Yaed Suarez Bueno•Edgar Baltazar Loera Ortiz
DIFERENCIACIÓN: DATOS CONTINUOS
Nos encontramos:
)(2
2
xQdx
dk
DIFERENCIACIÓN: DATOS CONTINUOS
Dividimos el dominio en N segmentos
La longitud de cada segmento es h
Q(x) nos queda evaluada en N+1 puntos
x0 = 0 x1 x2 x3 xN-2 xN-1 xN = L
x x x x x
DIFERENCIACIÓN: DATOS CONTINUOS
Aproximando Φ(x) mediante una expansión de Taylor:
!2)´´(
!1)´()()(
!2)´´(
!1)´()()(
2
2
hx
hxxhx
hx
hxxhx
NNNN
NNNN
xxNxN-h
Φ(xN-h)
(dΦ(xN)/dx)
Φ(xN)Φ(xN-h)
xN+h
DIFERENCIACIÓN: DATOS CONTINUOS
Restamos ambas ecuaciones, y despejamos Φ´(xN) con lo que obtenemos:
1
)12()12(
)!12(
)(
2
)()()´(
j
jNj
NNN h
j
x
h
hxhxx
Con un h suficientemente pequeña, podemos despreciar la sumatoria
DIFERENCIACIÓN: DATOS CONTINUOS
Finalmente obtenemos:
22
2 )()(2)()(
2
)()()(
h
hxxhx
dx
xd
h
hxhx
dx
xd
NNNN
NNN
DIFERENCIACIÓN: DATOS DISCRETOS
1. Interpolamos en el intervalo de interés
2. Calculamos la derivada del polinomio interpolante
DIFERENCIACIÓN: DATOS DISCRETOS
Ejemplo:
tenemos x0,x1,x2
y sus correspondientes f0,f1,f2
DIFERENCIACIÓN: DATOS DISCRETOS
Construimos el polinomio de Lagrange:
))((
))((
))(()(
102
201
2102
xxxxa
xxxxa
xxxxaxP
DIFERENCIACIÓN: DATOS DISCRETOS
21202
10
12101
20
02010
212
))((
))((
))((
))((
))((
))(()(
fxxxx
xxxx
fxxxx
xxxx
fxxxx
xxxxxP
• Construimos el polinomio de Lagrange:
DIFERENCIACIÓN: DATOS DISCRETOS
Derivamos el polinomio de Lagrange:
21202
10
12101
20
02010
212
))((
2
))((
2
))((
2)(
fxxxx
xxx
fxxxx
xxx
fxxxx
xxxxP
DIFERENCIACIÓN: DATOS DISCRETOS
Derivamos el polinomio de Lagrange:
... y ya podemos evaluar la derivada!!!
21202
10
12101
20
02010
212
))((
2
))((
2
))((
2)(
fxxxx
xxx
fxxxx
xxx
fxxxx
xxxxP
DIFERENCIACIÓN: PROBLEMAS?
¿Qué sucede si h no es suficientemente pequeño?
¿Y los errores numéricos para cuando elegimos un h muy pequeño?
INTEGRACIÓN
E:\Compu_II\01_Material_de_Catedra\01_Temas\10_Calculo_Numerico\01_Teoria\Libro_Calculo_Numerico\CAP5.pdf
INTEGRACIÓN NUMÉRICA: TRAPEZOIDALTenemos que
hallar el area debajo la curva f(x)
Utilizamos un polinomio de 1er orden (Lagrange)
Sea x0 = a y x1 = b, entonces
NEWTON-COTES: TRAPEZOIDAL
Aproximamos f(x) como:
La integral estará dada por:
1
0
1
0
)()()( 101
00
10
1x
x
x
x
dxxfxx
xxxf
xx
xxdxxf
01
01
10
10 )()()(
xx
xxxf
xx
xxxfxf p
NEWTON-COTES: TRAPEZOIDAL
Resolviendo:
Generalizando:
)()(2
)( 10
1
0
xfxfh
dxxfx
x
b
a
N
kkxfbfaf
hxf
1
1
)(2)()(2
)(
NEWTON-COTES: SIMPSON
Ahora el polinomio interpolador es de segundo orden:
dxxfxxxx
xxxx
xfxxxx
xxxx
xfxxxx
xxxxdxxf
x
x
x
x
)())((
))((
)())((
))((
)())((
))(()(
21202
10
12101
20
02010
212
0
2
0
NEWTON-COTES: SIMPSON
Recordamos la integración por intervalos y resolvemos:
)()4)...
)()4))()4)3
)(...)()()(
12
432210
2
4
2
2
0
NNN
x
x
x
x
x
x
b
a
xff(xf(x
xff(xf(xxff(xf(x h
dxxfdxxfdxxfdxxfN
N
NEWTON-COTES: SIMPSON
Reacomodamos y simplificamos:
)()(2)(4)(
3)(
1)2/(
12
2/
112 bfxfxfaf
hdxxf
N
ii
N
ii
b
a
INTEGRACIÓN: MÁS PUNTOS?
Al evaluar más puntos de la función en el intervalo dado, podemos obtener mayor exactitud
Pero los polinomios de alto orden nos traen problemas numéricos...
REGLAS COMPUESTAS: SIMPSON
Interpolar f(x) en cada intervalo [xk, xk+3]
El resultado es:
b
a
kk
kk
kk
NN
N
xfxf
xfbfafh
dxxf3
33
3
33
023
013
13
)(3)(3
)(2)()(
8
3)(
INTEGRACIÓN NUMÉRICA:CUADRATURA DE GAUSSLas integrales anteriores se resuelven
sobre intervalos equiespaciados y la función es “pesada” con ciertos coeficientes, que son elejidos a conveniencia.
La idea de la Cuadratura Gaussiana es darnos la libertad de elegir no solo los coeficientes de peso, sino que también la localización de las abscisas en la que vamos a evaluar la función
INTEGRACIÓN NUMÉRICA:CUADRATURA DE GAUSS
Estamos buscando los wi coeficientes de la siguiente ecuación:
a
b
N
iji xfwdxxfxW
1
)()()(
)()()( 1100
1
1
xgwxgwdxxg
INTEGRACIÓN NUMÉRICA:CUADRATURA DE GAUSSNecesitamos resolver las cuatro incógnitas.
Pero:
3
3
3
3)(
1
1
ffdxxf