MATE 3013

TÉCNICAS DE DIFERENCIACIÓN:

REGLAS PARA PRODUCTOS Y

COCIENTES

La derivada de un producto de funciones

Sea Entonces,

F(x) f (x) g(x).

F (x) d

dxf (x) g(x)

F (x) f (x) d

dxg(x) g(x)

d

dxf (x)

Técnicas de diferenciación:

Reglas para productos y cocientes

En palabras, la derivada de un producto es la derivada

de la primera función por la segunda, más la derivada

de la segunda función por la primera.

Ejemplo: Sea , hallar f´(x).

Usando la regla para derivar productos de funciones

tenemos que

Técnicas de diferenciación:

Reglas para productos y cocientes

)3)(4()( 2xxxf

)3)(10()20)(4( 2xxx

)3()'4()'3)(4()(' 22 xxxxxf

)3)(1()2)(4( 2xxx

22 328 xxx

383)(' 2 xxxf

Ejemplo: Sea , hallar f´(x). )413)(58()( 22 xxxxf

Usando la regla para derivar productos de funciones

tenemos que

)516)(413()26)(58()(' 22 xxxxxxf

206465208130208 2323 xxxxx

2064195416)(' 23 xxxxf

Técnicas de diferenciación:

Reglas para productos y cocientes

)'58)(413()'413)(58()(' 2222 xxxxxxxf

Ejemplo: Sea , hallar f´(x).

Usando la regla para derivar productos de funciones

tenemos que

Técnicas de diferenciación:

Reglas para productos y cocientes

)2)(()( 213 xxxxf

)')(2()'2)(()(' 321213 xxxxxxxf

)3)(2()4)(( 42123 xxxxxx

252525 24634)(' xxxxxxxf

2525

6341)('

xxxxxf

25

24)('

xxxf

Ejemplo: Sea , hallar f´(x).

Sabemos utilizar la regla para derivar productos de funciones, pero tenemos un

cociente de funciones.

Podemos utilizar la regla de productos.

Técnicas de diferenciación:

Reglas para productos y cocientes

x

xxf

5)(

))(5(5

)( 1

xxx

xxf

Aplicando la regla de productos tenemos que

)'5)(()')(5()(' 11 xxxxxf

0)())(5( 21

2112 xxxx

xxxx

2

111)5(

2

2

5

2

1)('

x

x

xxxf

Ejemplo: Hallar la pendiente de la recta tangente a

en x = - 4 .

Técnicas de diferenciación:

Reglas para productos y cocientes

3

1)(

x

xxf

1)3)(1(3

1)(

xx

x

xxf

Podemos convertir la ecuación en un producto y aplicar la regla para

productos.

11 )3()'1(]')3)[(1()(' xxxxxf

12 )3)(01(])3(1)[1( xxx

)3(

1

)3(

12 xx

x

2)3(

1

3

1)('

x

x

xxf

Recordar que la pendiente de la recta

tangente es la derivada en x = - 4.

Ejemplo: Hallar la pendiente de la recta tangente a

en x = - 4 .

Técnicas de diferenciación:

Reglas para productos y cocientes

3

1)(

x

xxf

2)3(

1

3

1)('

x

x

xxf

(continuación)

2)34(

14

34

1)4('

f

2)1(

3

1

1)4('

f

231)4(' fLa pendiente de la recta tangente a

en x = - 4 , es 2.

3

1)(

x

xxf

Regla para cocientes

Si entonces,

Q(x) N(x)

D(x),

Técnicas de diferenciación:

Reglas para productos y cocientes

Esto es, la derivada de un cociente de dos funciones es igual al

denominador por la derivada del numerador menos el numerador

por la derivada del denominador, todo dividido entre el cuadrado

del denominador.

𝑄′ 𝑥 =𝐷 𝑥 ∙ 𝑁′ 𝑥 − 𝑁(𝑥) ∙ 𝐷′(𝑥)

𝐷(𝑥) 2

Ejemplo: Dado Hallar 𝑓′(𝑥) .

f (x) x2 3x

x 1.

2

2

2 3( )

( 1)

x xf x

x

2 2

2

2 5 3 3( )

( 1)

x x x xf x

x

2

2

( 1)(2 3) ( 3 )(1)( )

( 1)

x x x xf x

x

Técnicas de diferenciación:

Reglas para productos y cocientes

Q (x) D(x) N (x) N(x) D (x)

D(x) 2

2

22

)1(

)'5)(3()'3)(1()('

x

xxxxxxxf

Dado: . Hallar f’(0). 2

1 3( )

2

xf x

x

Técnicas de diferenciación:

Reglas para productos y cocientes

Q (x) D(x) N (x) N(x) D (x)

D(x) 2

22

22

)2(

)'2)(31()'31)(2()('

x

xxxxxf

22

2

)2(

)2)(31()3)(2()('

x

xxxxf

22

22

)2(

)62()63()('

x

xxxxf

22

22

)2(

6263)('

x

xxxxf

22

2

)2(

623)('

x

xxxf

22

2

)20(

6)0(2)0(3)0('

f

5.14

6)0(' f

Ejemplo 1. Dado: . Hallar la

ecuación de la recta tangente a 𝑓 𝑡 en t = 1.

Q (x) D(x) N (x) N(x) D (x)

D(x) 2

2)32(

)'32)(2()'2)(32()('

t

tttttf

2)32(

6)64()('

t

tttf

2)32(

4)('

ttf

2))1(32(

4)1('

f

41

4)1(' f

𝑓 𝑡 = 2𝑡

2 − 3𝑡

2)32(

)3)(2()2)(32()('

t

tttf

Primero: Hallar 𝒇′ 𝒕 .

Luego, hallar 𝒇′ 𝟏 .

La pendiente de la recta tangente es 4.

Hallar la ecuación: y = mx + b

y = 4x + b

Usar un punto para hallar b.

Si t = 1, f(1) = -2

-2 = 4(1) + b

b = -6

y = 4x – 6 , es la ecuación de la recta

tangente a la curva en t =1.

Aplicaciones

Ejemplo 2: Determine los puntos sobre la curva

𝒇 𝒙 = 𝟏

𝒙𝟐 + 𝟏

en donde las rectas tangentes son horizontales.

Aplicaciones

Q (x) D(x) N (x) N(x) D (x)

D(x) 2

22

22

)1(

)'1)(1()'1)(1()('

x

xxxf

Nota: Decir que la recta tangente es horizontal es igual que decir que la derivada

es 0. Hallaremos f ‘(x).

22

2

)1(

)02()0)(1()('

x

xxxf

22 )1(

2)('

x

xxf

0)1(

222

x

x

22 )1(02 xx

02 x

0x

𝒇 𝟎 = 𝟏

𝟎𝟐 + 𝟏

𝒇 𝟎 = 𝟏

La recta tangente es

horizontal en el

punto (0,1)

Resolver para 𝒇′ 𝒙 = 𝟎.

Hallar la coordenada de y.

Ejemplo 3 : Determine los puntos sobre la curva

𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 + 𝟏

𝒙

en donde la pendiente de la recta tangente es -4.

Aplicaciones

Q (x) D(x) N (x) N(x) D (x)

D(x) 2

2

)')(12()'12()('

x

xxxxxf

Primero: Hallaremos 𝒇′ 𝒙 .

2

122)('

x

xxxf

412

x241 x

La pendiente de la recta

tangente es igual a -4 en

los puntos (½,4) y (-½,0)

2

)1)(12()2()('

x

xxxf

2

1)('

xxf

2

4

1x

x4

1

x2

1

𝑓 𝑥 = 2

12

+ 1

12

𝑓 𝑥 = 2

12

𝑓 𝑥 = 4

Ahora, hallar cuando 𝒇′ 𝒙 = −𝟒.

Finalmente, hallar y.

𝑓 𝑥 = 2 −

12

+ 1

12

𝑓 𝑥 = 0

12

𝑓 𝑥 = 0

Aplicaciones

Debemos saber:

1. La razón de cambio instantánea en un punto derivada.

2. f(x) es el producto de dos funciones, por lo tanto para hallar su derivada aplicamos la regla para productos.

Ejemplo 4: Para la función 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1 𝑥 −1

𝑥, ¿alrededor

de qué punto, (1, 0) ó −1

2,15

8 , la gráfica cambia con mayor

rapidez?

Aplicaciones

Primero, determinar 𝒇′ 𝒙 :

Ejemplo 4 (cont.) : Para la función 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1 𝑥 −1

𝑥, ¿alrededor

de qué punto, (1, 0) o −1

2,15

8 , la gráfica cambia con mayor rapidez?

𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1 𝑥 −1

𝑥

𝑓′(𝑥) = 2𝑥 𝑥 −1

𝑥+ 𝑥2 + 1 1 + 𝑥−2 )

𝑓′(𝑥) = 2𝑥2 −2𝑥

𝑥+ 𝑥2 + 1 + 1 + 𝑥−2

𝑓′(𝑥) = 2𝑥2 − 2 + 𝑥2 + 2 + 𝑥−2

𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 + 𝑥−2

Luego determinar

𝒇′ 𝟏 y𝒇′ −𝟏

𝟐 y compararlos:

𝑓′(1) = 3(1)2+(1)−2

𝑓′(1) = 4

𝑓′(−1

2) = 3(−

1

2)2+(−

1

2)−2

𝑓′ −1

2=

3

4+ 4 = 4.75

La gráfica cambia con mayor rapidez en −1

2,15

8.

Ejemplo5: Determine si función 𝑓 𝑥 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑥 = 2?

Solución:

Según la definición de derivada una función es diferenciable en un punto si el límite

del cociente de diferencias existe en el punto.

h

h

h

)2()2)(( 22

0lim

22

h

h

h

)5()5)((21

21

0lim

(2)2

Aplicaciones

Hay que investigar dos límites:

𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 2, 𝑥 ≤ 2

12𝑥 + 5, 𝑥 > 2

h

afhafaf

h

)()(lim)('

0

h

fhf

h

)2()2(lim

0

h

fhf

h

)2()2(lim

0

Ejemplo5 (cont.) : Determine si función 𝑓 𝑥 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑥 = 2?

Solución:

Aplicaciones

𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 2, 𝑥 ≤ 2

12𝑥 + 5, 𝑥 > 2

h

hh

h

24244 2

0lim

h

h

h

515121

0lim

h

hh

h

2

0

4lim

h

h

h

21

0lim

h

hh

h

)4(lim

0

44lim0

hh

h

h

h

)2()2)(( 22

0lim

22

h

h

h

)5()5)((21

21

0lim

(2)2

2

1

2

1lim

0

h

Según la definición de límite, si el límite por la izquierda y por la derecha es

diferente, el límite no existe. Por lo tanto, f(x) NO es diferenciable en x = 2.