rectas plano

7/25/2019 Rectas Plano

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EJERCICIOS: 5-10- 15- 20- 25- 30- 35- 40-

1.- Averigua la ecuacin implcita de la recta que pasa por el punto

P(2, -2) y cuya pendiente es m= -3.

Solucin:

Escribimos la ecuacin punto-pendiente y operamos:

2.- Escribe la ecuacin implcita de la recta que pasa por P(-1, 2) y es

paralela a

3x- y+ 4 = 0.

Solucin:

Obtenemos la pendiente de la recta dada:

La recta paralela tiene la misma pendiente; su ecuacin ser:

3.-Halla la ecuacin implcita de la recta que pasa por P(-2, 5) y es

Solucin:

Las ecuaciones paramtricas son:

Multiplicamos por 3 la primera ecuacin y sumamos:

La ecuacin implcita es 3x+ y+ 1 = 0.

4.- Halla la ecuacin implcita de la recta cuyas ecuaciones paramtricas son:

CTASPLANO http://www.rinconsolidario.org/mates/GEOMETRIAPLANA.htm

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Solucin:

Multiplicamos por 3 la primera ecuacin y por 2 la segunda, y sumamos:

La ecuacin implcita es 3x+ 2y+ 7 = 0.

INICIO

5.- Halla el valor de k para que las rectas

2x-3y+ 4 = 0 -3x+ ky -1 = 0

sean perpendiculares.

Solucin:

Despejamos y para obtener la pendiente de cada recta:

Para que sean perpendiculares, tiene que cumplirse:

6.- Escribe la ecuacin implcita de la recta que tiene pendiente 2 y pasa por

el

punto P(-1, 4).

Solucin:

Escribimos la ecuacin punto-pendiente y operamos:

7.- Cul ha de ser el valor de k para que estas dos rectas sean paralelas?

x+ 3y -2 = 0 kx+ 2y+ 3 = 0

Solucin:

Despejamos y en cada ecuacin para obtener la pendiente de cada recta:


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Para que sean paralelas, las pendientes han de ser iguales:

8.- Halla la ecuacin implcita de la recta perpendicular a 2x+ y-3 = 0

que pasa por el punto P(1, 1).

Solucin:

Obtenemos la pendiente de la recta dada:

La pendiente de la perpendicular es:

La ecuacin de la recta buscada ser:

9.- Escribe la ecuacin implcita de la recta que pasa por los puntos

P(3, -1) y Q(2, -4).

Solucin:

La pendiente de la recta es:

La ecuacin ser:

INICIO

10.- Dadas las rectas:

halla el valor de k para que r y s sean perpendiculares.

Solucin:


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Obtenemos la pendiente de cada una de la rectas:

Para que r y s sean perpendiculares, ha de cumplirse que:

11.- Escribe las ecuaciones paramtricas de la recta que pasa por P(2, -1) y

es

perpendicular a la recta de ecuacin 3x -2y+ 1 = 0.

Solucin:

12.- Averigua la posicin relativa de las rectas (si se cortan, averigua en qu

punto):

Solucin:

Cambiamos el parmetro en la recta s:

Igualamos:

No tiene solucin Las rectas son paralelas.

13.- Averigua el ngulo formado por las rectas:

Solucin:


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Hallamos el ngulo que forman los vectores direccin de las dos rectas:

Vector direccin de r (4, 3)

Vector direccin de s (-1, 2)

14.- Escribe las ecuaciones paramtricas de la recta que pasa por los puntos

P(-1, 3) y Q(-2, 8).

Solucin:

INICIO

15.- Dadas las rectas:

averigua su posicin relativa. Si se cortan, di cul es el punto de corte:

Solucin:


Igualamos:

Infinitas soluciones Se trata de la misma recta; r y s coinciden.

16.- Determina el ngulo que forman las rectas:

Solucin:

Vector direccin de r (3,-1)


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Vector direccin de r (2, 4)

Vector direccin de s (2,-1)

Llamamos a al ngulo que forman r y s:

Es decir, las rectas son perpendiculares.

INICIO

20.- Halla las ecuaciones paramtricas de la recta paralela a 2x -y+ 3 = 0 y

que

pasa por el punto P(4, 3).

Solucin:

21.- Determina la posicin relativa de estas rectas. Si se cortan, di en qu

punto:

Solucin:


Igualamos:

Sustituyendo t= 1 en las ecuaciones de r (o bien k= 2 en las de s), obtenemos

el punto de corte de las dos rectas:


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22.- Halla el ngulo que forman las rectas:

Solucin:

El ngulo que forman r y s lo podemos hallar a partir de sus vectores direccin:

Vector direccin de r (-3, 2)

Vector direccin de s (-4,-6)

Es decir, r y s son perpendiculares.

23.- Halla las ecuaciones paramtricas de la recta que pasa por los puntos

A(2, -3) y B(-1, 4).

Solucin:

24.- Determina la posicin relativa de las siguientes rectas. Si se cortan,

averigua en qu punto:

Solucin:


Igualamos:


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Sustituimos t=-2 en las ecuaciones de r (o bien, k=-1 en las de s) para

obtener el punto de corte de r y s:

INICIO

25.- Averigua si estas dos rectas son perpendiculares. Si no lo fueran, halla el

ngulo que forman:

Solucin:

Vector direccin de r (-2, 3)

Vector direccin de s (4,-6)

Llamamos a al ngulo formado:

26.- Halla el valor de k para que la distancia del punto P(2,k) a la recta

Solucin:

Hay dos posibilidades:

27.- Halla el rea del tringulo de vrtices:

A(3, 1) B(6, -2) C(0, -4)

Solucin:


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1.) Tomamos el lado BC como base del tringulo:

2.) La altura es la distancia de A a la recta que pasa por B y C. Hallamos la

ecuacin de dicha recta:

Por tanto:

3.) El rea del tringulo es:

28.- Halla la distancia de P a Q y de P a r, siendo:

P(-1, -1), Q(2, -3) y r: 3x -y+ 6 = 0

Solucin:

29.- Calcula los vrtices y el rea del tringulo cuyos lados estn sobre las

rectas:

Solucin:


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1.)Los vrtices del tringulo son los puntos de corte de las rectas:

Punto B(3, 1)

2.)Tomamos el lado AC como base del tringulo:

3.)La altura es la distancia de Ba la recta que pasa por A y por C (que es el

eje Y). Por tanto:

altura=3

4.)El rea del tringulo es:

INICIO

30.- Calcula la distancia del punto P(-3, 5) a la recta r: y= 2x-3.

Solucin:

Expresamos la recta en forma implcita:


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Por tanto:

31.- Halla las coordenadas del punto simtrico de P(3, -4) respecto a la recta

r: -3x+ y+ 2 = 0.

Solucin:

1.) Hallamos la ecuacin de la recta, s, que es perpendicular a r y que pasa por

P:

2.) Hallamos el punto de corte, M, entre r y s:

3.) Si llamamos P(x, y) al simtrico de P con respecto a r, M es el punto

medio entre P y

P. Por tanto:


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32.- Dados los puntos P(3, 2) y Q(-2, 4), y la recta r: 2x+ y -3 = 0; calculala distancia:

a) Entre P y Q.

b) De P a r.

Solucin:

33.- Halla el rea del paralelogramo de vrtices A(1, 1), B(5, 2), C(4, 4) y D(0,

3).

Solucin:

1.)Tomamos como base el lado AB:

2.)La altura es la distancia del vrtice C (o del D) a la recta que pasa por A y

B. Obtengamos la ecuacin de dicha recta.


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As, el rea es:

34.- Halla la distancia del punto P(2, -1) a la recta:

Solucin:

Expresamos r en forma implcita:

Hallamos la distancia de P a r :

INICIO

35.- Dado el tringulo de vrtices A(-1, -1), B(1, 4) y C(5, 2), halla lasecuaciones de sus tres medianas y calcula el baricentro (punto de

interseccin de las medianas).

Solucin:

1.)Hallamos los puntos medios de cada lado:

2.)Hallamos las ecuaciones de las tres medianas:


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La que pasa por A y M2:

La que pasa por B y M3:

La que pasa por C y M1:

3.)Hallamos el baricentro como punto de corte de las medianas:

36.- Obtn la ecuacin de la mediatriz del segmento de extremos A(2, 3) y

B(4, 1).

Solucin:

Los puntos P(x,y) de la mediatriz cumplen que:

dist(P, A)= dist(P, B), es decir:

Elevamos al cuadrado en los dos miembros y operamos:

Es una recta perpendicular al segmento AB, que pasa por su punto medio.

37.- Halla la ecuacin de las bisectrices de los ngulos formados por las

rectas


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r1: x+3y-1 =0 y r2: 3x -y+4 =0.

Solucin:

Los puntos P(x, y) de las bisectrices cumplen que:

dist(P, r1)= dist(P, r2), es decir:

Son dos rectas perpendiculares entre s, que se cortan en el mismo punto que r1 y

r2.

38.- Obtn el lugar geomtrico de los puntos, P, del plano tales que:

Qu figura obtienes?

Solucin:

Si P(x, y) es un punto del lugar geomtrico, tenemos que:

39.- Identifica y halla la ecuacin del lugar geomtrico de los puntos, P, del

plano tales

que su distancia a la recta r1: x+y+1 =0 sea igual que su distancia a la

recta

r2: 2x+2y+4 =0.

Solucin:

Las dos rectas dadas,


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r1: x+y+1=0 y r2: x+ y+2=0,

son rectas paralelas. Por tanto, el lugar geomtrico pedido ser otra recta, paralela a

las dos, a igual distancia de ellas:

Hallamos su ecuacin:


dist(P, r1)= dist(P, r2), es decir:

Observamos que la recta obtenida es paralela a r1 y r2.

INICIO

40.- Halla la ecuacin del lugar geomtrico de los puntos, P, del plano tales

que su distancia al punto A(1, 0), es el triple de su distancia a la recta x=2.

Identifica la figura que obtienes.

Solucin:


41.- Halla el lugar goemtrico de los puntos, P, del plano tales que su

distancia a Q(2, 4) sea igual a 3. De qu figura se trata?

Solucin:

Es una circunferencia de centro (2, 4) y radio 3. Hallamos su ecuacin:


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dist(P, Q)=3, es decir:

42.- Halla el lugar geomtrico de los puntos del plano, P(x, y), tales que el

tringulo ABP sea rectngulo en P, siendo A(2, 1) y B(-6, 1). Interpreta la

figura que obtienes.

Solucin:

Para que el tringulo sea rectngulo en P, se ha de cumplir que:

Obtenemos una circunferencia de centro (-2, 1) (que es el punto medio del

segmento AB) y de radio 4.

43.- Halla el lugar geomtrico de los puntos, P, del plano cuya distancia a

A(2, 0) sea el doble de la distancia a B(-1, 0). Identifica la figura resultante.

Solucin:


44.- Calcula los vrtices y el rea del tringulo cuyos lados estn sobre lasrectas:


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Solucin:

1.)Los vrtices del tringulo son los puntos de corte de las rectas:

Punto B(3, 1)

2.)Tomamos el lado AC como base del tringulo:

3.)La altura es la distancia de Ba la recta que pasa por A y por C (que es el

eje Y). Por tanto:

altura=3

4.)El rea del tringulo es:

INICIO


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