COLEGIO ACADÉMICO NOCTURNO LA CUESTA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

CICLO DIVERSIFICADO

DÉCIMO AÑO

HABILIDADES

ANALIZAR GEOMÉTRICAMENTE Y ALGEBRAICAMENTE LA POSICIÓN

RELATIVA ENTRE RECTAS EN EL PLANO DESDE EL PUNTO VISTA DEL

PARALELISMO Y LA PERPENDICULARIDAD

APLICAR LA PROPIEDAD QUE ESTABLECE QUE UNA RECTA TANGENTE A

UNA CIRCUNFERENCIA ES PERPENDICULAR AL RADIO DE LA

CIRCUNFERENCIA EN EL PUNTO DE TANGENCIA.

PROF. ARGENIS MÉNDEZ VILLALOBOS

II TRIMESTRE 2015

2

Contenido 1- Acerca de las rectas .................................................................................................................. 1

1-1 Autoevaluación ................................................................................................................ 3

2- Tipos de rectas.......................................................................................................................... 4

2-1 Rectas paralelas ..................................................................................................................... 4

2-2 Autoevaluación .................................................................................................................. 5

2-3 Rectas perpendiculares ......................................................................................................... 5

2-4 Autoevaluación .................................................................................................................. 7

1

1- Acerca de las rectas

Situación problema:

“el papá de Bernardo tiene una planta purificadora de agua. El cliente acude con

su garrafón y en el negocio lo lavan y lo llenan de agua purificada. El precio al que

vende cada garrafón de 20 litros es de $ 10”

si en total se vendieron 100 garrafones, complete la tabla de análisis siguiente:

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado

Garrafones

vendidos

15 16 20 17 18

Dinero

obtenido

Con base a lo anterior podemos representar la situación anterior gráficamente:

Como se observa en la gráfica anterior, todos los puntos se ajustan sobre una recta,

por lo que podemos representar la situación usando un modelo matemático

(ecuación)

2

Demostración de la ecuación de una recta:

Cada uno de los triángulos son semejantes por el principio A-A-A, ya que sus

ángulos son congruentes dado que son correspondientes entre paralelas a estos los

llamamos ∡𝛼 por lo que tenemos lo siguiente:

tan(𝛼) 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

Y se calcula por medio de la fórmula, utilizando dos puntos (𝑥, 𝑦) ∧ (𝑥1, 𝑦1)

tan(𝛼) =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒= 𝑚 = 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 =

𝑦1 − 𝑦

𝑥1 − 𝑥

Además contiene una constante “b” que se puede calcular utilizando la siguiente

fórmula:

𝑏 = 𝑦 − 𝑚 ∙ 𝑥

Por lo tanto la ecuación canónica de una recta es:

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

3

Y la ecuación general de una recta viene dada por:

𝑎𝑥 + 𝑐𝑦 + 𝑒 = 0 ; 𝑐𝑜𝑛 𝑎, 𝑐, 𝑒 ∈ ℝ

1-1 Autoevaluación

Sea f una función lineal que contiene los puntos (−3,4)𝑦 (100,200),

¿encuentre la pendiente de la función f?

Sea f una función lineal con pendiente 1

4 y contiene el punto (−2,3). ¿Cuál es

el valor de b?

Sea f una función lineal que contiene los puntos (100,200) 𝑦 (−2,1),

¿encuentre la ecuación de la recta de f?

Considere la gráfica de la función f

y

f

x

2

1

–1

¿Encuentre la ecuación de la recta f?

4

2- Tipos de rectas

2-1 Rectas paralelas

Gráficamente podemos representar dos rectas paralelas:

Definición:

Sean dos rectas ℓ1 𝑦 ℓ2:

ℓ1: 𝑦 = 𝑚1𝑥 + 𝑏1

ℓ2: 𝑦 = 𝑚2𝑥 + 𝑏2

Ejemplo: Sean dos rectas ℓ1: 𝑦 = 3𝑥 − 9 “y” ℓ2: 𝑦 = 3𝑥 + 5 son paralelas dado que

el valor de sus pendientes son iguales:

Gráficamente:

ℓ1 ∥ ℓ2 ⇔ 𝑚1 = 𝑚2

𝑚1 = 𝑚2 = 3

5

2-2 Autoevaluación

Encuentre la ecuación de la recta que es paralela a la recta dada por

𝑦 = 4𝑥 − 5 y que contiene al punto (−8,7)

Sea ℓ1 ∥ ℓ2 “y” ℓ1: 𝑦 =−3

4𝑥 + 1 , encuentre la ecuación de la recta para ℓ2, si esta

contiene al punto (5

6, 0).

Considere la siguiente gráfica:

Encuentre una recta paralela a la recta que se presenta en la gráfica y que contenga

al punto (−8,11)

2-3 Rectas perpendiculares

Gráficamente podemos representar dos rectas perpendiculares:

Sean ℓ1⋀ ℓ2

ℓ1: 𝑦 = 𝑚1𝑥 + 𝑏1

ℓ2: 𝑦 = 𝑚2𝑥 + 𝑏2

Entonces:

ℓ1 ⊥ ℓ2 ⇔ 𝑚1 ∙ 𝑚2

𝑚2 =−1

𝑚1

6

Ejemplo:

Encuentre una recta perpendicular a la recta dada por 𝑦 = 5𝑥 − 3 y que contenga al

punto (7, −11)

Solución:

En la recta 𝑦 = 5𝑥 − 3, el valor 𝑚 = 5, entonces para encontrar la pendiente de

recta perpendicular utilizamos:

𝑚2 =−1

𝑚1=

−1

5 , luego utilizamos el punto (7, −11) para encontrar el valor de b

𝑏 = 𝑦 − 𝑚 ∙ 𝑥

𝑏 = −11 −−1

5∙ 7

𝑏 = −48

5

Por lo tanto:

La ecuación de la recta es: 𝑦 =−1

5𝑥 −

48

5

Gráficamente:

5 ∙−1

5= −1

7

2-4 Autoevaluación

Encuentre la ecuación de la recta perpendicular a la recta dada por

𝑦 = 12𝑥 − 5 y que contiene al punto (5,1).

Sean ℓ1 ⊥ ℓ2 , ℓ1: 𝑦 =3

4𝑥 − 9, entonces, ¿encuentre la ecuación de la recta

para ℓ2 y que contiene al punto (−13, −8).

Considere la gráfica siguiente:

Encuentre la ecuación de una recta perpendicular a recta dada en la gráfica y que

contenga al punto (3

7, −6).