razonamiento aritmetico2

8/18/2019 razonamiento aritmetico2

1/98

Ecaciones de primer grado y segundo grado

Una ecuación de primer grado es una igualdad algebraica que se expresa de la

forma a x + b = 0 ; donde a y b son números reales cualesquiera y a es distinta decero.

La solución será única y endrá dada por x = !b"a.

Resolver una ecuación de primer grado con paréntesis consiste en eliminar lospar#ntesis aplicando las reglas de la suma y de la multiplicación para conseguir llegara una expresión similar a la dada en la definición y as$ conseguir obtener la soluciónde la misma.

%n la siguiente escena te proponemos querepases el m#todo de resolución de

ecuaciones de primer grado para la ecuación&

'()x + * ! x ! , (x!- = (x+-

/ara ello resuelelo en tu cuaderno de trabaoy posteriormente aumenta el número depasos para comprobar que lo 1as reali2adocorrectamente.

-. 3esuele en tu cuaderno4 según el m#todoestudiado las siguiente ecuaciones queposteriormente utili2arás&

• *()x+5!x ! '(x+!)x = 'x ! *(x+5

• )(x!*+)x + 6(x!7!5x = )(x!- !

*('x!)

• '(x+) ! *(x!- = x + --

• !)(x+-6!*x+) ! ' = 7x ! )('x!*

• !'()x+6!5x ! ' (x!) = !*

%n el caso de que sólo exista solución4 estaes única4 es decir4 1ay un único valor parala variable x que satisface la ecuación. 8odebes confundir el t#rmino de ecuación conel t#rmino de identidad.

%n la siguiente escena amos a er la


2/98

Ecuaciones de dos o tres incognitas

Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas

Método de sustitución

1 9e despea una incógnita en una de las ecuaciones.

2 9e sustituye la expresión de esta incógnita en la otra

ecuación4 obteniendo un ecuación con una sola incógnita.

3 9e resuele la ecuación.

4 %l alor obtenido se sustituye en la ecuación en la que

aparec$a la incógnita despeada.

5 Los dos alores obtenidos constituyen la solución del

sistema.

Eemplo

1 !espeamos una de las incógnitas en una de las dos

ecuaciones. %legimos la incógnita que tenga el coeficiente más

bao.


3/98

2 Sustituimos en la otra ecuación la ariable x4 por el

alor anterior&

3 Resolvemos la ecuación obtenida&

4 Sustituimos el valor obtenido en la ariable despeada.

5 Solución

Método de igualación

1 9e despea la misma incógnita en ambas ecuaciones.

2 9e igualan las expresiones4 con lo que obtenemos una

ecuación con una incógnita.

3 9e resuele la ecuación.


4/98

4 %l alor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos

expresiones en las que aparec$a despeada la otra incógnita.


sistema.

Eemplo

1 !espeamos4 por eemplo4 la incógnita x de la primera y

segunda ecuación&

2 "gualamos ambas expresiones&

3 Resolvemos la ecuación&


5/98

4 Sustituimos el alor de #4 en una de las

dos expresiones en las que tenemosdespeada la x&

5 Solución&

Método de reducción

1 9e preparan las dos ecuaciones4 multiplicándolas por los

números que conenga.

2 La restamos4 y desaparece una de las incógnitas.

3 9e resuele la ecuación resultante.

4 %l alor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones

iniciales y se resuele.


sistema.

Eemplo


6/98

Lo más fácil es suprimir l a y4 de este modo no tendr$amos

que preparar las ecuaciones; pero amos a optar por suprimir la

x4 para que eamos meor el proceso.

3estamos y resolemos la ecuación&

9ustituimos el alor de y en la segunda ecuación inicial.

9olución&

Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas

Método de $auss


7/98

%ste m#todo consiste en util i2ar el método de

reducción de manera que en cada ecuación tengamos una

incógnita menos %ue en la ecuación precedente .

1& /onemos como primera ecuación la que tenga el

como coe'iciente de x( 1 ó )1 4 en caso de que no fuera posible

lo 1aremos con y o 24 cambiando el orden de las incógnitas.

2& :acemos reducción con la 1* # 2* ecuación 4

para eliminar el t#rmino en x de la 2* ecuación . espu#s

ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación&

3& :acemos lo mismo con la ecuación 1* # 3* ecuación 4

para eliminar el t#rmino en x.

4&


8/98

1& /onemos como primera ecuación la que tenga el

como coe'iciente de x( 1 ó )1 4 en caso de que no fuera posible

lo 1aremos con y o 24 cambiando el orden de las incógnitas.

2& :acemos reducción con la 1* # 2* ecuación 4

para eliminar el t#rmino en x de la 2* ecuación . espu#s

ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación&

E,2 - E2 . 3E1

3& :acemos lo mismo con la ecuación 1* # 3* ecuación 4

para eliminar el t#rmino en x.

E,3 - E3 . 5E1


9/98

4& y + ' ?- = >) # - +

x + , >- = - x - .4

Sistemas de ecuaciones no lineales

La resolución de estos sistemas se suele 1acer por

el método de sustitución 4 para ello seguiremos los siguientes

pasos&

http://www.vitutor.net/algebra/sistemas%20I/esc.htmlhttp://www.vitutor.net/algebra/sistemas%20I/esc.html


10/98

1& 9e despea una incógnita en una de las ecuaciones4

preferentemente en la de primer grado .

2& Se sustitu#e el alor de la incógnita despeada en la

otra ecuación0

3& Se resuelve la ecuación resultante.

4& @ada uno de los valores obtenidos se sustitu#e en la

otra ecuación 4 se obtienen as$ los alores correspondientes de

la otra incógnita.

Eemplo

La resolución de estos sistemas se suele 1acer por

el método de sustitución 4 para ello seguiremos los siguientes

pasos&

1& 9e despea una incógnita en una de las ecuaciones4

preferentemente en la de primer grado .

y = 7 > x

2& Se sustitu#e el alor de la incógnita despeada en la

otra ecuación0


11/98

x) + (7 > x ) = )5

3& Se resuelve la ecuación resultante.

x) + ' > -'x + x) = )5

)x) > -'x + )' = 0

x) > 7x + -) = 0

4& @ada uno de los valores obtenidos se sustitu#e en la

otra ecuación 4 se obtienen as$ los alores correspondientes de

la otra incógnita.

x - 3 y = 7 > * # - 4

x - 4 y = 7 > ' # - 3

x = ; y = ; 2 =


12/98

2

x = ; y = ; 2 =

D E F I N I C I Ó N D E RELACIÓN MATEMÁTICA

Una relación es un vínculo o una correspondencia. En el caso de la relación

matemática, se trata de la correspondencia que existe entre dos

conjuntos: a cada elemento del primer conjunto le corresponde al menos un

elemento del segundo conjunto.

Cuando a cada elemento de un conjunto le corresponde solo uno del otro, se habla

de función. Esto quiere decir que las funciones matemáticas siempre son, a su vez,relaciones matemáticas, pero que las relaciones no siempre

son funciones.

En una relación matemática, al primer conjunto se lo conoce

como dominio, mientras que el segundo conjunto recibe el

nombre de rango o recorrido. as relaciones matemáticas e!istentes entre ellos

se pueden graficar en el esquema llamado plano cartesiano.

"upongamos que el dominio se llama M # el rango, N. Una relación matemática

de M en N será un subconjunto del producto cartesiano M x N. as relaciones, en

otras palabras, serán pares ordenados que vinculen elementos de M con elementos

de N.

http://definicion.de/relacion-matematica/http://definicion.de/relacion-matematica/http://definicion.de/relacion-matematica/http://definicion.de/relaciones/http://definicion.de/funcion/http://definicion.de/plano-cartesiano/http://definicion.de/plano-cartesiano/http://definicion.de/dominio/http://definicion.de/relacion-matematica/http://definicion.de/relaciones/http://definicion.de/funcion/http://definicion.de/plano-cartesiano/http://definicion.de/dominio/


13/98

"i M = {5, 7 ! N = {", #, $, el producto cartesiano de M x N serán los

siguientes pares ordenados:

M x N = {(5, 3), (5, 6), (5, 8), (7, 3), (7, 6), (7, 8)}

Con este producto cartesiano, se pueden definir diferentes relaciones. a relación

matemática del conjunto de pares cu#o segundo elemento es menor a 7 es R = {(5,

3), (5, 6), (7, 3), (7, 6)}

$tra relación matemática que puede definirse es aquella del conjunto de pares cu#o

segundo elemento es par: R = {(5, 6), (5, 8), (7, 6), (7, 8)}

as aplicaciones de las relaciones matemáticas trascienden los l%mites de la

ciencia, #a que en nuestra vida cotidiana solemos hacer uso de sus principios,

muchas veces de manera inconsciente. Seres humanos, edificios,

elecrodom!sicos, "el#culas $ ami%os, entre otros muchos, son algunos de

los con&unos más comunes de inter&s para nuestra especie, # a diario establecemos

relaciones entre ellos para organizarnos # participar de nuestras actividades.

'e acuerdo con el n(mero de conjuntos que participen del producto cartesiano, es

posible reconocer diversos tipos de relación matemática, algunos de los cuales se

definen brevemente a continuación.

%elación unaria

Una relación unaria se da cuando se observa

un solo conjunto, # la misma puede definirse como el subconjunto de los elementos

que pertenecen al mismo # cumplen una condición determinada, e!presada en la

http://definicion.de/producto/http://definicion.de/aplicacion/http://definicion.de/aplicacion/http://definicion.de/condicion/http://definicion.de/condicion/http://definicion.de/producto/http://definicion.de/aplicacion/http://definicion.de/condicion/


14/98

relación. )or ejemplo, dentro del conjunto de n(meros naturales, podemos definir

una relación unaria *a la cual llamaremos &+ de los n(meros pares, de manera que

de todos los elementos de este conjunto, tomaremos aqu&llos que respondan a

dicha condición # formaremos un subconjunto, el cual comienza de la siguiente

manera: ' = {,,6,8,*}

%elación 'inaria

Como su nombre lo indica, esta relación matemática parte de dos conjuntos, # por

lo tanto la complejidad aumenta considerablemente. os elementos de ambos

pueden relacionarse de más formas, # los subconjuntos resultantes se e!presan

como pares ordenados, tal como se demuestra en párrafos anteriores. En las

matemáticas, esto suele estar de fondo en muchas de las funciones más comunes,

que tienen como variables ! # x, #a que se busca un par de valores *uno de cada eje+

que permitan resolver una ecuación *que cumplan la condición+.

%elación ternaria

Cuando definimos una condición que deben cumplir elementos de tres conjuntos

diferentes, hablamos de relación ternaria, # el resultado es una o más ternas *el

equivalente a los pares ordenados pero con tres elementos+. etomando el

conjunto de n(meros naturales, que nos permite hacer cálculos sencillos, un

ejemplo de relación matemática de este tipo es aqu&lla en la cual a + = c, de

manera que podr%amos obtener un subconjunto que comienza as%: R = {(3,,-),

(,3,-), (5,3,), *}

ee todo en: 'efinición de relación matemática - u& es, "ignificado #Concepto http://definicion.de/relacion-matematica/0i!zz112r3456#

7unción

http://definicion.de/ecuacion/http://definicion.de/ecuacion/http://definicion.de/terna/http://definicion.de/terna/http://definicion.de/relacion-matematica/#ixzz44Jr2NI8yhttp://definicion.de/relacion-matematica/#ixzz44Jr2NI8yhttp://definicion.de/relacion-matematica/#ixzz44Jr2NI8yhttp://definicion.de/relacion-matematica/#ixzz44Jr2NI8yhttp://definicion.de/ecuacion/http://definicion.de/terna/http://definicion.de/relacion-matematica/#ixzz44Jr2NI8yhttp://definicion.de/relacion-matematica/#ixzz44Jr2NI8yhttp://definicion.de/relacion-matematica/#ixzz44Jr2NI8y


15/98

ados dos conuntos A y B4 llamamos 'unción a la

correspondencia de en en la cual todos los elementos de

tienen a lo sumo una imagen en 4 es decir una imagen o

ninguna.

unción real de variable real es toda correspondencia ' %ue

asocia a cada elemento de un determinado subconunto de

números reales llamado dominio otro número real0

' ( !

x 'x6 - #

%l subconunto en el que se define la función se llama dominio o

campo existencia de la 'unción . 9e designa por .

%l número x perteneciente al dominio de la función recibe el

nombre de variable independiente .

l número # asociado por ' al valor x se le llama variable

dependiente0 7a imagen de x se designa por 'x6 . Luego

#- 'x6

9e denomina recorrido de una función al conunto de los valores

reales %ue toma la variable # o 'x6 .

x


16/98

8onunto inicial 8onunto 'inal

!ominio 8onunto imagen o recorrido

El dominio es el conunto de elementos %ue tienen imagen0

! - 9x ∈ : ∃ ' x6;

El recorrido es el conunto de elementos %ue son im


17/98

El número x %ertenecente al dominio de la func!n recbe el nombre de variable

independiente"

Conjunto inicial Conjunto final

Dominio Conjunto imagen o recorrido

Estudio del dominio de una 'unción

Dominio de la función polinómica entera

El dominio es R & cualquer número real tene ma$en"

Ejemplo

f'()* (+ , -( . / D=R


18/98

Dominio de la función racional

El dominio es R menos los valores que anulan al denominador 'no %uede e(str

un número cu0o denomnador sea cero)"

Ejemplo

Dominio de la función irracional de índice impar

El dominio es R.

Ejemplos

1.

.

Dominio de la función irrracional de índice par

El dominio est! formado por todos los valores que "acen que el radicando sea

ma#or o igual que cero.

Ejemplos


19/98

1.

.

$.

%.


20/98

Dominio de la función logarítmica

El dominio est! formado por todos los valores que "acen que el la función

contenida dentro del logaritmo sea ma#or que cero.

Ejemplo

Dominio de la función exponencial

El domno de la func!n e(%onencal es R

Dominio de la función seno

El domno de la func!n seno es R

Dominio de la función coseno

El domno de la func!n coseno es R

Dominio de la función tangente


21/98

Dominio de la función cotangente

Dominio de la función secante

Dominio de la función cosecante

Dominio de operaciones con funciones

# rel1amos o%eracones con funcones& el domno de la func!n resultante ser23


22/98

Ejemplo

1- Interpretación de tablas de frecuencias

Una tabla de frecuencias resume la información acerca de la cantidad de veces que

una variable toma un valor determinado. Además permite Organizar e interpretar de

manera más rápida y eficiente.

1.1- La frecuencia absoluta

Corresponde a la cantidad de veces que se repite un dato. Denotamos este valor

por ' i0


23/98

La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos que se

representa por N.

!or "#emplo$

%i &acemos una encuesta a '( personas para saber cuál es su color favorito

obtenemos lo siguiente$

)*abla +,

1.2- La Frecuencia Absoluta Acumulada

%e obtiene sumando sucesivamente las frecuencias absolutas. Denotamos este valor

por i0

)*abla ',


24/98

1.-La Frecuencia !elati"a

"s la probabilidad de obtener cierto dato se obtiene calculando la razón entre la

frecuencia absoluta de un dato con el total. %e puede e-presar como fracción decimal

o porcenta#e. Denotamos este valor por = i0

)*abla,


25/98

!ara obtener el numero en decimal se divide la frecuencia absoluta por el total y para

obtener el porcenta#e se multiplica este decimal por +((.

Los e#emplos representan una tabla de frecuencias de datos No agrupados# en el

caso de las tablas de datos Agrupados representan las frecuencias en rangos de

datos como en el siguiente caso.

%e entrevistan a '/ personas que realizan un taller preguntándoles la edad que

tengan$

)tabla 0,

1.$- Frecuencia relati"a acumulada

La frecuencia relativa acumulada es el cociente entre la frecuencia acumulada de un

determinado valor y el número total de datos. %e puede e-presar en tantos por ciento.

Denotamos este valor por > i


26/98

%e calcula$

i :?

Medidas de la tendencia central (media, mediana, moda y mediarecortada)

Más información sobre Minitab 17

EN ESTE TEMA

• Media

• Mediana

• Moda

• Media recortada

• so de las medidas de tendencia central !ara describir distribuciones

asim"tricas

• #om!aración de la media y la mediana

• $#ómo !uedo mostrar estos estad%sticos&

Media

tilice la media !ara describir un con'unto entero de obseraciones con un solo

alor ue re!resenta el centro de los datos* Muc+os análisis estad%sticos utilian la

media como un !unto de referencia estándar* -a media es la suma de todas lasobseraciones diidida entre el n.mero de obseraciones*

/or e'em!lo, el tiem!o de es!era (en minutos) de cinco clientes de un banco es0 ,

2, 3, 1 y 2* El tiem!o medio de es!era es0

http://www.minitab.com/products/minitab/http://support.minitab.com/es-mx/minitab/17/topic-library/basic-statistics-and-graphs/summary-statistics/measures-of-central-tendency/#meanhttp://support.minitab.com/es-mx/minitab/17/topic-library/basic-statistics-and-graphs/summary-statistics/measures-of-central-tendency/#medianhttp://support.minitab.com/es-mx/minitab/17/topic-library/basic-statistics-and-graphs/summary-statistics/measures-of-central-tendency/#modehttp://support.minitab.com/es-mx/minitab/17/topic-library/basic-statistics-and-graphs/summary-statistics/measures-of-central-tendency/#trimmed-meanhttp://support.minitab.com/es-mx/minitab/17/topic-library/basic-statistics-and-graphs/summary-statistics/measures-of-central-tendency/#using-measures-of-central-tendency-to-describe-skewed-distributionshttp://support.minitab.com/es-mx/minitab/17/topic-library/basic-statistics-and-graphs/summary-statistics/measures-of-central-tendency/#using-measures-of-central-tendency-to-describe-skewed-distributionshttp://support.minitab.com/es-mx/minitab/17/topic-library/basic-statistics-and-graphs/summary-statistics/measures-of-central-tendency/#comparing-the-mean-and-the-medianhttp://support.minitab.com/es-mx/minitab/17/topic-library/basic-statistics-and-graphs/summary-statistics/measures-of-central-tendency/#how-can-i-display-these-statisticshttp://www.minitab.com/products/minitab/http://support.minitab.com/es-mx/minitab/17/topic-library/basic-statistics-and-graphs/summary-statistics/measures-of-central-tendency/#meanhttp://support.minitab.com/es-mx/minitab/17/topic-library/basic-statistics-and-graphs/summary-statistics/measures-of-central-tendency/#medianhttp://support.minitab.com/es-mx/minitab/17/topic-library/basic-statistics-and-graphs/summary-statistics/measures-of-central-tendency/#modehttp://support.minitab.com/es-mx/minitab/17/topic-library/basic-statistics-and-graphs/summary-statistics/measures-of-central-tendency/#trimmed-meanhttp://support.minitab.com/es-mx/minitab/17/topic-library/basic-statistics-and-graphs/summary-statistics/measures-of-central-tendency/#using-measures-of-central-tendency-to-describe-skewed-distributionshttp://support.minitab.com/es-mx/minitab/17/topic-library/basic-statistics-and-graphs/summary-statistics/measures-of-central-tendency/#using-measures-of-central-tendency-to-describe-skewed-distributionshttp://support.minitab.com/es-mx/minitab/17/topic-library/basic-statistics-and-graphs/summary-statistics/measures-of-central-tendency/#comparing-the-mean-and-the-medianhttp://support.minitab.com/es-mx/minitab/17/topic-library/basic-statistics-and-graphs/summary-statistics/measures-of-central-tendency/#how-can-i-display-these-statistics


27/98

En !romedio, un cliente es!era 2*3 minutos !ara ser atendido en el banco*

Mediana

tilice la mediana !ara describir un con'unto entero de obseraciones con un solo

alor ue re!resenta el centro de los datos* -a mitad de las obseraciones está !orencima de la mediana y la otra mitad está !or deba'o de "sta* Se determina al

'eraruiar los datos y +allar el n.mero de obseración 4N 5 16 2* Si +ay un

n.mero !ar de obseraciones, la mediana se e8tra!ola como el alor ue está

'usto en el medio entre el alor de las obseraciones N 2 y 4N 26 5 1*

/ara estos datos ordenados, la mediana es 1* Es decir, el 9:; de los alores es menorue o igual a 1 y el 9:; de los alores es mayor ue o igual a 1*

Moda

-a moda es el alor ue ocurre con más frecuencia en un con'unto de

obseraciones* Minitab tambi"n muestra cuántos !untos de los datos son iguales a

la moda* -a moda se !uede utiliar con la media y la mediana !ara !ro!orcionar

una caracteriación general de la distribución de los datos* Mientras ue la media y

la mediana reuieren un cálculo, la moda se obtiene sim!lemente contando el

n.mero de eces ue cada alor ocurre en un con'unto de datos*

El identi


28/98

Unimodal

Solo +ay una moda, =, ue ocurre con más frecuencia*

Bimodal

>ay dos modas, 3 y 1?* -os datos !arecen re!resentar 2 !oblaciones diferentes*

Media recortada

-a media recortada es la media de los datos sin el 9; su!erior y el 9; inferior de

los alores* tilice la media recortada !ara eliminar el im!acto de los alores muy

grandes o muy !eue@os sobre la media* #uando los datos contienen alores

at%!icos, la media recortada !uede ser una me'or medida de la tendencia central

ue la media*

-a l%nea aul re!resenta la media original, la cual es inuenciada notablemente !or los

alores e8tremos ue se encuentran más a la derec+a* -a l%nea ro'a re!resenta la

media recortada, ue se des!laa +acia la iuierda !orue Minitab e8cluye los alorese8tremos en el 9; más alto de los datos*

so de las medidas de tendencia central !ara describirdistribuciones asim"tricas


29/98

El centro de los datos es el área donde se aglomera la mayor%a de los alores de un

con'unto de datos* -a tendencia central se !uede describir mediante arios

estad%sticos diferentes, como la media, la media recortada, la mediana o la moda*

El conocer la tendencia central de los datos es un !rimer !aso im!ortante !ara

entenderlos*

-as re!resentaciones grá


30/98

El rango intercuartil es una me'or medida de dis!ersiónue la desiación estándar

cuando se trata de datos muy asim"tricos, !orue el rango intercuartil no se e

afectado !or los rangos e8tremos*

#om!aración de la media y la mediana

Si los datos son sim"tricos, las medidas de la tendencia central (media y mediana)

serán a!ro8imadamente iguales* Si los datos son asim"tricos, las medidas

!udieran des!laarse +acia las obseraciones más e8tremas* Entre estas medidas,

la media se e más afectada !or los alores e8tremos ue la mediana*

/or e'em!lo, esta distribución !resenta asimetr%a !ositia* Bbsere ue la media (C) se

des!laa +acia la derec+a en la dirección de la asimetr%a* -a mediana (D) está más

+acia la iuierda, más cerca de la mayor%a de las obseraciones* En este caso, la

mediana !odr%a ser una me'or manera de describir el centro de los datos ue la media*

89edidas de ariabilidad :ango, arianza,

# 'esviación Estándar8

Las medidas de 1ariabilidad tambi2n llamadas 3edidas de Dispersión indican ciertos aspectos del

con#unto de datos que no nos lo dicen las medidas de tendencia central por lo tanto una

descripcion mas detallada de la naturaleza de un con#unto de datos se obtiene cuando se utilizan

tanto las medidas de tendencia central como las de 1ariabilidad o Dispersión.

La 3edia se involucra para ubicar el centro de un con#unto de datos no obstante con frecuencia

resulta igualmente importante describir la manera en que los datos estan dispersos a casa lado del

centro.

4na 1ariacion grande indica poca &omogeneidad.


31/98

"-isten carias medidas de variabilidad las que nosotros abordaremos son las siguientes$

56ango

51arianza

5Desviación "stándar

7ota$ dic&as medidas solo tienen sentido para variables cuantitativas medidas en escalas de

intervalo o de razón

Datos Agrupados

!ango se calcula &allando la diferencia 8resta9 entre los valores má-imo y m:nimo donde

obtenemos$

6;valor ma-imo


32/98

) elear al cuadrado cada de las diferencias obtenidas en el !aso anterior*Lecuerda ue al elear al cuadrado un n.mero negatio "ste se uele!ositio* (8HC)2

3) Sumar todos los resultados obtenidos en el !aso anterior el cual es0 G(8HC)2

9)Iiidir el total del !aso 3 entre el n.mero de datos n

?) #alcular la ra% cuadrada del resultado anterior

Varianza es una medida de ariailidad ue se obtiene eleando al cuadradola desiación estándar se simbolia 0 (s)2

As% ue una e obtenida la desiación estándar soló +ay ue elear alcuadrado su alor y con ello obtenemos el alor de la ariana*

/ara Iatos Agru!ados se em!lean las mismas formulas nadamas e a+ora K8Kya no es alor del dato, sino ue a+ora es la Marca de #lase del interalo*

Relación entre la desviación estándar y el rango

!ara obtener una estimación de la desiación estándar cuando se conoce elrango de los datos e8iste una formula 0

s Q rango 3

Nota0 se usa el simbolo de a!ro8imación en lugar del igual, !uesto ue dic+aformula !ermite sólo una idea !reliminar del alor KsK* cabe aclarar ue estaformula no es siem!re álida !ara todo los casos es de!endiendo como secom!orten los datos*

La varian&a es la media aritm'tica del cuadrado de las desviaciones respecto a

la media de una dstrbuc!n estad4stca"

La 5aran1a se re%resenta %or "


33/98

ariana !ara datos agru!ados

6ara sm%lfcar el c!lculo de la varian&a 5amos o utl1ar las s$uentes

e(%resones que son equ5alentes a las anterores"

E'ercicios de ariana

Ejercicio 1:

Calcular la varian&a de la dstrbuc!n3

7& 8& 9& 9& 7& 9& 7& :9

Ejercicio 2:

Calcular la varian&a de la dstrbuc!n de la tabla3

xi f i xi · f i xi2 · f i


34/98

[10, 20) 15 1 15 225

[20, 30) 25 8 200 5000

[30,40) 35 10 350 12 250

[40, 50) 45 9 405 18 225

[50, 60 55 8 440 24 200

[60,70) 65 4 260 16 900

[70, 80) 75 2 150 11 250

42 1 820 88 050

/ro!iedades de la ariana

1 La varian&a ser2 sem%re un valor positivo o cero& en el caso de que las %untuacones sean $uales"

# a todos los valores de la 5arable se les suma un n(mero la varian&a no varía"

$ # todos los valores de la 5arable se multiplican %or

un n(mero la varian&a queda multiplicada %or elcuadrado de dc;o n(mero"


35/98

% # tenemos 5aras dstrbucones con la msma media 0 conocemos sus

res%ect5as varian&as se %uede calcular la varian&a total"

# todas las muestras tenen el msmo tama


36/98

1. /rdenamos los datos de menor a ma#or"

. =uscamos el lu$ar que ocu%a cada cuartil medante la

e(%res!n "N.mero im!ar de datos

+& -& 8& /& >& ?& 7

N.mero !ar de datos

+& -& 8& ?& /& >& :& 7

#álculo de los cuartiles !ara datos agru!ados

En %rmer lu$ar buscamos la clase donde se encuentra & en

la tabla de las frecuencias acumuladas"

0i es el l4mte nferor de la clase donde se encuentra el cuartl"

N es la suma de las frecuencas absolutas"

i21 es la frecuencia acumulada anteror a la clase del cuartl"


37/98

ai es la am%ltud de la clase"

E'ercicio de cuartiles

Calcular los cuartiles de la dstrbuc!n de la tabla3

f i i

[50, 60) 8 8

[60, 70) 10 18

[70, 80) 16 34

[80, 90) 14 48

[90, 100) 10 58

[100, 110) 5 63

[110, 120) 2 65

65

#álculo del !rimer cuartil


38/98

#álculo del segundo cuartil

#álculo del tercer cuartil

Los deciles son los nueve valores que dividen la sere de datos en die& partes

iguales"

Los deciles dan los 5alores corres%ondentes al :@& al +@""" 0 al 7@ de los datos"

D+ concde con la medana"

#álculo de los deciles

En %rmer lu$ar buscamos la clase donde se encuentra & en la

tabla de las frecuencas acumuladas"


39/98

0i es el l4mte nferor de la clase donde se encuentra el decl"

N es la suma de las frecuencas absolutas"

i21 es la frecuencia acumulada anteror a la clase el decl""


E'ercicio de deciles

Calcular los deciles de la dstrbuc!n de la tabla3

f i i

[50, 60) 8 8

[60, 70) 10 18

[70, 80) 16 34

[80, 90) 14 48

[90, 100) 10 58

[100, 110) 5 63

[110, 120) 2 65


40/98

65

#álculo del !rimer decil

#álculo del segundo decil

#álculo del tercer decil

#álculo del cuarto decil

#álculo del uinto decil


41/98

#álculo del se8to decil

#álculo del s"!timo decil

#álculo del octao decil

#álculo del noeno decil

Los percentiles son los 33 valores que dividen la sere de datos en 1-- partes

iguales"


42/98

Los percentiles dan los 5alores corres%ondentes al :& al +""" 0 al 77 de los

datos"

4+- concde con la mediana"

4+- concde con D+.

#álculo de los !ercentiles

En %rmer lu$ar buscamos la clase donde se encuentra & en

la tabla de las frecuencas acumuladas"

0i es el l4mte nferor de la clase donde se encuentra el %ercentl"

5 es la suma de las frecuencas absolutas"

i21 es la frecuencia acumulada anteror a la clase del %ercentl"


E'ercicio de !ercentiles

Calcular el percentil $+ # 6- de la dstrbuc!n de la tabla3

f i i

[50, 60) 8 8

[60, 70) 10 18


43/98

[70, 80) 16 34

[80, 90) 14 48

[90, 100) 10 58

[100, 110) 5 63

[110, 120) 2 65

65

/ercentil 9

/ercentil ?:

Cálculo de probabilidades


44/98

1. Conceptos.

Si tenemos una bolsa con una proporción

conocida de bolas blancas y bolas negras, el cálculo deprobabilidades es la parte de las matemáticas que

enseña a calcular la probabilidad de que si extraemos,

por ejemplo, una muestra de 10 bolas, 7 sean blancas.

Por otra parte, si tenemos una bolsa con

una proporción desconocida de bolas blancas y bolas

negras, la estadstica es la parte de las matemáticas

que enseña a calcular la probabilidad de que si

extraemos, por ejemplo, una muestra de 10 bolas en que

7 sean blancas, determinado inter!alo num"rico contengala proporción de bolas blancas de la bolsa con una

probabilidad alta. #a estadstica es la parte de las

matemáticas que trata de la recogida, el análisis y la

sntesis de datos de obser!aciones para estudiar

$enómenos colecti!os% la estadstica estudia

num"ricamente los $enómenos colecti!os incompletamente

conocidos. &o 'ay que con$undir la estadstica (como

ciencia) con una estadstica (que es un conjunto de

datos y 'ec'os reunidos, clasi$icados y computados).

*s decir, el cálculo de probabilidades estudia la

probabilidad de que una causa produ+ca determinado

$enómeno, mientras que la estadstica estudia la

probabilidad de que un $enómeno sea debido a

determinada causa. Por tanto, se puede decir que el

cálculo de probabilidades es la ciencia in!ersa de la

estadstica.

*n la naturale+a 'ay $enómenos deterministas y

$enómenos aleatorios. #os primeros son aquellos en que,conociendo las causas que los determinan, podemos

pre!er con certe+a el resultado. #os segundos son

aquellos que tienen muc'as y desconocidas causas que

los determinan y no podemos pre!er con certe+a el

resultado.


45/98

#a probabilidad de un suceso es la $recuencia a la

que tiende el resultado del suceso si se repite

inde$inidas !eces. #a probabilidad es una medida de la

incertidumbre de un suceso $uturo. #a probabilidad de

un suceso $uturo está ntimamente ligada con la

$recuencia con la que el suceso se 'a presentado en elpasado. Si impulsando 7.000 !eces una ruleta, su bola

'a cado unas 1.000 !eces en el n-mero 7, podemos creer

que la ruleta está bien equilibrada y que 'ay una

probabilidad de 17 que, si la impulsamos de nue!o, la

bola caiga en el n-mero 7. /demás, en esta ruleta

equilibrada, tanto si 'a salido !arias !eces seguidas

el n-mero como si 'ace muc'as !eces que no 'a salido

el n-mero , la probabilidad de que en la próxima

ocasión salga el n-mero es 17% la ruleta no tiene

memoria.

#a probabilidad de un suceso es el cociente de la

di!isión del n-mero de casos $a!orables al suceso por

el n-mero de casos posibles, si se pre!" que, tomando

un n-mero grande de los casos, se obser!ará

aproximadamente igual cantidad de cada caso posible.

#lamamos equiprobables los casos que creemos que se

daran con $recuencias muy iguales si repiti"semos el

suceso un gran n-mero de !eces. #os matemáticos

presentan el concepto de probabilidad con axiomas(llamados tambi"n postulados), es decir, que lo

presentan con proposiciones no demostradas pero que

parecen e!identes

/xioma 1 #a probabilidad de un acontecimiento

!ale entre 0 (si es imposible) y 1 (si es cierto).

/xioma 2 #a probabilidad de un acontecimiento

sumada a la probabilidad de que no suceda el

acontecimiento !ale 1.

/xioma #a probabilidad de un acontecimiento

compuesto de alternati!as mutuamente excluyentes !ale

la suma de las probabilidades de las alternati!as.


46/98

2. Teoremas.

/ partir de dic'os axiomas se pueden demostrar

los siguientes teoremas del cálculo de probabilidades.

2.1. 3eorema de adición (o de probabilidades totales).

Si un acontecimiento puede producirse por la

reali+ación de un acontecimiento A , o bien por la

reali+ación de un acontecimientoB, su probabilidad es

igual a la probabilidad de A más la probabilidad

de B menos la probabilidad de que A y B se produ+can a

la !e+. Simbólicamente se escribe

*jemplo

4na bolsa contiene 1 bolas numeradas de 1 a 1. 56uál

es la probabilidad de que, si sacamos una bola, "sta

tenga un n-mero m-ltiplo de o de

8a que de los 1 n-meros 'ay que son m-ltiplos

de , la probabilidad de que el n-mero sea m-ltiplo de

es

8a que de los 1 n-meros 'ay que son m-ltiplos

de , la probabilidad de que el n-mero sea m-ltiplo de

es

8a que de los 1 n-meros 'ay 1 que es m-ltiplo de

1, la probabilidad de que el n-mero sea m-ltiplo de

y de es


47/98

#a probabilidad buscada es, pues

9bser!ación al teorema de adición

*n ciertos casos los acontecimientos A y B son

incompatibles, es decir, no pueden suceder

simultáneamente. *ntonces

*jemplo/l ec'ar un dado de : caras, 5qu" probabilidad 'ay de

obtener ó

8a que obtener es incompatible con obtener

2.2. 3eorema de multiplicación (o de las probabilidadescompuestas).

Si para que se produ+ca un acontecimiento, debe

producirse un acontecimiento A y además un

acontecimiento B, la probabilidad compuesta del primer

acontecimiento es igual a la probabilidad

de A multiplicada por la probabilidad condicionada

de B despu"s de reali+arse A . Simbólicamente se

escribe

en donde es la probabilidad de B despu"s de

reali+arse A .

*jemplo


48/98

5;u" probabilidad 'ay de que extrayendo dos cartas de

una baraja de 2 cartas bien me+cladas se obtengan dos

ases 9bs"r!ese que la extracción es ex'austi!a% es

decir, que una !e+ sacado un naipe, "ste no se repone a

la baraja.

#a probabilidad de que el primer naipe sea un as

es

4na !e+ sacado el primer as, quedan sólo ases en

la baraja de 1 cartas% por tanto, la probabilidad de

sacar otro as es

/s pues, la probabilidad buscada es

9bser!ación al teorema de multiplicación

Si la probabilidad del acontecimiento A no esmodi$icada por la reali+ación del acontecimiento B, se

dice que los acontecimientos A y B son independientes y

entonces el teorema de multiplicación se escribe

*jemplo

56uál es la probabilidad de sacar no ex'austi!amente

dos ases de una baraja de 2 cartas *ste es el caso en

que despu"s de sacar el primer as, "ste se de!uel!e ala baraja y se me+cla de nue!o antes de buscar el

segundo as. *ntonces la probabilidad es


49/98

2.. 3eorema de la probabilidad de las 'ipótesis (o de


50/98

que responder a la pregunta siguiente si la bola es

blanca, 5qu" probabilidad 'ay de que pro!enga de la

urna y qu" probabilidad 'ay de que pro!enga de la

urna

Para responder a esta pregunta se aplica el

teorema de la probabilidad de las 'ipótesis con los

siguientes datos

n-mero de urnas

probabilidad de que se 'aya escogido la urna

probabilidad de que se 'aya escogido la urna

probabilidad de extraer una bola blanca de la urna

probabilidad de extraer una bola blanca de la urna

y se obtienen

probabilidad de que la bola blanca pro!enga de la

urna

probabilidad de que la bola blanca pro!enga de la

urna


51/98

2.=. 3eorema de la probabilidad en pruebas repetidas.

Si la probabilidad de un acontecimiento en una

prueba es p y e$ectuamos n pruebas repetidas iguales,

la probabilidad de obser!ar el acontecimiento r !eces

en el $uturo es

*jemplo

Si tiramos al aire un dado 20 !eces, 5cuál es la

probabilidad de obtener !eces el n-mero

#a probabilidad p !ale , luego

3. Cálculo práctico de las probabilidades.

Para calcular probabilidades, si el n-mero de

resultados $a!orables o el n-mero de resultados

posibles es grande, es engorroso contarlos% es

pre$erible calcularlos mediante el análisis

combinatorio que se !erá a continuación.

/demás, en algunos casos puede ser más $ácilcalcular la probabilidad contraria a la

probabilidad que se busca. *ntonces "sta se calcula

con


52/98

*sta $órmula se desprende del axioma 2.

.1. >órmulas del análisis combinatorio.

*l análisis combinatorio es la parte de lasmatemáticas que estudia la cantidad de grupos que

pueden $ormarse con elementos dados% estos grupos se

distinguen entre s por tener distintos n-meros de

elementos o por tener elementos distintos o por tener

ordenaciones distintas de los elementos dentro de cada

grupo o por tener !arias de estas circunstancias.

#a extracción de una muestra de elementos de un

conjunto se llama ex'austi!a si los elementos no se

de!uel!en al conjunto antes de 'acer una nue!aextracción% y se llama no ex'austi!a si los

elementos se de!uel!en al conjunto antes de 'acer una

nue!a extracción.

#a extracción de una muestra de elementos de un

conjunto se llama ordenada si se consideran

muestras desiguales las que están $ormadas por los

elementos extrados en orden di$erente% y se

llama desordenada si se consideran muestras iguales las

que están $ormadas por los elementos extrados en ordendi$erente.

.1.1. Parejas.

6on un conjunto de m elementos y

otro conjunto de n elementos , se puede

$ormar la siguiente cantidad de parejas que tengan en

primer lugar uno de los m elementos y en segundo lugar

uno de los n elementos

.1.2. ?ultiplejos.


53/98

6on elementos del conjunto a, elementos del

conjunto b, ..., elementos del conjunto r , se puede

$ormar la siguiente cantidad de grupos que tengan un

elemento de cada conjunto

.1.. @ariaciones sin repetición.

@ariaciones sin repetición y de n elementos de

grado r son los di$erentes grupos que se pueden $ormar

con estos n elementos di$erentes tomados de r en r y

sin repetición, de modo que los grupos di$ieran entre

s en alg-n elemento o en el orden correlati!o de

colocación en $ila% se debe cumplir n A r . Por ejemplo,

con los elementos a, b, c las !ariaciones de grado 2

son

ab, ac, ba, bc, ca, cb.

#a cantidad de !ariaciones sin repetición se

calcula con

y coincide con la cantidad de muestras di$erentes

de r elementos que se pueden extraer de modo ordenado y

ex'austi!o de un conjunto de n elementos.

.1.=. @ariaciones con repetición.

@ariaciones con repetición y de n elementos de



con e!entual repetición, de modo que los grupos

di$ieran entre s en alg-n elemento o en el orden

correlati!o de colocación en $ila% se debe

cumplir n A r . Por ejemplo, con los

elementos a, b, c las !ariaciones de grado 2 son


54/98

aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc.

#a cantidad de !ariaciones con repetición se

calcula con


de r elementos que se pueden extraer de modo ordenado y

no ex'austi!o de un conjunto de n elementos.

.1.. Permutaciones sin repetición.

Permutaciones sin repetición y de n elementos sonlos di$erentes grupos que se pueden $ormar con

estos n elementos di$erentes, de modo que los grupos

di$ieran entre s en el orden correlati!o de colocación

en $ila. Son como !ariaciones sin repetición

de nelementos de grado n. Por ejemplo, con los

elementos a, b, c las permutaciones son

abc, acb, bac, bca, cab, cba.

#a cantidad de permutaciones sin repetición secalcula con

.1.:. Permutaciones con repetición.

Permutaciones con repetición y de n elementos (de

los cuales elementos iguales entre s, elementos

iguales entre s, ..., elementos iguales entre s)

son los di$erentes grupos que se pueden $ormar con

estos n elementos, de modo que los grupos di$ieran

entre s en el orden correlati!o de colocación en $ila.

Por ejemplo, con 2 elementos a, 1 elemento b, y 1

elemento c, las permutaciones con repetición son


55/98

aabc, aacb, abac, abca, acab, acba,

baac, baca, bcaa,

caab, caba, cbaa.

#a cantidad de permutaciones con repetición se

calcula con

.1.7. 6ombinaciones sin repetición.

6ombinaciones sin repetición y de n elementos de


con estos n elementos di$erentes tomados de r en r ysin repetición, de modo que los grupos di$ieran entre

s en alg-n elemento aunque no en el orden correlati!o

de colocación en $ila% se debe cumplir n A r . Por

ejemplo, con los elementos a, b, c las combinaciones de

grado 2 son

ab, ac, bc.

#a cantidad de combinaciones se calcula con


de r elementos que se pueden extraer de modo

desordenado y ex'austi!o de un conjunto de n elementos.

.1.B. 6ombinaciones con repetición.

6ombinaciones con repetición de n elementos de



con e!entual repetición, de modo que los grupos

di$ieran entre s en alg-n elemento aunque no en el

orden correlati!o de colocación en $ila% se debe


56/98

cumplir n A r . Por ejemplo, con los

elementos a, b, c las combinaciones con repetición de

grado 2 son

aa, ab, ac,

bb, bc,cc.

#a cantidad de combinaciones con repetición se

calcula con


de r elementos que se pueden extraer de mododesordenado y no ex'austi!o de un conjunto

de n elementos.

.1.C. 3abla de resumen de !ariaciones y combinaciones.

*xtracción ordenada *xtracción desordenada

*xtracción ex'austi!a @ariaciones sin

repetición

6ombinaciones sin

repetición*xtracción no

ex'austi!a

@ariaciones con

repetición

6ombinaciones con

repetición


57/98

4. Ejemplos de cálculos de probabilidades.

=.1. *jemplo 1.

Dallar la probabilidad de obtener ases si seextraen cartas de una baraja de 2 cartas.

Eesolución

Eecordando

tenemos

casos posibles

casos $a!orables

ya que 'ay grupos di$erentes de ases y para

acompañar los ases se pueden elegir 2 cartas entre

las cartas que no son ases.

#a probabilidad pedida es

=.2. *jemplo 2.

Dallar la probabilidad de que al ec'ar dados, la

suma de sus n-meros !alga 10.


58/98

Eesolución

Eecordando

tenemos

casos posibles

Fescompongamos 10 en la suma de sumandos de todas las

maneras posibles

1 G G : 1 G = G

2 G 2 G : 2 G G 2 G = G =

G G =

@emos que 'ay : maneras% pero 'ay que tener en cuenta

el permutar los sumandos de cada suma, luego,

recordando

y recordando para de las anteriores maneras con un

elemento repetido

tenemos

casos $a!orables

#a probabilidad pedida es


59/98

=.. *jemplo .

Dallar la probabilidad de sacar de una bolsa con

10 bolas blancas y = bolas negras, una bola blanca

primeramente, una bola negra a continuación y

$inalmente una bola blanca, sin de!ol!er a la bolsa lasbolas.

Eesolución

Eecordando

tenemos

probabilidad de la primera extracción

probabilidad de la segunda extracción

probabilidad de la tercera extracción

y por aplicación reiterada del teorema de

multiplicación, la probabilidad pedida es

=.=. *jemplo =.


60/98

Dallar la probabilidad de obtener el as de

cora+ones si se extraen las cartas de encima de una

baraja de 2 cartas.

Eesolución

Por aplicación reiterada del teorema de adición y del

teorema de la multiplicación, la probabilidad pedida

es

iisión de un segmento en una relación dada

!ividir un segmento en una relación dada r es determinar

un punto @ de la recta que contiene alsegmento 4 de modo que

las dos partes4 @ y @ 4 están en la relación r&

Eemplo(

CDu# puntos / y D diiden al segmento de extremos A(!-4 !* y

B(54 , en tres partes igualesE


61/98

4na lRnea recta se puede entender como un con#unto de puntos alineados en una RnicadirecciRn.

4no de los postulados de la geometr Ra "uclidiana dice =para determinar una recta solo esnecesario dos puntos del plano.


62/98

"l nombre que recibe la e-presiRn algebraica 8funciRn9 que determine a una recta dada se

denomina "cuaciRn de la 6ecta.

EcuaciRn principal de una recta.

'e llama ecuaci!n principal de una recta a una e(presi!n de forma)

*+ m( ,n

"n que m representa la pendiente de la recta y n es el coeficiente de posiciRn y es el nRmero en que la recta corta al e#e de lascoordenadas.

Comentario!asta aora se a traba/ado con la ecuaci!n lineal en dos "ariables buscando algunas desus soluciones# tra0ando su gr !fica# buscando los interceptos# buscando la pendiente.

abe preguntarse por el proceso in"erso) si me dan las soluciones# si me dan la gr !fica# sime dan los interceptos# si me dan la pendiente ! se podr ! conseguir la ecuaci!n lineal 3


63/98

Esto significa 4ue se te dar ! informaci!n para tu conseguir la ecuaci!n y + m( , b 4uecumple con esas condiciones dadas.

EJEMPLO 1 < allar la ecuaci!n de la recta 4ue tiene pendiente m + e intercepto b +15.

6ienes 4ue allar la ecuaci!n de la recta# esto es# y + m( , b.

Usa la informaci!n 4ue te dan)

m + y b + 15 y sustituye en la ecuaci!n

y + ( , 15.

La ecuaci!n 4ue te pide el e/ercicio es y + ( , 15.

EJEMPLO 2 - allar la ecuaci!n de la recta 4ue pasa por el punto 71# 28 y tiene pendiente m+ - 9.

6ienes 4ue allar la ecuaci!n de la recta# esto es# y + m( , b.

Usa la informaci!n 4ue te dan) m + - 9 y sustituye en la ecuaci!n)

y + - 9( , b

Aora tienes 4ue buscar la b usa el otro dato la recta pasa por el punto 71# 28# por lo tanto#

ese punto es una soluci!n de la ecuaci!n 4ue estas buscando. 'ustituye esos "alores de( + 1# y + 2 en la ecuaci!n 4ue estas buscando) 2 + - 9 7 1 8 , b

%espe/a la "ariable b en) 2 + - 9 7 1 8 , b

2 + - 9 , b

2 , 9 + b

b + :

'ustituye el "alor de b en la ecuaci!n 4ue estas buscando) y + - 9( , :

La ecuaci!n es y + - 9( , :.

%ebes conocer los siguientes enunciados)


64/98

Las rectas paralelas tienen la misma pendiente

Las rectas perpendiculares tienen pendientes rec!procas y opuestas .

"#emplo$

'i una recta tiene pendiente m + - y es paralela a otra# entonces esa otra tambi!n tiene

pendiente m + - .

'i una recta tiene pendiente m + - 9 y es perpendicular a otra# entonces esa otra tiene

pendiente .

'! en una ecuaci!n de esta forma) a( , by , c + 5# damos "alores a ( e y 4ue cumplan laecuaci!n# y representamos estos puntos en una gr !fica# "eremos 4ue la gr !fica es unarecta.

'i despe/amos la ;y;# la ecuaci!n se con"ierte en) y + m( , n# m representa la pendiente dela recta 7la pendiente es el cociente entre lo 4ue sube o ba/a entre dos puntos de la recta y la

distancia ori0ontal entre ellos# dico matem!ticamente es la tangente del !ngulo 4ueforma la recta con otra recta ori0ontal8 y n es el punto del e/e y por donde pasa la recta.

'i m + 5 la recta es ori0ontal 7paralela al e/e (8. 'i y + 5# la recta es perpendicular. 'i n + 5 la

recta pasa por el origen.

Es muy frecuente encontrar f !rmulas para allar la ecuaci!n de la recta 4ue pasa por unpunto y tiene una pendiente dada# o para allar la ecuaci!n de la recta 4ue pasa por dospuntos. 6engo una buena noticia para los 4ue tienen mala memoria) N< '


65/98

PLANO CARTESIANO

El plano cartesiano est! formado por dos rectas num!ricas# una ori0ontal y otra "ertical4ue se cortan en un punto. La recta ori0ontal es llamada e/e de las abscisas o de las 7(8# y

la "ertical# e/e de las ordenadas o de las 7y8 el punto donde se cortan recibe el nombre de

origen. El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posici!n de puntos# los cualesse representan por sus coordenadas o pares ordenados.

Las coordenadas se forman asociando un "alor del e/e de las ( y uno de las y#

respecti"amente# esto indica 4ue un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base

en sus coordenadas# lo cual se representa como)

P (x, y n. =ara locali0ar puntos en el plano cartesiano se debe lle"ar a cabo el siguiente

procedimiento)

1. =ara locali0ar la abscisa o "alor de (# se cuentan las unidades correspondientes acia la

dereca si son positi"as o acia a i04uierda si son negati"as# a partir del punto de origen# en

este caso el cero. 2. %esde donde se locali0a el "alor de (# se cuentan las unidades

correspondientes acia arriba si son positi"as o acia aba/o# si son negati"as y de esta

forma se locali0a cual4uier punto dadas sus coordenadas.

=ara determinar las coordenadas de un punto o locali0arlo en el plano cartesiano# se

encuentran unidades correspondientes en el e/e de las x acia la dereca o acia la

i04uierda y luego las unidades del e/e de las y acia arriba o acia aba/o# seg!n seanpositi"as o negati"as# respecti"amente.


66/98

E/es ) son l!neas de referencia para acer gr !ficos. ?eneralmente# uno de los e/es es unal!nea ori0ontal llamado e/e de abscisa y la otra una l!nea "ertical llamado e/e deordenadas. Los e/es ori0ontales y "erticales son perpendiculares el uno al otro.

E/e de la


67/98

Ditancia de un punto a una recta

Los malos profesores te acen estudiar f !rmulas# los buenos te ense!an a ra0onar.

'eguramente tendr !s una f !rmula para calcular la distancia de un punto a una recta. No lanecesitas si sabes pensar)

La distancia de un punto a una recta es la medida sobre una recta perpendicular a la anterior

y 4ue pase por el punto 7l!gicamente8.

omo nos dar !n la ecuaci!n de la recta# sabremos la pendiente de la recta 7sea m estapendiente8# entonces la pendiente de las rectas perpendiculares a esta tendr !n pendiente-1@m. omo adem!s esa recta tiene 4ue pasar por el punto 4ue nos dicen# nos ser ! muyf !cil calcular la ecuaci!n de esa recta.

*a tenemos entonces las ecuaciones de las dos rectas. 'i resol"emos el sistema de

ecuaciones formado por las ecuaciones de las dos rectas# obtendremos el punto en el 4ue

se cortan las rectas.

*a tenemos entonces las coordenadas de dos puntos 7uno el punto original y otro sobre la

recta# este punto es el mas cercano al primero8# y entonces si acemos un dibu/o de los dos

puntos y ponemos las coordenadas de los puntos sabremos calcular la distancia.

Nombres de las distintas formas de e(presar la ecuaci!n de una recta.

'upongamos 4ue tenemos la ecuaci!n de una recta y aciendo las modificacionesoportunas# la ponemos en esta forma) y + m( , n. Esta forma se llama forma e(pl!cita. Eneste caso m es la pendiente de la recta.

'i la ponemos en esta forma) y - y5 + m7( - (58# decimos 4ue est! en forma punto-pendiente. En este caso m es la pendiente de la recta y (5# y5 las coordenadas de un punto

cual4uiera de la recta.

'i la ponemos en esta forma) (@a , y@b + 1 decimos 4ue est! en la forma can!nica osementar !a. En este caso# a es la distancia desde el origen de coordenadas al punto dondela recta corta al e/e y b es la distancia desde el origen de coordenadas al punto donde la

recta corta al e/e *.

ómo graficamos una ecuación lineal3

#uando el con'unto de los n.meros reales es el con'unto desustitución de las dos ariables de una ecuación de ti!o ue nos


68/98

ocu!a, la grá


69/98

D la grá


70/98

Siendo as% ue (0,0) es una solución de dic+a ecuación, lagrá


71/98

de x es cero * 0 y ue !or consecuencia * 0 !ara todo x+ y dado ue : es el elemento identidad !ara la suma, laecuación !uede escribirse como ' 2 * 0 ó ' * 2% Ie loanterior debemos entender ue sea cual sea el alor asignadoa x la ecuación siem!re ueda como ' * 2 o sea ue 'nocambia de alor (e# con#;an;e) y es igual a 2 !ara cualuieralor asignado a 8, en consecuencia la grá


72/98

En resumen, las rectas +oriontales o erticales tienenecuaciones sencillas, seg.n se a!recia en la tabla siguiente0

Las caracterAsticas 'undamentales de la función seno son las siguientes&

16 9u dominio es 3 y es continua.

26 9u recorrido es F! -4 -G ya que ! - H sen x H - .

36 @orta al ee I en los puntos BC7 con JUK .


73/98

@orta al ee en el punto (04 0 .

46 %s impar4 es decir4 sim#trica respecto al origen.

sen (! x = ! sen (x

56 %s estrictamente creciente en los interalos de la forma (a4 b donde a =

! B ") + )?J?B y b = B ") + )?J?B siendo JUK .

%s estrictamente decreciente en los interalos de la forma (a4 b donde a

= B ") + )?J?B y b = 8B ") + )?J?B siendo JUK .

+6


74/98

sen (x = sen (x + )B

La función f(x = sen (J?x es periódica de periodo p = )B "J

/ara MJMN- el periodo disminuye y para 0 O MJM O- el periodo aumenta.

6 %stá acotada superiormente por - e inferiormente por ! -.


75/98

Transformaciones de la función seno

partir de la gr


76/98

36 'x6 - B H sen x

La función resultante es una traslación vertical 1ac$a arriba de dos unidades.

46 'x6 - sen x H B6

La función resultante es una traslación =ori/ontal 1ac$a la i2quierda de dos

unidades.


77/98

56 'x6 - BCsen x

La función resultante multiplica los resultados de la función seno dos

unidades.

+6 'x6 - sen BCx6

La función resultante contrae a la función original.


78/98

Amplitud, periodo y traslación

Amplitud = M)"*M = )"*


79/98

Función coseno

#u $r2fca ser2 dntca a la del seno %ero con un desfase de B+ & es decr& se %roduceuna traslac!n de B+ a la 1querda"

Las características fundamentales de la func!n coseno son las s$uentes3

18 #u domno es R 0 es contnua"

8 #u recorrdo es , :& : 0a que , : G cos ( G : "

$8 Corta al eje H en los %untos 79 : ;


80/98

Corta al eje K en el %unto '@& :) "

%8 Es %ar& es decr& smtrca res%ecto al e0e K"

cos '() * cos ', ()

+8 Es estrctamente crecente en los nter5alos de la forma 'a& b) donde a * , B .+B 0 b * @ . +B sendo UJ "

Es estrctamente decrecente en los nter5alos de la forma 'a& b) donde a * @ .+B 0 b * B . +B sendo UJ "

68 Tene nfntos m2(mos relat5os en los %untos de la forma '+B& :) con UJ "

Tene nfntos m4nmos relat5os en los %untos de la forma 'B . +B& , :) con UJ "

8 Es %er!dca de %erodo 7 "

cos '() * cos '( . +B)


81/98

La func!n f'() * cos '() es %er!dca de %erodo % * +B

6ara : el %erodo dsmnu0e 0 %ara @O O: el %erodo aumenta"

8 Est2 acotada su%erormente %or : e nferormente %or , :"

Amplitud, periodo y traslación


82/98

Am%ltud * :- * :-

6erodo * +B+ * +B+ * B

Traslac!n 3 +( . B+ * @ V ( * , B? +( . B+ * +B V ( * 8B?

Función tangente

#e defne la función tangente como la ra1!n entre la func!n seno 0 la func!n coseno3


83/98

Las características fundamentales de la func!n tan$ente son las s$uentes3

18 #u domno es R , PB+ . B con UJQ "

8 Es dscontnua en los %untos B+ . B con UJ "

$8 #u recorrdo es R "

%8 Corta al eje H en los %untos B con UJ "

Corta al eje K en el %unto '@& @) "

+8 Es m%ar& es decr& smtrca res%ecto al or$en"

t$ ', () * , t$ '()


84/98

68 Es estrctamente crecente en todo su domno"

8 No tene m2(mos n m4nmos"

8 Es %er!dca de %erodo B "

t$ '() * t$ '( . B)

La func!n f'() * t$ '() es %er!dca de %erodo % * B

6ara : el %erodo dsmnu0e 0 %ara @O O: el %erodo aumenta"

38 Las rectas 0 * B+ . B con UJ son as4ntotas 5ertcales"

1-8 No est2 acotada"


85/98

N"D" 3 No Defnda

Periodo, traslación y asíntotas verticales


86/98

Ea+ones trigonom"tricas


87/98

Seno( 9eno del ángulo B& es la ra2ón entre el cateto opuesto al

ángulo y la 1ipotenusa.

9e denota por sen 0

8oseno( @oseno del ángulo B& es la ra2ón entre el cateto

contiguo al ángulo y la 1ipotenusa.

9e denota por cos 0

Iangente(


88/98

8osecante( @osecante del ángulo B& es la ra2ón inersa del seno

de B.

9e denota por cosec 0

Secante

9ecante del ángulo B& es la ra2ón inersa del coseno de B.

9e denota por sec 0

8otangente

@otangente del ángulo B& es la ra2ón inersa de la tangente de B.

9e denota por cotg 0


89/98

%ercicios

e un triángulo sabemos que& a = , m4 B = '5P y @ = -05P.

etermina los restantes elementos.


90/98

:allar el radio del c$rculo circunscrito e n un triángulo4

donde A = '5P4 B = 7)P y a=)0m.


91/98

%l radio de una circunferencia mide )5 m. @alcula el ángulo

que formarán las tangentes a dic1a circunferencia4 tra2adas por

los extremos de una cuerda de longitud *, m.


92/98

Inicio

Física

Química

Programación

Guías

Acceso a Miembros

¿Quiénes somos?

Contacto

>ome W%sica X Matemáticas -ey de #osenos E'ercicios Lesueltos

Ley de Cosenos – Ejercicios Resueltos

#arlos 'ulián octubre 29, 2:19 W%sica, Matemáticas comentarios

http://www.fisimat.com.mx/http://www.fisimat.com.mx/category/fisica/http://www.fisimat.com.mx/category/quimica/http://www.fisimat.com.mx/category/programacion/http://www.fisimat.com.mx/category/guias/http://www.fisimat.com.mx/cursosparticulares/http://www.fisimat.com.mx/quienes-somos/http://www.fisimat.com.mx/contacto-fisimat/http://www.fisimat.com.mx/http://www.fisimat.com.mx/category/fisica/http://www.fisimat.com.mx/category/matematicas/http://www.fisimat.com.mx/author/carlosjulian/http://www.fisimat.com.mx/category/fisica/http://www.fisimat.com.mx/category/matematicas/http://www.fisimat.com.mx/ley-de-cosenos/#commentshttp://www.fisimat.com.mx/http://www.fisimat.com.mx/category/fisica/http://www.fisimat.com.mx/category/quimica/http://www.fisimat.com.mx/category/programacion/http://www.fisimat.com.mx/category/guias/http://www.fisimat.com.mx/cursosparticulares/http://www.fisimat.com.mx/quienes-somos/http://www.fisimat.com.mx/contacto-fisimat/http://www.fisimat.com.mx/http://www.fisimat.com.mx/category/fisica/http://www.fisimat.com.mx/category/matematicas/http://www.fisimat.com.mx/author/carlosjulian/http://www.fisimat.com.mx/category/fisica/http://www.fisimat.com.mx/category/matematicas/http://www.fisimat.com.mx/ley-de-cosenos/#comments


93/98

En el art%culo anterior +ablamos sobre la ley de senos y +oy le toca el

turno a $a $e' e co#eno#, una de las leyes tambi"n im!ortantes en latrigonometr%a y geometr%a, necesaria !ara !oder com!render las reglasue im!lica todo triángulo oblicuángulo (obtusángulo y acutángulo), es

tambi"n conocida como una generaliación del teorema de !itágoras*

/ara utiliar la ley de cosenos en la resolución de !roblemas, es

necesario entender ue la !odemos a!licar cuando tengamos los

siguientes dos casos 0

• Tener ;oo# $o# $ao# ' no ;ener "n n


94/98

>ay ue tener en cuenta ue la relación ue nos !ro!orciona "sta ley,

!uede ser !ara diersas ariables, no casarse con la idea de ue los

lados tienen ue ser AY#, (a, b, c), si no ue tambi"n !ueden tener

otras literales* Es !or ello muy im!ortante tener en cuenta lo siguiente0

/ara encontrar un lado, basta con elear al cuadrado las ariables de

los otros dos lados, menos el !roducto de ambas ariables, !or el

coseno del ángulo ue es o!uesto al lado ue deseamos encontrar*

YienZ /ero !ara entender me'or, +agamos el siguiente

e'ercicio

1*H En el siguiente triángulo AY#, a 1 cm, c 1[cm, \Y 99J ,

Lesuela el triángulo


95/98

o$"ci&n: /ara !oder resoler el siguiente e'ercicio, asumimos ue ellado ue deseamos encontrar e# e$ $ao =, !uesto ue el ánguloo!uesto es Y, entonces nuestra fórmula ueda0

Ie esto resulta

/or lo ue0

A+ora tenemos los tres lados de nuestro triángulo, !ero nos +ace faltaconocer los ángulos, !ara ello, considero un ángulo ue deseo calcular

ue bien !uede ser el ángulo A o el ángulo #*

En este caso, elegir" el ángulo A, !or lo ue mi ecuación uedará0

Sin embargo, el alor del lado a, b y c ya los tengo, entonces !rocedo a

des!e'ar el coseno de A, !ara resoler*

Ies!e'ando a.n másZ

nirtiendo la ecuación


96/98

-isto, a+ora es momento de sustituir nuestros alores0

A+ora a!licando coseno inerso*

/or lo ue el ángulo A, es de 32*?[ grados*

A+ora mediante la suma de ángulos internos en un triángulo, a!licamos

la !ro!iedad !ara encontrar el ángulo restante0

Ies!e'ando a \#

/or lo ue nuestro e'ercicio está resuelto* Tenemos el triángulo

com!leto

A!licación de la ley de senos y cosenos

Al igual ue la ley de senos, la ley de cosenos !uede a!licarse !ara

diersos !roblemas de la ida cotidiana, !ara ello colocaremos un

e'em!lo ilustratio y su resolución0

2*H -a distancia entre 2 !untos A y Y es de 2: ]m* -os ángulos deeleación de un globo con res!ecto a dic+os !untos son de 9=J2:^ y?7J2^* $A u" altura del suelo se encuentran&


97/98

o$"ci&n: /odr%a tratarse de un !roblema, sumamente com!licadoZ/ero, no lo es* /or lo tanto !rocedemos a a!licar la ley de senosZ No sinantes, conertir nuestros grados minutos a grados decimales*

\A 9=J2:^ 9=*

\Y ?7J2^ ?7*9

#om!robamos el ángulo faltante*

Sustituyendo alores

A+ora, tenemos los ángulos com!letos*

amos a ca$c"$ar e$ $ao a, ue ser%a el lado o!uesto al ángulo

A


98/98

No !odr%amos a!licar la ley de cosenos, !orue nos +ar%a falta un lado

forosamente, !or lo tanto recurrimos a!licar la ley de senos*

Tenemos los 2:_m ue el !roblema nos da de referencia, y tenemos el

ángulo o!uesto a ese lado, ue es el ue encontramos de 93*13J,

entonces tomamos esos datos !ara a!licar la ley de senos, a cualuier

otro lado*

Ies!e'ando `a

Sustituyendo alores0

/or lo ue, el lado a mide 21 ]ilómetros*

A+ora !odemos a!licar la función seno del ángulo ?7*9 !ara obtener el

cateto o!uesto, ue ser%a nuestra altura*

des!e'ando + altura del globo

razonamiento aritmetico2

Documents