pruebas de acceso a ciclos formativos de grado superior de...

CALIFICACIÓN: ___________________

Consejería de Educación,

Ciencia y Cultura

Dirección General de Formación Profesional

PRUEBAS DE ACCESO A CICLOS FORMATIVOS DE GRADO SUPERIOR DE

FORMACIÓN PROFESIONAL

SEPTIEMBRE 2014

Apellidos_________________________________________________Nombre___________________

DNI / NIE _____________________

Centro de examen__________________________________________________________________

PARTE COMÚN

MATERIA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS

Instrucciones Generales

- Duración del ejercicio: Hora 2 horas - Mantenga su DNI en lugar visible durante la realización de la prueba. - Realice el ejercicio en las hojas de respuestas entregadas al final de este documento y

entregue este cuadernillo completo al finalizar la prueba. - Lea detenidamente los textos, cuestiones o enunciados. - Cuide la presentación y la ortografía. - Revise la prueba antes de entregarla. Esta materia de la prueba se calificará numéricamente entre 0 y 10 puntos, en función de los siguientes criterios:

Criterios de calificación

- El aspirante debe realizar cinco ejercicios de los siete propuestos. - Si un aspirante realiza más de cinco ejercicios, sólo se calificarán los dos primeros realizados. - Todos los ejercicios tienen una puntuación de 2 puntos, distribuidos de la siguiente manera:

- Ejercicio 1 ….. a) 1 punto. b) 1 punto - Ejercicio 2 ….. a) 1 punto. b) 1 punto - Ejercicio 3 ….. a) 1 punto. b) 0,5 puntos. c) 0,5 puntos - Ejercicio 4 ….. a) 0,5 puntos. b) 0,5 puntos. c) 1 punto - Ejercicio 5 ….. a) 0,5 puntos. b) 0,5 puntos. c) 1 punto - Ejercicio 6 ….. 2 puntos - Ejercicio 7 ….. a) 0,75 puntos b) 0,75 puntos. c) 0,5 puntos


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- Se valorará el orden, la limpieza y la claridad en la presentación. - Se valorará el orden y el rigor en el planteamiento y el uso correcto del lenguaje matemático. - Se valorará la discusión de las soluciones si fuera preciso. - Se valorarán negativamente los errores conceptuales.

La nota de la parte común será la media aritmética de las calificaciones obtenidas en cada una de las materias de las que consta, siempre que se obtenga, al menos, una calificación de cuatro puntos en cada una de ellas. Esta nota media deberá ser igual o superior a cuatro puntos para que haga media con la parte específica.

EJERCICIOS

Ejercicio 1 Resuelve, indicando todos los pasos y dando la solución de la manera más simplificada posible:

√ √ √ √

(

) (

)

( ) (

)

Ejercicio 2 Entre peras, manzanas y naranjas Eutimio ha comprado 10 kilogramos de fruta y se ha gastado 17 €. Un kg de peras cuesta 2,5 €, uno de manzanas 1 € y uno de naranjas 1,5 €. Además, si sumamos los kilogramos de peras y de manzanas obtenemos los kilogramos de naranjas.

a) Escribir un sistema de ecuaciones para determinar la cantidad de kg que ha comprado Eutimio de cada fruta.

b) Resolver el sistema.


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Ejercicio 3 Para pavimentar una acera, 16 obreros, trabajando 6 horas por día tardan 10 días. Calcular:

a) Cuántos obreros harán falta para hacer un trabajo en 4 días, trabajando 8 horas por día.

b) Los días que tardarán 20 obreros, trabajando 8 horas por día. c) Las horas diarias que tendrán que trabajar 40 obreros para hacer el mismo trabajo

en 8 días.

Ejercicio 4 La fórmula que da el número de conejos en función del tiempo en meses, en un determinado ecosistema en el que no existen depredadores es:

(

a) Calcular el número inicial de conejos. b) Calcular el número de conejos al cabo de 2 años. c) Calcular el número de años que tienen que transcurrir para que la población sea de

100 000 conejos.

Ejercicio 5

Durante el mes de Julio en una determinada ciudad se han registrado las siguientes temperaturas máximas: 322, 31, 28, 29, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 29, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29.

a) Elabora una tabla de frecuencias y representa la distribución mediante un diagrama de barras.

b) Halla la moda, media y mediana. c) Halla la varianza y la desviación típica.


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Ejercicio 6 Desde un punto A se ve el punto más alto de una torre bajo un ángulo de 40º. Si se retrocede 40 m, se ve bajo un ángulo de 30º. Halla la altura de la torre.

Ejercicio 7 Queremos alquilar un coche y hemos preguntado en dos empresas de alquiler de vehículos: Empresa A: Fijo de 50 € y 20 céntimos por kilómetro. Empresa B: Fijo de 60 € y 15 céntimos por kilómetro. No vamos a recorrer más de 300 kilómetros.

a) Escribe las funciones que expresan los precios de ambas empresas en función de los kilómetros recorridos.

b) Representa ambas funciones en el mismo sistema de referencia. c) Analiza la empresa que resulta más económica.


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SOLUCIONES

Ejercicio 1 Resuelve, indicando todos los pasos y dando la solución de la manera más simplificada posible:

√ √ √ √

(

) (

)

( ) (

)

Solución

√ √ √ √ √ √ √ √

√ √ √ √

√ √ √ √

√ √ √ √ √

(

) (

)

( ) (

)

(

) (

)

(

) (

)

(

)


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Ejercicio 2 Entre peras, manzanas y naranjas Eutimio ha comprado 10 kilogramos de fruta y se ha gastado 17 €. Un kg de peras cuesta 2,5 €, uno de manzanas 1 € y uno de naranjas 1,5 €. Además, si sumamos los kilogramos de peras y de manzanas obtenemos los kilogramos de naranjas.


b) Resolver el sistema. Solución.


Llamamos: “x” al peso en kilogramos de peras, “y” al peso en kilogramos de manzanas, “z” al peso en kilogramos de naranjas. En ese caso, podremos crear un sistema de ecuaciones según lo que se nos describe:

Ha comprado 10 kilogramos → x + y + z = 10

Se ha gastado 17 €. Un kg de peras cuesta 2,5 €, uno de manzanas 1 € y uno de

naranjas 1,5 € → 2,5x + 1y + 1,5z = 17

si sumamos los kilogramos de peras y de manzanas obtenemos los kilogramos de

naranjas → x + y = z

Por lo tanto, el sistema de ecuaciones pedido es,

}


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b) Resolver el sistema.

Resolvemos el sistema por el método de Gauss,

} (

|

)

(

|

) → →

(

|

)

( →

(

|

)

→ →

(

|

)

( → (

| )

→

(

| )

Devolvemos la matriz al sistema equivalente y resolvemos,

(

| )

}

Solución: Habrá 3 kilogramos de peras, 2 de manzanas y 5 de naranjas.


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Ejercicio 3 Para pavimentar una acera, 16 obreros, trabajando 6 horas por día tardan 10 días. Calcular:


b) Los días que tardarán 20 obreros, trabajando 8 horas por día. c) Las horas diarias que tendrán que trabajar 40 obreros para hacer el mismo

trabajo en 8 días.

Solución.


Se trata de un problema de proporcionalidad compuesta. Escribimos las magnitudes y determinamos el tipo de proporcionalidad que hay entre cada magnitud y la magnitud solicitada en la pregunta.

Nº días Horas al día Nº Obreros

10 ↔ 6 ↔ 16 4 ↔ 8 ↔ x

Prop. Inversa Prop. Inversa

La magnitud “nº de días” y la magnitud “nº de obreros” guardan una proporcionalidad inversa ya que a más obreros menos días de trabajo. La magnitud “horas al día” y la magnitud “nº de obreros” guardan una proporcionalidad inversa ya que a más obreros menos horas al día de trabajo. Resolvemos invirtiendo aquellas razones que sean de proporcionalidad inversa,

Por lo tanto, harán falta 30 obreros. b) Los días que tardarán 20 obreros, trabajando 8 horas por día.


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Volvemos a escribir las magnitudes y determinamos el tipo de proporcionalidad que hay entre cada magnitud y la magnitud solicitada en la pregunta.

Nº Obreros Horas al día Nº días 16 ↔ 6 ↔ 10 20 ↔ 8 ↔ x


La magnitud “nº de obreros” y la magnitud “nº de días” guardan una proporcionalidad inversa ya que a más obreros menos días de trabajo.

La magnitud “horas al día” y la magnitud “nº de días” guardan una proporcionalidad inversa ya que a más horas al día menos días de trabajo.

Resolvemos invirtiendo aquellas razones que sean de proporcionalidad inversa,

Por lo tanto, harán falta 6 días. c) Las horas diarias que tendrán que trabajar 40 obreros para hacer el mismo

trabajo en 8 días.

Nuevamente escribimos las magnitudes y determinamos el tipo de proporcionalidad que hay entre cada magnitud y la magnitud solicitada en la pregunta.

Nº Obreros Nº días Horas al día 16 ↔ 10 ↔ 6 40 ↔ 8 ↔ x


La magnitud “nº de obreros” y la magnitud “horas al día” guardan una proporcionalidad inversa ya que a más obreros menos horas de trabajo al día.

La magnitud “Número de días” y la magnitud “horas al día” guardan una proporcionalidad inversa ya que a más horas al día menos días de trabajo.

Resolvemos invirtiendo aquellas razones que sean de proporcionalidad inversa,

Por lo tanto, harán falta 3 horas al día.


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Ejercicio 4 La fórmula que da el número de conejos en función del tiempo en meses, en un determinado ecosistema en el que no existen depredadores es:

(

a) Calcular el número inicial de conejos. b) Calcular el número de conejos al cabo de 2 años. c) Calcular el número de años que tienen que transcurrir para que la población

sea de 100 000 conejos. Solución

a) Calcular el número inicial de conejos.

Sustituimos por t = 0 meses.

(

Concluimos que el número inicial de conejos es 20.

b) Calcular el número de conejos al cabo de 2 años.

Sustituimos por t = 2·12=24 meses.

( Concluimos que el número de conejos al cabo de 2 años es 3 901.

c) Calcular el número de años que tienen que transcurrir para que la población

sea de 100 000 conejos.

Debemos encontrar el valor t tal que,

(

Tomamos logaritmos decimales,


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Por lo tanto, dentro de 38,76341672 meses habrá 100 000 conejos. Para saber cuántos años pasarán, dividimos entre 12 meses que tiene cada año,

Concluimos que dentro de, aproximadamente, 3´23 años habrá 100 000 conejos.


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Ejercicio 5

Durante el mes de Julio en una determinada ciudad se han registrado las siguientes temperaturas máximas: 322, 31, 28, 29, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 29, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29.

a) Elabora una tabla de frecuencias y representa la distribución mediante un diagrama de barras.

b) Halla la moda, media y mediana. c) Halla la varianza y la desviación típica.

Solución

a) Elabora una tabla de frecuencias y representa la distribución mediante un diagrama de barras. La tabla de frecuencias que representa la distribución es la siguiente,

xj nj fi Nj Fj %

27 1

1 0,0323 3´23 %

28 1

2 0,0646 3´23 %

29 7

9 0,2903 22,58 %

30 7

16 0,5161 22,58 %

31 8

24 0,7742 25,81 %

32 3

27 0,871 9,68 %

33 3

30 0,9677 9,68 %

34 1

31 1 3,23 %

Totales jn =

31 jf = 1 100 %


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El gráfico de barras correspondiente es,

b) Halla la moda, media y mediana.

La moda es el dato que más se repite. Por lo tanto, en nuestra muestra la moda es el valor,

Moda = 31

La mediana es el dato que deja por debajo un 50 % de los datos y por encima otro 50 %. Por lo tanto, se trata de encontrar el dato que queda en el centro de la muestra, una vez ordenada de menor a mayor o viceversa. Al tener una muestra de tamaño 31, que es impar, la mediana se encuentra en la posición 16ª. Ayudado por la frecuencia acumulada absoluta o la acumulada relativa, es fácil encontrar que este valor es,

Mediana = 30

Ya que el valor 29 tiene una frecuencia acumulada relativa de 0,29 (no llega a 0,5) mientras que el valor 30 acumula 0,51 (se pasa de 0,5).


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La media se calcula mediante la fórmula,

∑

Ayudándonos con la tabla de frecuencias, calculamos la media,

xj nj xj·nj

27 1

28 1

29 7

30 7

31 8

32 3

33 3

34 1

Totales jn = 31 jj nx = 945

Por lo tanto, la media de la muestra de temperaturas será,

∑

c) Halla la varianza y la desviación típica.

La varianza se calcula mediante la fórmula,

∑

Ayudándonos con la tabla de frecuencias, calculamos la media,

xj nj xj·nj xj2·nj

27 1

28 1

29 7

30 7

31 8

32 3

33 3

34 1

Totales jn = 31 jj nx = 945 jj nx 2 = 28 883


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Por lo tanto, la varianza de la muestra de temperaturas será,

∑

La desviación típica se calcula realizando la raíz cuadrada de la varainza,

√ √

Por lo tanto, la varianza es S2 ≈ 2,4433 y la desviación típica de la muestra es σ = S ≈1,5631

Ejercicio 6 Desde un punto A se ve el punto más alto de una torre bajo un ángulo de 40º. Si se retrocede 40 m, se ve bajo un ángulo de 30º. Halla la altura de la torre. Solución. Llamamos x a la distancia entre el punto de segunda medición y la base del edificio. Por otra parte, llamamos h a la altura de dicho edificio. La representación adjunta ilustra la situación planteada:

Aplicando la razón tangente sobre cada ángulo, tendremos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que resolvemos por el método de igualación:

}

( } (


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Resolvemos la ecuación,

(

(

Por lo tanto, el punto donde se toma la primera observación está situado a 88,2293 m de la torre. La altura de la torre será:

Por lo tanto, la altura de la torre será de 74,03 m.

Ejercicio 7 Queremos alquilar un coche y hemos preguntado en dos empresas de alquiler de vehículos: Empresa A: Fijo de 50 € y 20 céntimos por kilómetro. Empresa B: Fijo de 60 € y 15 céntimos por kilómetro. No vamos a recorrer más de 300 kilómetros.

a) Escribe las funciones que expresan los precios de ambas empresas en función de los kilómetros recorridos.

b) Representa ambas funciones en el mismo sistema de referencia. c) Analiza la empresa que resulta más económica.

Solución.

a) Escribe las funciones que expresan los precios de ambas empresas en

función de los kilómetros recorridos. Se trata de funciones afines de la forma y = mx + n ya que el dinero que se paga es directamente proporcional al número de kilómetros que se hagan. En el caso de la Empresa A, la función que expresa el precio respecto de los kilómetros recorridos es,

(


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En el caso de la Empresa B, la función que expresa el precio respecto de los kilómetros recorridos es,

(

b) Representa ambas funciones en el mismo sistema de referencia.

Para representar la función A(x) realizamos una tabla de valores. La representación será una recta que no pasará por el origen de coordenadas. Lo mismo haremos con B(x).

x A(x) = 50 + 0,2x

0 50 + 0,2·0 = 50 100 50 + 0,2·100 = 70 200 50 + 0,2·200 = 90 300 50 + 0,2·300 = 110

x B(x) = 60 + 0,15x

0 60 + 0,15·0 = 60 100 60 + 0,15·100 = 75 200 60 + 0,15·200 = 90 300 60 + 0,15·300 = 105

La representación de las dos funciones mediante sus gráficas respectivas será,


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c) Analiza la empresa que resulta más económica.

Simplemente observando la gráfica se observa que la Empresa más económica hasta los 200 km es la Empresa A mientras que, a partir de los 200 km, la empresa más económica es B. Si se pretende realizar el ejercicio algebraicamente, primero habrá que calcular los posibles puntos de intersección de ambas gráficas. Esto se resuelve igualando sus expresiones analíticas,

( (

Por lo tanto, las funciones A(x) y B(x) tiene un punto de intersección en x = 200 kilómetros. Para saber cuál de las dos es más económica antes y después de haber realizado los 200 kilómetros, sustituimos en ambas por un valor menor y otro mayor a 200 km.

Si x = 100 entonces, A(100) = 70 y B(100) = 75, por lo que se entiende que la empresa más económica es la empresa A.

Si x = 300 entonces, A(300) = 110 y B(300) = 105, por lo que se entiende que la empresa más económica es la empresa B.

En resumen,

Si se hacen menos de 200 km, la empresa más económica es la Empresa A.

Si se hacen 200 km exactamente, ambas empresas cobrarán lo mismo.

Si se hacen mas de 200 km, la empresa más económica es la Empresa B.

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