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Consejería de Educación, Cultura y Deportes

CALIFICACIÓN: __________________

PRUEBAS DE ACCESO A CICLOS FORMATIVOS DE GRADO

SUPERIOR DE FORMACIÓN PROFESIONAL

SEPTIEMBRE DE 2013

Resolución de 02/04/2013, de la Viceconsejería de Educación, Universidades e

Investigación (DOCM de 17 de abril de 2013)

Apellidos_______________________________________Nombre_____________________________

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Centro de examen__________________________________________________________________

PARTE COMÚN

MATERIA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS

Instrucciones Generales

- Duración del ejercicio: 1:30 horas

- Mantenga su DNI en lugar visible durante la realización de la prueba.

- Realice el ejercicio en las hojas de respuestas entregadas al final de este documento y entregue este

cuadernillo completo al finalizar la prueba.

- Lea detenidamente los textos, cuestiones o enunciados.

- Cuide la presentación y, una vez terminada la prueba, revísela antes de entregarla.

- Se puede utilizar cualquier tipo de calculadora científica no programable.

- Se pueden utilizar instrumentos de dibujo para las presentaciones si lo considera oportuno.

Criterios de calificación

- El aspirante debe realizar una de las dos opciones y realizar los cuatro ejercicios de la opción elegida.

- Si el aspirante realiza ejercicios de la opción no elegida, no serán calificados.

- Esta prueba se calificará numéricamente entre 0 y 10 puntos, en función de los siguientes criterios:

Todos los ejercicios tienen una puntuación de 2,5 puntos, distribuidos de la siguiente manera:

Opción A.

Ejercicio 1: (1,5 puntos)



Ejercicio 4: (2 puntos)



Opción B.







La nota de la parte común será la media aritmética de las calificaciones obtenidas en cada una de las

materias de las que consta, siempre que se obtenga, al menos, una calificación de cuatro puntos en

cada una de ellas. Esta nota media de la parte común deberá ser igual o superior a cuatro puntos

para que haga media con la parte específica.


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Opción A

1. Realiza la siguiente operación combinada:

(1,5 puntos)

2. Realiza las siguientes operaciones con radicales:

(1,5 puntos)

3. Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía

hace trece años. Calcula la edad de Pedro. (1,5 puntos)

4. Calcula x e y:

(2 puntos)

5. Observa la gráfica de la función y responde:

a. Indica el dominio y el recorrido de la función. b. ¿Tiene máximo y mínimo? En caso afirmativo, ¿cuáles son? c. Indica los intervalos donde la función crece, decrece o es constante. (1,5 puntos)



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3

6. Estudiamos el número de televisores que hay en cada vivienda y obtenemos los

siguientes datos:

1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 3, 3, 2, 2,

1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 3, 3, 2, 2, 2, 1, 4, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 2,

a. Construye la tabla de frecuencias.

b. Calcula la media, moda y mediana.

c. Calcula la varianza, desviación típica y coeficiente de variación.

(2 puntos)

Opción B

1. Realiza la siguiente operación con fracciones:

2. Si 5 obreros trabajan 6 horas diarias para construir un muro en 2 días. ¿Cuánto

tardarán 4 obreros, trabajando 3 horas diarias para realizar el mismo muro?

(1,5 puntos)

3. Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20

hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser

el triple que el número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su

número igualaría al de hombres.

a. Plantea un sistema para averiguar cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión.

b. Resolver el problema. (2 puntos)

4. A. Calcula la altura de un árbol que a una distancia de 10 m se ve bajo un ángulo

de 30º.

B. Determina la ecuación general de la recta que pasa por P(3, 1) y es paralela a la

recta que pasa por los puntos A(2, 4) y B(3, 5).

(2 puntos)



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5. Haz el estudio y representa gráficamente la función y = 3x2 – 12

(1,5 puntos)

6. De los 22 alumnos de una clase, 14 son chicos, y de ellos, hay 6 que llevan gafas; sin

embargo, sólo hay 2 chicas que tienen gafas. Calcula la probabilidad de que elegido un

alumno al azar, sea chica y no lleve gafas.

(1,5 puntos)



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SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE LA P.G.S. JUNIO 2013 - OPCIÓN A

1. Realiza la siguiente operación combinada:

(1,5 puntos)

Solución.

2. Realiza las siguientes operaciones con radicales:

(1,5 puntos)

Solución.

=

3· 5·



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3. Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que

tenía hace trece años. Calcula la edad de Pedro. (1,5 puntos)

Solución. Llamamos “x” a la edad de Pedro. En ese caso, la edad de Pedro dentro de

11 años será “x + 11” mientras que la edad que tenía Pedro hace 13 años era “x – 13”.

En estas condiciones, el problema se puede expresar mediante la siguiente ecuación

Resolvemos la ecuación realizando primeramente el paréntesis mediante la fórmula del

cuadrado de una resta:

Resolvermos ahora la ecuación polinómica de segundo grado mediante la fórmula

general,

Por lo tanto, y como en el problema se hace mención a la edad de Pedro cuando tenía

13 años menos, entendemos que la única solución posible es que Pedro tenga,

actualmente, 21 años.



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4. Calcula x e y:

(2 puntos)

Solución. Podemos aplicar la trigonometría a los dos triángulos rectángulos que

aparecen en el dibujo mediante las tangentes de los ángulos agudos conocidos. A

partir de la trigonometría generamos el siguiente sistema:

Resolvemos el sistema mediante el método de igualación, despejando la altura en

ambas ecuaciones, igualando y resolviendo inicialmente el valor “y”.

La altura de la montaña será:

Concluimos que la montaña mide 354´9 m.



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5. Observa la gráfica de la función y responde:

a. Indica el dominio y el recorrido de la función. b. ¿Tiene máximo y mínimo? En caso afirmativo, ¿cuáles son? c. Indica los intervalos donde la función crece, decrece o es constante.

(1,5 puntos)

Solución.

a. Indica el dominio y el recorrido de la función.

Dom(f) = [ – 4, 5 ] Im(f) = [ – 4, + 8] b. ¿Tiene máximo y mínimo? En caso afirmativo, ¿cuáles son?

Tiene máximos relativos en los puntos (–4, 8) y en (4, 4) siendo el máximo absoluto ( – 4 , + 8) . Por otra parte, tiene mínimos relativos en los puntos (5, 0) y en (2,– 4) siendo el mínimo absoluto ( 2 ,– 4) .

c. Indica los intervalos donde la función crece, decrece o es constante.

La función crece en los intervalos (2, 4)

La función decrece en los intervalos (– 4, – 2) (1, 2) (4, 5) La función es constante en (– 2, 1)



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6. Estudiamos el número de televisores que hay en cada vivienda y obtenemos los

siguientes datos:

1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 3, 3, 2, 2,

1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 3, 3, 2, 2, 2, 1, 4, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 2,



c. Calcula la varianza, desviación típica y coeficiente de variación. (2 puntos)

Solución.


xi ni fi Ni Fi %

1 14 14/50 = 0´28 14 0´28 28 %

2 17 17/50 = 0´34 31 0´62 34 %

3 13 13/50 = 0´26 44 0´88 26 %

4 6 6/50 = 0´12 50 1´00 12 %

50 50/50 = 1 1 100 %


Mediante la tabla anterior y añadiendo determinadas columnas podemos calcular

fácilmente la media.

xi ni xi ·ni

1 14 14

2 17 34

3 13 39

4 6 24

50 111

La moda de la muestra es el valor x2 = 2 ya que es el que mayor frecuencia absoluta

presenta (17).

La mediana, al tratarse de una muestra de tamaño par, se encuentra en la media

aritmética de los datos de posición 25 y 26. Los datos de posición 25 y 26 son 2 y 2

respectivamente, por lo que la mediana será la media aritmética de 2 y 2 que es,

evidentemente 2.



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c. Calcula la varianza, desviación típica y coeficiente de variación.

Mediante la tabla anterior y añadiendo determinadas columnas podemos calcular

fácilmente la varianza.

xi ni xi ·ni xi2 ·ni

1 14 14 14

2 17 34 68

3 13 39 117

4 6 24 96

50 111 295

Por lo tanto, la varianza de la muestra es V(x) = 0´9716

La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza:

Por lo tanto, la desviación típica de la muestra es S(X) 0´9857

El coeficiente de variación es el cociente de la varianza entre la media:

Por lo tanto, el coeficiente de variación de la muestra es CV(X) 0´444



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SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE LA P.G.S. JUNIO 2013 - OPCIÓN B

1. Realiza la siguiente operación con fracciones:

Solución.

2. Si 5 obreros trabajan 6 horas diarias para construir un muro en 2 días. ¿Cuánto

tardarán 4 obreros, trabajando 3 horas diarias para realizar el mismo muro?

(1,5 puntos)

Solución. Estudiamos la relación de proporcionalidad que existe entre las magnitudes

“nº de obreros”, “tiempo de jornada laboral diaria” con respecto a “tiempo en finalizar la

obra”.

El nº de obreros y el tiempo en finalizar la obra son inversamente proporcionales ya

que al multiplicar por una cantidad al número de obreros se dividirá por la misma

cantidad el tiempo de realización de la obra.

Las horas de la jornada diaria y el tiempo de finalización de la obra son

inversamente proporcionales ya que cuanto más aumenten las horas diarias

(multiplicando), menos tiempo se tardará en finalizar dicha obra (dividiendo).

Por lo tanto, tendremos el siguiente esquema de proporcionalidad:

Nº obreros Jornada diaria Tiempo obra

5 ↔ 6 horas ↔ 2 días 4 ↔ 3 horas ↔ x días

Inversamente proporcionales

Inversamente proporcionales



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En ese caso, “invirtiendo” las inversamente proporcionales:

5 horas

Concluimos que necesitaremos 5 horas para terminar con 4 obreros la misma obra

invirtiendo 3 horas diarias.

3. Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20

hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número

resulta ser el triple que el número de niños. Además, si hubiera acudido una

mujer más, su número igualaría al de hombres.


b. Resolver el problema. (2 puntos)

Solución


Solución. Nombramos con “x” al número de hombres; con “y” al número de mujeres; y con “z” al número de niños. Por los datos e información ofrecidos podremos describir el problema mediante las siguientes ecuaciones,

Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 hombres, mujeres y niños.

x + y + z = 20

Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple que el número de niños.

x + y = 3z

Si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al de hombres.

y + 1 = x

Esto nos lleva a un sistema de tres ecuaciones lineales que se puede expresar del

siguiente modo:



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b) Resolver el problema.

Este sistema se puede resolver rápidamente sin más que sustituir el valor de “x + z” de

la segunda ecuación en la primera ecuación.

Concluimos que hay 8 hombres, 7 mujeres y 5 niños en la reunión.

4. A. Calcula la altura de un árbol que a una distancia de 10 m se ve bajo un ángulo

de 30º.


recta que pasa por los puntos A(2, 4) y B(3, 5). (2 puntos)

Solución

A. Calcula la altura de un árbol que a una distancia de 10 m se ve bajo un ángulo

de 30º.

Representamos la situación mediante el dibujo adjunto. En ese caso, aplicando trigonometría mediante la razón trigonométrica tangente,

Por lo tanto, la altura del árbol es de 5´77 m



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recta que pasa por los puntos A(2, 4) y B(3, 5). (2 puntos)

Solución. Si la recta r que buscamos es paralela a la recta s que pasa por los puntos

A(2, 4) y B(3, 5) entonces r y s tienen la misma dirección. En ese caso, cualquier

vector director de s nos valdrá como vector director para r.

Como un vector director de la recta s tiene por coordenadas:

entonces el mismo vector lo podremos utilizar para la recta r.

Una ecuación continua de la recta r vendrá dada por:

En tal caso, una ecuación general de la recta r pedida vendrá dada por,

Por lo tanto, una ecuación general de la recta que pasa por el punto (3, 1) y es

paralela a la recta que pasa por los puntos A(2, 4) y B(3, 5) es x – y = 2.

5. Haz el estudio y representa gráficamente la función y = 3x2 – 12. (1,5 puntos)

Solución. Se trata de una función polinómica de segundo grado cuya representación

gráfica es una parábola. Sabemos que, como el coeficiente de segundo grado es

positivo (a = 3) la parábola tendrá las ramas hacia arriba.

El vértice de la parábola estará en el valor de abcisa:

Por lo tanto, el eje de simetría de la parábola será x = 0 y el punto vértice V de la

misma será:

V = (0, y(0) ) = (0, 3·02 – 12 ) = (0, – 12)

Las abcisas de los puntos de corte de la parábola con el eje OX resultan de igualar a

cero la función y resolver la ecuación resultante.



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3x2 – 12 = 0 3x2 = 12 x2 = 12/3 = 4 x2 = 4 x = 2

Es decir, los puntos de corte con OX son (– 2, 0) y (+2, 0)

El punto de corte de la parábola con el eje OY resulta de calcular la imagen de x = 0

por la función.

y(0) = 3·02 – 12 = – 12

Por lo tanto, el punto de corte de la parábola con el eje OY es (0, – 12)

Con todos estos datos podemos esbozar el trazado de la gráfica de la parábola según:

6. De los 22 alumnos de una clase, 14 son chicos, y de ellos, hay 6 que llevan

gafas; sin embargo, sólo hay 2 chicas que tienen gafas. Calcula la probabilidad

de que elegido un alumno al azar, sea chica y no lleve gafas. (1,5 puntos)

Solución. Realizando la correspondiente tabla de contingencia:

Llevan Gafas No llevan gafas

Nº Chicos 6 8 14

Nº Chicas 2 6 8

8 14 22

Podemos ver que la probabilidad de que elegido un alumno al azar, sea chica que no

precise de gafas es, según la regla de Laplace,

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