parte comÚn materia: fundamentos de...

Consejería de Educación,

Cultura y Deportes

CALIFICACIÓN: __________________

PRUEBAS DE ACCESO A CICLOS FORMATIVOS DE GRADO SUPERIOR DE

FORMACIÓN PROFESIONAL

JUNIO 2014

Apellidos_______________________________________Nombre_____________________________

DNI / NIE ______________________

Centro de examen__________________________________________________________________

PARTE COMÚN

MATERIA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS

Instrucciones Generales

- Duración del ejercicio: Hora y media.

- Mantenga su DNI en lugar visible durante la realización de la prueba.

- Realice el ejercicio en las hojas de respuestas entregadas al final de este documento y

entregue este cuadernillo completo al finalizar la prueba.

- Lea detenidamente los textos, cuestiones o enunciados.

- Cuide la presentación y la ortografía.

- Revise la prueba antes de entregarla.

Esta materia de la prueba calificará numéricamente entre 0 y 10 puntos, en función de los

siguientes criterios:

Criterios de calificación

- El aspirante debe realizar una cinco ejercicios de los siete propuestos.

- Si el aspirante realiza más de cinco ejercicios, sólo se calificarán los cinco primeros realizados.

- Todos los ejercicios tienen una puntuación de 2 puntos, distribuidos de la siguiente manera:

- Ejercicio 1 ….. a) 1 punto b) 1 punto

- Ejercicio 2….. 2 puntos.

- Ejercicio 3….. a) 0´5 puntos b) 0´5 puntos c) 1 punto

- Ejercicio 4….. a) 0´5 puntos b) 0´5 puntos c) 0´5 puntos d) 0´5 puntos

- Ejercicio 5….. a) 0´5 puntos b) 0´5 puntos c) 0´5 puntos d) 0´5 puntos

- Ejercicio 6….. 2 puntos

- Ejercicio 7….. a) 0´75 puntos b) 0´75 puntos c) 0´5 puntos


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- Se valorará el orden, la limpieza y la claridad en la presentación.

- Se valorará el orden y el rigor en el planteamiento y el uso correcto del lenguaje matemático.

- Se valorará la discusión de las soluciones si fuera preciso.

- Se valorarán negativamente los errores conceptuales.

La nota de la parte común será la media aritmética de las calificaciones obtenidas en cada

una de las materias de las que consta, siempre que se obtenga, al menos, una calificación

de cuatro puntos en cada una de ellas. Esta nota media de la parte común deberá ser igual

o superior a cuatro puntos para que haga media con la parte específica.

EJERCICIOS

Ejercicio 1

A una reunión, entre hombres y mujeres y niños acuden 27 personas. La suma del

número de mujeres y de hombres es el doble del número de niños. Si hubieran asistido un

hombre más y una mujer menos, entonces el número de mujeres sería el doble que el de

hombres.

a) Escribir un sistema de ecuaciones para determinar el número de hombres, mujeres

y niños que asisten a la reunión.

b) Resolver el sistema.

Ejercicio 2

Un padre reparte 840 € de forma inversamente proporcional a las edades de sus tres

hijos, que son 6, 10 y 12 años. Calcular el dinero que corresponde a cada uno.


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Ejercicio 3

La fórmula que da la cantidad en gramos, de una determinada sustancia radioactiva en

función del tiempo del tiempo en años es

a) Calcular la cantidad inicial.

b) Calcula la cantidad al cabo de 10 años.

c) Calcular los años que tienen que transcurrir para que la cantidad que quede sea de

un gramo.

Ejercicio 4

Dados los puntos A(2, – 3) y B( – 1,– 4), calcular

a) La ecuación de la recta r que pasa por los dos puntos.

b) La pendiente y los puntos de corte con los ejes de dicha recta.

c) La ecuación de la recta paralela a r que pase por C(– 1,– 2).

d) La ecuación de la recta perpendicular a r que pase por C(– 1,– 2).

Ejercicio 5

Se ha preguntado a unos alumnos de 3º y 4º ESO si tienen o no ordenador en

casa, obteniéndose los siguientes resultados:

Si tienen No tienen Totales

3º ESO 35 60

4º ESO

Totales 45 100

Si se elige a un alumno al azar, calcular la probabilidad de que:

a) Sea de 3º y no tenga ordenador.

b) Sea de 4º y tenga ordenador.

c) Tenga ordenador, sabiendo que el alumno elegido es de 3º.

d) Sea de 4º, sabiendo que el alumno elegido no tiene ordenador.


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Ejercicio 6

Desde cierto punto del suelo se ve el punto más alto de una torre formando un ángulo de

30º con la horizontal. Si nos acercamos 75 m hacia el pie de la torre, ese ángulo es de

60º. Halla la altura de la torre.

Ejercicio 7

Tras la aparición de cierta enfermedad infecciosa, el número de afectados viene dado por

la función P(t) = – 2t2 + 48t, siendo t el número de días desde que se detectó el primer

caso.

a) ¿Durante cuántos días el número de casos aumenta?, ¿cuándo disminuye?

b) ¿Cuánto es máximo el número de afectados?, ¿cuántos afectados son?

c) ¿Cuántos afectados había el tercer día?


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SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE LA P.G.S. JUNIO 2014

Ejercicio 1

A una reunión, entre hombres y mujeres y niños acuden 27 personas. La suma del

número de mujeres y de hombres es el doble del número de niños. Si hubieran

asistido un hombre más y una mujer menos, entonces el número de mujeres sería

el doble que el de hombres.

a) Escribir un sistema de ecuaciones para determinar el número de hombres,

mujeres y niños que asisten a la reunión.


Solución

a) Escribir un sistema de ecuaciones para determinar el número de hombres, mujeres y niños que asisten a la reunión.

Solución. Nombramos con “x” al número de hombres; con “y” al número de mujeres; y con “z” al número de niños. Por los datos e información ofrecidos podremos describir el problema mediante las siguientes ecuaciones,

A una reunión, entre hombres y mujeres y niños acuden 27 personas

x + y + z = 27

La suma del número de mujeres y de hombres es el doble del número de niños

y + x = 2z

Si hubieran asistido un hombre más y una mujer menos, entonces el número de mujeres sería el doble que el de hombres.

y – 1 = 2·(x + 1)

Esto nos lleva a un sistema de tres ecuaciones lineales que se puede expresar del

siguiente modo:


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Este sistema se puede resolver aplicando el método de Gauss-Jordan. Pasamos

primero el sistema a la correspondiente Matriz de Gauss.

Resolvemos, mediante transformaciones lineales,

Escribimos el sistema que corresponde a la matriz transformada y resolvemos,

Concluimos que hay 5 hombres, 13 mujeres y 9 niños en la reunión.


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Ejercicio 2

Un padre reparte 840 € de forma inversamente proporcional a las edades de sus

tres hijos, que son 6, 10 y 12 años. Calcular el dinero que corresponde a cada uno.

Solución. Haremos un reparto directamente proporcional a los inversos de las edades.

Los inversos de las edades de los tres hijos son,

Sumamos los inversos de las edades.

Por lo tanto, al hijo cuya edad es 6 años le corresponderán,

Fracción Dinero

840 €

x

Al hijo cuya edad es 10 años le corresponderán,

Fracción Dinero

840 €

y

Y el hijo cuya edad es 12 años le corresponderán,

840 – 400 – 240 = 200 €


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Ejercicio 3

La fórmula que da la cantidad en gramos, de una determinada sustancia radioactiva

en función del tiempo del tiempo en años es



c) Calcular los años que tienen que transcurrir para que la cantidad que quede

sea de un gramo.

Solución.


Se trata de calcular la imagen de t = 0 años.

Por lo tanto, la cantidad será de 100 gramos.


Se trata de calcular la imagen de t = 10 años.

Por lo tanto, la cantidad será de 3´125 gramos.

c) Calcular los años que tienen que transcurrir para que la cantidad que quede

sea de un gramo.

Se trata de calcular igualar la función a 1 y resolver.

Por lo tanto, pasarán aproximadamente 13´2877 años.


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Ejercicio 4

Dados los puntos A(2, – 3) y B( – 1,– 4), calcular





Solución.


Un vector director de la recta r es,

Por lo tanto, la ecuación continua de la recta r es,

Y la ecuación general de la recta r es,


Puesto que un vector director de la recta r es,

La pendiente de la recta r es,


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Calculamos ahora los puntos de corte,

Corte con el eje OX. Hacemos y = 0 en la ecuación de la recta,

Por lo tanto, el punto de corte con el eje de abcisas es (11, 0)

Corte con el eje OY. Hacemos x = 0 en la ecuación de la recta,

Por lo tanto, el punto de corte con el eje de abcisas es (0, – 11/3)


Puesto que la recta s es paralela a r, tendrá la misma dirección y, por tanto, los

mismos vectores directores. En ese caso, la ecuación continua de la recta s que es

paralela a r que pasa por C(– 1,– 2),

Y la ecuación general de la recta s es,


Sabemos que un vector perpendicular a v = (a, b) es n = (– b, a). Puesto que la

recta t es perpendicular a r, y un vector director de r es (– 3, – 1), entonces su

vector director será


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11

En tal caso, la ecuación continua de la recta t que es perpendicular a r y que pasa

por C(– 1,– 2),

Y la ecuación general de la recta t es,

Ejercicio 5

Se ha preguntado a unos alumnos de 3º y 4º ESO si tienen o no ordenador en

casa, obteniéndose los siguientes resultados:


3º ESO 35 60

4º ESO

Totales 45 100

Si se elige a un alumno al azar, calcular la probabilidad de que:





Solución

Primeramente completamos la tabla del enunciado,


3º ESO 25 35 60

4º ESO 20 20 40 Totales 45 55 100


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Aplicamos la regla de Laplace utilizando los resultados obtenidos en la tabla,

Por lo tanto, la probabilidad de que sea de 3º y no tenga ordenador es

del 35 %.


Aplicamos la regla de Laplace utilizando los resultados obtenidos en la tabla,

Por lo tanto, la probabilidad de que sea de 4º y tenga ordenador es

del 20 %.


Se trata de una probabilidad condicionada. Utilizando los resultados obtenidos en

la tabla, tendremos,

Por lo tanto, la probabilidad de que tenga ordenador sabiendo que es de 3º es

del 41´67 %.


Se trata de una probabilidad condicionada. Utilizando los resultados obtenidos en

la tabla, tendremos,

Por lo tanto, la probabilidad de que sea de 4º ESO sabiendo que no tiene

ordenador es , aproximadamente, del 36´37 %.


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Ejercicio 6

Desde cierto punto del suelo se ve el punto más alto de una torre formando un

ángulo de 30º con la horizontal. Si nos acercamos 75 m hacia el pie de la torre, ese

ángulo es de 60º. Halla la altura de la torre.

Solución

Se trata de un problema de trigonometría de doble

observación. Representamos la situación mediante el

dibujo adjunto. Calculamos las tangentes de los dos

ángulos,

Resolvemos el sistema,

Calculamos la altura de la torre,

Por lo tanto, la torre mide, aproximadamente 64´95 m.


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Ejercicio 7

Tras la aparición de cierta enfermedad infecciosa, el número de afectados viene

dado por la función P(t) = – 2t2 + 48t, siendo t el número de días desde que se

detectó el primer caso.




Solución.


Se trata de una función polinómica de segundo grado función cuadrática cuya

representación gráfica es una parábola. Sabemos que, como el coeficiente de

segundo grado es positivo (a = – 2) la parábola tendrá las ramas hacia abajo. Eso

nos indica que la función es creciente hasta la abcisa del vértice y después es

decreciente.

Observamos Igualmente que el valor inicial de afectados en un primer momento es:

P(0) = – 2·02 + 48·0 = 0

El vértice de la parábola estará en el valor de abcisa:

Por simetría, si el vértice está en la abcisa x = 12 y P(0) = 0 entonces P(24) = 0 ya

que x = 24 dista lo mismo del vértice que x = 0.

Por lo tanto, se produce un aumento del número de afectados entre los instantes 0

y 12 días. Entre 12 días y 24 días disminuye.


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El número máximo de afectados se produce en el día 12. El número de afectados

será,

P(12) = – 2·122 + 48·12 = – 2 ·144 + 576 = – 288 + 576 = 288

Concluimos que el número máximo de afectados se produjo en el día 12 y fue

de un total de 288.


El número de afectados del tercer día fueron,

P(3) = – 2·32 + 48·3 = – 2 ·9 + 144 = – 18 + 144 = 126

Concluimos que el número de afectados del tercer día es 126.

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