parte comÚn materia: fundamentos de...

Consejería de Educación, Cultura y Deportes

CALIFICACIÓN: __________________

PRUEBAS DE ACCESO A CICLOS FORMATIVOS DE GRADO

SUPERIOR DE FORMACIÓN PROFESIONAL

JUNIO DE 2013

Resolución de 02/04/2013, de la Viceconsejería de Educación, Universidades e

Investigación (DOCM de 17 de abril de 2013)

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PARTE COMÚN

MATERIA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS

Instrucciones Generales

- Duración del ejercicio: 1:30 horas

- Mantenga su DNI en lugar visible durante la realización de la prueba.

- Realice el ejercicio en las hojas de respuestas entregadas al final de este documento y entregue este

cuadernillo completo al finalizar la prueba.

- Lea detenidamente los textos, cuestiones o enunciados.

- Cuide la presentación y, una vez terminada la prueba, revísela antes de entregarla.

- Se puede utilizar cualquier tipo de calculadora científica no programable.

- Se pueden utilizar instrumentos de dibujo para las presentaciones si lo considera oportuno.

Criterios de calificación

- El aspirante debe realizar una de las dos opciones y realizar los cuatro ejercicios de la opción elegida.

- Si el aspirante realiza ejercicios de la opción no elegida, no serán calificados.

- Esta prueba se calificará numéricamente entre 0 y 10 puntos, en función de los siguientes criterios:

Todos los ejercicios tienen una puntuación de 2,5 puntos, distribuidos de la siguiente manera:

Opción A.

Ejercicio 1 a) 1,25 puntos. b) 1,25 puntos

Ejercicio 2 2´5 puntos

Ejercicio 3 a) 0,75 puntos b) 0,75 puntos c) 0´5 puntos d) 0´5 puntos

Ejercicio 4 a) 1 punto b) 1 punto c) 0´5 puntos

Opción B.

Ejercicio 5 a) 1´5 puntos b) 1 punto



Ejercicio 8 a) 0´75 puntos. b) 0,75 puntos. c) 1 punto

- Se valorará el orden, la limpieza y la claridad en la presentación.

- Se valorará el orden y el rigor en el planteamiento y el uso correcto del lenguaje matemático.

- Se valorará la discusión de las soluciones si fuera preciso.

- Se valorarán negativamente los errores conceptuales.

La nota de la parte común será la media aritmética de las calificaciones obtenidas en cada una de las

materias de las que consta, siempre que se obtenga, al menos, una calificación de cuatro puntos en

cada una de ellas. Esta nota media de la parte común deberá ser igual o superior a cuatro puntos

para que haga media con la parte específica.


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EJERCICIOS

Opción A

Ejercicio 1

Resuelve, indicando todos los pasos y dando la solución de la manera más simplificada posible,

las siguientes operaciones:

Ejercicio 2

Para hacer un foso de 527 m3 un equipo de 85 obreros ha necesitado 23 horas. Si tienen que

hacer otro foso de 372 m3 antes de 30 horas, ¿cuántos obreros harán falta?

Ejercicio 3

Dada la siguiente gráfica de f(x):

a) Calcula el Dominio y el Recorrido (Imagen)

b) Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

c) Indica las coordenadas de los Máximos y mínimos absolutos.

d) Expresa la continuidad de la función.

Ejercicio 4

Los siguientes valores representan los pesos de una serie de personas:

63 75 80 89 65 74 72 69 82 91 96 105 67 82 86 87 78 65 94 93 94 78 76 106 100 70 84 82 76 84 94 102 68 64 82

a) Agrupa los datos en intervalos de amplitud 10, halla las marcas de clase y realiza una tabla

estadística con los datos.

b) Calcula la media, mediana, moda, varianza y desviación típica.

c) Realiza el diagrama de barras de los datos y el polígono de frecuencias.



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Opción B

Ejercicio 5

Sean las rectas

y

a) Halla el ángulo formado por las rectas r y s.

b) Halla las coordenadas del punto de corte.

Ejercicio 6

Hace seis años, la edad de mi hermano mayor era el triple que la mía. Dentro de 10 años, la edad

de mi hermano será el doble que la mía menos 8 años. Calcula las edades de ambos.

Ejercicio 7

Calcula la altura de la montaña con los datos que aparecen en el dibujo:

Ejercicio 8

Una urna contiene 4 bolas blancas y 7 rojas. Se realizan dos extracciones devolviendo la bola

extraída.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que las 2 bolas extraídas sean rojas?

b) Si la primera bola es roja, ¿cuál es la probabilidad de que la segunda sea blanca?

c) Responde a las mismas cuestiones en el caso de que no se devuelva la primera bola a la

urna.



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SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE LA P.G.S. JUNIO 2013 - OPCIÓN A

Ejercicio 1

Resuelve, indicando todos los pasos y dando la solución de la manera más

simplificada posible, las siguientes operaciones:

Solución

Ejercicio 2

Para hacer un foso de 527 m3 un equipo de 85 obreros ha necesitado 23 horas. Si

tienen que hacer otro foso de 372 m3 antes de 30 horas, ¿cuántos obreros harán

falta?

Estudiamos la relación de proporcionalidad que existe entre las magnitudes “volumen del

foso en m3”, “tiempo en horas” con respecto a “número de obreros”.

El volumen en m3 y el nº de obreros son directamente proporcionales ya que a más

volumen que realizar se necesitará mayor número de obreros y en la misma

proporción.

El tiempo en horas y el nº de obreros son inversamente proporcionales ya que a más

obreros, menos horas de trabajo harán entre todos (en la misma proporción)



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Por lo tanto, tendremos el siguiente esquema de proporcionalidad:

Volumen en m3

Tiempo en horas

Número de obreros

527 m3 ↔ 23 horas ↔ 85 obreros 372 m3 ↔ 30 horas ↔ x obreros

Inversamente proporcionales

Directamente proporcionales

En ese caso, invirtiendo las inversamente proporcionales:

Concluimos que necesitaremos más de 46 obreros para terminar en menos de

30 horas el foso de 372 m2 trabajando al mismo ritmo que el grupo de obreros

anterior.

Ejercicio 3

Dada la siguiente gráfica de f(x):

a) Calcula el Dominio y el Recorrido (Imagen)

Dom(f) = (– 3, 3) (3, + ∞)

Im(f) = (– ∞, +8]

b) Indica los intervalos de crecimiento y

decrecimiento.

Crece en x ( – 3, 0 ) ( 3, 6 )

Decrece en x ( 0, 3 ) ( 6, + ∞ )

c) Indica las coordenadas de los Máximos y mínimos absolutos.

No hay mínimo absoluto al haber dos asíntotas verticales.

El Máximo absoluto está en el punto de coordenadas M(6, 8)

d) Expresa la continuidad de la función.

La función es continua en ( – 2, 2 ) ( 2, + ∞ ) presentando discontinuidad de salto infinito en

x = 2.



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Ejercicio 4

Los siguientes valores representan los pesos de una serie de personas:

63 75 80 89 65 74 72 69 82 91 96 105 67 82 86 87 78 65 94 93 94 78 76 106 100 70 84 82 76 84 94 102 68 64 82

a) Agrupa los datos en intervalos de amplitud 10, halla las marcas de clase y

realiza una tabla estadística con los datos.



Solución

a) Agrupa los datos en intervalos de amplitud 10, halla las marcas de clase y

realiza una tabla estadística con los datos.

xi ni fi Ni Fi %

[63, 73) 68 9 9/35 = 0´26 9 0´26 26 %

[73, 83) 78 9 9/35 = 0´26 18 0´52 26 %

[83, 93) 88 8 8/35 = 0´23 26 0´75 23 %

[93, 103) 98 7 7/35 = 0´20 33 0´95 20 %

[103, 113) 108 2 2/35 = 0´05 35 1 5 %


Calculamos mediante la tabla anterior los parámetros pedidos.

Media.

En el caso de hacer la media con los datos reales se obtiene 82´09

Mediana. Es el dato que deja un 50 % de la muestra por debajo.

Teniendo en cuenta que son un número impar de datos, tendremos que la

mediana es el que ocupa la posición 18 después de ordenada la muestra. Por lo

tanto, el dato mediano corresponde al intervalo [73, 83] y podemos considerar

que es un 78.

Si queremos hacer la mediana con los datos reales de la muestra, tendremos

que el que ocupa la posición 18 después de ordenada la muestra es 82.



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Moda. Es el dato que más se repite en la muestra.

Tendremos que los intervalos modales son [63, 73] y [73, 83].

Sin embargo, si queremos determinar la moda con los datos reales de la

muestra, tendremos que el dato que más se repite es 82 con un total de 4

veces.

Varianza. La varianza se calcula mediante,

Calculando la varianza por intervalos, mediante la clase que los corresponde,

tendremos que,

xi ni ni · xi ni ·xi2

[63, 73) 68 9 9·68 = 612 9·682 = 41 616

[73, 83) 78 9 9·78 = 702 9·782 = 54 756

[83, 93) 88 8 8·88 = 704 8·882 = 61 952

[93, 103) 98 7 7·98 = 686 7·982 = 67 228

[103, 113) 108 2 2·108 = 216 2·1082 = 23 328

2920 248 880

Desviación típica. Es la raíz cuadrada de la varianza. Por lo tanto,




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SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE LA P.G.S. JUNIO 2013 - OPCIÓN B

Ejercicio 5

Sean las rectas

y



Solución.


Para que las rectas r y s formen un ángulo, tendrán que cortarse, cosa que se

demuestra que hacen en el segundo apartado.

El ángulo que forman las rectas r y s depende de sus vectores directores y ya

que éste viene descrito mediante la fórmula,

Un vector director de la recta r viene determinado por las coordenadas libres,

mientras que las coordenadas libres, de un vector director de la recta s son,

De este modo, el ángulo que forman las rectas r y s mide,

Por lo tanto, el ángulo que forman las rectas r y s mide 27º 52´ 29.94´´



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Para calcular el punto de corte de las rectas r y s sustituimos las paramétricas de la

recta r en la ecuación continua de la recta s y despejamos el parámetro t

Por lo tanto, las coordenadas del punto de corte de las rectas r y s es,

Es decir, el punto de corte es P( – 17 / 7, + 1 / 7 )

Ejercicio 6

Hace seis años, la edad de mi hermano mayor era el triple que la mía. Dentro de 10

años, la edad de mi hermano será el doble que la mía menos 8 años. Calcula las

edades de ambos.

Solución. Nombramos con “x” a la edad actual del hermano pequeño (el que cuenta el

problema) e “y” la edad actual del hermano mayor. En ese caso, podremos describir el

problema mediante las siguientes ecuaciones,

Hace seis años, la edad de mi hermano mayor era el triple que la mía.

y – 6 = 3·(x – 6)

Dentro de 10 años, la edad de mi hermano será el doble que la mía menos 8 años

y + 10 = 2·(x + 10) – 8

Esto nos lleva a un sistema de ecuaciones lineales que se puede primeramente simplificar

del siguiente modo:



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Resolvemos por el método de reducción:

En ese caso, sustituyendo x = 14 en la primera ecuación obtendremos el valor de y:

– 3 x + y = – 12 – 3 ·14 + y = – 12 – 42 + y = – 12 y = 42– 12 y = 30

Concluimos que las edades de los hermanos son 14 años y 30 años.

Ejercicio 7

Calcula la altura de la montaña con los datos que aparecen en el dibujo:

Solución. Llamamos “x” a la distancia OA entre la base de la montaña y el punto de

medición del ángulo de 45 º y por otro llamamos “h” a la altura OC de la montaña. En ese

caso, podemos aplicar la trigonometría a los dos triángulos rectángulos OAC y OBC que

aparecen en el dibujo mediante las tangentes de los ángulos agudos conocidos.

Podemos generar el siguiente sistema:

Resolvemos el sistema mediante el método de igualación, despejando la altura en ambas

ecuaciones, igualando y resolviendo inicialmente el valor “x”.



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La altura de la montaña será:

Concluimos que la montaña mide 204´9 m.

Ejercicio 8

Una urna contiene 4 bolas blancas y 7 rojas. Se realizan dos extracciones

devolviendo la bola extraída.


b) Si la primera bola es roja, ¿cuál es la probabilidad de que la segunda sea

blanca?

c) Responde a las mismas cuestiones en el caso de que no se devuelva la

primera bola a la urna.

Solución. Consideramos el siguiente diagrama de árbol que describe la situación.



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Aplicando el teorema de la probabilidad compuesta obtenemos la probabilidad:

b) Si la primera bola es roja, ¿cuál es la probabilidad de que la segunda sea

blanca?

Se trata de la probabilidad condicionada expuesta ya en el diagrama:

c) Responde a las mismas cuestiones en el caso de que no se devuelva la

primera bola a la urna.

El nuevo diagrama de árbol será

En el apartado a), aplicamos de nuevo el teorema de la probabilidad compuesta

obtenemos la probabilidad:

En el apartado b), la probabilidad condicionada es

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