Proyecto PMME

Física General 1 – Curso 2007

Dinámica del rígidoDinámica del rígido

Instituto de Física - Facultad de Ingeniería

Universidad de la República

Álvaro Favale, Emiliano Barcia, Bruno González

Desarrollo de la presentación

Presentación del objetivo del proyecto. Determinación de la metodología a utilizar. Exposición del fundamento teórico utilizado,

para la posterior resolución del ejercicio planteado.

Observación de los resultados obtenidos mediante la variación de los parámetros del problema.

Representación gráfica de dichos resultados.

Objetivo

Resolución analítica del ejercicio planteado observando la incidencia de los distintos

parámetros en juego.

Metodología

Resolución del ejercicio 17 del práctico 8. Ideas a desarrollar:

1. Variación de los parámetros del problema, observando cómo influyen en los resultados.

2. Representación gráfica de los mismos variando la relación entre masas y radios.

Fundamento teórico

En el movimiento traslacional asociamos una fuerza con la aceleración de un cuerpo.

En el movimiento rotacionalrotacional asociaremos una magnitud con la aceleración angular, pero es fácil verificar que no puede ser simplemente una fuerza.

(fig. 1)

Considero una fuerza F que actúa sobre una partícula localizada en

un punto “P” cuya posición respecto al

origen queda determinada por un

cierto vector “r” (fig. 1)

Definición de torque

El torquetorque ( ) que actúa sobre la partícula respecto al origen se define como:

r F ������������� �

El torque es una cantidad vectorial; su

magnitud esta dada por:

con el ángulo entre r y F (fig. 1).

. .sinr F

(fig. 1)

Puede observarse que dicha ecuación tiene las siguientes interpretaciones:

. .r F F r

En conclusión, la componente de la fuerza que es perpendicular al radioperpendicular al radio, es la causante del torque.

Traslación y rotaciónde un cuerpo rígido

Los efectos combinados de traslación del centro de masas, y de rotación en torno a un eje a través del centro de masas, son equivalentes a una rotación con la misma velocidad angular, en torno a un eje que pase a través del punto de contacto del cuerpo que rueda.

Las figs. (2) y (3) ilustran claramente este fenómeno:

Considérese la velocidad instantánea

de diferentes puntos de un cilindro que rueda.

La velocidad de su centro de masa es:

cmv R����������������������������(fig. 2)

Un punto “Q”en la parte superior del cilindro tendrá, por lo tanto, una velocidad de:

2 2a cmv R v ������������������������������������������

El punto “P” de contacto está instantáneamente en reposoreposo.(fig. 2)

(fig. 2)

La fig. (3)(a), muestra la velocidad de estos mismos tres puntos, si el cilindro solo se trasladara hacia la derecha.

(fig. 3)(a)

La fig. (3)(b) muestra la velocidad de los tres mismos puntos, si el cilindro estuviera rotando en torno a un eje perpendicular al plano por C.

(fig. 3)(b)

Ahora combinando estos dos resultados podemos concluir lo ilustrado en fig. (3)(c).

(fig. 3)(c)

Enunciado del ejercicio

Sea un carretel formado por dos discos de masa M y radio R (cada uno) y un eje de radio r de masa despreciable, una polea de radio r y masa m, y una caja de masa m, vinculados por un hilo inextensible de masa despreciable. El carretel se encuentra sobre una superficie con fricción como muestra la figura. Plantea las ecuaciones que permitirían calcular la aceleración del centro de masa del carretel.

Ilustración y diagrama de fuerzas

Cuerpo 1 Cuerpo 2

Cuerpo 3

T1

T1

T2T2

Froz

mg

Mg

N

Resolución del ejercicio

Consideraciones:x – dirección en el eje , sentido en el que se desplaza el carretel. y – dirección en el eje , sentido en el que se desplaza la caja.LT – largo total de la cuerda (inicialmente L1 + L2)

Cuerpo 1 – Carretel2

2 12 rozrT RF MR

F2 1

ˆ) 2 2rozi T F Ma ˆ) 2 2 0j N Mg

1 1a R

(1)

(2)

(3) (4)

R.S.D

Cuerpo 2 – Polea

22

2 1 2

mrrT rT

(5)

(6)

R.S.D

3 2a rCuerpo 3 – Caja

F 1 3ˆ)j T mg ma (7)

Ecuación de ligadura

T 1 2L L x r L y

Derivo dos veces la ecuación..

TL cte

1L cte

2L cte

1 1 3a r a (8)

Resultado:

Sustituyendo M = 3m y R = 3r(sugerencia del ejercicio)

1

2

29

ga

1 2 2

2 ( )

3 ( ) 6

mgR R ra

m R r MR

Variación de los parámetrosdel problema

Supongo masa de la polea = M

Planteo las ecuaciones correspondientes..

12

3

( )

MRaT

R r

1 3( )T m g a

13

[ ( )]a R ra

R

32 1 2

MaT T

Resultado:

Sustituyendo M = 3m y R = 3r(sugerencia del ejercicio)

2

1 2 2

2 ( )

( 2 )( 2 )

mg R Rra

M m R rR r

1

3

5

ga

Supongo el radio de la polea = R

Planteo las ecuaciones correspondientes..

12

3cos

( )

MRaT

R r

32 1cos

2

maT T 1 3( )T m g a

13

[ ( )]a R ra

R

Resultado:

Sustituyendo M = 3m y R = 3r(sugerencia del ejercicio)

1

2

29

ga

1 2 2

2 ( )

3 ( ) 6

mgR R ra

m R r MR

Supongo la masa de la caja = M

Planteo las ecuaciones correspondientes..

12

3

( )

MRaT

R r

32 1 2

maT T

1 3( )T M g a

13

[ ( )]a R ra

R

Resultado:

Sustituyendo M = 3m y R = 3r(sugerencia del ejercicio)

1 2 2

2 ( )

(2 )( ) 6

MgR R ra

M m R r MR

1

18

95

ga

a = f(x)

00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

variable

aceleración (m/s2) a = f(x)

Representación gráfica

Ejercicio Base M = xmR = xr

a = f(x)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

variable

aceleración

(m/s2)a = f(x)

R = 2r = cte.M = xm

a = f(x)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

variable

aceleración (m/s2) a = f(x)

M = 2m = cte.R = xr

a = f(x)

0123456789

1011

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

variable

aceleración (m/s2) a = f(x)

Masa de la polea = M

M = xmR = xr

Masa de la caja = M

a = f(x)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

variable

aceleración (m/s2)

a = f(x)

M = xmR = xr

Conclusiones

Proyecto Física 2007