• Marco teórico

• Aplicación

• Conclusiones

Física General 1Proyecto PMME - Curso 2007Instituto de Física Facultad de Ingeniería – UdelaR

MOMENTO ANGULAR

INTRODUCCIÓN

• En esta presentación realizaremos el estudio teórico y practico de un dispositivo masa-cilindro-resorte, en el cual se conserva el momento angular.

• Desarrollaremos el ejercicio de manera tal de explicar con detalle los sucesos con diferentes variables. Llegando a concluir las distintas proporcionalidades entre las variables.

Momento angular (L)

Definimos momento angular de una partícula, para luego extender su definición a un sistema de partículas o rígido.

Para una partícula

• L es el producto vectorial entre (vectores posición y momento lineal respectivamente)

• L es perpendicular al plano definido por los vectores y sus sentidos los indicamos con la regla de la mano derecha.

L = r p = r v. m

r y P

r y P

• Él módulo de Lo se obtiene de la siguiente ecuación:

• para un sistema de partículas L se obtiene sumando la contribución de cada una de las partículas

L = p r sen

• Cuando el torque externo es nulo (= 0) L se conserva( ) .

• Para la resolución del ejercicio utilizamos conceptos de energía definidos por la siguiente ecuación.

Li = Lf

Ec to ta l = Ec ro tación + Ec t raslación I

2 m VCM

2

2 2

• Un cilindro de radio R y masa M que está inicialmente en reposo y montado sobre un eje horizontal que pasa por su centro de masa.

Este eje está apoyado sobre un par de guías horizontales sobre las cuales desliza sin fricción y unido a dos resortes de igual constante k sujetos por sus otros extremos a una pared lejana.

En el siguiente ejercicio aplicaremos lo dado anteriormente

• Al cual se le lanza un trozo de arcilla de masa m y rapidez v siendo m << M.

• El trozo de arcilla impacta sobre el cilindro (quedando

pegado luego a él) siguiendo una dirección perpendicular al eje y a una distancia d por encima del mismo (d < R).

• Dado que la masa m es pequeña, se puede suponer que la simetría del conjunto (masa y momento de inercia del conjunto masa+cilindro) es la misma que la del cilindro solo.

Y más gráficamente …

Nuestros objetivos son:

1. Calcular la velocidad angular del conjunto luego del impacto.

2. Hallar la compresión máxima que pueden alcanzar los resortes.

3. Calcular la energía perdida durante la colisión.

4. Repetir las partes 1. y 3. suponiendo que el eje del cilindro no puede desplazarse sobre las guías.

1. Calcular la velocidad angular del conjunto luego del impacto.

• Y siendo: y

• Es decir:

Entonces: y como en este caso : sustituyendo:

Como el ح ext = o Li = Lf

Lf = I . (k )

d.m.v = I .

= d.m.v I

I= M.R2

2

= 2 d.m.v

MR2

Li = d.m.v ( k )

2. Hallar la compresión máxima que pueden alcanzar los resortes.

• instante después del choque

• Se conserva la energía mecánica • ausencia de fuerzas no conservativas

• Sea:

• Sustituimos en (2):

Emi = Emf

Em i = I

2 + MV

2

2 2

I

2 + MV

2

2 2

(2)

2 2

mf 22 2

k x IE

2 2

22 2

k x I

2

Mx V

k

• Por el mismo supuesto la cantidad de movimiento del centro de masas se conserva:

• Siendo:

y• Entonces:

• Despejamos V:

• (Como m << M podemos suponer que (m+M) = M)

• Sustituyendo V :

P f = P i

P i = m.v P f = ( m + M ). V

= ( m + M ). V m.v

m.v V = (m+M)

2

mvx

kM

3. Para calcular la energía perdida durante la colisión nos consideramos dos instantes:

• Antes de la colisión, donde la masa m se encuentra a una altura d respecto por encima del CM del cilindro.

• luego de la colisión, encontrándonos con el movimiento combinado de ambos objetos.

• Primer instante:

• Ug es despreciable:

• Segundo instante:

• Calculando la energía perdida:

• Sustituyendo en:

Emi = K + Ug

m.v

2

Emi = K = 2

Emf = Ktras + Krot M.V

2 I.

2

Emf = + 2 2

Eperdida = Emi - Emf

m.v2 - MV

2 - I

2

Ep = 2

m.v V = M

d.m.v = I

2 2

12P

mv m mdE

M I

• es igual a la calculada anteriormente, dado que las magnitudes para calcularla no se ven afectadas por el cambio citado; siendo estas: m (masa de la partícula), v (la velocidad de la misma), d (la distancia de la partícula al centro de masa de el cilindro) e I (la inercia).

4.Ahora suponemos la misma situación pero el eje

del cilindro no puede desplazarse sobre las guías. f

• Al suponer que el eje del cilindro no puede desplazarse sobre las guías, el cilindro no posee energía de traslación (su velocidad final V es nula) y como consecuencia solo rota.

m.v2 - MV

2 - I

2

Ep = 2

V = 0 m.v

2 - I

2

Ep = 2 2

¿Como varía W en función de los parámetros?

2

2

MR

dmv

Mostraremos dichas rel. con valores a modo de ej. en las siguientes gráficas

0

2

4

6

8

10

12

14

0 5 10 15 20 25

v

W

V (m/s) (Rad./s)

0 0

5 2,92

10 5,83

15 8,75

20 11,66

V

El siguiente gráfico tiene sentido físico solo hasta = R.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

d

W

(m) (Rad./s)

0 0

0,05 (R/4) 2,08

0,1 (R/2) 4,17

0,15 (3R/4) 6,25

0,2 (R) 8,3

d

d

d

0

2

4

6

8

10

12

14

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

MW

m M (Kg) W (Rad./s)

0,6 11,66

1,2 5,83

2 3,5

3 2,3

m

R (m) W (Rad./s)

0,1 33,33

0,2 5,83

0,3 3,7

0,4 2,08

0,5 1,33

R

¿Cómo varía la energía perdida en función del parámetro de impacto?

Siendo la energía perdida

MR

md

M

m2

221

2

2mvEp (d) =

Ep

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

-0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6

d

Ep

(m)

-0,447 0

0 4,59

0,447 0

Ep d

Ep

d

Conclusiones

• Cuando d = 0, la energía perdida es máxima pues el cilindro no realiza un movimiento rotacional. De esta manera llegamos a que la energía rotacional que el cilindro hubiera obtenido (si d fuera mayor que cero) es entregada a los resortes, y como consecuencia el rígido solo se traslada.

• según el gráfico, cuando d = R no se pierde energía.

• La energía rotacional alcanza su valor máximo

No se produce traslación.

• Al no trasladarse el cilindro no brinda energía a los resortes pues nunca llega a ellos.

El sistema no pierde energía

Pablo Milanese, Sabrina Masante, Jonatan Aguirre, Ana Plavan