proyecto mercy ortega
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UNIVERSIDAD TECNICA DE MACHALA
FACULTAD DE CIENCIAS
EMPRESARIALES
PROYECTO DE AULA
MATEMATICAS
NOMBRE: MERCY ORTEGA
PROFESORA: SARA CRUZ
1
INFORMACIÓN DE LA ASIGNATURA
1.1 NOMBRE DE LA ASIGNATURA: MATEMÁTICAS
1.2 MALLA CURRICULAR: CURSO DE NIVELACIÓN
1.3 PERIODO ACADEMICO: 2012 - 2013
1.4 DESCRIPCION DE LA ASIGNATURA
Mediante el transcurso del curso de nivelación por parte de la Senecyt, la
asignatura de matemática ha estado a cargo del Ing. Sara Cruz, quien como
docente académico a retroalimentado los saberes aprendidos en Bachillerato,
se puede decir que la asignatura de matemáticas es media complicada pero
nuestro docente, ha sabido enseñarnos y explicarnos las dudas que hemos
tenido.
1.5 ENFOQUE Y ESTRATEGIA
¿Cuál es el enfoque?
El enfoque obedece a nuestro lema: aprender haciendo y construyendo;
aprender
Con una visión sistemática, humana e integral de la persona, el aprendizaje y la
vida.
La base operativa de esta concepción del aprendizaje se sustenta en la
metodología
2
De procesos, el desarrollo de las habilidades de matemáticas, la transferencia
de
procesos al aprendizaje, el constructivismo y el aprendizaje significativo.
¿Cuál es la estrategia?
En cuanto a logros: monitorear el aprendizaje y estimular el desarrollo
autónomo,
para la conceptualización, el logro de imágenes mentales claras y
diferenciadas;
Alcanzar el hábito de aplicar y extender cada proceso; es decir, se trabaja para
Alcanzar las competencias necesarias para utilizar los procesos
espontáneamente, con acierto y efectividad.
El aprendizaje se logrará:
Mediante la mediación y el monitoreo del docente para lograr el desarrollo
progresivo de la autonomía del alumno para aprender continuamente hasta
lograr su independencia intelectual para pensar, optimizar, crear y actuar.
Mediante la aplicación de los avances de la ciencia cognitiva, el
constructivismo, el enfoque sistemático, la mejora continua, el aprendizaje
significativo y el desarrollo integral humano.
A través de la estimulación adecuada, el aprendizaje gradual, y la verificación y
retroalimentación permanentes.
1.6 ACTITUDES Y VALORES REQUERIDOS PARA APRENDER Y
APRENDER A APRENDER
3
Reconocer las fortalezas y debilidades que se tienen y aprovecharlas para
generar ideas, aportar soluciones, aprender del entorno y compartir con otros.
Aceptar sugerencias y orientaciones de docentes y compañeros con interés y
humildad.
Actuar como gestores críticos y responsables del aprendizaje y del crecimiento
personal.
Valorar el interés de docentes, familiares y amigos, en beneficio del crecimiento
personal y social.
Mostrar disposición para reflexionar sobre los logros alcanzados y los
beneficios de aprender y aprender a aprender.
1.7 OBJETIVOS GENERALES
Realizar actividades que sean motivadores y que lleven al alumno a
considerar que las matemáticas están presentes en todos los ámbitos
donde se desenvuelve su vida diaria.
Elevar el índice de rendimiento y conocimiento en la asignatura de
matemáticas de los futuros alumnos del curso de nivelación SNNA de la
Facultad de Ciencias Empresariales de la Universidad Técnica de
Machala, con la finalidad de fortalecer los conocimientos que ofrecen los
profesores en las aulas y así mejorar el rendimiento de los aspirantes
antes mencionados.
1.8 ESTANDARES DE DESEMPEÑO DE LAS COMPETENCIAS A LOGRAR
Se utilizara una escala de cinco niveles para verificar el avance de los
estudiantes en el desarrollo de las competencias del curso, la cual se describe
a continuación:
NIVEL
4
Desempeño
Tiene noción del concepto, procedimiento o actitud que va a desarrollar.
Realiza o demuestra el desempeño esperado con la medición del
docente
Realiza o demuestra el desempeño esperado por su propia iniciativa.
Realiza o demuestra el desempeño esperado por su cuenta y es capaz
de corregir tus propios errores.
Realiza todo lo anterior y además es capaz de guiar a otros, de tomar
una decisión para introducir modificaciones en su trabajo y de crear
nuevos escenarios o productos. Reconoce el valor y la utilidad de sus
aprendizajes.
1.9 PROGRAMACION TEMATICA (Contenido de la asignatura)
CAPITULO 1
LOGICA MATEMATICAS.
CAPITULO 2
NUMEROS BINARIOS
CAPITULO 3
FUNCIONES
CAPITULO 4
TRIGONOMETRIA
5
CAPITULO 11
TABLAS DE FRECUENCIAS
1.10 TEXTO Y OTRAS REFERENCIAS REQUERIDAS:
TEXTO GUIA:
FUNDAMENTOS DE MATEMATICAS.
1.11 DESCRIPCION DE LA METODOLOGIA DE LA ASIGNATURA
ESTRATEGIAS PEDAGOGICAS DEL DOCENTE
-Organizar grupos de trabajo y de estudio de las temáticas a tratar.
-Realizar tareas de refuerzo en clase a través de talleres de ejercicios.
-Definir tareas de aprendizaje a ejecutarse como refuerzo extraclase.
-Seleccionar artículos de internet y ofrecerlos a los estudiantes para su análisis.
-Utilizar las Tics a través del diseño y aplicación del aula virtual de la
asignatura.
TRABAJOS QUE DEBE REALIZAR EL ESTUDIANTE
-Participar activamente y responsablemente de los grupos de trabajo y de
estudio.
-Ejecutar las tareas de aprendizaje propuestas tanto en clase como las extra
clase.
-Analizar críticamente los artículos de internet dados por el docente.
-Participar de las actividades de aprendizaje propuestas en el aula virtual de la
asignatura.
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1.12 PORTAFOLIO DE LA ASIGNATURA
En el portafolio de la asignatura constará lo siguiente:
- Datos informativos
- Programa analítico de la asignatura
- Tareas de refuerzo en los talleres de clase
- Tareas de refuerzo extraclase
- Evaluaciones parciales
- Evaluación final
- Trabajo final
1.13 RECURSOS DIDACTICOS
Los recursos didácticos a emplearse son:
-Texto guía y textos adicionales
-Tecnologías de la información (Tics )
-Computador conectado a internet
-Proyector
-Aulas de Clase, Pizarrón y marcadores
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1.14 EVALUACION DE LA ASIGNATURA
La evaluación de la asignatura se hará en base a los siguientes parámetros:
Parámetros de evaluación Porcentaje
LOGROS DE APRENDIZAJE 50%
Pruebas parciales
Examen Final
Proyecto de Aula
PROCESO DE APRENDIZAJE 50%
Participación en clase: Talleres de ejercicios
Control de lectura en clases
Trabajo autónomo
Total…………………………………………………….. 100 %
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PROGRAMA ANALÍTICO DE
LA ASIGNATURA
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UNIDAD N°1
LOGICA MATEMATICA.
PROPOSICIONES.
No es proposición cuando están incompletos, o son preguntas
Se representa con las primeras letras del abecedario en minúsculas.
1 = V
0 = F
And = Y
Or = Ó
Not = O
VALORES DE VERDAD
El valor de verdad es una proposición es la cualidad de veracidad que describe
adecuadamente la proposición, este puede ser verdadero o falso.
Usualmente el valor verdadero se lo asocia como: True, 1, V, mientras que el
valor falso se lo asocia como: False, 0, F. Se podría utilizar cualquiera de ellas,
pero la más usual de 1 y 0.
TABLA DE VERDAD
10
Una tabla de verdad es una representación de los posibles valores de verdad
que podrían tomar una proposición.
a01
a b0 11 0
a b c0 0 10 1 00 0 11 1 01 0 11 1 0
OPERADORES LÓGICOS
NEGACIÓN
Sea “a” una proposición, la negación de “a” representada simbólicamente por
“¬a”; es una nueva proposición cuyo valor de verdad está dado por la siguiente
tabla de verdad:
Este operador lógico cambia de valor de verdad de una proposición si “a” es
una proposición verdadera, la negación de “a” será una proposición falsa; si “a”
es una proposición falsa la negación de “a” será verdadera.
La negación de “a” se representa con los términos gramaticales: “no”, “ni”, “no
es cierto que”, “no es verdad que”.
a: Tengo un billete de $5 dólares
¬a: No tengo un billete de $5 dólares
CONJUNCIÓN
Sean “a” y “b” proposiciones, la conjunción entre “a” y “b” se representa
simbólicamente por “a ^ b”, es una proposición cuyo valor de verdad está dado
11
a¬0110
por las siguientes tablas de verdad .Este operador lógico relaciona 2
proposiciones para formar una nueva en la cual la proposición resultante será
verdadera solamente cuando el valor de verdad de ambas proposiciones es
verdadero. En español la conjunción copulativa se representa con los términos
gramaticales: “y”, “pero”, “más”, y signos de puntuación
como: “,” - “.” y el “;”.
a: Obtengo buenas notas
b: Gano una beca
a ^ b: Obtengo buenas notas y gano una beca
a: Trabajo mucho
b: Recibo un bajo sueldo
a ^ b: Trabajo mucho pero recibo un bajo sueldo
DISYUNCIÓN.
Sean “a” y “b” proposiciones, la disyunción entre a y b se representa
simbólicamente por “a V b”, es una nueva proposición cuyo valor de verdad
esta dado por la siguiente tabla de verdad:
Este operador lógico relación 2 proposiciones para formar una nueva, en la
cual la proposición resultante será falsa solamente cuando el valor de verdad
de ambas proposiciones es falso.
En español la disyunción se representa con el término gramatical “o”
a: Tengo un libro de trigonometría
b: Tengo un libro de álgebra
aVb: Tengo un libro de trigonometría o tengo un libro de álgebra
12
a b a ^b
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
A b a V b
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Como se podrán notar en este ejemplo existe la posibilidad, razón por la cual
esta disyunción merece el nombre de disyunción inclusiva.
En el lenguaje español suelen representarse situaciones que son mutuamente
excluyentes entre sí. La expresión “o estoy en Quito o estoy en Guayaquil”
denota la imposibilidad de estar físicamente en Quito o en Guayaquil al mismo
tiempo.
DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
Sean “a” y “b” proposiciones, la disyunción exclusiva entre a y b representado
simbólicamente por a V b, es una proposición cuyo valor de verdad está dado
por la siguiente tabla de verdad:
En español la disyunción exclusiva se representa por el termino gramatical “o”,
“o solo”, “o solamente”, “,”.
CONDICIONAL
Sean a y b proposiciones, la condicional entre a y b representada
simbólicamente por ab, a y b, es una nueva proposición cuyo valor de
verdad está dado por la siguiente tabla de verdad:
Las formas gramaticales para expresar condicional son: “si a entonces b”, “a
solo si b”, “a solamente si b”, “b si a”.
Se tienen las proposiciones
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a b a V b
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
a: Juan gana el concurso
b: Juan dona $10.000 dólares
ab: Si Juan gana el concurso entonces Juan dona $10.000 dólares.
ba: Juan dona $10.000 si Juan gana el concurso.
TIPO DE CONDICIONAL:
Recíproca.- b a “b implica a”
Contra recíproca.- ¬b ¬a
Inversa.- ¬a ¬b
EJERCICIO
A partir de la preposición
Si es un automóvil, entonces es un medio de transporte
-Si es un medio de transporte, entonces es un automóvil ( ba )
-Si no es un automóvil, entonces no es un medio de transporte (¬a ¬b)
-Si no es un medio de transporte, entonces no es un automóvil (¬b ¬a)
BICONDICIONAL
“a si solo si b”
“a si y solamente si b”
“a implica b y b implica a”
14
a b a->b
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
a b a<->b
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
“a cuándo y solo cuando b”
PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS
Traduzca al lenguaje simbólico la siguiente proposición:
“Si la seguridad privada es efectiva, disminuyen los índices de asalto en la
ciudad y el turismo se desarrolla. Los índices de asalto no disminuyen pero la
seguridad privada es efectiva, entonces el turismo no se desarrolla.”
-La seguridad privada es efectiva, disminuyen los índices de asalto en la ciudad
y el turismo se desarrolla. (a b ^ c)
-Los índices de asalto no disminuyen pero la seguridad privada es efectiva,
entonces el turismo no se desarrolla. (¬b ^ ¬a ¬c)
a: La seguridad privada es efectiva
b: Disminuyen los índices de asalto en la ciudad
c: El turismo se desarrolla
[ a (b ^ c) ^ (¬b ^ ¬a) ] (¬c)
Traduzca al lenguaje formal la siguiente proposición.
-“Estudio y apruebo el examen de admisión o repruebo y lo intento una vez
mas”
a: Estudio
b: Apruebo el examen de admisión.
c: Lo intento una vez más.
[(a˄b) ˅ (˥b˄c)]
-Mi equipo gana el juego de futbol y obtiene los 3 puntos, o pierde y trata de
ganar el próximo juego.
a: Mi equipo gana el juego de futbol.
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b: Obtiene los 3 puntos.
c: trata de ganar el próximo juego.
[(a˄b) ˅ (˥a˄c)]
a 0
b 0
c 0
d 0
˥(a˅b)→(c˄˥d)
˥(0˅0)→(1˄0)
˥(0)→(0)
1→0
0
˥(c↔d) ˅ (b˄d)
˥(1↔1) ˅ (0˄1)
˥ (1) ˅ (0)
0 ˅ 0
0
(a˄b) ˅ (c˄d)
(0˄0) ˅ (1˄1)
0 ˅ 1
1
(a↔c) ˅ (a˅d)
(0↔1) ˄ (0˅1)
0 ˄ 1
0
(b↔c) ˅ (c˅d)
(0↔1) ˅ (0˅1)
0 ˅ 1
1
16
FORMAS PROPORCIONALES
A:[(p˄q)→(r˅˥q)]˄r
P Q R p˄q ˥q r˅˥q (p˄q)→(r˅˥q) A
0 0 0 0 1 1 1 0
0 0 1 0 1 1 1 1
0 1 0 0 0 0 1 0
0 1 1 0 0 1 1 1
1 0 0 0 1 1 1 0
1 0 1 0 1 1 1 1
1 1 0 1 0 0 0 0
1 1 1 1 0 1 1 1
TAUTOLOGÍA.- Si se tienen solamente proposiciones verdaderas para todos
los valores de verdad de las variables proporcionalmente, se dice que es una
tautología.
CONTRADICCIÓN.- Si se tienen solamente proposiciones falsas para todos los
valores de verdad de las variables proporcionales, se dice que es una
contradicción.
CONTINGENCIA.- Si se tienen algunas proposiciones verdaderas y otras
falsas para los valores de verdad de las variables proporcionales, se dice que
es una contingencia.
IMPLICACIÓN LÓGICA.- Sean A y B 2 formas proporcionales se dice que A
implica lógicamente a B, denotado por A→B, si y solo si A→B es una
tautología. Ejemplo:
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p Q q→p P=>(q→p)
0 0 1 1
0 1 0 1
1 0 1 1
1 1 1 1
EQUIVALENCIA LÓGICA.- Sean A y B 2 formas proporcionales, se dice que A
es equivalente lógicamente a B, denotado por A↔, si y solo si la bicondicional
de A y B es una tautología.
p→ (q˄r) p:1
1→(0˄0) q:0
1→0 r: 0
0
˥(p˄˥q˄˥r)
p Q R ˥q ˥r p˄˥q (p˄˥q˄˥r) ˥(p˄˥q˄˥r)
0 0 0 1 1 0 0 1
0 0 1 1 0 0 0 1
0 1 0 0 1 0 0 1
0 1 1 0 0 0 0 1
1 0 0 1 1 1 1 0
1 0 1 1 0 1 0 1
1 1 0 0 1 0 0 1
1 1 1 0 0 0 0 1
LEYES DE OPERADORES FUNDAMENTALES.
Conjunción Disyuncion
(p˄q)=(q˄p) Conmutativa (p˅q)=(q˅p)
[(p˄q)˄r]=[(p˄(q˄r)] Asociativa [(p˅q)˅r]=[(p˅(q˅r)]
p˄p= p Idempontencia (p˅p)=p
p˄1=p Identidad (pv0)=p
(p˄0)=o Absorción (pv1)=1
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˥0=1
˥1=0
Negación
˥(˥p)=0 Doble negación Involutiva
p˅(q˄r)=(p˅q)˄(p˅r)
p˄(q˅r)=(p˄q)˅(p˄r)
Distributivas
˥(p˄q)= (˥p˅˥q)
˥(p˅q)= (˥p˄˥q)
De Morgan
(p˅˥p)= 1 Tercero excluido
(p˄˥p)= 0 Contradicción
(p→q).(˥q→˥p) Contradicción contra reciproca.
(p→q)=(˥p˅q)
˥(p→˥q)=(p˄q)
(˥p→q)=(p˅q)
Implicacioón
[(p→r)˄(q→r)]= [(p˅q)→r)
[(p→r)˄(q→r)]= [p→(q˄r)]
[(p˄q)˄(p→r)] - [p→(q→r)] Exportación
(p→q)=[(p˅˥q)→0] Reducción al Absurdo
[(pq)= [(p→q)]˄ (q→p)]
(pq)=(qp)
Forma Simbolica Tautología
p→p Trivial
p→(p˅p) Adiccion
(p˄q)→p Simplificación
[(p→q)˄p]→q Suposición del Antecedente
[(p→q)˄˥q]=>˥q Silogismo Disyuntytivo
[(p→q)˄(r→s)]=>(p˄r)→(q˄s)]
[(p→q)˄(r→s)]=>[(p˅r)→(q˅s)]
Dilemas constructivas
[(p→q)˄(q→r)]=>[(p→r)
[(pq)˄(q→r)]=>(p→r)
Transitividad
Sigolismo
Hipotético
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Aplicando leyes lógicas determina si la forma proporcional es una tautología,
contradicción o falacia.
[p→(p˅q)]→0
˥p˅(p˅q)→0 Implicación
(˥p˅p)˅q→0 Asociación
1˅q→0 Tercero excluido
1→0 Absorción/Disyunción
Contradicción
RAZONAMIENTO
Es una expresión de la forma H1˄H2˄H3˄………..Hn→c
VALIDEZ DE UN RAZONAMIENTO.
Un razonamiento es válido si su forma proporcional es una tautología y n o
valido si su forma proporcional una falacia.
Método de Reducción al Absurdo.
Consiste en obligar al razonamiento a que sea falsa, para ello asignamos
valores a las variables proporcionales, de tal forma que la hipótesis, sean
verdaderas y la conclusión falsa, para de esa forma obtener la combinación
1→0 correspondiente a falso. Si se logra lo anterior el razonamiento no es
válido, porque se a encontrado un falso en la tabla de verdad. Si no es posible
lograr esta (posibilidad) combinación, no existe el falso en la tabla de verdad y
se concluye que el razonamiento es válido.
H1˄H2˄H3→C 1→0=0
EJERCICIO.
Determine si el siguiente razonamiento es válido.
“Si pablo recibió el email, entonces tomo el avión y estará aquí al medio día.
Pablo tomo el avión. Luego. Pablo no recibió el email.
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a: Pablo recibió el e-mail
b: Pablo tomo el avión.
c: Pablo estaría aquí al medio día.
[a→(b˄c)˄˥b)→˥a
H1: a→(b˄c) a→p H1:p→(q˄r)
H2:˥b b→q H2:˥q
C:˥a c→r C:˥p
H1˄H2→C
[p→(q˄r)˄˥q]→˥p
P q R ˥p ˥q (q˄r) p→(q˄r) p→(q˄r)˄˥q C
0 0 0 1 1 0 1 1 1
0 0 1 1 1 0 1 1 1
0 1 0 1 0 0 1 0 1
0 1 1 1 0 1 1 0 1
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 1 0 1 0 0 0 1
1 1 0 0 0 0 0 0 1
1 1 1 0 0 1 1 0 1
[p→(q˄r)˄˥q]→˥p
˥[p→(q˄r)˄˥q]˅˥p
˥[˥p˅(q˄r)˄˥q]˅˥p
˥[˥p˅(q˄r)]˅˥(˥q˅˥p)
Determinar si la forma proporcional p˄(q˅r)]˄˥(˥q˅˥p) es una tautología,
contradicción o falacia.
p˄(q˅r)]˄˥(˥q˅˥p)
21
P q ˥p ˥q p˅q p˄(p˅q) ˥p˅˥q p˄(p˅q)˄(˥p˅˥q)
0 0 1 0 0 0 1 0
0 1 1 0 1 0 1 0
1 0 0 1 1 1 1 1
1 1 0 1 1 1 0 0
p˄(p˅q)˄(˥p˅˥q)
p˄(˥p˅˥q)
(p˄˥p)˅(p˄˥q)
0˅(p˄˥q)
(p˄˥q) → Contingencia.
Reducción
p˄(p˅q) = p
p˅(p˄q) = p
p˄(p˅q)˅(˥p˅˥q)
p˄(˥p˅˥q) Reducción
(p˄˥p)˅(p˄˥q) Distributiva
0˅(0˄˥q) Identidad/Disyunción
p˄˥q Contingencia.
Determinar la forma proporcional es una tautología, contradicción.
P→[(˥r˅p)→p]
P r ˥r (˥r˅p) (˥r˅p)→p p→[(˥r˅p)→p
0 0 1 1 0 1
0 1 0 0 1 1
1 0 1 1 1 1
1 1 0 1 1 1
22
p→[(˥r˅p)→p] Implicación
˥p˅[(˥r˅p)→p] Implicación
˥p˅[˥(˥r˅p)˅p] Doble negación
˥p˅˥(˥r)˄(˥p)˅p] Morgan
˥p˅(r˄˥p)˅p Tercero excluido
(˥p˅p)˅(r˄˥p) Absorción
1˅(r˄˥p)
1
EJERCICOS DE APLICACIÓN
[˥p˄(p˅q)]˄˥q
P q ˥p p˅q ˥q ˥p˄(p˅q) ˥p˄(p˅q)˄˥q
0 0 1 0 1 0 0
0 1 1 1 0 1 0
1 0 0 1 1 0 0
1 1 0 1 0 0 0
Contradicción
[˥p˄(p˅q)]˄˥q Distributiva
(˥p˄p) ˅ (˥p˄q) ˄˥q Contradicción
(0˅(˥p˄q)˄˥q Identidad/Disyuntiva
(˥p˄q) ˄˥q Asociación
(q˄˥q)˄˥p
0˄(˥p) Absorción
23
0
Dado el razonamiento.
H1.Si lo intento con ahincó y tengo talento, entonces me convierto en músico.
H2. Si me convierto en músico seré feliz.
Si no voy a ser feliz, entonces no lo intento con ahincó o no tengo talento.
H1˄H2→C
H1.
a. Lo intento con ahinco
b. Tengo talento
c. Me convierto en músico.
(a˄b)→c
H2
a. Convierto en músico
b. Sere feliz
(c˄d)
H1. (a˄b)→c
H2. (c˄d)
H1 (p˄q)→r
H2 (r˄s)
[(p˄q)→r] ˄ (r˄s)
[p→(q→r)]˄(r˄s)
Si trabajo arduamente, gano un buen sueldpo, pero no gano un buen sueldo.
Por lo tanto no trabajo arduamente.
a. Trabajo arduamente
24
b. Gano un buen sueldo
H1. [ (a ˄ b) ˄ ˥b ]→a
H1 H2 C
[ (p˄q)˄˥q]→˥p
p q p˄q ˥q (p˄q)˄˥q ˥p [(p˄q)˄˥q]→˥p
0 0 0 1 0 1 1
0 1 0 0 0 1 1
1 0 0 1 0 0 1
1 1 1 0 0 0 1
CONJUNTOS
Un conjunto es una conexión bien definida de objetos llamados elementos. Por
lo general se utiliza las primeras letras del alfabeto para representar dicho
conjuntos.
Los elementos suelen colocarse en A{….}
Pertenencia.- El símbolo de pertenencia relaciona un elemento con un
conjunto, el símbolo es: ϵ
CARDINALIDAD.- La Cardinalidad del conjunto.
A es el número de elementos que contiene A
A 1,3,4,5 N(A)=4
Si se define el conjunto.
A={ 1,3,5,8,9 } B={ a,s,d,f,g }
N(A)=5 N(B)=5
s B V
25
e ϵ B F
a ϵ B V
f ϵ B V
EXTENSIÓN POR TABULACIÓN.
Especifica cada elemento del conjunto. Los elementos se cierran en [ ….]
Comprensión: Se especifican las características de los elementos que
pertenecen al conjunto.
Representa los siguientes conjuntos por extensión.
A [ x/x ]
A [e,i,o] N(A) = 3 a. vocales de escritorio
B [4,6,8,10,12] N(B)=5 b. x/x es un numero par entre 3 y 12.
C [x/ x>3˄x≤14˄ x es impar] c. [5, 7,9,11,13]
D [x/ 2< = x≤14˄ x es primo] d. [2,3,5,7,11,13]
Conjuntos Importantes.
VACIO.- No tiene elementos y se representa así Φ
UNITARIO.- Se denomina conjunto a quien tiene un elemento.
FINITO.- Conjunto con una cantidad determinada de elementos.
INFINITO.- Conjunto con una cantidad no determinada de elementos.
REFERENCIAL.- El conjunto referencial o conjunto Universo, es el con junto
que tiene todos los elementos y se lo representa así: Re , U.
Representación Grafica.
DIAGRAMA DE VENN.- Es la representación grafica de un conjunto por lo
general conjunto Universo se representa por un y el resto de conjuntos
con u otras figuras geométricas todas dentro del Universo.
26
U
Representar gráficamente los siguientes conjuntos.
U= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, }
A= {1, 3, 5, 7} U=
B= { 2, 3, 5, 6}
C= {1, 2, 4, 5, 6}
RELACIONES ENTRE CONJUNTO.
IGUALDAD: El conjunto A es igual a B
Si A y B tienen los mismos elementos.
A= { 1, 2, 3 }
B= { 1, 2, 4 }
SUBCONJUNTO c
A es subconjunto de B si todo elemento de A es elemento de B, es decir A c B
Ξ X ϵ A→X ϵ B.
B= { a, b, c, d }
A= { a, b }
SUBCONJUNTO PROPIO C
A el c B, si A es c de B pero no es igual a B.
27
A B
A c B Ξ A c B ˄ ˥ (A=B)
B={ 1, 2, 3, 4, 5 }
A= { 1, 2, 3 }
CONJUNTOS DISYUNTOS.-
Los conjuntos son disyuntos si no tienen elementos en común.
A { 1, 2} a) A = B F
B { 1, 2, 3 } b) A = C V
C { 1, 2 } c) B y D son disyuntos V
D { 3, 4, 5 } d) A y D son disyuntos V
Φ c A V
A c A V
A c B V
A c B V
A c C V
A c C F
Todo conjunto vacio es un conjunto de cualquier conjunto.
CONJUNTO POTENCIA.- (P) Es el conjunto representado P(A), es el conjunto
que tiene como elementos todos los subconjuntos de A.
P(A)= { x/x s A}
A={1, 2, 3 }
N(P(A)) = 2
=2³
=8
P(A)={ (1),(2),(3),(1,2),(1,3),(2,3),Φ,A}
B ={4, 5, 7,2}
28
N(P(B))= 2
=16
P(B)={ (4),(5),(7),(2),(4,5),(4,7),(4,2),(5,7),(5,2),(4,5,7),(4,5,2),(4,7,2),
(5,7,2),(7,4,2),Φ,B}
OPERACIONES ENTRE CONJUNTO.
Complemento.- El complemento de A representado como ᶜ, es el conjunto
formado por todos los elementos del referencial que no pertenecen al conjunto
A.
Aᶜ=
INTERSECCIÓN.- La intersección entre A y B esta representado A∩ B es el
conjunto formado ´por los elementos comunes al conjunto A y al conjunto B, es
decir:
A B
A ∩ B= {4, 5 }
A∩B= { x/x ϵ A ˄ ϵ B }
UNIÓN.- La union entre A y B representada como AuB es el conjun to formado
por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B.
M = { x/x es la palabra de Popeye}
N = { x/x es la vocal de la palabra pepino}
MuN=
M= { p, y}
N= { e, i, o}
29
A
5 4
1 2
3
1
2 3
4 6
5 7
M u N= { p, y, e, i, o }
DIFERENCIA.- La diferencia entre A y B representada como A es el conjunto
formado por los elementos que pertenecen al conjunto A pero no a B.
A – B = { x/x ϵ A AɆ B}
LA DIFERENCIA SIMÉTRICA entre A y B representada como A Ʌ B esel
conjunto formado por los elementos que pertenece a la Unión entre A y B pero
no a la intersección.
A Ʌ B { 1, 2, 3, 5, 6 }
A Ʌ B {x/x € AᴜBɅɆ AɅB}
EJERCICIO.
Ejercicio de Aplicación.
U= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A={1, 2, 3, 4, 5}
B={2, 4, 6, 8}
C={1, 3, 6, 7}
a)Aᶜ
Aᶜ = { x/€ Re ɅɆA}
30
A B4
5
123
A B123
4 56
A C
C
B
7
6
8
3 1
5 2
4
Aᶜ= {6, 7, 8}
b) AᴜB= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}
c) A∩B= {2, 4}
d) B-C= {2, 4, 8}
e) A Ʌ B= { 1, 3, 5, 6, 8}
Ejercicio de Aplicación.
U= {a, b, c, d, e, f, g}
A= {a, b, c, d}
B= {b, e, f}
C= {a, b, ga)ᶜ= {e, f, g}
A ∩B= {b}
AᴜC= {a, b, c, d, g}
A-C= {c, d}
AɅC= {c, d, g}
Ejercicio de Aplicación.
U= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A= {1, 2, 3, 4, 5}
B= {2, 4, 6, 8}
C= {1, 3, 6, 7}
a.- (A-B)ᴜ(Cᶜ-B)
A-B= {1, 3, 5}
31
A C
B
8
6
7
5
Cᶜ= {2, 4, 5, 8}
Cᶜ-B= {5}
(A-B
U= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A= {1, 2, 3, 4, 5}
B= {2, 4, 6, 8}
C={ 1, 3, 6, 7}
Cᶜ= {2, 4, 5, 8}
Bᶜ= {1, 3. 5. 7}
(Cᶜ U Bᶜ)= { 1, 2, 3, 4, 7, 8}
(A U B) ∩ (Cᶜ ∩ Bᶜ)= { 1, 2, 3, 4, 8}
Determina los conjuntos A y B si se conoce que:
U= { 1, 2, 3, 4, 5, 6}
A – B = { 1, 2, 3}
A – C = { 1, 2}
(B – C) –A= (4)
C – (A U B) = (5)
32
A B
6
1
2
4
5
(A U B U C)ᶜ= (6)
Desarrollo del Ejercicio 99.
Sean A, B, C conjuntos no vacios. Respecto del siguiente diagrama de Venn.
= 1, 2, 3, 4 3, 4, 5, 6
c= 2, 4, 6, 7
La región sombreada corresponde a.
d) (A-B)∩C a) (A-B)-C= 3) (A∩B)-A= Φ
c)(AᴜB)-C= (1, 2, 3, 4, 5)= (1, 3,5)
d) (A-B)∩C= (1, 2)= (2)
Desarrollo del Ejercicio 100.
Sean A, B, C conjuntos no vacios. Respecto del siguiente diagrama de Venn.
La Región sombreada corresponde a:
a.- (1, 2, 3, 4, 5)
b.- (2, 5, 6, 7, 8)
c.- (4, 5, 8, 9)
a.- Aᶜᴜ(B∩C)
(6, 8, 7, 9)ᴜ (4, 5, 8)= (4, 5, 6, 7, 8, 9)
b.- B-(AᴜC)
(1, 2, 3, 4, 5, 8, 9)- (2, 5, 7, 8) = (6, 7, 8)
c.-[(A∩B)∩Cᶜ] ᴜ[(AᴜB)ᶜ∩C]
33
A C
B
51
A C
B
6 1 32
89
a.- (1, 2, 3, 4, 5)
b.- (2, 3, 4,6, 7, 8,9)
c.- (4, 5, 7, 8, 10, 11)
(2, 3, 4)∩ (1, 2, 3, 6, 9)ᴜ(5, 10)∩(4, 5, 7, 8, 10, 11)
(2, 3)ᴜ(5, 10)= 2, 3, 5, 10.
CONMUTATIVA
AᴜB= BᴜA
A∩B= B∩A
ASOCIATIVA
(AᴜB)ᴜC= Aᴜ(BᴜC)
(A∩B)∩C= A∩(B∩C)
DISTRIBUTIVA.
Aᴜ(B∩C)= (AᴜB)∩(AᴜC)
A∩(BᴜC)= (A∩B)ᴜ(A∩C)
REDUCCIÓN
Aᴜ(A∩B)=A
A∩(AᴜB)=A
TERCER EXCLUIDO
AᴜAᶜ= Re
CONTRADICCIÓN
A∩Aᶜ=Φ
DE MORGAN
(AᴜB)ᶜ= Aᶜ∩Bᶜ
34
(A∩B)ᶜ= AᶜᴜBᶜ
IDEMPOTENCIA.
AᴜA= A
A∩A= A
IDENTIDAD.
AᴜΦ= A
A∩Re= A
ABSORCIÓN
Aᴜ Re= Re
A∩Φ= Φ
INVOLUCIÓN
(Aᶜ)ᶜ= A
COMPLEMENTO.
Reᶜ=Φ
Φᶜ= Re
DIFERENCIA.
A-B = A∩Bᶜ
Ejercicios de Aplicación.
*N(AᴜB)= N(A)+N(B)-N(A∩B)
*N(AᴜB∩C)= N(A)+N(B)+N(C)-N(A∩B)-N(A∩C)-N(B∩C)+N(A∩B∩C)
En una encuesta realizada a 500 alumnos se obtuvo la siguiente información
220 estudian matemáticas, 180 estudian física, 300 estudian química, 150
estudian física y Química, 120 estudian matemáticas y Química, 60 estudian
35
matemática y física, 50 estudian las 3 materias.¿ Cuantos alumnos no estudian
materia alguna?
U= 500
El Jefe de una empresa entrevista 300 personas que persiguen obtener uno de
los puestos disponibles en dicha empresa, entre los datos recolectados obtuvo
los siguientes idiomas: 140 ingles, 120 francés, 140 alemán, 30 hablan ingles y
francés, 40 ingles alemán, 60 francés y alemán y 20 no domina ninguno de los
tres idiomas.
U= 300
U-(IᴜFᴜA) = 20 U= 300
300-(IᴜFᴜA) 20 N(IᴜFᴜA)= N(I)N(F)+(A)-N(A∩B)-N(A∩C)-N(B∩C)
+N(A∩B∩C) IᴜFᴜA = 300-20 280= 140+120+140-30-40-60+ N(A∩B∩C)
IᴜFᴜA=280A∩B∩C)280-140-120- 140+30+40+60
N(A∩B∩C) = 10
Se entrevisto a 90 personas para saber que hacen en sus tiempos libres, en los
datos obtenidos se obtuvo, 50 música, 20 película y 60 escuchan música o ven
películas. Determinar cuántas personas realiza las dos actividades.
36
M F
Q 80
90 20
70 50 100
80
I F
A 20
70 30
40 10
U = 90
U= 90
U-(MᴜP)= 60
N(MᴜP)=N(M)+N(P)-N(M∩P)
60= 50+20-N(M∩P)
N(M∩P)=50+20-60
N(M∩P)= 10
EL PREDICADO P(x)
Es un predicado del Referencial si al reemplazar cualquier elemento del
Referencial en la variable x, se forma una proposición.
Si al reemplazar a por la variable x en el predicado se forma una proposición
verdadera se dice que a sastiface a P(x), es decir, a sastiface el predicado de x
si solo si.
P(a)=1
U= {Quito, Lima, Bolivia, Santiago}
a= p(x):x es capital.
b= q(x): x+2 = 5
P(Quito). Quito es capital.
CONJUNTO DE VERDAD.
El conjunto solución del predicado, representado, es el conjunto formado por
todos los elementos del referencial que satisface al predicado.
Teoremas.
37
M P
30
40 10
10
P(x) Ap(x)
A˥p(x) Ξ Aᶜ p(x)
A(p(x)Ʌq(x)) Ξ Ap(x)ᴜAq(x)
A(p(x)˅q(x)) Ξ Ap(x)ᴜAq(x)
A(p(x)q(x)) Ξ Aᶜp(x)ᴜAq(x)
U= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
p(x): x es un número primo
q(x) : x< 5
A(p(x)Ʌq(x))= Ap(x)ᴜAq(x)
Ap(x)= {1, 2, 3, 5, 7}
Aq(x) = { -4, -3, -2, -1, -0, 1, 2, 3, 4, 5}
= {1, 2, 3, 5, 7} ∩ { -4, -3, -2, -1, -0, 1, 2, 3, 4, 5}
= {1, 2, 3, 5}
Dado el conjunto Re = (-3, -2, -1, 1, 2, 3 ) y los predicados.
P(x): -2 (-2+2) =0 Aq(x) = {-3, -2, -1, 1, 2, 3}
P(x) : -2 (0) = 0
P(x) : 0 = 0
CUANTIFICADORES.-
Cuantificador Universal.- Actúa sobre un predicado, para formar la proposición
xp(x), que se lee: Todo “x” cumple p(x) o cada “x” cumple el p(x).
xp(x) es verdadero si el conjunto solución p(x) es igual al Referencial o U.
CUANTIFICADOR EXISTENCIAL. Ξ
38
El cuantificador Ξ actúa sobre un predicado p(x) para formar la proposición:
Ξxp(x) que se lee, existe por lo menos x que cumple el p(x), o Algun x cumple
un p(x). El cuantificador Ξ es verdadero si el conjunto solución del p(x) tiene al
menos un elemento. U= {1, 2, 3, 4, 5}
P(x): x > 2
V xp = Ap(x)= (2, 3, 4, 5) F
Ξ xp(x) = Ap(x)= (2, 3, 4, 5) V
U= {-4, -3, -2, -1, 3, 5, 7}
a) Vx x>3
Ap(x) (5,7)
b) V x es par
Ap(x) =-2 F
c)Vx x>-5
Ap x= (-4, -3, -2, -1, 3, 5, 7)
d)Ξx x es par y x<3
Ap(x): Φ
e) Vx x>7
Ap(x)
Si p(x) y q(x) son predicados de un Re
Ξxp(x)˅q(x)) Ξ xp(x)Ξxp(x)
Ξxp(x)˄q(x)) →Ξ xp(x)˄Ξxp(x)
Vxp (x)˄Vxq (x) ΞVx (p(x)˅q(x))
EJERCICIO 140.
Sea Re= (1, 2, 3, 4, 5 ), p (x): es divisor de 32, 4, 12; q (x): es primo (1, 2, 3, 5).
39
Encuentre el valor de verdad de las siguientes proposiciones.
a.Vx[p(x) ˅q(x)]
p (x) ᴜ q (x)
(1, 2, 3, 4) ᴜ (1, 2, 3, 5)
(1, 2, 3, 4, 5) V
b.Ξ x[p (x) ˄q(x)]
Ξ xp (x)˄ Ξ xq (x)
(1, 2, 3, 4) ∩ (1, 2, 3, 5)
(1, 2, 3) V
c. Ξ x [ ˥p(x) ˄ q (x)]
Aᶜ p x ˄ q (x)
Aᶜp x (5) ˄ (1, 2, 3, 5)
(5)
LECTURA LOGICA
CONJUNTOS
a Satisface p (x) p (a) Ξ 1 a € A p (x)
todo p (x) es q (x) Vx(p(x)q(x)) Ap(x)ᶜ Aq
(x)
Ningún p (x) es q (x) Vx(p(x)˥q(x)) Ap (x) ᶜ Aᶜq
(x)
Algun p(x) es q(x) Ξx (p(x)˄q(x))
Ap(x)∩Aq(x)≠Φ
40
No todo p(x) es q(x) Ξx(p(x)˄˥q(x))
Ap(x)∩Aᶜq(x)≠Φ
˥Vx p(x) Ξ Ξx ˥p(x)
˥Ξx p(x) Ξ Vx ˥p(x)
Si tienes los predicados:
p(x): x es poeta
q(x): x es romantico.
Niega la proposición todos los poetas son romanticos.
Vx (p(x)q(x))
Vx(p(x) ˥q(x)
PRODUCTO CARTESIANO.-
Entre los dos conjuntos a y b representado A x B, esta formado x todos los
pares ordenados en los cuales el primer componente pertenece al conjunto A y
el segundo componente al conjunto B.
A x B= ((x,y) (x € A ʌ y € B)
N (A x B) = N(A)N(B)
Ax (B∩C) = (A x B) ∩ (A x C)
Ax (B C) = (A x B) (A x C)⋃ ⋃
Ax (B – C) = (A x B) – (A x C)
Ax (B ʌ C) = (A x B) (A x C)
Se define los conjuntos:
A= {1, 2, 3}
B= {a, b}
A x B= {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}
41
A= (a, b)
B= {1, 2}
B x A= {(1,(a, b))} . {(2, (a, b))}
RELACION.-
Una relación de A en B que se representa como:
R: AB, es cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B, A se
denomina conjunto de partida y B punto de llegada.
DOMINIO.-
Sea r: AB sea una relación de A en B, entonces el dominio de r,
representado como: dom r, es el conjun to formado por los elementos de
conjunto de partida que están relacionados, es decir dom r = { X € A/(x, y) € r}
RANGO.-
Sea una relación de A en B, entonces el rango de r, representado por rg. r, es
el conjunto formado por los elementos del conjunto de llegada que están
relacionados.
rg. r = { Y € B (x, y) € r}
Si se tienen los conjuntos:
A= (1, 2, 3)
B= (3, 5, 7, 9)
Determine si el conjunto.
r. {(1, 5, (3,9)} es A en B X
Si se tienen los conjuntos.
A = {a, b, c}
42
B= {2, 4, 6, 8}
Determinar si los siguientes conjuntos son relacionados de B en A.
r =𝟇r = { (a, 2), (b, 6), (c, 8)}
r = {(2, a), (2, b), (2, c)}
r = {(2, a), (2, b), (2, c)}
FUNCIÓN DE A EN B, es una relación de A en B, que asigna a cada elemento
de A un único elemento de B. según esta definición el dom de A en Funcion es
= al punto de partida y cada elemento del conjunto de partida se relaciona con
un único elemento del conjunto de llegada.NIDAD Nº 2
UNIDAD N° 2
NÚMEROS BINARIOS.-
1 byte = 8 bites ⑦⑥⑤④③②① 0
1Mb = 1024 bytes 2 2 2 2 2 2 2 2
173 2 1 0 1 0 1 1 0 1
43
13 86 2
(1) 06 43 2 128 + 32 + 8 +4 +1 =173
(0) 03 21 2
(1) 01 10 2
(1) (0) 5 2
(1) 2 2
(0) 1
⑦⑥⑤④③②① 0
2 2 2 2 2 2 2 2
1 0 1 1 1 0 1 0
128 + 32 + 16+8 +2 =186
186 2
06 93 2
(0) 13 46 2
(1) 06 23 2
(0) 03 11 2
(1) (1) 5 2
(1) 2 2
(0) 1
44
EJERCICIO.
877 2
07 438 2
17 03 219 2
18 019 109 2
(0) (1) 09 54 2
(1) 14 27 2
(0)07 13 2
(1) (1) 6 2
(0) 3 2
(1) 1 9 8⑦⑥⑤④③②① 0
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 0 1 1 0 1 1 0 1
512+256+64+32+8+4+1=877
677 2
07 338 2
17 13 169 2
18 09 804 2
(0) (1) 004 402 2
(0) 002 201 2
(0)(001)10 2
45
(0) 5 2
(1) 2 2
(0) 1
9 8⑦⑥⑤④③②① 0
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 0 1 0 1 0 0 1 0 1
512+128+32+4+1= 677
SUMA BINARIA
0 +0 = 0 ⑦⑥⑤④③②① 0
1 + 0 = 1 2 2 2 2 2 2 2 2
0 + 1 = 1 1 0 1 0 1 0 0 1
1 + 1= 10 128 + 32 + 8 + 1 = 169
1 0 1 0 1 0 0 1 ⑦⑥⑤④③②① 0
1 1 1 0 1 0 1 0 2 2 2 2 2 2 2 2
11 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0
128 + 64 + 32 + 8 + 1 =233
169 2 101010101
09 84 2
(1) 04 42 2
(0) 02 21 2
(0) (01) 10 2
0 5 2
(1) 2 2
46
(0) 1
233 2 10101001
03 116 2
13 16 58 2
(1) (0) 18 29 2
(0) 09 14 2
(1) (0) 7 2
(1) 3 2
(1) 1 11101001
CONCEPTOS ASOCIADOS AL CONJUNTO DE NUMEROS REALES
-Un numero que es divisible por:
2: cuando es par y tiene el cero.
3: si la suma de sus cifras es 1 múltiplo de 3.
4: si sus 2 últimas cifras o es múltiplo de 4.
5: si termina en 0, o en 5.
6: si es divisible para 2 y para 3.
7: si es divisible para si mismo.
8:
9: si la suma de sus cifras es ultimo de 9.
NUMEROS PRIMOS.-
Un numero entero positivo es primo si y solo si sus únicos factores son
exactamente 1 y primos.
NUMEROS COMPUESTOS.-
47
Un numero entero positivo es compuesto si solo si no es primo.
DESCRIPCION DE NUMEROS COMPUESTOS.-
426 2 2.3.7.1.
213 3
71 7
(0)
MAXIMO COMUN DIVISOR.
El M.C.D. de un conjunto de números enteros es entero positivo que es divisor
de c/u de los números de conjunto.
Ej. 36 2
18 2
9 3
Un vendedor dispone de 24, 36 y 48 unidad de 3 artículos diferentes
respectivamente. Necesita elaborar paquete por cada artículo de tal forma que
el número de unidades de todos los paquetes sea el mismo y el más grande
positivo. El vendedor necesita calcular el número de unidad que tiene cada
paquete y cuantos paquetes por artículos tendrá.
M.C.D.
24 = 2³ 1 2
36= 2². 3² 2 3
4 48= 24. 3 3 4 M.C.D.= 12
MAXIMO COMUN MULTIPLO.
48
El M.C.M. de un conjunto de números enteros positivos es el menor entero
positivo que es el múltiplo de cada uno de los números dados.
12= 2³. 3
M.C.M. 8 = 2³. 2. 3 = 8 . 9 = 72
36=2 ². 3²
12 2 8 2 36 2
6 2 4 2 18 2
3 3 2 2 9 3
1 1 3 3
1
DESCOMPOSICION.-
M.C.D. - M.C.M
256 = 28. 2
312 =24. 29 . M.C.D. 2 = 4
548 =2². 137 M.C.M. 2. 29.137= 1017088
256 2 312 2 548 2
128 2 156 2 274 2
64 2 58 2 137 137
32 2 29 29 1
16 8 1
2 2
49
1
M.C.D. - M.C.M
128 = 27
516 =2². 3. 43 M.C.D. 2 = 4
712 =2. 89 M.C.M. 2. 89.3.43 = 1469568
128 2 516 2 712 2
64 2 258 2 356 2
32 2 124 3 178 2
16 8 43 43 89 89
2 2 (0) (0)
1
M.C.D. - M.C.M
481 = 481
424 =2. 53 M.C.D. 2³ = 8
312 =2. 39 M.C.M 39. 53. 481 = 994227
50
481 481 424 2 312 2
1 212 2 156 2
106 2 78 2
53 53 39 39
M.C.D. - M.C.M
128 = 2
128 =2. 107 M.C.D. 2 =
324 =2. 41 M.C.M 2. 41. 107 = 561536.
128 2 324 2 428 2
64 2 164 2 214 2
32 2 82 2 107 107
16 8 41 41 1
2 2 (1)
1
NUMEROS PARES E IMPARES.
PAR ↔ a = Zn, n € Z
IMPAR ↔ a = zn + 1, n € Z.
12 = 2(6)
-5 = 2(-3)
51
0 = 2(0)
31= 2 (15) + 1
-140 = 2(-70)
81= 2(40)+ 1
EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
4 + 5 + 2 Expresión
4ax²y Expresiones Algebraicas.
Una expresión algebraica es la combinación de simbolos (números y letras)
Atravez de las diferentes operaciones fundamentales, los términos de las
expresiones algebraicas corresponden a cada una de sus partes las cuales
están separadas entre si por los signos “+” o “-”.
2x²+4x²-3x²+y+5x-6y.
3x²+5x-5y.
2x²+5xy²-5x²y+10xy²
-3x²y+15xy²
5ab²+4ab+b³+4b³+a²b+b²+b².
a²b+2b²+4ab+5ab²+4ab
81ab²+42a²b-13ab²-2²b
68ab²+40a2b.
Si x = -1 y = -2
2x²-y³
2(-1)²-(-2)³
2(1)-(-8)
2 + 8
10
52
Si a= 3, b= -4 y c= -2.
a+b²-c
2√a+1−b
3+(-4)²-(-2)
2√3+1−(−4 )
3+(-16)-(-2)
2√4−(−4 )
11
32
PROPIEDADES DE LA FRACCION.
b≠0, c#0, d≠0
a = c = (ad=bc)
b d
a = ac
b cd
a + c = ad+bc
b d bd
a . c = ad
b d bc
53
a
b = ad
c bc
2ab + 4ab – 3a = 2ab (a+b) (b)+4ab(b)3a(ab)²
(a+b) (a+b)² b (a+b)²b
=2ab²(a+b)+ 4ab²-3a(a²+2ab+b)
(a²+2ab+b²)b
=2ab²+2a+b³+4ab²-3a³-6a²b-3ab²
a²b+2ab³+b³
= 2a²b²+2ab³+ab²-3a³-6a²b.
x - y
x+y x-y
x + y
x-y x+y
(x-y) x- y(x+y) (x²-xy)-(xy-y²)
(x+y) (x-y) = x² - xy + xy -y²
X(x+y) +y(x-y) (x²+xy)+(xy-y²)
(x-y) (x+y) x² + xy – xy - y²
x² -xy –xy- y² x² - 2xy - y² = x²- 2xy- y²
x² -xy+ xy- y² = x²- xy+ xy- y² = x²- y²
x²+ xy- xy- y² x²+ xy+ xy- y² x²+ 2xy- y²
x²+ xy- xy- y² x²+ xy- xy- y² x²- y²
54
(x²- y²) (x²- 2xy- y²) = x²- 2xy- y²
(x²-y²) (x²+ 2xy- y²) x²+2xy-y²
Simplificar la siguiente expresión:
2 + 2
1-a 1+a
2 - 2
1+a 1-a
2(1+a) + 2(1-a) (2+ 2 a) + (a-2 a)
(1-a) (1+a) = 1 + 1 a – 1 a - a²
2(1-a) – 2(1+a) (2 -2 a) – (2+ 2 a)
(1+a) (1-a) 1- 1 a + 1ª - a²
2+ 2 a+2- 2 a
1+ 1 a- 1 a- a² = 4 = 1
2+2 a- 2 + 2ª 4a² a²
1-1 a + 1 a-a²
PROPIEDADES DE EXPONENTES.
aⁿ. aᵐ= aⁿ+ᵐ
aⁿ = aⁿ-ᵐ
aᵐ
55
aⁿbⁿ=
aⁿbᵐ= (ab)ⁿ
aⁿ = a ⁿ
bᵑ b
(aⁿ) ⁿ =aᵐⁿ
1 = aᵑ
aⁿ
aº= 1
EJERCICIOS.
(2xⁿ+¹)² x³ˉⁿ =
x² ⁿ+¹ ˟ⁿ ²
= 4x²ⁿ+² x³ˉⁿ = 4x(²ⁿ+²+³ˉⁿ)
x²ⁿ+² x²ⁿ x(²ⁿ+²+²ⁿ)
= 4 xⁿ+¿5¿ = 4 xⁿ+¿5ˉ 4 ¿ⁿˉ² = 4xˉ³ⁿ+³
x4ⁿ+²
PRODUCTOS NOTABLES
(2x+3y)² = (2x)²+2(2x)(3y)+(3y)² = 4x+ 42xy+9y²
(aᵐ+aⁿ)² = (aᵐ)+2(aᵐ)(aⁿ)+(aⁿ)² = aᵐ²+2a²ᵐⁿ+aⁿ².
56
(a˟+b˟+¹)²= (a˟)²+2(a˟)(b˟+¹)² = a²˟+2a˟b˟+¹+b²˟+²
(3ª-5b)² = (3 a)²+2(3 a)(-5b)+(-5b4)² = 9a² -30ab-25b4
(a˟ˉ²-5b)² =(a˟ˉ²)²+2(a˟ˉ²)(-5)+(-5)² = 2a²˟ˉ 4- 10a˟ˉ²-25.
FACTORIZACION.
PRIMER CASO FACTOR COMUN.
x³+5x = pqr-p²qr+pqr²
x(x²+5) pqr(1-p+r)
FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TERMINOS
2ax-by-ay+2bx
(2ax+ 2bx)- (by+ay)
2x(a+b) –y(a+b)
(a+b)(2x-y)
DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS.
2x²-m4=
(5x+m²)(5x-m²)
DIFERENCIA DE POTENCIA A LA N.
(a7-b7)=
57
(a – b)(a6+a5+a4b ²+a ³b ³+a ²b4+ab5+b6)
243m5-32s5
(3m-2s)[(3m¿4+(3m)³(2s)+(3m)²(2s)²+(3m)(2s)³+(2s¿4)]
(3m-2s) [(81m4+54m3 s+36m ² s ²+24ms ³+16 s4)
TRINOMIO DE LA FORMA x²+bx+c.
x²- 5x+ 6.
(x-3) (x-2)
m4−2m ²−120
(m²-12) (m²+10)
TRINOMIO DE LA FORMA ax²+bx+c.
5x²- 8x+ 3
(5x-5)(5x-3) = 5(x-1)(5x-3) = (x-1) (5x-3)
5 5
25s²+20s+4
(5s+10)(5s+10)
2s
5(5s+2)5(5s+2)
2s
(5s+2)(5s+2)
RACIONALIZACION.
2 .√3 = 2 √3 = 2√3
√3 √3 (√3¿² 3
1 = √7 + √3 = √7+√3
√7-√3 √7 +√3 4
58
(√7)²-(√3)²
10 - 8 = 10 . 1-√3 - 8 . 2+√21+√3 2-√2 1+√3 1-√3 2-√2 2+√2
10 (1-√3) - 8 (2+√2)12-(√3)² 2² -(√2)²
10(1-√3) - 8(2+√2)2 2
5(1-√3) - 4 (2+√2)
-5+5√3 -8 -4√2
-13+5 √3−4√2
VALOR ABSOLUTO.
Todo número se caracteriza por 2 elementos: el signo y su valor absoluto.
En el entero -5, el valor absoluto es -5 y su signo es negativo.
4 + 4
x²+xy xy+y²
4 + 4 = 4y+ 4x = 4(y+x) = 4(y+x) = 4(y+x) Ʀ
x(x+y) y(x+y) xy(x+y) xy(x+y) xy(x+y) xy(x+y)
2x - x = 2x - x
x²+3x+2 x²-4 (x+2)(x+1) (x+2)(x-2)
= 2x(x-2)-x(x+1) = 2x²- 4x- x²- x
59
(x+2)(x+1)(x-2) (x+2)(x+1)(x-2)
= x(x-5) Ʀ
(x+2)(x+1)(x-2)
3x + 2 - 2 = 3x +2(x-1)
x- 1 x x-1 x (x-1)
3x² +2x- 2- 2x = 3x² - 2 Ʀ
x² - x x² - x
ECUACIONES LINEALES.
4(x -10) = -6(2-x) -6x
4x – 40 = -12+6x -6x
4x – 6x+6x = -12 + 40
4x = 28
x = 28
4
x = 7
2(x +1) -3(x- 2) = x + 6
2x +2 -3x +2 = x+ 6
2x -3x –x = 6 -2 -6
-2x = -2
x = -2
2
X = 1
x- 1 - x- 5 = x+ 5
4 36 9
60
9(x- 1) – (x- 5) = 4(x+5)
9x – 9 - x +5 = 4x + 20
9x – x – 4x = 20 – 5 + 9
4x = 24
4
X = 6
ECUACIONES CUADRATICAS.
6X + 17X -23 = 0
x= -17+√ (17 )2−4 (6 ) (−23 )
2(6)
x= -17+ √289+55212
x=-17+ √841
12
x= -17 + 29
12
x= -17+ 29 x= -17 - 29
12 12
x = 12 x= 46
12 12
x= 1 x= 23
6
61
ECUACIONES RADICALES.
(√ (3 x−5) ²+¿
(3x-5)²+2(√3 x−5) (√3 x−14¿¿+(√3 x−14¿¿² =81
3x-5+2 - √9 x ²−42x−15 x+70+3 x−14=81
2 (√9 x ²−57 x+70 = 81+14-3x-3x+5 =
(2 (√9 x ²−57 x+70 )² = (100-6x)²
4 ( 9x² - 57x + 70 ) = (100)²-(100)(6x)+(6x)²(100)²- 2(100)(6x)+(6x)²=
10000-1200+36x²- 36x² +228—280.
9720 – 972x = 0
972x= -9720
X = 9720
972 X= 10 Ʀ
(√X+10)² - √X+19¿¿² = (-1)²
√X+10 - √X+19 = 1
(√X+10)² - 2 √X+10 √X+19 + (√X+19¿ ²= 1
x+10- 2 √ x ²+19x+10 x+190 + x + 19 = 1
-2√ x ²+19x+10 x+190 = -x -10 –x -19 +1.
-2√ x ²+29x+190 = 2x – 28
(-2√ x ²+29x+190¿ ² ¿ = (2 x−28) ²
4 (x² + 29x + 190) = (2x)² - 2 (2x)(-28) +(28)²
4x² + 116x +760 = 4x² +112x +784
4x² +116x -4x² -112x = 784- 760
4x =24
62
x = 24
4
x= 6 Ʀ.
(√9 x+7 - √ x - √4 x+9)² = 0
(√9 x+7¿¿² −2√9x ²+7 √ x - √4 x+9 = 0
9x +7 −2√9x ²+7x -4x+9 = 0
(−2√9x ²+7)² =-9x-7+4x -9
-4√9 x ²+7x = (-5x -16)²
-4√9 x ²+7x = (5x)² -2 (5x)(16)+(16)²
-36x² +28x = 25x² +160x +256
61x² - 132x -256.
132+ √ (132 )2−4 (61 ) (256 )
2(61)
132+ √17424−62,464122
132 + √55046122
132+ 234,60
122
132 + 234,60 132 + 234,60
122 122
366 102,60
122 122
X= 3 x= 0,84
INECUACIONES.
63
5x + 1 < 6
5x < 6 – 1 -x 0 1 +x
5x < 5 x= 0 x=2
x< 1 5(0)+1< 6 5(2)+1< 6
1 < 6 V 11 < 6 F
[-∝ ,1¿Ʀ
x+ 3x < 8 – x
x + 3x + x < 8 -∝ ∝
5x < 8 x = 0 0 x = 2
x < 8 0 + 3 (0) < 8 – 0 2+ 3(2) < 8 - 2
5 0 < 8 V 2 + 6 < 6
8 < 6 F
(-∝ ,1,6¿
5 < - 9 – x ˉ 15 ˉ 14 ˉ 13
x < -9 -5 -∝ ∝
x < -14 x = -15 x= -13
5< -9 – (-15) 5 < -9 – (13)
5 < 6 V 5< + 4 F
(-∝ ,−14¿
4 -2t > t -5
-2t – t > - 4 – 5
3t > - 9 0
t > - 9 t = -4 t = -2
3 4- 2(-3) < -3 -5 4- 2(-2)<-2 -5
t > - 3 4 + 6 > +8 4 + 4 > 7
10 > 8 V 8 > 7 V
(-∝, -3)
64
2x -6 > 3x +1 -∝ +∝
2x -3x > 6+1 0
X > -7 x= 0 x= -6
2(-8) -6 > 3(-8)+1 2(-6) -6 > 3(-6) +1
-16 -6 > -24 +1 -12 -6 > -18 +1
-22 > 23 F -18 > -7 V
(∝ ,−7¿
X - 6 < 18 - 7x -∝ +∝
X +7x < 6 + 18 0
8x < 24 x= 4 x= 2
x < 24 4 – 6 < 18 – 7 (4) 2- 6 < 18 -7 (2)
8 2 < 18 -28 -4 < 18 -14
x < 3 2 < -10 F -4< 4 V
[∝ ,3¿
FORMULA DE BINOMIO DE NEWTON
(a+b)n=nan−1b+n(n- 1) an−2b ²+n (n−1 ) (n−2 )an−¿+n (n−1 )(n−2) (n−3 )an−4b 4+n (n−1 )(n−2)(n−3)(n−4) . bn¿
1.2 1.2.3.4 1.2.3.4
1.2.3.4.5
(3ª +b¿¿10= (3a¿¿10 +10(3a¿¿9b +10(9) (3a¿¿8b ²+10 (9 ) (8 ) .¿
1.2 1.2.3 1.2.3.4
(3a¿¿6b4+10(9)(8)(7)(6). (3a¿¿5b5+10(9)(8)(7)(6)(5) . (3a¿¿4b6+10 (9 ) (8 ) (7 )(6)(5)
(4)
65
1.2.3.4.5. 1.2.3.4.5.6. 1.2.3.4.5.6.7
(3a¿¿3b7+ 10(9)(8)(7)(6)(5)(4)(3) .(3a¿¿2b8+10(9)(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2) .(3a¿b¿9+
b10=¿ ¿
1.2.3.4.5.6.7.8 1.2.3.4.5.6.7.8.9
59,049+ 196,83ab+295,245ab²+262,440ab³+153,090ab4+61,235ab5+ 17,010ab6
+810ab7+ 162ab8+ 30ab9+b10.
UNIDAD N°3
FUNCIONES.
F (x) = x+2
A B
F (1) = 3
F (2) = 4
66
F(3) = 5
F (4) = 6
Dom rango
DOMINIO DE UNA FUNCION DE VARIABLE REAL.
El dominio de una función se encuentra constituido por todos los valores de x
estos valores serán aquellos que están definidos en los números reales el
dominio se representa simbólicamente f que es dominio de una función.
Las restricciones posibles de números reales sean las siguientes.
-Si f (x) contiene un cociente, este no existe si el denominador se hace 0, por lo
que se debe excluir el dominio de aquellos valores x que provoca esta
situación.
-Si f (x) contiene una raíz de índice par, esta existirá solo si el radicando es
positivo o 0.
F (x) =√ x+1 radicando. −∝ -1 +∝
Índice 0
X+1 > 0 dom f = (-∝, .1] U [-1, ∝)
X > -1
f(x) = 3x +2
dom f = R
f(x) = 2x +1
x – 3
Dom f = R – (3)
Dom f = (-∝ ,3¿ (3 ,∝)
F(x) = √ x ²−4 > 0
x² > 4
√ x ² > √4X > + 2
67
x > +2 x > -2 (-∝, -2] U [2, +∝ ¿.
RANGO DE UNA VARIABLE DE FUNCION REAL.
El rango es el elemento de todas las imágenes de los elementos del dominio.
El rango se lo representa simbólicamente con rg f.
-Un procedimiento para obtener la imagen de una función, es el siguiente
despejar algebraicamente la variable x en la función.
- El rango será el conjunto de valores que puede tomar la variable y, una vez
despejada la variable x.
F(x) = 3x +2
y = 3x +2
x = y -2
3
Rg f = R
y = x +1
x
xy = x + 1
x(y-1) = 1
x = 1
y – 1 y
f (x) = 3 + x 1
x y= 3 + x y 2
1 y= 3 +1 4 3
2 y= 3 +2 5 4
68
3 y= 3 +3 6 1 2 3 4 x
UNIDAD N° 4
TRIGONOMETRIA.
4.1. MEDIDAS DE ANGULOS
4.2. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
4.3. IDENTIDADES.
69
4.1. MEDIDAS DE ANGULOS
Transformar de Grados a radianes.
90° = π
2
70
40°
ANGULO AGUDO
180°
360°Z
ANGULO
90°
ANGULO OBTUSO.
I II
100°
180°
270° 360°
III IV
+
-
450°
90°
180° = π
360 ° = 2 π
270° = 3π
2
ANGULOS COTERMINALES.
Gráficamente se puede observar como los ángulos finalizan en una misma
semirrecta en ángulos consecutivos ∝ , βde un mismo plano consecutivo
cuando solo tiene un lado común.
71
180°
360°
270°
60°
β ∝ 45°
ANGULOS ADYACENTES.
Dos ángulos alfa y Beta, son adyacentes cuando son consecutivos y los lados
no comunes son semirrectas en la misma recta pero en sentido contrario la
suma de las medidas alfa y Beta es 180°.
ANGULOS COMPLEMENTARIOS.
Dos Ángulos complementarios, cuando la suma de sus , medidas constituye la
medida de un ángulo recto.
ANGULOS SUPLEMENTARIOS
Dos ángulos ∝ y β son suplementarios cuando la suma de sus medidas
constituye la medida de 2 ángulos rectos.
72
∝ β
∝ β ∝+β =90°
∝+β = 180°
180°∝ β
ANGULOS OPUESTOS.
Dos ángulos ∝ y β, se dicen opuestos por el vértice cuando los dados del 1
son semirrectas opuestas a los lados del otro.
TRIANGULO RECTO.
FORMULA DE TRIGONOMETRIA.
SO C A T O
H H A
Sen O Cos H
73
45° 45°
∝ β
∝=β
B
h
A C
90°
H O
Cos A Cos h
H A
Tan O Ctg A
A O
H=√(4) ²-(3)² Sen = √7 4
H=√16−9 Sec = 4
3
H= √7 Cos = 3
4
MATRIZ.
2 1 6 4 0
A = 3 4 B= 1 2 1
2 x 2 2 x 3
P1 P2
Lunes 1 -4Martes 2 -3Miércole
s
-4 2Jueves 0
MATRIZ NULA.
Se determina cuando todos su valores son cero.
0 0 0
0 0 0
0 0 0
74
MATRIZ FILA.
Se llama matriz fila, cuando solo existe una fila.
A = [1 2 3 -4 - 1]
MATRIZ COLUMNA.
Cuando solo existe una sola columna.
1
B= -3
MATRIZ CUADRADA.
Se le denomina matriz cuadrada cuando hay el mismo número tanto en las filas
como en las columnas.
2 -3
A= 7 -5
2 x 2
MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR.
A partir de la diagonal hacia arriba son cero.
1 0 0
A= 3 2 0
5 1 8
MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR.
De la misma manera solo que a partir de la diagonal todos los valores de abajo
son cero.
3 -5 1
0 5 2
75
B= 0 0 6
MATRIZ DIAGONAL.
Se le denomina Matriz diagonal solo a los valores de la diagonal
1 0 9
C= 3 4 0
2 0 7
OPERACIONES CON MATRICES.
2 1 3 2 0 4
A -4 2 1 B 3 2 5
2 0 4 0 1 -1
A+B= 3 2 5 A – B = 7 0 -4
PRODUCTO POR UN NUMERO REAL.
2 x A = 2 x 3 2 x 3
2 4 4 2 4 4 4 8 8
A 3 -1 2 2.A= 3 -1 2 6 -2 4
PROPIEDADES DEL PRODUCTO POR UN NUMERO REAL.
K (a+b) = k. a + k. b
(k + d) . A = k. A + D.A
K (d . a) = (k.d) . A
76
1 .A = A
MATRIZ TRASPUESTA At
2 4 4 2 1 0
A 1 2 3 = 4 2 4
0 4 2 4 3 2
2 3 -5 4 2 2
B 2 -4 -3 7 3 -4
2 x 4 -5 -3
4 x 2
PROPIEDADES DE LA TRANSPUESTA.
(AT) = A
(A + B) = AT+ BT
2 0 6 2 1
A 1 -4 8 AT 0 -4
6 8
2 0 6
(At ¿ t 1 -4 8
3 2 0 4 3 2 1
77
1 1 3 0 1
2 X 3 4 3
1 3 3 1 1 2
A 1 4 3 B 2 0 -1
1 3 4 -6 -1 0
Calcular 3At - Bt
1 3 3 1 2 -6
3 3 4 3 1 0 -1
3 3 4 2 -1 0
3 3 3 1 2 -6 2 1 9
9 12 9 - 1 0 -1 = 8 12 10
9 9 12 2 -1 0 7 10 12
9 – (-1) = 10
3 – (-6) = 9
12 – 0 = 12
MULTIPLICACION DE MATRICES
1 2 -2 4 1 2 0
A 0 3 6 3 B 0 4 -1
2 x 4 4 2 2
3 -1 4
78
5 2 10
A . B= 33 21 21
2 x 3
PROPIEDADES DE MULTIPLICACION DE MATRICES.
2 3
A= 1 4 2 x 2
-1 2
B = -4 -1 2 x 2
-14 1
A . B -17 -2
2 (-1) + 3(4)
-2 – 12 = -14
2 (2) + 3 (-1) =
4 – 3 = 1
1(-1) + 4 (-4) = 1
-1 -16 = 17
1(2) + 4 (-1) =
2 - 4 = -2
79
UNIDAD N° 11
TABLAS DE FRECUENCIAS.
Según el número de observaciones y el rango y el rango de la variable
podemos clasificar las tablas de la siguiente manera.
TABLAS DE TIPO 1.
El tamaño de la población o muestra es pequeño, solo se ordena de manera
creciente o decreciente.
TABLA DE TIPO 2.
El tamaño de la población o muestra es grande y el rango de la variable es
grande.
TABAL DE TIPO 3
El tamaño de la población o muestra es grande y el rango de las variables es
grande.
TIPO 3
80
24 23 44 10 28 40
25 43 38 7 24 31
28 12 5 20 18 47
50 27 14 16 30 26
55 27 42 50 27 36
N= 30
Rg= Xmax-Xmin = 55 -5= 50
i = R = 50 = 3,85 > 4
# int 13
# int Fi Xm.c Fi hi Hi
[5,9) 2 7 2 0,07 0,07
[9,13) 2 11 4 0,07 0,14
[13,17) 3 15 7 0,010 0,24
[17,21) 2 19 9 0,07 0,31
[ [21,25) 3 23 12 0,010 0,41
[25,29) 6 27 18 0,2 0,61
[29,33) 2 31 20 0,07 0,68
[33,37) 1 35 21 0,03 0,71
[37,41) 2 39 23 0,07 0,78
[41,45) 3 43 26 0,010 0,89
[45,49) 1 47 27 0,03 0,91
[49,53) 2 51 29 0,07 0,95
[53,57) 1 55 30 0,03 1
total 30 1
TABLAS DE DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS.
Generalmente las tablas de tipo 2 y tipo 3 se complementan con distintos tipos
de frecuencias tales como:
FRECUENCIA ABSOLUTA.
81
Es el número de veces que aparece dicho valor, como resultado de la medición
de la variable y se representa por fi.
FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA.
Es el resultado de sumar a la frecuencia absoluta del valor correspondiente a la
frecuencia absoluta del valor anterior.
Se representa por Fi.
FRECUENCIA ABSOLUTA RELATIVA.
Es el cociente entre la frecuencia absoluta y el tamaño de la muestra o
población, se representa por hi.
FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA.
82
Es el resultado de sumar a la frecuencia relativa del valor correspondiente la
frecuencia relativa anterior y se representa por Hi.
llamadas Xm.c fi Fi hi Hi
[0,100) 50 11 11 0,28 0,28
[100,200) 150 12 23 0,3 0,58
[200,300) 250 14 37 0,35 0,93
[300,400) 350 1 38 0,025 0,95
[400,500) 450 2 40 0,05 1
total 40 1
fi
15
12
10 → HISTOGRAMA.
8
5
3
1
0 100 200 300 400 500
MEDIA ARITMETICA.
Se define como el cociente entre la suma de los valores que toma la variable y
el total de observaciones.
𝝌= 10 + 8 + 7 +6 +10 = 8,2
Xi fi
83
1 8
2 2
3 5
4 5
𝝌= ∑ ( Xi . fi)
N
𝝌= ( 1 x 5) (2 x 2) (3 x 5) (4 x 5)
20
𝝌= 8 + 4 + 15 + 20 = 47 = 2,35
20 20
Sueldos Fi Xm.c 𝝌[400,450) 10 425
[450,500) 20 475 70,37
[500,550) 30 525 116,67
[550,600) 40 575 170,37
[600,650) 15 625 69,44
[650,700) 10 675 50,00
700.750)
[750,800)|
5
5
725
775
26,85
28,70
Total 135 563,9
𝝌= (10x425)(20x475)(30x525)(40x575)(15x625)(10x675)(5x725)(5x775)135
135𝝌= 4250+9500+15,750+ 23,000+9,375+6,750+3625+3875.
135
𝝌= 76,125 = 5,629
84
135
MEDIANA 𝒳
Se define como el valor central de una distribución que tiene un número impar
de datos, una vez ordenado los datos de manera creciente o decreciente el
dato que representa la mediana divide la distribución en 2 grupos.
Un 50% de valores son inferiores y otro 50% son superiores.
FORMULA.
1 4 5 6 7 8 9
𝝌= X (n +1) (impares) 𝝌= X4 𝝌= 6
2
12 9 2 4 5 10
𝝌= x2n+x2
n+1 (pares) 2 4 5 9 10 12
2
𝝌= X26+X2
6+1
2
𝝌= X3 + X4
2
𝝌 = 5 + 9 𝝌= 14 𝝌= 7
2 2
MODA.
85
Se define moda como el valor de la variable con mayor frecuencia absoluta o el
valor que más se repite.
Puede haber más de una moda para el caso que existan 2 se tiene una
distribución bimodal, para más de 2 se llamara polimodal.
60 75 75 80 90 100 90
Mo= 75 -90
MEDIDAS DE TENDENCIAS NO CENTRALES.
Estas medidas también son denominadas medidas de localización, permite
conocer otros puntos característicos de la distribución, que no son los
centrales, se suelen utilizar una serie de valores que diveiden la muestra en
tramos iguales.
CUARTILES.
Son 3 valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma creciente o
decreciente, en 4 tramos en lo que cada uno de ellos concentran el 25% de los
datos.
DECILES .
86
X Fi Fi Hi Hi %
1 5 5 0,25 0,25 25%
2 2 7 0,1 0,35 35%
3 3 10 0,15 0,5 50%
4 10 20 0,5 1 100%
Total 20 1
Son los valores que distribuyen la serie de datos ordenada de forma creciente o
decreciente en 10 tramos, en lo que cada uno de ellos, concentra el 10% de los
datos.
PECERTILES.
So los valores que distribuyen la serie de datos ordenada de forma creciente o
decreciente en 100 tramos, en lo que cada uno de ellos, concentra el 1% de los
datos.
MEDIDAS DE DISPERSION.
87
VARIANZA.
Mide la distancia existente de la serie entre los valores y la media aritmética se
calcula como la sumatoria de las diferencias.
S².
Entre cada valor y la media, multiplicamos por el número de veces se a
repetido cada valor, la sumatoria obtenida se divide por el tamaño de la
muestra.
S²= ∑ (Xi – 𝝌)² * fi
2
DESVIACION TIPICA O ESTÁNDAR.
Se calcula como la raíz cuadrada de la varianza.
S²= 49
S² = √49
S = 7
Nivel de
cotinina
fi Xm.c fi Hi Hi
[9, 100) 11 50 11 0,28 0,28
[100,200] 12 150 23 0,3 0,58
[200.300) 14 250 37 0,35 0,93
[300,400) 1 350 38 0,025 0,95
[400,500) 2 450 40 0,05 1
total 40 1
Mo= 14
S²= (1- 177,5)²*11+(2-177,5)²* 12 +(3-177,5)²*14 +(4-177,5)² * 1+(5-177,5)²*2=
40
88
S²= 346,557+ 378,051+ 426,303+ 31,502 +63,002=
40
S² = 3.288 S= √3,288 S= 1,81
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE INTRA
Y EXTRA CLASE
MATRICES
DESARROLLO EN CLASES:
9 1 1 1 1 10 2 2
A 1 2 1 B 1 1 C 2 3 2
1 18 1 1 1 2 19 2
3 x 3 3 x 2 3 x 3
A . B
9 + 1 + 1= 11
9 + 1 + 1 = 11 11 11
1 + 2 + 1 = 4 4 4
1 + 2+ 1 = 4 20 20
1 + 18 + 1 = 20
Bt . A t
89
Bt 1 1 1 At 9 1 1 11 4 20
1 1 1 1 2 18 = 11 4 20
2 x 3 1 1 1
3 x 3
9 + 1 + 1 = 11
1 + 2 +1 = 4
1 + 18 + 1 = 20
9 + 1 + 1 = 11
1 + 2 + 1 = 4
1 + 18 + 1 = 20
C) C . A
10 2 2 9 1 1 94 50 14
2 3 2 1 2 1 23 44 7
2 19 2 1 18 1 39 76 23
90 + 2+ 2 = 4
10 + 4 + 36 = 50
10 + 2 + 2 = 14
18 + 3 + 2 = 23
2 + 54 + 2 = 58
2 + 6 + 36 = 44
2 + 3 + 2 = 7
18 + 19 + 2 = 39
2 + 38 + 36 = 76
2 + 19 + 2 = 23
90
9 1 1 1 1 10 2 2
A= 1 2 1 B= 1 1 C= 2 3 2
1 18 1 1 1 2 19 2
3 x 3 2 x 3 3 x3
a¿ A ²+2 A .C+C ²
9 1 1 9 1 1 83 29 11
A² 1 2 1 1 2 1 = 12 23 4
1 18 1 1 18 1 28 55 20
9 1 1 10 2 2 94 40 22
A 1 2 1 C 2 3 2 = 16 27 8
1 18 1 2 19 2 48 58 40
188 80 44
2.AC = 32 54 16
96 116 80
10 2 2 10 2 2 108 64 28
C² 2 3 2 3 2 2 30 51 14
2 19 2 2 19 2 62 99 46
83 29 11 188 80 14 271 109 55
91
A² 12 23 4 +2AC 32 54 16 = 44 87 20
28 55 20 96 112 80 124 205 100
271 119 47 108 64 28 379 183 75
C.A 51 94 10 + C² 30 51 14 81 145 33
115 189 83 62 99 40 177 288 129
92
93