UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO - PUNOFACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y ARQUITECTURA

ESCUELA PROFESIONAL DE CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICAS

“APLICACIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE EN LAS

ECUACIONES DE VOLTERRA”

PROYECTO DE INVESTIGACION

PARA OPTAR EL TITULO PROFESIONAL EN FISICO MATEMATICAS

PRESENTAD POR:

BACHILLER : Isaac Ortega Limachi E-mail :

Asesor:

Puno, del 2012.

1

ÍNDICE

Pág.

Carátula 01

Índice 02

Introducción

CAPITULO I

PROBLEMA DE INVESTIGACION

1.1 Planteamiento del problema 05

1.1.1. Descripción del problema 05

1.1.2. Enunciado del problema 07

1.1.2.1 Problema general 07

1.1.2.2 Problema especifico 07

1.1.3. Justificacion de la investigación O7

1.2 Objetivos de investigación 09

1.2.1 Objetivo general 09

1.2.2. Objetivos especificos 09

CAPITULO II

MARCO TEÓRICO

10

2.1. Antecedentes de la investigación 10

2.1.1 Antecedentes teóricos relacionados con la investigación 10

2.2. Bases Teóricas 12

2.2.2. Marco teórico 16

2.4 Hipótesis de investigación 38

2.4.1. Hipótesis general 38

2.4.2 Hipótesis específicos 38

2.5 Sistema de variables 38

2.5.1 Variable independiente 38

2.5.2 Variable dependiente 38

2

2.5.3 Cuadro de variables 39

CAPITULO III

METODOLOGIA DE LA INVESTIGACIÓN

39

3.1 Tipo y desiño de investigación 39

3.1.1 Tipo de investigación 39

3.1.2 Diseño de la investigación 40

3.2 Población y muestra de la investigación 41

3.2.1 Población de la investigación 41

3.2.2 Muestra de la investigación 42

3.3 Técnicas, instrumentos y fuentes de recolección de datos 42

3.3.1 Técnicas de investigación 42

3.3.2 Instrumentos de investigación 43

3.4 Plan de procesamiento y análisis de datos recolectados 43

3.4.1 Plan de tratamiento de los datos 43

3.4.2 Plan de análisis e interpretación de datos 44

CAPITULO IV

4.1 Ambito de estudio

4.2 Recursos 46

4.3. Cronograma de actividades 46

4.4 Bibliografia y fuentes de informacion 47

Anexos 48

3

CAPITULO I

PROBLEMA DE INVESTIGACION

1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

1.1. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA.

1.1.1. Descripción de la realidad problemática

1.1.1.1. Problema General:

¿La transformada de Laplace es posible aplicar en las Ecuaciones

de Volterra?

1.1.1.2. Problemas específicos:

¿Cómo se aplica la Transformada de Laplace en una

ecuación integral de Volterra de primer tipo?

¿Cómo se aplica la Transformada de Laplace en una

ecuación integral de Volterra de segundo?

1.1.2. JUSTIFICACIÒN DE LA INVESTIGACIÓN.

La presente investigación se justifica, porque permite aplicar el método

heurístico, en el aprendizaje de las Ecuaciones Diferenciales

Ordinarias, aplicando el conocimiento propio del problema y técnicas

4

realizables en la resolución de problemas en un tiempo razonable en

los estudiantes de las Escuelas Profesionales de Ingenierías de la

Universidad Nacional del Altiplano.

El método heurístico permite la búsqueda de algunas alternativas

de solución que coadyuven a la mejoría en la resolución de problemas

de las Ecuaciones Diferenciales en los estudiantes de escuelas

profesionales de Ingenierías.

Así mismo permitirá el empleo del método heurístico en la

enseñanza de la matemática, contribuyendo a lograrla la búsqueda de

independencia cognitiva de los estudiantes y la integración de nuevos

conocimientos con los preexistentes en la construcción de los

aprendizajes.

Considero que bastaran estos elementos aquí planteados para

justificar un trabajo de esta naturaleza que busque contribuir a la

solución de un problema específico, pero de gran relevancia por estar

relacionado con muchas áreas del conocimiento y de las

investigaciones científicas.

El estudio es importante porque permite aplicar el método

heurístico en el aprendizaje de ecuaciones diferenciales ordinarias,

cuyas bondades permitirá afianzar los aprendizajes de manera

significativa, haciéndoles participes a los sujetos del aprendizaje.

El método heurístico en el aprendizaje de Ecuaciones

Diferenciales ordinarias es importante, porque permitirá construir y

desarrollar “la Didáctica de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias”, para

los estudiantes de escuelas profesionales de Ingenierías y otras

escuelas profesionales.

5

1.2. OBJETIVOS DE INVESTIGACIÓN.

1.2.1. Objetivo general

Determinar la aplicación de la transformada de Laplace en las

ecuaciones de Volterra.

1.2.2. Objetivos específicos.

Aplicar la Transformada de Laplace en una ecuación integral de

Volterra de primer tipo.

Aplicar la Transformada de Laplace en una ecuación integral de

Volterra de segundo tipo

CAPITULO II

6

MARCO TEORICO

2.1ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN.

2.1.1 Antecedentes teóricos relacionados con la investigación

Realizando las investigaciones relacionadas con el problema en

estudio ubicamos las siguientes:

A. Trabajos de Investigación Internacionales:

Tesis: “Resolución de problemas que involucran ecuaciones

diferenciales” un enfoque heurístico.

Autor: José Francisco Melgar Brizuela.

Trabajo de investigación ubicado en Madrid. España - 2004

Sus conclusiones fueron:

CONCLUSION GENERAL. La Metodología del Conocimiento

Científico y más específicamente las concepciones modernas

acerca de la Resolución de Problemas como un Recurso

Didáctico en la enseñanza y el aprendizaje de las diferentes

ramas de la Matemática.

CONCLUSION METODOLOGICA. Se elaboraron GUIAS

DIDACTICAS para los problemas del Capítulo III y para algunos

ejercicios de este mismo capítulo.

Por último, con este capítulo, como se sugiere en la introducción

de estas conclusiones, se ha querido presentar una pequeña

muestra de la capacidad que pueden desarrollar los estudiantes

mediante la utilización adecuada de este valioso recurso

didáctico conocido como RESOLUCION DE PROBLEMAS.

Tesis:

7

Resolución de un problema complejo utilizando un elemento de

naturaleza heurística

Autora: María Luz Scandroli Lucanera

Trabajo de investigación ubicado en la Facultad de Ciencias

Veterinarias de la Universidad Nacional del Centro de la

Provincia de Buenos Aires, Argentina- 1999.

Cuyas conclusiones fueron:

El grupo de alumnas logra construir un listado de las

operaciones a realizar, para solucionar el problema, utilizando

un elemento de naturaleza heurística, como el

solicitado:”empezar el problema desde el final (meta)”.

Se logra así, un orden lógico (no el único posible), que permite

llegar al objetivo.

Esta estrategia, se constituye en una forma interesante para

tener en cuenta en la enseñanza de la resolución de problemas.

B. Trabajo de Investigación Nacionales:

C. Trabajo de Investigación Regional y Local

2.2BASES TEORICAS.

2.2.1 Marco histórico

2.2.2 Marco teórico

DEFINICIÓN DE TÉRMINOS BÁSICOS.

8

2.3HIPÓTESIS DE INVESTIGACIÓN.

2.3.1 HIPÓTESIS GENERAL

La aplicación de la Transformada de Laplace en las ecuaciones de

Volterra.

2.3.2 Hipótesis específicas

Aplicación de la Transformada de Laplace en la ecuación de Volterra

de primer tipo.

Aplicación de la Transformada de Laplace en la ecuación de Volterra

de segundo tipo.

2.4SISTEMA DE VARIABLES.

2.4.1Variable Independiente ( X )

Transformada de Laplace.

2.4.2Variable dependiente ( Y )

Ecuaciones de Volterra.

2.4.3CUADRO DE VARIABLES

VARIABLES DIMENSIÓNES INDICADORES

Variable independiente (X)

Transformada de

Laplace.

Aplicación de la

Transformada de

Laplace

Definiciones propiedades y

teoremas de las transformadas

de Laplace.

Variable dependiente (Y)

Ecuaciones de

En Ecuaciones de

Volterra Resuelve ejercicios de

ecuaciones de Volterra mediante

9

Volterra. transformadas de Laplace

CAPITULO III

METODOLOGIA DE INVESTIGACION

3.1 TIPO Y DISEÑO DE INVESTIGACION.

3.1.1 Tipo de Investigación.

El presente estudio de investigación corresponde a la

investigación aplicada, Sobre la investigación aplicada, Jhon W.

Best, en “Como investigar en Educación” plantea “La investigación

aplicada, movida por el espíritu de la investigación fundamental, ha

enfocado la atención sobre la solución de problemas más que

sobre la formulación de teorías (…) Se refiere a resultados

inmediatos y se halla interesada en el perfeccionamiento de los

individuos aplicados en el proceso de investigación”1.

Por que va a permitir averiguar la relación entre el método heurístico y el

aprendizaje de ecuaciones diferenciales en los estudiantes de de la

1 BEST, JOHN W., de “Como investigar en educación”. Pedagogía. Ediciones Morata, Madrid España, 1985.

10

escuelas profesionales de ingenierías de la Universidad Nacional del

Altiplano. A través de un conjunto de sesiones de aprendizaje,

aplicando el método heurístico en Ecuaciones Diferenciales.

3.1.2 Diseño de Investigación.

El diseño de la Investigación será Cuasi-experimental, porque

requiere por lo menos de dos grupos aleatorios, designando a

ambos grupos en forma aleatoria, donde el grupo experimental

recibe el tratamiento con método heurístico y el grupo control sin el

tratamiento del método heurístico, permitiendo estudiar al cambio

que producirá esta, administrado para ello con Pre-prueba y Post-

prueba, en ambos grupos.

Donald Aryeta (1996), En “Introducción a la Investigación

Pedagógica” plantea el siguiente esquema para el modelo cuasi

experimental:

Tabla Nº 01

Grupos Pre - pruebaVariable

IndependientePost - prueba

Grupo Experimental (GE)

Y1 X Y2

Grupo Control(GC)

Y1 --- Y2

Fuente: del texto “Como Investigar en Educación”. Elaborado: por Best, John W

Donde:

G.E. = grupo experimental

G.C. = grupo control

= pre prueba

X = tratamiento experimental

11

= post prueba

3.2 POBLACIÓN Y MUESTRA DE LA INVESTIGACIÓN

3.2.1 Población de la investigación.

3.2.2 Muestra de la investigación.La muestra de hizo de acuerdo al tamaño de muestra vía tabla de

Fisher Arkin Colton. El tipo de muestra es probabilista con el

muestreo aleatorio simple conformado con los alumnos del cuarto

semestre de las escuelas profesionales de Ingenierías: Civil,

Electrónica, Sistemas y Química la Universidad Nacional del

Altiplano – Puno. los cuales son: grupo control 61 y grupo

experimental 69 en total 130; Tal como se muestra en el cuadro 2

3.3 Técnicas, instrumentos y fuentes de recolección de datos

3.3.1 Técnicas de investigación

Las principales técnicas a utilizar son:

Observación estructurada, para evaluar el aprendizaje del

método heurístico de Ecuaciones Diferenciales ordinarias.

Evaluación. Para evaluar el nivel de aprendizaje del método

heurístico en el aprendizaje de las Ecuaciones Diferenciales.

3.3.2 Instrumentos de investigación

Los instrumentos a utilizar son:

Pre-prueba2

Sesiones de aprendizaje, en un número de seis3.

2 Ver ANEXO Nº 013 Ver ANEXO Nº 05

12

Módulos de aprendizaje, en un numero de cinco4

Pos-prueba5

3.4 Plan de procesamiento y análisis de datos.

3.4.1 Plan de tratamiento de los datos.

Haciendo uso del material experimental, se procederá al registro de

los resultados de las pruebas de entrada y salida en los dos

grupos: de control y experimental; para luego sistematizarlos y

clasificándolos para posteriormente presentarlo en la tabla de

frecuencias siguiente:

TABLA Nº 03

NOTAS %

TOTAL

Donde:

: Marca de clase.

: Frecuencia absoluta.

: Frecuencia absoluta acumulada.

: Frecuencia relativa.

: Frecuencia relativa acumulada.

Además de los estadísticos de posición y de dispersión:

4 Ver ANEXO Nº 015 Ver ANEXO Nº 02

13

3.4.2 Plan de análisis e interpretación de datos.

Luego de la recopilación, clasificación y presentación de los datos

para los grupos experimental y de control realizaremos la prueba

de hipótesis para de terminar el efecto del método heurístico en el

aprendizaje de las Ecuaciones Diferenciales en los alumnos de

cuarto semestre de la escuela profesional de Ingenierías: Civil,

Electrónica, Sistemas y Química Universidad Nacional del Altiplano.

Para verificar la confiabilidad de los resultados del presente trabajo

de investigación utilizaremos la prueba de zeta calculada de

acuerdo con el siguiente plan:

DATOS:

Son los estadígrafos obtenidos de los dos grupos (experimental y

de control).

PLANTEAMIENTO DE HIPOTESIS:

HIPOTESIS NULA ( )

El enfoque heurístico no tiene efecto en el aprendizaje de las

Ecuaciones Diferenciales en los alumnos del cuarto semestre de la

escuela profesional de Ingenierías: Civil y Sistemas de la

Universidad Nacional del Altiplano.

HIPOTESIS ALTERNA ( )

El enfoque heurístico si tiene efecto en el aprendizaje de

Ecuaciones Diferenciales en los alumnos del Cuarto semestre de la

escuela profesional de Ingenierías: Electrónica y Química de la

Universidad Nacional del Altiplano.

14

NIVEL DE SIGNIFICANCIA.

Es significativa al 5%, es decir

Es altamente significativo al 1%, es decir

ESTADISTICA DE PRUEBA.

Para verificar la confiabilidad de los resultados del presente trabajo

de investigación utilizaremos la prueba de zeta ; cuya formula es:

Donde:

: Promedio de notas del grupo experimental.

: Promedio de notas del grupo control.

: Desviación estándar del grupo experimental

: Desviación estándar del grupo control.

: numero de alumnos de grupo experimental

: numero de alumnos de grupo control

PASOS:

1. Determinar el promedio, la varianza y el tamaño de la muestra

de cada población en el estudio.

2. Aplicar la ecuación de zeta calculada. .

3. Decidir si se acepta o rechaza la hipótesis.

15

I. BIBLIOGRAFIA.

1. Polya, G. HOW TO SOLVE IT. Princenton University Press. New York. 1986.

2. Lakatos, I. MATEMATICA, CIENCIA Y EPISTEMOLOGIA. A. E.,

Madrid. 1978

3. Guzmán, M. ENFOQUE HEURISTICO DE LA ENSEÑANZA DE LA

MATEMÁTICA. Aula Abierta Nº57. ICE de la Universidad de Zaragoza. 1985

4. Academia de Ciencia y Filosofía de la Habana. METODOLOGÍA DEL CONOCIMIENTO CIENTÍFICO. Ediciones Quinto Sol; La Habana, 1989.

5. Hernández, R; Fernández, C; Lucio, P. METODOLOGÍA DE LA

INVESTIGACIÓN. Mac Graw-Hill; México, 2003.

6. Boyer, C. HISTORIA DE LA MATEMATICA. Alianza Universidad;

Madrid. 1969.

7. Braun, M. ECUACIONES DIFERENCIALES Y SUS APLICACIONES.

Grupo Editorial Iberoamérica; Madrid. 1990.

8. Blanchard, P; Devany, R; may, G. ECUACIONES DIFERENCIALES.

Thomson ,Editores; México, 1999.

9. Zill, D. ECUACIONES DIFERENCIALES. 6ª Ed. Thomson Editores;

México. 2000 10. Capella, Jorge y Sánchez M. Guillermo. APRENDIZAJE Y

CONSTRUCTIVISMO Ediciones Massey And Vanier. Lima-Perú, 1999.

11. Díaz, Frida y Hernández, Gerardo; Estrategias docentes para un aprendizaje significativo. Ed.Mc Graw Hill Hispanoamericana. Mexico, 1999.

16

ANEXOS

17

ANEXO Nº 02

MATRIZ DE CONSISTENCIA “APLICACIÓN DE LA TRANSFORMADA Z EN LAS ECUACIONES DE DIFERENCIAS”

TIPO: descriptivo NIVEL: Experimental DISEÑO: Cuasi experimental

Problema Objetivos Hipótesis Variables Dimensiones Indicadores

Problema General:

¿La transformada z es posible aplicar en las Ecuaciones de diferencias?

Problemas específicos:

¿Cómo se aplica la Transformada Z en una ecuación diferencial de primer orden?

¿Cómo se aplica la Transformada Z en la ecuación de Metzler?

Objetivo general: Determinar la

aplicación de la transformada Z en las ecuaciones de diferencias.

Objetivos específicos

Aplicar la Transformada Z en una ecuación diferencial de primer orden.

Aplicar la Transformada Z en un problema de inventarios.

Hipótesis principal

La aplicación de la Transformada

Z en ecuaciones de diferencias

Hipótesis específicas Aplicar la

Transformada Z en una ecuación de diferencias de la forma: a_{n+1}+a_{n-1}=f(n).

Aplicar la Transformada Z en una ecuación de diferencias de la forma: a_{n+1}-a_{n-1}=f(n).

Variable independiente

(X)

Transformada de Z

Variable dependiente

(Y)

Ecuaciones de Diferencias.

Variable independiente

(X)

Aplicación de la Transformada Z

Variable dependiente

(Y)

En Ecuaciones de diferencias

Definiciones propiedades y teoremas de la

transformada Z.

Resuelve ejercicios de ecuaciones de

Diferencias mediante transformadas Z.

.

18

Problema General:

Problemas específicos:

Objetivo generalObjetivos específicos.

19