INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR VIDA NUEVA

Asignatura: Ofimática IIITema: Presentación en dispositivas de cálculo

Carrera: Mecánica Automotriz

Código:1617732Nivel: Tercero

Jornada: Nocturno Docente: Elizabeth Pazmiño

Autor: Pastrano Oswaldo2016 – 2017

Nociones preliminares

1.1 Números reales 1.1.1 Conjunto de números reales y la

recta númerica 1.1.2 Intervalos y su clasificación 1.1.3 Desigualdades y su solución1.2 Funciones 1.2.1 Dominio y rango de una función 1.2.2 Gráficas de funciones 1.2.3 Operaciones con funciones 1.2.4 Composición de funciones

1.3 Límite de funciones 1.3.1 Concepto de límite de una función 1.3.2 Límites laterales 1.3.3 Teoremas de límites 1.3.4 Límites infinitos

1.4 Continuidad de funciones 1.4.1 Continuidad de una función, análisis

gráfico 1.4.2 Teoremas de continuidad de funciones 1.4.3 Continuidad de una función en un

punto y en un intervalo

Derivada

2.1 Derivada de una función 2.1.1 La derivada como razón de cambio 2.1.2 Interpretación geométrica y física de

la derivada 2.2 Cálculo de derivadas 2.2.1 Regla general de derivación 2.2.2 Estudio y aplicación de las fórmulas

de derivación

2.3 Aplicación de la derivada 2.3.1 Concavidad 2.3.2 Métodos para la obtención de

máximos y mínimos 2.3.3 Problemas de aplicación de máximos y

mínimos

2.4 Teoremas de derivación 2.4.1 Regla de la cadena 2.4.2 Teorema de Rolle y del valor medio

Integral3.1 La integral indefinida 3.1.1 La integral como operación

inversa de la derivación 3.1.2 Fórmulas básicas de integración

3.2 La integral definida 3.2.1 Sumas de Riemann 3.2.2 Interpretación geométrica de la

integral (área bajo la curva) 3.2.3 Teorema fundamental del cálculo

3.3 Métodos de integración 3.3.1 Por sustitución 3.3.2 Por sustitución

trigonométrica 3.3.3 Por racionalización 3.3.4 Por partes

Sistema de números reales

Desigualdades

El cálculo se basa en el sistema de los números reales y sus propiedades.

Números naturales: 1, 2, 3, 4, ................... (N)

Números enteros: ..-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ...... (Z)

Números reales Números racionales: 3/4, -5/7, m/n, ........... (Q) Números irracionales: 3, 7, a, , e, .........

Números complejos: a + bi; i= -1

N Z Q R

Ley conmutativa: x+y=y+x; xy=yx 2+3 = 3+2; (2)(3)=(3)(2) 5 = 5 ; 6 = 6 Ley asociativa: x+(y+z)=(x+y)+z; (xy)z=x(yz) 2 + (3 + 5) = (2+3)+5;

(2*3)5=2(3*5) 2 + 8 = 5 + 5 6 * 5 =2

*15 10 = 10 30 =

30 Ley distributiva: x(y+z) = xy + xz 2(3 + 5) = 2*3 + 2*5 2 * 8 = 6 + 10 16 = 16 Elementos neutros: x+0= x x(1) = x 2 + 0 = 2 2 * 1 = 2 Inversos: x+(-x)=0 x(x-1)= 1 2 + (-2)=0 2 (2-1)= 2(1/2)= 1

Tricotomía: x < y o x = y o x > y

2 < 5 o 2 = 5 O 2 > 5

Transitividad: x<y y y<z => x < z

2 < 5 y 5 < 9 => 2 < 9

Aditiva: x<y x+z < y+z 2 < 5 2 + 3 < 5 + 3 5 < 8Multiplicativa: z > 0 => x < y xz < yz

8 > 0 => 2 < 5 2*8 < 5*8 16 < 40 z < 0 => x < y xz > yz -8 < 0 => 2 < 5 2(-8) > 5(-8) -16 > -40

1) 4-3(8-12)-6 = 1° se resuelve el paréntesis 4-3(-4)-6 = El resultado (-4) se

multiplica por -3 4+12-6 = Se suman todos los

positivos y los negativos 16-6 = 103) -4[3(-6+13)-2(5-9)]= 1° se resuelve color

verde -4[3(7)-2(-4)]= Se multiplica el

paréntesis con su literal -4[21+8]= Se resuelve color lila -4[29]= -116 Se multiplica

5) 5/6 – (1/4+2/3) = Paréntesis ¿? a/b+c/d=(ad+cb)/bd

5/6 – (1)(3)+(2)(4)/(4)(3) = Simplificar 5/6– 3+8/12 = 5/6–11/12 Igualar denominadores

(mcm) 5/6 – 11/12 = (5/6)(2/2) – 11/12 2/2=1, x*1=x 10/12 – 11/12 = – 1/12 Mismo denominador

(12), numeradores se

suman.

7) 1/3[1/2(1/4-1/3)+1/6] = 1/3[1/2(1(3)-1(4)/4(3))+1/6]

= 1/3[1/2(3-4/12)+1/6] = 1/3[1/2(-1/12)+1/6] = 1/3[-1/24+1/6] = 1/3[-1/24+(1/6)(4/4)] = 1/3[-1/24+4/24] = 1/3[3/24] = 3/72 = 1/24

9) (5/7+2/9)/(1+1/2) = (5(9)+ 2(7)/7(9))/(2/2+1/2) = (45+14/63)/(3/2) = (59/63)/(3/2) = a/b/c/d= ad /

bc (59)(2)/(63)(3)= 118/189

11) 1 - 2/(2 + 3/4) = 1 - 2/(8/4 + 3/4) = 1 - 2/1/(11/4) = 1 – 2(4)/ 1(11) = 11/11 –

8/11= 3/11

13) (√ 2 + √ 3)(√ 2 - √ 3) = (a+b)(a-b)=a2-b2

(√ 2)2 – (√ 3)2 = 2-3 = -115) 3 √ 2 (√ 2 - √ 8) = 3 √ 2 (√ 2 - √(4*2)) = 3 √ 2 (√ 2 - √ 4* √ 2) = 3 √ 2 (√ 2 (1- √ 4)) = 3 √ 2 (√ 2 (1- 2)) = 3 √ 2 (√ 2 (-1)) = 3 √ 2 (- √ 2 ) = -3 √ 2 √ 2 = -3 √(2*2) = -3 √ 4 = -3(2) = -6

1) 4-3(8-12)-6 =2) 2(3-2(4-8)) =3) -4[3(-6+13)-2(5-9)]=4) 5[-1(7+12-16)+4]+2 =5) 5/6 – (1/4+2/3) =6) ¾-(7/12 – 2/9) =7) 1/3[1/2(1/4-1/3)+1/6] =

8. -1/3[2/5-1/2(1/3-1/5)] =9. (5/7+2/9)/(1+1/2) =10. [1/2-3/4+7/8]/[1/2+3/4-7/8] =11. 1 - 2/2+3/4 =12. 2 + 3/1+5/2 =13. (√2 + √ 3)(√ 2 - √ 3) =14. (√ 2 + √ 3)2 =15. 3 √ 2 (√ 2 - √ 8) =

a) (2x-3)(2x+3)= b) (2x-3)2=

c) (-3t2-t+1)2= d) (2t-1)3=

e) (x2-4) / (x-2)= f) (x2-x-6)/ (x-3)=

g) (x3-8) / (2x-4) = h) (2x-2x2) / (x3-2x2+x)=

a) (2x-3)(2x+3)= (2x)2-(3)2= 4x2-9

b) (a+b)2 = a2+2ab+b2 (2x-3)2 = (2x)2+2(2x)(-3)+(-3)2

=4x2-12x+9

(a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc (3t2-t+1)2 = (3t2)2+(-t)2+(1)2+2(3t2)(-t)+2(3t2)

(1)+2(-t)(1) = 9t4 + t2 + 1 - 6t3 + 6t2 - 2t = 9t4 - 6t3 + 7t2 - 2t + 1

d) (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (2t-1)3= (2t)3 + 3(2t)2(-1) + 3(2t)(-1)2 + (-1)3 = 8t3 - 3(4t2) + 3(2t)(1) -1 = 8t3 - 12t2 + 6t –1

e) (x2-4)/(x-2)= Factorizar el numerador. Buscar dos # que (a)(b) den –4 y (a)+(b) den 0. (x2+0x-4) (x-2)(x+2)/(x-2)= Como (x-2) se encuentra en el

numerador y en el denominador, se cancela. x+2

f) (x2-1x-6)/(x-3)= (a)(b)= -6 Y (a)+(b)= -1 (x+2)(x-3)/(x-3)= (-3)(2)= -6 Y (-

3)+(2)= -1 x+2

Una expresión algebraica con cualquiera de estos símbolos (<, >, >, <) es una Desigualdad.

Ejemplo: 5x2-4x+7 < 2x+3 4x-3 > 7x+5

Al resolver una desigualdad se encuentra un conjunto con aquellos números reales que la hacen verdadera. Al conjunto solución se le llama intervalo.

Ejemplos de desigualdades

Nombre Notación de conjuntos Gráfica Notación de intervalos

Abierto {x: a < x < b} a x b (a,b)Cerrado {x: a < x < b} a x b [a,b]Semiabierto:Por la izquierda {x: a < x < b} a x b (a,b]Por la derecha {x: a < x < b} a x b [a,b)Infinito: {x: x < b} x b (- ,b] {x: x < b} x b (- ,b) {x: x > a} a x [a, ) {x: x > a} a x (a, )

Resolver la desigualdad 2x-7 > 4x-2Se siguen los mismos pasos que al resolver una igualdad.2x-7 > 4x-2 Los términos con variable se pasan a un lado y los términos con constante se pasan al otro.2x-4x > -2+7-2x > 5 Se despeja el –2 que está multiplicando con x y pasa a dividir con 5.x < 5/-2 Como el número (-2) es negativo, la desigualdad se cambia.x < -5/2

-5/2

(- , -5/2)

-5 < 2x+6 < 4 Debemos dejar a x sola. Despejamos a 6 y 2

-5 -6 < 2x < 4 -6-11 < 2x < -2-11/2 < x < -2/2-11/2 < x < -1

-11/2 -1

[-11/2, -1)

x2-x < 6 Se pasa todo a un lado.x2-1x -6 < 0 Se factoriza. (-3)(2)=-6, (-

3)+(2)=-1(x-3)(x+2) < 0 < indica que el resultado es

negativo. (x-3) < 0 (x-3) > 0 x < +3 x > +3 (x+2) > 0 (x+2) < 0 x > -2 x < -2 -2 3 -2 3

(-2,3) No tiene solución, no se cruzan

1. 4x-7 < 3x+52. 7x-1 < 10x+43. 2x+16 < x+254. 6x-10 > 5x-165. 10x+1 > 8x+56. 3x+5 > 7x+177. -6<2x+3<-18. -3<4x-9<119. -2<1-5x<310. 4<5-3x<7

1. 2+3x<5x+1<162. 2x-4<6-7x <3x+63. (x+5)/(2x-1)4. (2x-3)/(x+1)5. 1/x < 56. 7/2x < 37. 1/(3x-2)<48. 3/x+5 > 29. (x+2)(2x-1)

(3x+7)>010. (2x+3)(3x-1)(x-

2)<0

Es la distancia que existe del origen (cero) a cualquier otro punto, ya sea hacia la izquierda o derecha. No existen distancias negativas; se designa mediante |x| y se define como:

Ejemplo:|5| = 5 |-5| = +5 |-25x|=25x |-a|=a |b|=b

|-4x2|= 4x2

Propiedades del valor absoluto

I.|ab|=|a|*|b| III. |a+b|< |a|+|b| |(2)(-3)|=|2|*|-3|=2*3=6 |-3+2|< |-3|+|2|II.|a/b|=|a|/|b| IV. |a-b| > ||a| - |b|| |-4/2|=|-4|/|2|= 4/2 =2 |2-3|> ||2|-|3||

Resuelva la desigualdad. |3x-5| > 1 lo que está dentro del valor absoluto, puede ser

positivo o negativo+(3x-5) > 1 -(3x-5) > 1 3x > 1+5 3x-5 < 1/-1 3x > 6 3x < -1+5 x > 6/3 x < 4/3 x > 2

1. |x+1| < 42. |x-2| <53. |3x+4| <84. |5x/3 –2| < 65. |3x/5 +1| < 4 6. |2x-7| < 37. |2x-7| > 38. |5x-6| > 19. |4x+2| > 1010. |x/2 +7| > 211. |2+5/x| > 112. |1/x -3| > 6

|x+1| < 4x+1 < 4 x+1 > -

4 x < 4-1 x > -4-1 x < 3 x > -5

3 -5

(- ,3) (-5,+ )

|5x/3 –2| < 6 5x/3 –2< 6 5x/3 –2 >-6 5x/3 < 6+2 5x/3 >-6+2 5x/3 < 8 5x/3 > -4 5x < 8*3 5x > -4*3 5x < 24 5x > -12 x < 24/5 x > -12/5

24/5 -12/5

(- ,24/5] [-12/5,+ )

|4x+2| > 104x+2 > 10 4x+2 < -10

4x > 10-2 4x < -10-2 4x > 8 4x < -12 x > 8/4 x < -

12/4 x > 2 x < -3

2 -3

(- ,-3] [2,+ )

Tarea: Biografía de Cauchy

Una función (f) es una regla de correspondencia entre dos conjuntos, tal que a cada elemento del primer conjunto le corresponde solo un elemento del segundo conjunto.

A B A B Función Relación

ABCDE

12345

ABCDE

12345

Conjunto: agrupación de cosas, elementos u objetos con características en común.

Dominio: conjunto en el cual se encuentra la variable independiente

Rango: Conjunto en el cual se encuentra la variable dependiente.

Variable independiente: tiene valor por si mismaVariable dependiente: para existir depende del

valor de la variable independiente.

Para denotar una función se usa una letra (f, g, F, etc). =>

F(x) se lee f de x ó f en xF(x) designa el valor que f le asigna a x.

Si F(x) = x3- 4 =>F(2)= (2)3- 4 = 8-4 = 4F(-1)= (-1)3- 4 = -1-4 =-5F(a)= (a)3- 4 = a3- 4F(a+h)= (a+h)3-4 =

a3+3a2h+3ah2+h3-4

Si F(x) = x2- 2x =>F(4)= (4)2- 2(4) = 16-8 = 8 F(4+h)= (4+h)2- 2(4+h) = 16+8h+h2-(8+h) = 16+8h+h2-8-h = h2+7h+8F(4+h)-F(4) = h2+7h+8 – 8 = h2+7hF(4+h)-F(4)/h = (h2+7h)/h

= h(h+7)/ h

= h+7

G(x) = 1/xG(a) = 1/aG(a+h) = 1/(a+h)G(a+h)-G(a) = 1/(a+h) - 1/a[G(a+h)-G(a)]/h = [1/(a+h) - 1/a]/h = [1(a)-(1)(a+h)/(a+h)(a)]/h = [a-a-h/(a+h)(a)]/h = [-h/(a+h)(a)] / h/1 = (-h)(1) / (a+h)(a)(h) = -h / (a2+ah)h = -1 / (a2+ah)

Para f(x) = x2-1,

encuentre:

a) f(1) =b) f(k) =c) f(-2) =d) f(-6) =e) f(0) =f) f(1/2) =g) f(2t) =h) f(3x) =i) f(1/x) =

Para F(x) = 3x3+x, encuentre:

a) F(-6) =b) F(1/2) =

c) F(3.2) =d) F(3) =e) F() = f) F(1/x ) =

g) F(x) = h) F(2x) =

Para G(y) = 1/ y-1

encuentre:

a) G(0) =b) G(2y) =c) G(0.999) =d) G(1.01) =e) G(-x) =f) G(a) =g) G(2t) =h) G(-y) =

I.(f+g)(x) = f(x) + g(x)II.(f-g)(x) = f(x)-g(x)III.(f*g)(x) = f(x)*g(x)IV.(f / g)(x) = f(x) / g(x)V.(fg)(x) = f(g(x))

Función constante: f(x) = k; Función identidad: f(x) = x; Función lineal: f(x) = ax + bFunción cuadrática: f(x) = ax2 + bx + cFunción cúbica: f(x)=ax3+bx2+cx+dFunción polinomial: f(x)=axn+...+ax+aFunción racional: f(x)= (axn+...+a)/(axn+.+a)Función valor absoluto: f(x)=| axn+..+ax+a |Función exponencial: f(x) = exFunción logaritmica: f(x) = log x

Ejemplo: Si f(x) = x2 y g(x) = x+1

(f+g)(x) = f(x) + g(x) = x2 + x+1(f-g)(x) = f(x)-g(x) = x2 – (x+1) = x2 – x - 1 III.(f*g)(x) = f(x)*g(x)= (x2)(x+1) = x3 + x2

IV.(f / g)(x) = f(x) / g(x) = (x2)/(x+1)V.(fg)(x) = f(g(x))= f(x+1) = (x+1)2

Clasificación parcial Clasificación parcial de funcionesde funciones

Para f(x)= x/x-1 y g(x)= (1+x2), encuentra cada valor si es posible:

a)(f+g)(2)=b)(f*g)(0)c)(g/f)(3)=d)(f g)(0)=e)(g f)(8)=f)(g f)(0)=Para f(x)= x2+x y g(x)=2/x+3,

encuentra cada valor si es posible:a)(f-g)(2)=b)(f/g)(1)c)g2(3)=d)(f g)(1)=e)(g f)(1)=f)(g g)(3)=

Para f(x)= x3+2 y g(x)=2/x-1, encuentra cada valor si es posible:

a)(f/g)(x)b)(f g)(x)=c)(f+g)(x)=d)(g f)(x)=

Si f(x)= (x2-1) y g(x)= 2/x, encuentra las fórmulas

a)(f/g)(x)b)(f g)(x)=c)(f+g)(x)=d)(g f)(x)=e)(f-g)(x)=f)(f*g)(x)=

Estamos listos para una nueva idea importante, la noción de límite. Es ésta idea la que distingue el cálculo de otras ramas de las matemáticas. De hecho, podríamos definir el cálculo como un estudio de los límites.

NociónNoción intuitiva intuitivaConsidere la función determinada por la fórmula F(x)= (x3-1)/(x-1).Comencemos analizando la gráfica de la función; tabulemos:x -1 -½ 0 1 2 f(-1)= ((-1)3-1)/((-1)-1)=(-1-1)/(-1-1)= -2/-2 = +1y +1 0.75 1 7 f(½) = ((-½)3-1)/((-½)-1)=(-1/8 –8/8)/(-½-2/2)= -9/8/- 3/2=+0.75

f(1)= ((1)3-1)/((1)-1)=(1-1)/(1-1)= 0/0 = IndeterminadoGraficando lo tabulado:

¿Qué pasa de 0 a 2?

Tabulemos mas dentro de ese intervalo, sin tocar el uno.

x 0.5 0.7 0.9 0.999 1.001 1.5 1.7

y 1.75 2.19 2.71 2.997 3.003 4.75 5.59

La grafica tiene una rompimiento en el punto (1,3); no existe ahí. Pero, tratando de analizar la gráfica, podemos pensar que cuando x=1, su imagen (y)=3.

Podemos concluir que el límite de f(x)= (x3-1)/(x-1) = 3;

Pero, en ésta forma es erroneo. Necesitamos aplicar el límite, en el punto donde la función no existe.

Lim f(x)= lim (x3-1)/(x-1)x -> 1 x -> 1

=lim (x2+x+1)(x-1)/(x-1) x -> 1

=lim (x2+x+1) = 12+1+1 x -> 1

= 3

Significado intuitivo de límiteDef.: Decir que lim f(x)=L

significa que cuando x está cerca, pero difiere de c, f(x) está cerca de L.

=> Decir que lim f(x)=3, significa que cuando x está cerca de uno, pero no es uno, f(x) está cerca de 3, pero no es 3.

0

1

2

3

4

5

6

7

-2.0

000

-1.0

000

-0.5

000

0.00

00

0.50

00

0.70

00

0.90

00

0.99

90

0.99

99

1.00

00

1.00

10

1.50

00

1.70

00

1.90

00

Encuentre:Lim(4x-5)=4(3)-5 = 12-5 = 7 x3Lim(x2-x-6)/(x-3)=[(32-3-6)]/(3-3) x3 =[(9-9)]/(3-3) = 0 / 0 = Como nos dió infinito el resultado, no se debe resolver así. Debemos factorizar el numerador.Lim(x2-x-6)/(x-3)=lim (x+2)(x-3)/(x-3) x3 x3 = lim (x+2) = 3+2 = 5 x3 Cuando x se acerca a 3, f(x) se acerca a 5.Lim (x-1)/((x-1))=(1-1)/((1-1)) x1 = 0/0 = 0/0 = Para resolver esta función, necesitamos conocer las propiedades de la raíz.

Propiedades de la raíz.(a*b) = a * b a/b = a /

b (a+b) a + b a-b a -

b a* a = (a*a) = a2 = a

Lim (x-1)/((x-1))= x1 Lim ((x-1)) ((x-1))/((x-

1))= x1 Lim ((x-1)) = (1-1) =

0 = 0 x1